3-4三角形的邊角關係※

3-4 三角形的邊角關係

※ 三角形的邊長關係

(1) 三角形任意兩邊的和大於第三邊。

(2) 三角形任意兩邊差的絕對值小於第三邊。

(3) 三角不等式：任意兩邊差的絕對值＜第三邊＜任意兩邊和。

例題1--- 在一個三角形中，

(1)已知其中兩邊長為 5 和 8，求第三邊長的範圍。

(2)已知三邊長分別為 8、6、x－3，求 x 的範圍

---

Ex1-1---

一個三角形中，已知其中兩邊長為11 和 7，求第三邊長的範

圍。--- ---

Ex1-2---

已知一個三角形的三邊長分別為x＋3、6、9，求 x 的範

圍。--- ---

A

B a

c b

C

(2) 如果知道三邊長的大小順序，因為最大邊不論與哪一邊的和，一定大於第三邊。

(3) 只要確認較小的兩邊和大於最大邊，則這三邊必可構成三角形。

Ex--- 下列各組數中，哪一組可以作為三角形的三邊長？

(A) 5、2、8　　(B) 5、6、11　　(C) 3、3、2　　(D) 1、8、5

---

例題2---

有三線段長分別為x＋3、x＋5、x＋7，已知此三線段可以構成三角形，求 x 的範

圍。--- ---

Ex2---

有三線段長分別為x－2、x－6、x－8，已知此三線段可以構成三角形，求 x 的範

圍。--- ---

※ 等邊對等角，等角對等邊

△ABC 中，

1. 若＝，則∠C＝∠B。

2. 若∠B＝∠C，則＝。

例題3--- (1) △ABC 中，已知＝，∠B＝75°，求∠A 的度數。

(2) △DEF 中，已知∠D＝100°，∠E＝40°，＝9，求的長

度。--- ---

Ex3--- (1) △ABC 中，已知＝，∠A＝50°，求∠B 的度數。

(2) △DEF 中，已知∠D＝90°，∠E＝45°，＝12，求的長

度。--- ---

※大邊對大角

若內角度數愈大，其對邊長，反之，若邊長愈長，其對角度數必愈大。

Ex--- 已知△ABC 中，：：＝7：3：6，那麼∠A、∠B 與∠C 的大小關係為

例題4---

如圖，已知四邊形ABCD 中，最長，最短。若連接，試問：

(1) ∠2 與∠3 的大小關係為何？

(2) ∠1 與∠4 的大小關係為何？

(3) ∠ABC 與∠ADC 的大小關係為

何？--- ---

Ex4---

如右圖，已知與交於C 點，試問：

(1)　∠A 與∠ACB 的大小關係為何？

(2)　∠ECD 與∠D 的大小關係為何？

(3)　∠A 與∠D 的大小關係為

何？--- ---

例題5--- 如右圖，已知∠BAC＝∠CAD＝60°，∠B＝40°，∠ACD＝55°，試問、、與的大小關係為 何？--- ---

C

D A

B

1 2

4 3

A

B C

2 6

4

3

E

D

A

B

40°

60°60°

55°

C D

Ex5--- 如圖，已知∠A＝40°，∠BDA＝80°，　∠CBD＝35°，∠C＝80°，試問：

(1)　、與的大小關係為何？

(2)　、與的大小關係為何？

(3)　、、與的大小關係為何？

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特殊直角三角形的邊角關係

(1) 當一個三角形的內角分別為 30°、60°、90°時，其邊長比為 1：：2。

(2) 當一個三角形的內角分別為 45°、45°、90°時，其邊長比為 1：1：。

例題6--- 如圖，已知∠A＝30°，∠B＝60°，∠ACB＝90°，∠DCB＝60°，＝a，試求：

(1) 的長度。(2) 的長度。(3)

：：。--- ---

Ex6--- B A

80°

35°

80°

40°

C D

A

B ^60°

30°

C D

例題7---

△ABC 中，已知∠A＝45°，∠B＝90°，∠C＝45°，＝a，試求：

(1) 、的長度。(2)

：：。--- ---

Ex7---

△ABC 中，已知∠A＝45°，∠B＝90°，∠C＝45°，＝4，求、的長度。

---

樞紐定理與逆樞紐定理

在△ABC 與△DEF 中，若＝，＝，則：

(1) 樞紐定理：當∠A＞∠D 時，＞。

(2) 逆樞紐定理：當＞時，∠A＞∠D。

A

B

C

A

B

C

A

B

C

例題8--- 如圖，已知＝，∠ADB＞∠ADC。若甲由 A 出發，經 B 點到 D；乙由 A 出發，

經C 點到 D。試問甲、乙兩人，誰走的距離較遠？

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Ex8--- 如圖，＝，＝3，＝6，＝5，∠BAD＝60°，

則∠1、∠2 與 60°的大小關係為

何？--- ---

3-4 自我評量

下列哪一個長度的竹籤，不能與長 3 公分、10 公分的兩根竹籤排成一個三角形？

( 10

分 )(A) 7 公分　　(B) 8 公分　　(C) 9 公分　　(D) 10 公分答：　 (A) 　 。

若 5、10、x 為等腰三角形的三邊長，則 x 等於多少？

( 15 分 )

因為是等腰三角形，所以

但

故

在△ABC 中，若∠A＝60°，且∠B＞∠C，則此三角形三邊的大小關係為何？

( 15 分 )

∠B＋∠C＝180°－60°＝120°，又∠B＞∠C，

因此∠B＞60°＞∠C，即∠B＞∠A＞∠C，

故＞＞。

在△ABC 中，已知∠A＝80°，＝12 公分，＝8 公分，則下列敘述何者正確？

( 15 分 )

(A) ∠B＞∠C　　(B) ∠C＞50°　　(C) ∠B＞50°　　(D) ∠C＜50°

答：　

(B) 　 。

A

C B

D

60°

A

C

B D

1 2

如右圖，已知∠A＝50°，∠ABD＝70°，∠BDC＝60°，∠C＝80°，試問、、

、的大小關係為何？　　( 15 分 )

∠BDA＝180°－70°－50°＝60°

∠DBC＝180°－60°－80°＝40°

因為＞＞，且＞＞，

所以＞＞＞。

如右圖，已知＝10，求△ABC 的面積。( 15 分 )

因為：：＝2：1：，

　　10：：＝2：1：，

所以＝5，＝5。

故△ABC 的面積＝ × 5 × 5＝。

如右圖，△ABC 中，＝，∠ADB＝80°，

∠ADC＝100°，則與的大小關係為何？

因為＝，＝，　　　( 15 分 ) 且∠ADC＞∠ADB，

所以＞。

A

C

50°

70°

80°

B 60°D

A

B

60°

30° C

10

A

B C

D