行政院國家科學委員會補助專題研究計畫成果報告
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※ 介質隨機非均勻性對之地下飽和帶污染傳輸影響之研究※
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計畫類別：x 個別型計畫 □整合型計畫
計畫編號：NSC 90－2211－E－006－121－
執行期間：2001 年 08 月 01 日至 2002 年 07 月 31 日
計畫主持人：徐國錦 國立成功大學資源工程學系助理教授
共同主持人：
計畫參與人員：
黃信彰 國立成功大學資源工程學系研究生
董志秋 國立成功大學資源工程學系研究生
本成果報告包括以下應繳交之附件：
□赴國外出差或研習心得報告一份
□赴大陸地區出差或研習心得報告一份
□出席國際學術會議心得報告及發表之論文各一份
□國際合作研究計畫國外研究報告書一份
執行單位：國立成功大學資源工程學
中
華
民
國
91 年 8 月 12 日
行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告
介質隨機非均勻性對之地下飽和帶污染傳輸影響之研究
The Influence of Heter ogeneity on Solute Tr anspor t in Satur ated
Por ous Media
計畫編號：NSC 90-2211-E-006-121
執行期限：90 年 8 月 1 日至 91 年 7 月 31 日
主持人：徐國錦 國立成功大學資源工程學系助理教授
共同主持人：
計畫參與人員：黃信彰 國立成功大學資源工程學系研究生
董志秋 國立成功大學資源工程學系研究生
一、 中英文摘要 地下介質通常是非均勻的，此非均勻 性控制著地下水流及污染傳輸的行為。由 於實際上無法量得介質性質在空間上每一 點的變化，因此介質性質的資料在空間上 之描述除了不均勻性之外還含有不確定性 在其中。介質之不均勻性及資料之不確定 性促使了序率研究方式在地下水文的發 展。目前序率理論在實際地下水問題之應 用受限於可使用解答的缺乏或分析方法過 於昂貴且耗時，為增強序率理論之實用 性，本研究使用序率水文的數學解析方法 研究推導非均勻介質中的水流及污染傳輸 數學通解之可能性。使用數學微擾法求得 水流速度和污染點位移的統計平均值以及 協方差，污染傳輸方程式中所需的延散係 數亦將被推導。所得到解析解可適用於任 何之水力傳導係數之相關連續函數，研究 結果將可突破目前僅有二個解析解可使用 的限制，方便序率地下水文理論在實際地 下水問題的應用。 關鍵詞：非均勻介質,水流,污染傳輸,序率 The heterogeneity plays an important role in controlling the flow and transport in subsurface porous media. Since the scarcity of available field data, there is uncertainty indealing with aquifer properties. The
stochastic method solves the problems of uncertainty and heterogeneity by treating the aquifer properties as random variables. However, there are only two analytical
and transport in heterogeneous porous media. We use mathematical method to analyze the flow and transport problems. We derive the general stochastic solutions for flow and transport. The small-perturbation method was used for obtaining the first- and second-moment of velocity and particle displacement. The analytical expressions of the velocity covariance and macrodispersion coefficient are valid for any continuous correlation functions of the hydraulic conductivity.
Keywords：heterogeneity, flow, transport, stochastic 二、 計畫緣由與目的 全球之淡水資源非常有限，除了冰川 以外，地下水是最大的淡水資源，佔全球 淡水資源的 14％。近年來由於人口數目急 速增長，且每人的平均用水量隨著生活水 準的提昇而增加，地表水源已不敷使用， 而地下水已成為一個非常重要的水資源。 但近年來地下水資源的開發及污染的問題 層出不窮，嚴重地威脅珍貴的地下水源。 為永續發展地下水源，解決水源開發及污 染的問題，必先了解地下水流的物理特 性，方能掌握含水層中的水流及污染傳輸 的行為。 最近二十年來，水文地質方面的研究 了解到地下含水層的土壤性質在空間上是 非均勻的﹝Gelhar, 1993﹞。此不均勻性控 制著地下的水流與污染傳輸行為。由於採
的土壤性質資料經常是稀少的。且不同的 實驗或試驗所求得之土壤水力性質所代表 之體積並不一致，因此在可用的有限資料 中亦含有不確定性在其中。此一存在的事 實限制了傳統定率式地下水的研究方式。 而序率地下水文學將土壤性質視為隨機變 數來理處，可以解決含水層非均勻性及資 料不確定性的問題﹝Gelhar, 1993, Dagan and Neuman, 1997﹞ 常用之序率研究方式有二種：蒙地卡 羅數值演算法及數學解析法。蒙地卡羅數 值法使用地質統計理論產生很多個現場可 能發生的地質情況，將這些地質可能的情 況代入控制方程式中，求得解答後再求算 水流及污染傳輸的統計特性。數學解析法 則使用假設條件簡化數學問題，推導求得 水流速度及污染粒子傳輸位移的擾動項， 並推導其統計上的第一及第二矩，即為平 均值與協方差。此二種方法均已被應用於 現場之地下水污染問題。蒙地卡羅法的優 點在於其適用於複雜的邊界問題，而缺點 為其所得結果因問題而異，因此無法用以 代表普遍的情況，且所需電腦運算工作繁 重，費用昂貴；再者數值上的誤差難以估 測。數學解析法的優點在於其結果為明確 的數學解，使用方便，尤適於處理水流及 污染問題初步篩選階段使用，且數學解析 結果可做為蒙地卡羅數值法有效性的驗 証，而其缺點為不適用於複雜幾何區域的 地下水問題。 本研究著重於序率數學解析解在地下 水問題方面應用之研究，目前地下水流及 污染傳輸的數學解析解多限於一階數學解 析擾動結果，且解答僅限於二個常用的土 壤水力係數的相關函數﹝指數型、高斯 型﹞﹝Dagan, 1989﹞，高階結果雖被研究 ﹝Hsu et al., 1996, Deng and Cushman, 1998, Hsu and Lamb, 2000﹞，但尚未被普遍使 用。實際地質資料卻顯示土壤介質的相關 函數往往不侷限於指數型、高斯型二種相 關函數﹝Hsu et al., 1998﹞，因此現有可用 的數學解答已不敷實際上使用的需要，有 必需尋求新的解答或是通解，方便序率理 論在地下水問題上的應用。本研究針對目 前序率理論的限制加以探討；使用數學方 法尋求推導序率水流與污染傳輸通解的可 能性，突破現有可用工具的限制。 三、 結果與討論 本研究使用二維極座標，推導求得二 點地下水流速度之協方差為 ] 4 cos ) ( W + 2 cos ) ( W 2 1 -) r ( 8 3 [ ó = ) ( 2 1 2 2 θ θ ρ φ r r J K u 2 2 g 11r ] 4 sin ) ( W + 2 sin ) ( W 4 1 -[ = ) 2 1 2 2 θ θ φ σ r r J K u 2 2 g 12(r ] 4 cos W -) ( 8 1 [ = ) 2 2 2 θ ρ φ σ r J K ( u 2 2 g 22 r 式中 ujk為一階擾動之水流速度協方差，Kg 為水力傳導係數之幾何平均， J 為流場平 均水流之驅使力，函數W1, 2可用相關函數 ñ 得到，其表示式為 r r r r) = ( )-2T( ) ( W1 ρ ) U( 2 3 -) T( 2 1 + ) ( 8 1 = ) ( W2 r r r r ρ r 在上二式中所使用的函數 T 及 U 為相關函 數 ñ 與兩點距離之積分函數，可由下二式 求得 r )d r ( r r = r r 0 ′ ′ ρ ′ 1 ∫ ) ( T r d r r r r r ′ ′ ρ ′ ∫ ( ) 1 = ) U( 3 0 4
使用三維球型座標，二點地下水流速 度之協方差推導求得為 } ) ø 4 cos + ø 2 cos 4 -(3 è 4 cos 64 W + ] ø 4 cos 16 W + ø 2 cos ) 4 W -2 W ( + ) W 16 3 + 2 W (-[ è 2 cos + ø 4 cos W 64 3 + ø 2 cos ) W 16 3 -2 W ( + W 64 3 + 2 W -ñ { = ) ( 7 7 8 4 6 4 7 6 4 5 3 2 2 g 11 φ σ 2 2 J K u r ] ) ø 4 cos ø 2 cos 4 + 3 -( è 4 cos W + ø 4 cos W + ø 2 cos W 4 W [ 64 ó = ) ( 7 7 6 5 2 2 2 2 g 22 φ J K u r ] ) ø 4 cos W -ø 2 cos W 4 -W ( è 2 cos + ø 4 cos W -ø 2 cos W 4 + W [ 16 ó = ) ( u 7 10 11 7 10 9 2 2 2 2 g φ J K 33 r )} ø 4 cos + ø 2 cos 4 -3 ( è 4 sin 64 W + ] ø 4 cos 32 W + ø 2 cos ) 8 W -4 W ( + W 32 3 + 4 W [-è 2 sin { ó = ) ( u 7 7 8 4 6 4 2 2 2 2 g φ J K 12 r
} ) ø 4 sin 2 1 -ø 2 sin ( è 3 cos 16 W + ] ø 4 sin W 32 3 -ø 2 sin ) W 16 3 + 2 W -( [ è cos { ó = ) ( u 7 7 6 4 2 2 2 2 g φ J K 13 r ] ) ø 4 sin -ø 2 sin 2 ( è 3 sin W + ) ø 4 sin W -ø 2 sin W 2 ( è sin [ 32 ó = ) ( u 7 7 6 2 2 2 2 g φ J K 23 r 輔助函數Ｗ為 r r r r) = ( )+T( ) ( W3 ρ r r r r) = ( )-3T( ) ( W4 ρ ) ( U 2 9 -) T( 2 13 + ) ( 3 = ) ( W5 r r r r r ρ ) U( 2 5 + ) T( 2 9 -) ( = ) ( W6 r r r r r ρ ) U( 2 35 -r ) T( 2 15 + ) ( = ) ( W7 r r r r ρ ) U( 2 5 -) T( 2 3 -) ( = ) ( W8 r r r r r ρ ) U( 2 9 + ) T( 2 5 -) ( = ) ( W9 r r r r r ρ ) U( 2 5 + ) T( 2 3 = ) ( W10 r r r r ) ( U 2 15 -) T( 2 3 + ) ( = ) ( W11 r r r r r ρ 函數 T 及 U 為 r d ) r ( ñ r 1 ) T( 0 2 ′ ′ ′ =
∫
r r r r r r r r r ′ ′ ′∫
ñ( ) d 1 = ) ( U 4 0 5 二維位移之協方差與延散係數可表示為 r d r r r r L L L )] U( -) T( [ ) ( V 3 = ) ( 2 11 -X 0 ∫ r d r r r r L L L )] U( 3 -) T( [ ) ( V 1 = ) ( 2 22 -X 0 ∫ 0 = ) ( 12 L X ( r d r r r = L D L 11 - U( )] ) T( [ V∫ 2 3 0 ) ( r d r r r = L D L 22 - 3 U( )] ) T( [ V ) ( ∫ 2 1 0 三維位移之協方差與延散係數可表示為 r r r r r L L L d )] U( -) T( [ ) -( V 8 = ) ( 0 2 11∫
X r r r r r L L L L d )] U( 2 -) T( [ ) -( V 1 = ) ( = ) ( 2 33 22 X∫
X 0 = ) ( = ) ( = ) ( 13 23 12 L X L X L X r r r r L d ] ) U( -) T( [ V 4 = ) L ( D 0 11∫
r r r r L 33 22 - 2 U( )]d ) T( [ V 1 = ) L ( D = ) L ( D 0∫
上述結果可應用於任何同向傳導係數 相關函數之地質場。本文將推導結果應用 於常用之四種類型之同向性傳導係數相關 函數：指數型、高斯型、球型及線型。結 果顯示於圖一～四。研究顯示在非均勻介 質中，三維縱向延散係數較二維結果快達 到終極漸值；而橫向延散係數則有較低之 最高值。此結果與污染傳輸在不同空間維 度非均勻介質之物理行為解釋相符合。 四、 計畫成果自評 本研究之內容依照原計畫指定項目進 行，順利達成預期目標、研究成果已著寫 英文論文兩篇，一篇已發表於中國工程學 刊 vol.２５（２）， pp.２１７－２２ ２，另一篇尚在審查中。 本研究主要成果為提出一階地下水流 速度協方差，污染位移協方差及其對應之 延散係數通用表示式。所求得之表示式可 用於任何穩定之同向地質水力傳導係數相 關函數，突破現有可用序率水流及污染傳 輸數學解析解的限制。 五、 參考文獻Dagan, G., Flow and transport in porous
formation, Springer-Verlag, 1989
Dagan, G. and S. P. Neuman, Subsurface flow and transport: A stochastic approach,
(International hydrology series),
Cambridge Uniu, Pr., 1997
Deng, F.-W. and J. H. Cushman, 1998, “Higher-Order Correction to the Flow Velocity Covariance Tensor, Revisited,”
Water Resources Research, Vol.34, pp.
103-106.
Gelhar, L., Stochastic subsurface hydrology,
Prince Hill, 1993
Hsu, K.-C., D. Jordan, T. N. Blandford, D. W. Reaber and J. L. Wilson, Evaluation of local-scale contaminant migration within a heterogeneous alluvial basis in the
southwest, National Ground Water Association 1998 annual convention and exposition, Las Vagas, Neuada, 1998
Hsu, K.-C. and S. P. Neuman, 1997, “Second-Order Expressions for Velocity Moments in Two- and Three-Dimensional Statistically Anisotropic Media,” Water Resources Research, Vol.33, pp. 625-637.
Hsu, K.-C. and G. L. Lamb, On the
second-order correction to velocity
covariance for two-dimensional statistically isotropic porous media, Water Resources Research, 36(1), 349-353, 2000.
Hsu, K.-C., D. Zhang, and S. P. Neuman, Higher-order effects on flow and transport in randomly heterogeneous porous media,
Water Resources Research, 32(3), 571-582,
1996
Neuman, S. P., and Y. –K. Zhang, 1990, “A Quasi-Linear Theory of Non-Fickian and
Fickan Subsurface Dispersion: 1.
Theoretical Analysis with Application to
Isotropic Media,” Water Resources
Research, Vol.26, pp. 887-902. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 L /λ D11 /λ Vσ 2 Exponential Gaussian Spherical Linear 圖一 二維無因次縱向延散係數隨無因次 污染運行距離之變化 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 L /λ D 22 /λ Vσ 2 Exponential Gaussian Spherical Linear 圖二 二維無因次橫向延散係數隨無因次 污染運行距離之變化 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 L /λ D11 / λ V σ 2 Exponential Gaussian Spherical Linear 圖三 三維無因次縱向延散係數隨無因次 污染運行距離之變化 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 L /λ Djj / λ V σ 2 Exponential Gaussian Spherical Linear 圖四 三維無因次橫向延散係數隨無因次 污染運行距離之變化
