數列與級數 04

數列與級數

第 章

04

數列與級數

4-1 等差數列與等差級數

重點一 數列與級數的意義 1. 數列

依照某種次序排列的一串數稱為數列。

數列中的每一個數稱為此數列的項，第一個數稱為第一項（或首項），記為a ，第 2 個數₁ 稱為第二項，記作a ，…，第₂ n個數稱為第_n項（或一般項），記為a 。通常以_n a_n  或

{ }a 來表示_n n項數列a , ₁ a , ₂ a , …, ₃ a 。 _n 2. 級數

若將數列a_n  中的各項次依次用「+」號連接起來，所成的式子a₁a₂ a₃  a_n稱為 級數，以符號

1 n

k k

a



 ^{來表示，即 1 2 3} 1

n

k n

k

a a a a a



    



^{ 。}

(1) ⁵

1 2 3 4 5

1 k k

a a a a a a



    



^。

(2) ⁸ _{3 4 5 6 7 8}

3 k k

a a a a a a a



     



^。

3. 符號的性質

設_m、_n為正整數，_c為常數，且_{1 m n } ，則 (1)

1 1 1

( )

n n n

k k k k

k k k

a b a b

  

  

  

^。

(2)

1 1 1

( )

n n n

k k k k

k k k

a b a b

  

  

  

^。

(3)

1 n

k

c nc





 ^。 (4)

1 1

n n

k k

k k

ca c a

 







^。

(5)

1 1 1

n m n

k k k

k k k m

a a a

   

 

  

^。

例

已知數列a_n  的一般項a_n n² ，試寫出1 此數列的第三項及第十項。

2

3 3 1 10

a   

2

10 10 1 101

a   

已知數列a_n  的一般項

n 3 a n

n

 ，試寫出 此數列的首項及第八項。

1

1 1 1 3 4

a  



8

8 8

8 3 11

a  



試以數列的一般項來表示下列各數列：

(1) 2, 5, 8, 11, 14, …。

(2) 1

1 2 , 1

2 3 , 1

3 4 , 1

4 5 , 1

5 6 , …。

(1)a₁    2 3 1 1 a₂     5 3 2 1 a₃     8 3 3 1 a₄ 11 3 4 1   

依此規律可得a_n    3 n 1 3n 1 (2) ₁ 1 1

1 2 1 (1 1)

a  

  

₂ 1 1 2 3 2 (2 1)

a  

  

₃ 1 1 3 4 3 (3 1)

a  

  

₄ 1 1 4 5 4 (4 1)

a  

  



依此規律可得 1 ( 1) an

n n



試以數列的一般項來表示下列各數列：

(1) 1, 3, 5, 7, 9, …。

(2) 1 2 , ² 2 3 , ² 3 4 , ² 4 5 , …。 ² (1)a₁     1 2 1 1

a₂     3 2 2 1 a₃     5 2 3 1 a₄     7 2 4 1 

依此規律可得a_n    2 n 1 2n 1 (2)a₁  1 2²   1 (1 1)²

a₂  2 3²   2 (2 1)² a₃  3 4²   3 (3 1)² a₄  4 5²   4 (4 1)² 

依此規律可得

a_n   n (n 1)² n n( 1)²

演練

例題 2 找一般項 2

演練

例題 1 數列第n項 1

數列與級數

試逐項展開下列各級數，並求出其和：

(1) ⁵

1 k

k



 ^{(2) 5} 1

5



k ^{(3) 5} 2

2^k



k ^。

(1) ⁵

1

1 2 3 4 5 15

k

k



     



(2) ⁵

1

5 5 5 5 5 5 25

k

     



(3) ^{5 2 3 4 5}

2

2^k 2 2 2 2

k

   



  4 8 16 32 60 

試逐項展開下列各級數，並求出其和：

(1) ⁴

1

1 ( 1)

k_ k k



^{(2) 4}

1

(2 1)

k

k





 ^{(3) 4 2}

0

( 1)

k

k





 ^。 (1) ⁴

1

1 1 1 1 1

( 1) 1 2 2 3 3 4 4 5

k_ k k    

    



1 1 1 1 4 2 6 12 20 5

     (2) ⁴

1

(2 1)

k

k







(2 1 1) (2 2 1)     (2 3 1) (2 4 1)          3 5 7 9 24

(3) ^{4 2}

0

( 1)

k

k







(0² 1) (1² 1) (2²  1) (3² 1) (4²  1)

   1 2 5 10 17 35 

試以 的形式表示下列各級數：

(1)1²2² 3²   10²。

(2) 1 1 1 1

1 2 2 3 3 4   9 10

     。

(1)1²2²3²  10^{2 10 2}

1 k

k







(2) 1 1 1 1

1 2 2 3 3 4   9 10

    

⁹

1

1 ( 1)

k_ k k







試以 的形式表示下列各級數：

(1)2 4 6 8     100。

(2)1 2 2 2   ²   3 2³  10 2 ¹⁰。 (1)2 4 6 8   100

        2 1 2 2 2 3 2 4  2 50 ⁵⁰

1

2

k

k







(2) 1 2 2 2   ²   3 2³  10 2 ^{10 10}

1

2^k

k

k









演練

例題 3 ^的展開 3

演練

例題 4 以表示級數 4

已知 ¹⁰

1 k 8

k

a





 ^{， 10}

1 k 15

k

b





 ^，試求

10

1

(3 _k 2 _k 1)

k

a b



 



^之值。

10 1

(3 _k 2 _k 1)

k

a b



 



10 10 10

1 1 1

3 _k 2 _k 1

k k k

a b

  













10 10 10

1 1 1

3 _k 2 _k 1

k k k

a b

  













3 8 2 15 10 1

     

 4

已知 ¹³

1 k 14

k

a





 ^{， 13}

1 k 7

k

b





  ^，試求

13

1

(2 _k 3 _k 4)

k

a b



 



^之值。

13 1

(2 _k 3 _k 4)

k

a b



 



13 13 13

1 1 1

2 _k 3 _k 4

k k k

a b

  













2 14 3 ( 7) 13 4

      

59

重點二 等差數列 1. 等差數列

將一數列a_n  中，任意相鄰兩項的後項減去前項的差均為一定數d，

即a₂  a₁ a₃a₂ a_na_n1d，則此數列a_n  稱為等差數列，_d稱為公差。

2. 等差數列遞迴關係式 以 ¹

1 2

n n

a a

a a _ d n

 

  

 ，  來表示等差數列的規律性，即給定a ，就能依序決定₁ a , ₂ a , …, ₃ a ，這種描述相鄰之間關係的通式，稱為等差數列的n 遞迴關係式。

首項為 2、公差為 3 的等差數列，其遞迴關係式為 ¹

1

2

3 2

n n

a

a a _ n

 

  

 ，  。

3. 等差數列一般項

由等差數列的遞迴關係式 ¹

1 2

n n

a a

a a _ d n

 

  

 ，  ，

可得等差數列一般項a_n  a₁ (n1)d，_n1, 2, 3, 4, …。

小叮嚀

( )

n m

a a  n m d ，_{1 m n}  。

例

演練

例題 5 的性質 5

數列與級數

判斷下列何者是等差數列，如果是等差數 列，請寫出它的公差。

(1) 1, 4, 7, 10, 13。

(2) 2, 2, 2, 2, 2。

(3) 2, 2 , 2, 2 , 2。

(1)後項減前項的差皆為 3 ∴是公差為 3 的等差數列。

(2)後項減前項的差皆為 0 ∴是公差為 0 的等差數列。

(3)     2 2 2 ( 2) ∴不是等差數列。

判斷下列何者是等差數列，如果是等差數 列，請寫出它的公差。

(1) 2, 4, 8, 16, 32。

(2) 8, 4, 0, 4 ,8。 (3) 5, 5, 5, 5, 5。

(1)4 2 8 4  

∴不是等差數列。

(2)後項減前項的差皆為 4 ∴是公差為 4 的等差數列。

(3)後項減前項的差皆為 0 ∴是公差為 0 的等差數列。

已知4, 7, 10, 13, 16, …為一等差數列，設a_n 表示數列的第_n項，試寫出數列a_n  的遞 迴關係式。

1 4

a  、d   7 4 3

∴遞迴關係式為 ¹

1

4

3 2

n n

a

a a _ n

 

   

 ，

已知3, 6, 9, 12, 15, …為一等差數列，設a_n 表示數列的第_n項，試寫出數列a_n  的遞 迴關係式。

1 3

a  、d   6 3 3

∴遞迴關係式為 ¹

1

3

3 2

n n

a

a a _ n

 

   

 ，

演練

例題 6 判斷是否為等差數列 6

演練

例題 7 遞迴關係式 7

已知一等差數列a_n  的首項為 18，公差為

 ，試求此數列的第 10 項。 2 ∵a₁18、d  2

∴a₁₀  a₁ 9d 18 9 ( 2) 0   

已知一等差數列a_n  的首項為 10，公差為 3，試求此數列的第 21 項。

∵a₁ 10、d 3

∴a₂₁ a₁ 20d 10 20 3 70  

已知一等差數列a_n  的第 3 項為 7，第 12 項為25，試求此數列的第 21 項。

設首項為a ，公差為₁ d

3 1

12 1

2 7 11 25

a a d

a a d

  

   



a₁  、3 d 2

∴a₂₁ a₁ 20d  3 20 2 43 

【另解】

12 3 9

a a  d

25 7 9d  d 2

∴a₂₁a₁₂9d 25 9 2 43  

已知一等差數列a_n  的第 10 項為 21，第 15 項為36，試求此數列的第 25 項。

設首項為a ，公差為₁ d

10 1

15 1

9 21 14 36

a a d

a a d

  

   



a₁  、6 d 3

∴a₂₅ a₁ 24d   6 24 3 66 

【另解】

15 10 5

a a  d

36 21 5d  d 3

∴a₂₅a₁₅10d 36 10 3 66  

在24 與18之間插入五個數，使其成等差數 列，試求此數列的第4 項。

設公差為d，插入五個數共有7 項 則a₁24，a₇   18

由a₇  a₁ 6d

 18 24 6d d  7

∴a₄  a₁ 3d 24 3 ( 7) 3   

在 2 與 50 之間插入七個數，使其成等差數 列，試求此數列的第5 項。

設公差為d，插入七個數共有9 項 則a₁  ，2 a₉ 50

由a₉  a₁ 8d

50 2 8d  d 6

∴a₅  a₁ 4d    2 4 6 26

演練

例題 8 等差數列第n項 8

演練

例題 9 等差數列第n項 9

演練

例題 10 兩數之間插入n個數成等差 10

數列與級數

若等差數列的首項為43，第八項為 ，22 則此數列從第幾項開始為正數？

8 1 7

a  a d

22  43 7dd 3 設此數列從第_n項開始為正數

43 ( 1) 3 0 an    n  

3n46 0  1 153 n

∴此數列從第16 項開始為正數

已知65, 61, 57, 53, …為一等差數列，則此數 列從第幾項開始為負數？

1 65

a  ，_{d 61 65  4} 設此數列從第_n項開始為負數

65 ( 1) ( 4) 0 an   n   

4n69 0

4n69 1 174 n

∴此數列從第18 項開始為負數

重點三 等差中項

等差中項

1. 若a,b,c三數成等差數列，我們稱中間項_b為_a與_c的等差中項。

2, 5, 8 三數成等差數列，則 5 為 2 與 8 的等差中項。

2. 若a,b,c三數成等差數列，則

2 b a c 。

若 3, ^b, 9 三數成等差數列，則 3 9 2 6 b 

  。

若_4x14, 2x1, x6三數成等差數列，

試求_x之值。

∵4x14, 2x1, x6三數成等差數列

∴ (4 14) ( 6) 2 1

2

x x

x    

4x 2 5x8

x6

若_3x2為x 與7 x3的等差中項，試求_x 之值。

∵3x2為x 與7 x3的等差中項

∴ ( 7) ( 3)

3 2

2

x x

x    

6x 4 2x4

x2 例

例

演練

例題 12 等差中項 12

演練

例題 11 等差數列第幾項開始為正數、負數 11

重點四 等差級數 1. 等差級數

若a , ₁ a , ₂ a , …, ₃ a 為等差數列，則_n a₁a₂a₃  a_n稱為等差級數。

以

1 n

k k

a



 ^{表示，即 1 2 3} 1

n

k n

k

a a a a a



    



^{ 。}

2. 等差級數的和

已知一等差級數，首項為a ，末項為₁ a ，公差為_n d，項數為n， 則前_n項的和 ( ¹ ) ₁

[2 ( 1) ]

2 2

n n

a a n n

S     a  n d 。

已知一等差級數的首項為9，公差為 4，試求 此等差級數前10 項的和。

10 1 9 9 9 4 45 a  a d    

10

(9 45) 10 2 270

S    

試求等差級數_{1 4 7 10   }前30 項的和。

4 1 3 d   

30

30 [2 1 (30 1) 3] 1335 S  2      

設a_n  為一等差數列，且a_n 2n ，試求1 此數列前15 項之和。

1 2 1 1 3 a    

15 2 15 1 31 a    

15

(3 31) 15 2 255

S    

設一等差數列第_n項a_n  2 3n ，試求此數 列前10 項之和。

1 2 3 1 1 a     

10 2 3 10 28 a     

10

[ 1 ( 28)] 10 2 145

S       

演練

例題 13 等差級數 13

演練

例題 14 等差級數 14

數列與級數

04

自我 評量 _評量

自我

數列與級數

1 1. 已知數列的第n項 5

n 3

a  n，求a₃a₆a₉  30 。

5 2. 已知 ⁷

1 k 12

k

a





 ^{， 7}

1 k 3

k

b





  ^{，則 7}

1

(2 _k 5 _k 1)

k

a b



  



^{46 。}

7 3. 已知 5, 9, 13, 17, 21, …為一等差數列，設a 表示數列的第_n n項，則此數列的遞迴關係式

為 ¹

1

5

4 2

n n

a

a a _ n

 

   

 ， 。

8 4. 等差數列 5, 9, 13, 17, 21, …的第 18 項為 73 。

9 5. 已知一等差數列的第 9 項為 15，第 30 項為 78，則此數列第 50 項為 138 。

9 6. 已知一等差數列的第 7 項為 24，第 15 項為 48，則 66 是此數列的第 21 項。

10 7. 在 2 與 26 之間插入 11 個數，使之成等差數列，則插入的第 5 個數為 12 。

■ 對應例題

自我 評量 _評量

自我

11 8. 已知一等差數列首項為 101，公差為 ，則此數列從第7 16 項開始為負數。

12 9. 設三數3 x , x, x15成等差數列，則_x 9 。

13 10. 已知一數列的第n項 3

n 5

a  n，則a₁a₂a₃  a₂₀  126 。

13 11. 已知等差數列的第 5 項為 7，第 9 項為 15，則此數列前十項之和為 80 。

14 12. 設一等差數列第n項a_n 3n ，則此數列前 20 項之和為1 610 。

數列與級數

4-2 等比數列與等比級數

重點一 等比數列 1. 等比數列

將一數列a_n  中，任意相鄰兩項的後項除以前項的商均為一定數 r （r0）， 即 ^{2 3}

1 2 1

n n

a a a

a  a  a _ r，則此數列a_n  稱為等比數列， r 稱為公比。

2. 等比數列遞迴關係式 等比數列遞迴關係式 ¹

1 2

n n

a a

a a _ r n

 

  

 ，  。

首項為 3，公比為 2 的等比數列，其遞迴關係式為 ¹

1

3

2 2

n n

a

a a _ n

 

  

 ，  。

3. 等比數列一般項

由等比數列遞迴關係式 ¹

1 2

n n

a a

a a _ r n

 

  

 ，  ，

可得等比數列一般項a_n  a₁ r^n1，_n1, 2, 3, 4…。

判斷下列何者是等比數列，如果是等比數 列，請寫出它的公比。

(1) 2, 4, 8, 16, 32。

(2) 2, 2, 2, 2, 2。

(3) 2, 2 , 2, 2 , 2。

(1)後項除以前項的商皆為 2，

是公比為 2 的等比數列 (2)後項除以前項的商皆為 1，

是公比為 1 的等比數列 (3)後項除以前項的商皆為 ， 1 是公比為 的等比數列 1

判斷下列何者是等比數列，如果是等比數 列，請寫出它的公比。

(1) 2, 4, 6, 8, 10。

(2) 1,1 3,1

9, 1 27, 1

81。 (3) 1, 1, 1, 1, 1。

(1)4 6

2 不是等比數列 4 (2)後項除以前項的商皆為1

3， 是公比為1

3的等比數列 (3)後項除以前項的商皆為 1，

是公比為 1 的等比數列

小叮嚀

n m 1

n m

a a r ^ ，  m n。

例

演練

例題 1 判斷是否為等比數列 1

已知等比數列a₁ , 3 a₂  , 6 a₃12, …，試 寫出數列a_n  的遞迴關係式。

2 1

6 2 3 r a

 a  

∴遞迴關係式為 ¹

1

3

2 2

n n

a

a a _ n

 

  ， 

已知等比數列a₁  , 1 ₂ 1

a  , 2 ₃ 1

a  , …，試4 寫出數列a_n  的遞迴關係式。

2 1

1 2 r a

 a 

∴遞迴關係式為

1

1

1

1 2

n 2 n

a

a a _ n

 

 

 ， 

已知一等比數列首項為 3，公比為 2 ，試求 此數列的第8 項。

1 3

a  ，r  2

7 7

8 1 3 ( 2) 384 a  a r     

已知一等比數列首項為 128，公比為1 2 ，試 求此數列的第7 項。

1 128

a  ， 1

r 2

6 6

7 1

128 ( )1 2 a   a r  2 

已知一等比數列的首項為2，第 5 項為 162，

試求此數列的公比。

1 2

a  ，a₅ 162

4

5 2 162

a  r 

r⁴ 81

r 3

已知一等比數列的首項為 729，第 6 項為

3，試求此數列的公比。

1 729

a  ，a₆   3

5

6 729 3

a     r

 ⁵ 1 1 ⁵

( ) 243 3 r    

 1

r  3

演練

例題 2 遞迴關係式 2

演練

例題 4 求公比 4

演練

例題 3 等比數列求第n項 3

數列與級數

已知一等比數列第 2 項為 3，第 7 項為 96，

試求數列的第9 項。

設首項為a ，公比為 r ₁

2 1

6

7 1

3 96 a a r a a r

 



 



 ₁ 3

a  ，2 r 2

∴ _{9 1} ⁸ 3 ⁸ 2 384 a a r  2 

【另解】

5

7 2

a a  r

96 3 r  ⁵

r⁵ 32r 2

∴a₉ a₇r² 96 2 ² 384

已知一等比數列的第 3 項為 5，第 6 項為

135，試求此數列的第8 項。

設首項為a ，公比為 r ₁

2

3 1

5

6 1

5 135 a a r

a a r

  



  



 ₁ 5

a  ，9 r 3

∴ _{8 1} ⁷ 5 ⁷

( 3) 1215 a a r   9  

【另解】

3

6 3

a a  r

135 5 r  ³

r³   27 r 3

∴a₈ a₆r²  ( 135) ( 3)  ²  1215

在 3 與96之間插入四個數，使其成等比數 列，試求插入四個數中的第三個數。

1 3

a  ，a₆   96

5

6 1

a   a r

   96 3 r⁵

r⁵   32 r  2

∴插入的第三個數即a₄   3 ( 2)³   24

在16 與 1 之間插入a, b, c三個正數使其成 等比數列，試求_{a b c } 之值。

1 16

a  ，a₅  1

4

5 1

a   a r

1 16 r  ⁴

 ⁴ 1

r 16 1

r  （負不合） 2

∴a8、b4、c2

a b c  14

演練

例題 5 等比數列求第n項 5

演練

例題 6 兩數之間插入n個數成等比 6

設 a , b , c , d 四 正 數 成 等 比 數 列 ， 若 625

cd  ab，試求此數列的公比。

設公比為 r

則_{b ar} ，c ar ²，d ar³

∵_cd _625ab

ar²ar³ 625 a ar

r⁴ 625r  （負不合） 5

∴公比為5

設 a , b , c , d 四 正 數 成 等 比 數 列 ， 若 16

abcd ，試求此數列的公比。

設公比為 r ，則b ar ，c ar ²，d ar³

∵ 16

ab cd  ^{2 3}

16 ar ar a ar  

r⁴ 16r  （負不合） 2

∴公比為2

設 a , b , c , d 四 正 數 成 等 比 數 列 ， 若 4

a b  ，_{c d 36}，試求公比。

設公比為 r

則b ar ，c ar ²，d ar³

∵ 2 3

4 36 a b a ar

c d ar ar

   



   



 ⁽¹₂ ^{) 4} (1 ) 36 a r

ar r

 



 



r²  9 r 3（負不合）

∴公比為3

設 a , b , c , d 四 正 數 成 等 比 數 列 ， 若 8

a b  ，_{c d 2}，試求公比。

設公比為 r

則b ar ，c ar ²，d ar³

∵ 2 3

8 2 a b a ar c d ar ar

   



   

  ⁽¹₂ ^{) 8}

(1 ) 2 a r ar r

  

  



 ² 1

r  4 1

r  （負不合） 2

∴公比為1 2

重點二 等比中項

等比中項：

1. 若a, b, c三數成等比數列時，我們稱中間項_b為_a與_c的等比中項。

3, 6, 12 三數成等比數列，則 6 稱為 3 與 12 的等比中項。

2. 若a, b, c三數成等比數列，則等比中項b  ac，即b² ac。 若 2, ^b, 8 三數成等比數列，則等比中項b  2 8   。 4 例

例

演練

例題 7 等比數列求公比 7

演練

例題 8 等比數列求公比 8

數列與級數

若x3, 3x1, 4x3三數成等比數列，試 求_x之值。

∵x3、_3x₁、_4x₃三數成等比數列

∴(3x1)² (x3)(4x 3)

9x² 6x 1 4x²9x 9

5x² 15x10 0

5(x1)(x2) 0

x 1或 2

若2x5為x與4x15的等比中項，試求x 之值。

∵2x5為_x與_4x₁₅的等比中項

∴(2x5)² x x(4 15)

4x² 20x25 4 x²15x

5x 25

x  5

重點三 等比級數 1. 等比級數

將一等比數列a , ₁ a , ₂ a , …, ₃ a ，依次用「+」號連接起來，所成式子_n a₁a₂a₃  a_n 稱為等比級數，以

1 n

k k

a



 ^{表示，即 1 2 3} 1

n

k n

k

a a a a a



    



^{ 。}

2. 等比級數求和公式

已知一等比級數，首項為a ，公比為 r ，則 ₁

前_n項的和 ^{1 1}

1

(1 ) ( 1)

1 1 1

1

n n

n

a r a r

S r r r

n a r

    

  

  



，

，

。

試求等比級數1 1 1 1

2 6 18 54   至第六項的 和。

1

1

a  ，2 1 r 3

6 6

1 1

[1 ( ) ] 182

2 3

1 243

1 3

S  

 



已知一等比級數首項為 3，公比為 2 ，試求 前7 項之和。

1 3

a  ，r  2

7 7

3 [1 ( 2) ] 1 ( 2) 129 S     

 

演練

例題 10 等比級數 10

演練

例題 9 等比中項 9

自我 評量 _評量

自我

2 1. 已知等比數列 ₁ 3

a  , 2 ₂ 1

a  , 2 ₃ 1

a  , …，則此數列的遞迴關係式為 6

1

1

3 2

1 2

n 3 n

a

a a _ n

 

   

 ，

。

3 2. 已知一等比數列首項為 4，公比為 1

 ，則此數列的第 10 項為2 1

128 。

3 3. 設 2, 4, 8, 16, …為一等比數列，則此數列的第 11 項為 2048 。

4 4. 已知一等比數列，首項為 3，第 6 項為729，則公比為 3 。

5 5. 已知等比數列第 5 項為 5，第 8 項為 135，則此數列第 10 項為 1215 。

■ 對應例題

數列與級數

自我 評量 _評量

自我

數列與級數

6 6. 在 112 與 7 之間插入a, b, c三個正數，使其成等比數列，則_{a b c } 之值為 42 。

7 7. 設a, b, c, d，四正數成等比數列，若

81

abcd ，則此數列的公比為 3 。

8 8. 設a, b, c, d四正數成等比數列，若a b c  5、b c d  10，則此數列的公比為 2 。

9 9.若4x5, 2x1, x三數成等比數列，則_x 1 。

10 10. 等比級數3 6 12 24   …前8 項之和為 255 。

* 表示進階題

【4-1】

( Ｃ ) 1. 已知一數列的第n項為_3n₂，則第10 項為何？ (A) 28 (B) 30 (C) 32 (D) 34。

( Ｄ ) 2. 已知 ⁹

1 k 7

k

a





 ^{， 11}

1 k 3

k

b





  ^{，且a10   ，2 b11 ，則3 10}

1

(3 _k 2 _k 1)

k

a b



  



^{？ (A) 13}

(B) 17 (C) 25 (D) 37。

( Ｃ ) 3. 若一等差數列的第 4 項為 10，第 8 項為 22，則其第 35 項為多少？ (A) 94 (B) 100 (C) 103 (D) 109。

( Ｄ ) 4. 若一等差數列的首項為20，第7 項為 11 ，則此數列從第幾項開始為正數？

(A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 15。

( Ａ ) 5. 在 6 與 26 之間插入a,b,c三數，使其成為等差數列，則a b c  ？ (A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 22。

( Ｂ ) 6. 在 6 與 90 之間插入 6 個數字，使其成為等差數列，則插入的第 4 個數為何？ (A) 42 (B) 54 (C) 66 (D) 78。

( Ｂ ) 7. 若2x7為3x2與5x8的等差中項，則x？ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。

( Ｄ ) 8. 已知一等差數列，第 9 項為 58，第 15 項為 100，則 674 是這個等差數列的第幾項？

(A) 94 (B) 95 (C) 96 (D) 97。

( Ｂ ) 9. 已知一數列第n項為 2

n 5

a  n，則a₁a₂ a₃a₂₀的值為何？ (A) 64 (B) 84 (C) 104 (D) 124。

( Ｄ ) 10. 有 一 數 列 已 知a₁  ， 且3 a_na_n1 ， 則 下 列 敘 述 何 者 正 確 ？ (A)2 a₅ 10 (B)a₈ 15 (C)a₁₀ 20 (D)a₁₂ 25。

( Ｂ ) 11. 等差級數4 6 8  96的和為何？ (A) 2348 (B) 2350 (C) 2352 (D) 2360。

( Ｂ ) 12. 在 5 與 93 之間插入 7 個數，使成等差數列，則插入 7 個數之和為何？ (A) 336 (B) 343 (C) 350 (D) 357。

( Ｂ ) 13. 一等差數列之首項為50，前50 項之和為 2400，則此數列之公差為何？ (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8。

數列與級數

* 表示進階題

【4-2】

( Ｄ ) 14. 有一數列，已知a₁  且3 a_n 2a_n1 ，0 n2，則下列敘述何者正確？ (A)a₅ 16 (B)a₇ 64 (C)a₉ 256 (D)a₁₁ 3072。

( Ｄ ) 15. 設 1, 2 3, 4

9 , 8

27 , …為一等比數列，則第 7 項為 (A) 32

243 (B) 64

243 (C) 32 729 (D) 64

729。

( Ａ ) 16. 已知等比數列第 3 項為 2，第 6 項為16，則第 8 項為何？ (A)64 (B) 64 (C)128 (D) 128。

( Ａ ) 17. 在2

3與 81

16之間插入_a,b,c,d四個數，使這六個數成等比數列，則_c？ (A) 9

 4 (B)9

4 (C) 3

 (D)4 3 4。

( Ｃ ) 18. 若7x2, 6x1, 5x 三數成等比數列，則x？ (A) 2 (B) 1 (C) 1 (D) 2。

( Ｃ ) 19. 已知 1, 3, 9, 27, …為一等比數列，則 2187 為此數列的第幾項？ (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9。

( Ａ ) 20. 設a,b,c,d四正數成等比級數，若a b 4、c d 16，則公比為何？ (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5。

* 表示進階題

【4-1】

( Ｄ ) 1. 設一等差數列為 5, 12, 19 ,…，則第 101 項為何？ (A)695 (B)698 (C)700

(D)705。 【100 統測-B】

( Ｄ ) 2. 已知數列a_k 3k ，4 k 1, 2, 3, …, 100，則下列敘述何者正確？ (A)此數列為等 差數列，公差為 (B)95 為此數列的第 34 項 (C)4 ^{100 100}

1 1

(3 4) 3 4

k k

k k

 

  

 

(D)a₃ a₅ a₇ a₉ a₁₁ 85。 【101 統測-B】

( Ｄ ) 3. 已知¹⁰⁰

1 k 205

k

a





 ^、100

1 k 26

k

b





 ^，求100

1

( 1)

5 2

k k

k

a b



 



^之值 (A)29 (B)68 (C)80

(D)128。 【102 統測-B】

( Ｂ ) 4. 設1

2, x, y , 7

2為一等差數列，則_{x y }？ (A)7

2 (B) 4 (C)9

2 (D) 5。

【102 統測-S】

( Ａ ) 5. 若 ,5 a,b,c,d ,e,19 為一等差數列，且a b c d   e，則_{a b c d e    }？ (A) 35 (B) 42 (C) 72 (D) 79。 【103 統測-A】

( Ａ ) 6. 已知一等差級數3 5 7  31之和為_S。試問_{S }？ (A) ¹⁶

2

(2 1)

i

i





 (B) ¹⁶

1

(2 1)

i

i





 ^{(C) 32}

6

3 ( 1)

i

i







 ^{(D) 30}

2

( 1)

i

i





 ^{。 【103 統測-S】}

( Ｂ ) 7. 已知一等差數列之第 3 項為 8，第 7 項為 20，則該等差數列之第 32 項為何？ (A) 93 (B) 95 (C) 96 (D) 98。 【104 統測-B】

( Ｃ ) 8. 已知<a >為一個等差數列，且_n a₁=1、_a4=10，則數列<a >的前 10 項和_n a₁+a₂++a₁₀ 為何？ (A) 140 (B) 142 (C) 145 (D) 148。 【105 統測-A】

( Ｂ ) 9. 今有一等差數列a_n  ，若前二項為a₁  、3 a₂  ，則此數列前 16 項之和2 S₁₆  ？ (A) 80 (B) 72 (C) 64 (D) 56。 【106 統測-A】

( Ｄ ) 10. 若等差級數¹⁰¹⁸

10 k k

a



 ^{之值為2018，則a514}  ？ (A) 2018 (B) 1008 (C) 514 (D) 2。

【107 統測-A】

數列與級數

( Ａ ) 11. 若一等差數列的第 10 項為首項的 4 倍，且首項不為 0，則該數列的第 6 項為第 2 項 的幾倍？ (A) 2 (B)3 (C) 4 (D) 5。 【107 統測-B】

【4-2】

( Ｂ ) 12. 已知一等比數列b_n  ，其中b₃  ，2 b₇ 10。試問b₁₁ ？ (A) 20 (B) 50

(C) 100 (D) 200。 【103 統測-S】

( Ａ ) 13. 設七個實數a , ₁ a , ₂ a , ₃ a , ₄ a , ₅ a , ₆ a 成等比數列，公比為 r 。若₇ a₁a₂  且2

6 7 486

a a  ，則r ？ (A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 9。 【104 統測-A】

( Ｃ ) 14. 設一等比級數的首項為1

4，公比為 ，則此等比級數前 81 項的總和為何？ 1 (A) 1 ⁸¹

( )4 (B) 1 ⁸⁰

( )4 (C)1

4 (D)1

2。 【104 統測-S】

( Ｂ ) 15. 設x₁, x₂, x , ₃ x₄為等差數列，其公差為d，d 0。若x₂為x₁與x₄的等比中項，

且x₃ 27，則x₂ ？ (A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 24。 【105 統測-A】

( Ａ ) 16. 已知 1 1 1 1₁

1 2 3 ( )

1 2 4 2

n n

S = + + + + n + _ ，則S 之值為何？ (A) ₁₀

512 56511 (B)

1024 561023

(C) 512 57511 (D)

1024

571023。 【105 統測-B】

( Ｄ ) 17. 已知某等比數列的第 5 項為 2，且第 6 項比第 5 項多 4，則此數列的第 8 項為何？

(A) 16 (B) 28 (C) 32 (D) 54。 【105 統測-S】

( Ｃ ) 18. 已知a,b為實數，若_a, 2, 3,b為一等比數列，則_{a b }？ (A) 4 (B) 31

6 (C) 35 6

(D) 7。 【106 統測-A】

( Ｃ ) 19. 若a為正整數，且1, a, 2a為等比數列，則a²   ？ (A) 1 (B) 2 (C) 5 1

(D) 10。 【106 統測-B】

( Ｂ ) 20. 若等比數列a , ₁ a , ₂ a , …, ₃ a 的首項₈ a₁ ，且前四項的乘積2 a₁  a₂ a₃ a₄ 2¹⁶， 則後四項的乘積a₅  a₆ a₇ a₈  ？ (A)2 (B)³² 2 (C)⁴⁸ 2 (D)⁶⁴ 2 。 ⁸⁰

【107 統測-A】

( Ｄ ) 21. 設a_k  為公比 2 的等比數列，已知a a_{1 3} 12，則a₁²a₂²a₃² a₄²  ？ (A) 219 (B) 237 (C) 246 (D) 255。 【108 統測-A】

( Ｂ ) 22. 已知a, a3, 10 三數成等差數列且b, 15, 60 三數成等比數列，則ab之值為何？

(A)15

16 (B) 15 (C) 19 (D)305

16 。 【108 統測-S】