數列與級數 03

(1)

第章

03

數列與級數

3-1

^{等差數列與等差級數}

重點一數列與級數的意義 1. 數列：

(1)定義：

由多個數所組成的序列。

(2)符號：

數列意義符號

1, , ,2 _n

a a  a

（較不正式）

第k 項為a 的有限數列 _k

（或稱為「有窮數列」）

1 n

ak k_

或簡記為 _a_k

1, , , ,2 _n

a a  a  第k 項為a 的無窮數列 _k

（或稱為「無限數列」）

k k 1

a ^_ 或簡記為 _a_k 2 1 1,2 2 1,2 3 1, ,       2   n 1,

（即1,3,5, ,2 n1,)

第k 項為2k1的數列

（即正奇數數列） ²^k^¹ ak 表示第 k 項為a 的數列，可以是有限項或無限項。一般不強調項數時均採用此_k 簡記法。

(3)相關名詞：

①一般項：

項數以變數表示的項稱為「一般項」。如a 、_k a 、_i a 、_j b 、_k b 、…等。 _i

②通式：

一般項與項數間的關係式稱為該數列的「通式」。如a_k 2k ，則1 2k1為 _a_k 的通式。

2. 級數：

(1)定義：

數列之和稱為「級數」。 (2)符號：

級數意義符號

1 2 n

a a a

（較不正式）有限數列 _a_k 前n 項之和 ₁

n k k

a





或簡記為S _n

1 2 n

a a   a  無窮數列 a_k 之和 _k^₁a^k





或簡記為_S 註

(2)

(2 1 1) (2 2 1) (2 3 1)        

(2 n 1)

  

（即1 3 5    (2n1)）

有限數列 ₂_k_₁ 前n 項之和

1

(2 1)

n

k







①有時會以S 表示數列的前 n 項和，如_n a_k 中S_n  a₁ a₂  a_n、 b_k 中

1 2

n n

S    b b  b 。

②

1 n

k k

a



 ^{中出現的「}Σ」為大寫的希臘字母，讀作「sigma」，在數學中常作為求和符 號出現。a 為一般項；Σ 下方的_k k  和上方的 n 表示項數 k 的範圍為 1 到 n 的1 所有整數，其中1 稱為 k 的下限、n 稱為 k 的上限。下限不一定要是 1，甚至可 以是0 或負整數，但不能大於上限，如 ² ₂

2 k k

a a





 ^、 ¹

1

2 2 ( 1) 2 0 2 1

k



      



^。

③關於無窮級數的相關內容，留待第四冊的積分單元再作介紹。

3. 求和符號Σ：

(1)性質：

設n 為正整數， a_k 、 _b_k 為數列。

①

1 1 1

( )

n n n

k k k k

k k k

a b a b

  

  

  

^，

1 1 1

( )

n n n

k k k k

k k k

a b a b

  

  

  

^。

②

1 n

k

c nc



      



^ ^。

② ² ² ² ² ²

1

1 2 3 1 ( 1)(2 1) 6

n

k

k n n n n



       



^ ^。

註

(3)

寫出下列數列的前4 項，並化至最簡：

(1) 3n2 (2) 2 3ⁿ 。 (1) 3n2 ：

3 1 2,3 2 2,3     3 2,3 4 2  ，即1,4,7,10 。

(2) 2

3ⁿ ： 2 2 2 2₁ ₂ ₃ ₄ , , ,

3 3 3 3 ，即2 2 2 2 , , , 3 9 27 81。

(1) 3n1 (2) 1 2

 n

 

  。 (1) 3n1 ：

3 1 1,3 2 1,3 3 1,3 4 1        ，即4,7,10,13。

(2) 1 2

 n

 

  ：

1 2 3 4

1 1 1 1

, , ,

2 2 2 2

       

       

        ，即 1 1 1 1

, , , 2 4 8 16

  。

類題 1

(1)  2n 1 (2) 2 1 n

n



 。

(1) 1, 3, 5, 7    (2)3 4 5 6 , , , 2 3 4 5 數列的定義

教師演示 1 基礎題學生練習 1

(4)

已知 ¹⁰

1 k 10

k

a





 ^、 ²⁰

11 k 30

k

a





 ^、 ¹⁹

1 k 42

k

b





 ^、

20 7

b   ，求(1) ²⁰

1

3 _k

k

a



 ⁽²⁾ ²⁰ 1

( _k 4)

k

b





 ^之值。

20 10 20

1 1 11

10 30 40

k k k

a a a

  

    

  

^，

20 19

20

1 1

42 ( 7) 35

k k

b b b

 

     

 

^，

20

1

4 20 4 80

k

  



^{，故所求為}

(1) ²⁰ ²⁰

1 1

3 _k 3 _k 3 40 120

k k

a a

 

    

 

(2) ²⁰ ²⁰ ²⁰

1 1 1

( _k 4) _k 4 35 80 45

k k k

b b

  

      

  

已知 ³¹

1 k 64

k

a





 ^、^a³¹ ^¹¹^、 ¹⁷

1 k 14

k

b





 ^、

30

18 k 21

k

b





 ^，求⁽¹⁾ ³⁰

1

2 _k

k

a



 ⁽²⁾ ³⁰ 1

( _k 1)

k

b





 ^之值。

30 31

31

1 1

k k

a a a

 

 

 

^^{64 11 53}^ ^ ^，

30 17 30

1 1 18

14 21 35

k k k

b b b

  

    

  

^，

30

1

1 30 1 30

k

  



^{，故所求為}

(1) ³⁰ ³⁰

1 1

2 _k 2 _k 2 53 106

k k

a a

 

    

 

(2) ³⁰ ³⁰ ³⁰

1 1 1

( _k 1) _k 1 35 30 65

  ^，求⁽¹⁾ ⁸⁰

1

( _k 1)

k

a





 ⁽²⁾ ⁸⁰

1

2 _k

10 11

5050 4995 2

1830 210 1620  。

1

1 2 3 1 ( 1)

2

n k

k n n n



      



^

Σ的性質

教師演示 3 進階題學生練習 3

(5)

類題 3

(1) ⁴⁰

1 k

k



 ⁽²⁾ ⁸⁰ 41 k

k



 ^。

(1)820 (2)2420

求1²2²   3²  20²之值。

1 20 21 41 2870

6    。

求出 ²⁴ ²

1 k

k



 ^之值。

24 2

1

1 24 25 49 4900

k 6 k



    



^。

類題 4

求1²2²  21²之值。

3311

重點二等差數列

1. 等差數列（算數數列、A.P.（Arithmetical Progression）的縮寫）：

(1)定義：

數列中任兩相鄰項的後項減前項的差均相等，稱該數列為「等差數列」，該差值稱為

「公差」。 (2)公式：

設 _a_n 為一等差數列，其首項為a 、公差為 d。則： ₁

①a_n  a₁ (n1)d。

②a_n a_m(n m d ) 。

2 2 2 2 2

1

1 2 3 1 ( 1)(2 1) 6

n

k

k n n n n



       



^

(6)

(3)等差中項：

①若a b c 成等差數列，則, ,

2 3

a c a b c b     

平均

中項。

（數列的平均數=對稱項的平均數=中項）

設公差為d，則a c  (b d) ( b d) 2 b、a b c   (b d)  b (b d) 3 b。

② 若 , , , ,a b c d e 成等差數列，則

2 2 5

a e b d a b c d e c         

平均

中項。

（數列的平均數 對稱項的平均數  中項）

同理，數列為7、9、11、…時亦有類似的性質。

設公差為D，則a e  (c 2 ) (D  c 2 ) 2D  c、b d  (c D) ( c D) 2 c、 ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) 5

a b c d e     c D  c D   c c D  c D  c。

③ 若 , , ,a b c d 成等差數列，則

2 2 4

a d  b c  a b c d  

平均

。（數列的平均數 對稱項的平均數）

同理，數列為6、8、10、…時亦有類似的性質。

設公差為D，則a d  (b D) ( c D)  。 b c

2. 等差數列的一般項：

(1)第 k 項為ak b 的數列為等差數列，其公差為a 。

2 1 (2 ) ( ) (2 1)

d a  a a b  a b   a a 。 (2)公差為 d 的等差數列，其第 k 項必為dk b 形式。

 

3 10

1

2 5 8 11 29 3 1

k

 k



    ^公差 ^ 



  ^，其中 ^{3 為公差、 1} 由首項 2 3 1    得1 到、Σ的上限 10 由末項 29 3 10    得到。 1

補充補充補充說明

說明

例

(7)

(1)等差數列中，首項為 20、公差為 3，求第 10 項。

(2)等差數列中，首項為 7、第 15 項為 70，求公差。

(1)設該數列為 a_k 、公差為d，

則a₁20、d 3。

10 1 (10 1) 20 9 3 47 a  a  d     。 (2)設該數列為 a_k 、公差為d，

則a₁ 、7 a₁₅70。代入a₁₅  a₁ (15 1) d

可得70 7 14d  ，化簡可得 9 d  。 2

(1)等差數列中，首項為 100、公差為–2，求第50 項。

(2)等差數列中，首項為 40、第 23 項為 29，

求公差。

(1)設該數列為 a_k 、公差為d，則a₁ 100、d  2。

50 1 (50 1) 100 49 ( 2) 2 a  a  d      。 (2)設該數列為 a_k 、公差為d，

則a₁ 40、a₂₃ 29。代入a₂₃  a₁ (23 1) d

可得29 40 22d  ，化簡可得 1 d   。2

類題 5

(1)等差數列中，首項為 17、公差為4

3，求第13 項。

(2)等差數列中，首項為32、第41 項為 48，求公差。

(1)33 (2)2

等差數列中，第4 項為 8，第 25 項為 71。求：

(1)公差 (2)第 32 項。

設該數列為 a_k 、公差為d，則a₄  、8

25 71

a  。

(1)由a₂₅ a₄(25 4) d可得_{71 8 21d}_{ } ，則d 3。

(2)a₃₂ a₂₅(32 25) d 71 7 3 92   。

等差數列中，第11 項為 37，第 33 項為 81。

求：(1)公差 (2)第 48 項。

設該數列為 a_k 、公差為d，則a₁₁ 37、

33 81

a  。

(1)由a₃₃ a₁₁(33 11) d 可得81 37 22d  ，則d 2。

(2)a₄₈ a₃₃(48 33) d 81 15 2 111   。 等差數列

等差數列

(8)

類題 6

等差數列中，第12 項為 10，第 30 項為 34，求第 72 項。

90

在2 和 32 之間插入 5 個數，使其成為一等差數列，求插入的第4 個數。

設該數列為 a_k ，由於共有2 5 7  項，

故a₁ 、2 a₇  、插入的第 4 個數為32 a 。₅ 由a₇  a₁ 6d可得 32 2

6 5

d    ，故a₅ a₁4d    2 4 5 22。

在4 和 16 之間插入 7 個數，使其成為一等差數列，求該數列的第6 個數。

故a₁ 、4 a₉ 16、該數列的第6 個數為 a 。 7

由a₉  a₁ 8d可得 16 4 3 8 2

d 

  ，

故 ₇ ₁ 3

6 4 6 13 a  a d     。 2

類題 7

在1 和 67 之間插入 98 個數，使其成為一等差數列，求插入的第 90 個數。

61

求4 和 20 的等差中項。

等差中項等於 4 和 20 的平均數，即 4 20 12

2

  。

設3a6為a1和7a3的等差中項，求實數 a 之值。

由題意知 ( 1) (7 3) 3 6

2

a a

a   

  ，

化簡可得a 。 7 a、b、c成等差數列，等差中項

2 b a c 等差數列

(9)

類題 8

求18 和 76 的等差中項。

47

設一等差數列由三數組成，且三數之和為 36，求此數列的第二項。

因三數的平均為36

3 12，故該等差數列的中項為12。

設一等差數列由三數組成，且三數之和為 63，求此數列的中間項。

因三數的平均為63

3 21，故該等差數列的中項為21。

類題 9

設三數可構成一等差數列的三項，且三數之和為27，求第二項。

9

重點三等差級數 等差級數：

設等差數列 a_k 的前n項之和為S ，則_n ¹ 2

n n

a a S  n 

平均

。

由於等差數列的平均數 對稱項的平均數 ¹ ² ¹

2 2

n n

a a a a _

   ，故

1 2 1

2 2

n n

n

a a a a

S  n    n   ^  

平均平均

總和總數總數

。令a_n  a₁ (n1)d代入



1



n 2 n

S n a a 可得 [2 ₁ ( 1) ]

n 2

S n a  n d 。註

說明

等差數列的平均數=對稱項的平均數=等差中項

(10)

設一等差級數共有 60 項，已知其首項為 2、

末項為179，求此級數之和。

2 179

60 5430

2

   。

設一等差級數共有70 項，已知其首項為 7 、末項為39，求此級數之和。

( 7) 39

70 1120

2

    。

類題 10

設一等差級數共有100 項。已知其首項為 1、末項為 133，求此級數之和。

6700

已知等差級數的首項為 21、公差為 3、項數為27，求總和。

1 21

a  ，_d _₃，_n_₂₇

27

27 [2 21 (27 1) 3]

S  2      27

120 1620

 2  

已知等差級數的首項為3、公差為 4，項數為 20，求總和。

1 3

a  ，d 4，_n_₂₀

20

20 [2 3 (20 1) 4]

S  2      10 [6 76] 820   等差數列前n 項和 [2 ₁ ( 1) ]

n 2

S n a  n  d 等差數列前n 項和 ¹

2

n n

a a S  n 

平均

(11)

類題 11

已知等差級數 2 1

16 16 17 3 3

  ，求到第 22 項的和為？

506

不大於 200 的正整數中，除以 3 餘 1 的數有幾個？其和為何？

除以 3 餘 1 的數為3 0 1 1   、 3 1 1  、…、3 66 1 199   共有_{66 1 67}_{ } 個，

其和為 (1 199)

67 6700

2

   。

不大於300 的正整數中，7 的倍數有幾個？其和為何？

7 的倍數為7 1 7  、_{7 2}_ 、…、

7 42 294  共有42 個，

其和為 7 294

42 6321

2

   。

類題 12

不大於300 的正整數中，5 的倍數有幾個？其和為何？

有60 個，和為 9150 等差數列前n 項和 ¹

2

n n

a a S  n 

平均

(12)

自我評量

1. 已知 ²⁹

1 k 56

k

a





 ^、^a³⁰ ^{ 、}² ²⁰

1 k 18

k

b



 ⁶⁰ ^。 ⁽³⁾ ³⁰

1

( _k _k)

k

a b



 



⁸⁸ ^。

2. 求出下列各式之值：

(1) ¹⁰⁰

50 k

k





 ³⁸²⁵ 。 (2) ³⁵ ²

1 k

k





 ¹⁴⁹¹⁰ ^。

3.(1)等差數列中，首項為 17、公差為8，則第21 項為 143 。 (2)等差數列中，首項為 31、第 19 項為 139，則公差為 6 。

4. 等差數列中，第 5 項為 38，第 21 項為 150。則：(1)公差為 7 ，(2)第 18 項為 129 。 5. (1)3 與 8 的等差中項是 11

2 。

(2)7 與2a1的等差中項是₂_a_₁，則_a為 5 。

6. 在 7 和 28 之間插入 6 個數，使其成為一等差數列，則：

(1)插入的第 3 個數為 16 。 (2)此數列之和為 140 。 7. 設三數可組成一等差數列，且三數之和為 45。求中間項是 15 。 8. 一等差級數有 7 項，中間項為 8，求總和為 56 。

9. 設一等差級數共有 100 項，已知其第 3 項為 42、第 98 項為 168，則此級數之和為 10500 。 10. 等差級數22 25 28  到第35 項的和為 2555 。

11. 不大於 200 的正整數中，除以 4 餘 2 的數有 50 個，其和為 5000 。

(13)

3-2

^{等比數列與等比級數}

重點一等比數列

等比數列（幾何數列、G.P.(Geometric Progression 的縮寫)）：

(1)定義：

數列中任兩相鄰項的後項與前項的比值均相等，稱該數列為「等比數列」，該比值稱為

「公比」。

由此定義可推得：等比數列的公比與各項均不為0。 (2)公式：

設 _a_n 為一等比數列，其首項為a 、公比為 r。則₁

1 1

n n

n m

n m

a a r



  



 

 。

n m 時a_n a_mr^{n m}^ 亦會成立，但關於負指數的內容要留待第三冊指數單元再做介紹。

(3)等比中項：

若a b c 成等比數列，則, , b² ac，即b  ac。須注意等比中項有 2 個可能。

根據等比的定義：公比 b c a b

  。因此b² ac，故b  ac。

(1)等比數列中，首項為 3、公比為–2，求第 10 項。

(2)等比數列中，首項為 2、第 7 項為 1458，求公比。

(1)設該數列為 a_k 、公比為r，則a₁ 、3 r 2。

10 1 9

10 1 3 ( 2)

a  a r ^      3 ( 512) 1536。 (2)設該數列為 a_k 、公比為r，則a₁ 、2 a₇ 1458。由a₇  a₁ r^{7 1}^ 可得 ⁶ ¹⁴⁵⁸ _{729 3}⁶

r  2   ，故r  。 3 設 _a_n 為一等比數列，其首項為a 、公比為 r。則₁

1 1

n n

n m

n m

a a r



  



 



說明註註註

教師演示 1 基礎題

(14)

學生練習 1

(1)等比數列中，首項為 1、公比為 4，求第 6 項。

(2)等比數列中，首項為 32、第 5 項為 162，求公比。

(1)設該數列為 a_k 、公比為r，則a₁ 、1 r 4。

6 1 5

6 1 1 4 1024

a  a r ^    。

(2)設該數列為 a_k 、公比為r，則a₁32、a₅ 162。由a₅  a₁ r^{5 1}^ 可得

4

4 162 81 3

32 16 2 r      

  ，故 3 r  。 2

類題 1

(1)等比數列中，首項為 4、公比為 3，求第 7 項。

(2)等比數列中，首項為1

8、第6 項為 128，求公比。

(1)2916 (2)4

等比數列中，第4 項為 2、第 9 項為 486。求：

(1)公比 (2)第 7 項。

設該數列為 a_k 、公比為r，

則a₄  、2 a₉ 486。 (1)由a₉ a₄r^{9 4}^ 可得

5 486 5

243 3

r  2   ，故r3。 (2)a₇ a₄r^{7 4}^   2 3³ 54。

等比數列中，第4 項為3、第11 項為 384。

求：(1)公比 (2)第 9 項。

設該數列為 a_k 、公比為r，

則a₄   、3 a₁₁384。 (1)由a₁₁a₄r^{11 4}^ 可得

7 384 7

128 ( 2) r  3    

 ，故r 2。

(2)a₉ a₄r^{9 4}^    ( 3) ( 2)⁵ 96。設 _a_n 為一等比數列，其首項為a 、公比為 r。則₁

1 1

n n

n m

n m

a a r



  



 



(15)

類題 2

等比數列中，第3 項為 4、第 6 項為 864。求：

(1)公比 (2)第 5 項。

(1)6 (2)144

在 192 和 3 之間插入 2 個數，使其成為一等比數列，求插入的第2 個數。

故a₁192、a₄  、插入的第 2 個數為3 a 。 3

由a₄  a₁ r^{4 1}^ 可得

6

3 3 1 1

192 64 2 r        ，故

1 2 1 2 4 r      。

因此 ₃ ₁ ^{3 1} 1 192 12 a  a r ^  16  。

在 2 和 486 之間插入 4 個數，使其成為一等比數列，求該數列的第3 個數。

設該數列為 a_k ，由於共有_{2 4 6}_{ } 項，

故a₁ 、2 a₆ 486、該數列的第3 個數為 a 。 3

由a₆  a₁ r^{6 1}^ 可得 ⁵ 486 ⁵ 243 3 r  2   ，故_r_₃。因此a₃  a₁ r^{3 1}^   2 3² 18。

類題 3

在64 和 486 之間插入 4 個數，使其成為一等比數列，求插入的第 3 個數。

216 設 _a_n 為一等比數列，其首項為a 、公比為 r。則₁

1 1

n n

n m

n m

a a r



  



 



(16)

在4 和 16 之間插入 1 數，使其成為一等比數列，求插入的數。

設插入的數為 x，則 4, ,12x 成等比數列。

因此公比 16

4 x

  x ，故x²  4 16 64 ，即x  64   。 8

求8 和 18 的等比中項。

設等比中項為 x，則8, ,18x 成等比數列。

因此公比 18

8 x

  x ，

故x²  8 18 144 ，即x 12。

類題 4

求2 和 50 的等比中項。

10

重點二等比級數 等比級數：

首項為a 、公比為 r 的等比級數，其前 n 項之和₁ ¹ ¹

1

1 1

( 1 )

1 1

( 1 )

n n

n

r r

a a r

S r r

na r

       

    

      

 



時時

。

已知一等比級數共有 10 項，且首項為 3、公比為2，求此級數之和。

210 1

3 3 1023 3069

2 1

  

     。

已知一等比級數首項為2、公比為 3，求此級數前6 項之和。

36 1 729 1

2 2 728

3 1 2

   

     。 a、_b、_c成等比數列，等比中項b  ac

等比數列前n 項和 ¹ ¹

1

1 1

( 1 )

1 1

( 1 )

n n

n

r r

a a r

S r r

na r

      

   

    

      

 



時時

(17)

類題 5

求 ⁸

1

1 2^k



k ^之值。

255 256

一等比級數的第 2 項為 14、第 5 項為 112，

則此級數前9 項之和為何？

設該級數第 k 項為a 、公比為 r， _k 則a₂ 14、a₅ 112。

由a₅ a₂r^{5 2}^ 可得 ³ 112 ³ 14 8 2

r    ，故r 。 2

代入a₂  a₁ r^{2 1}^ 可得 ₁ ² 14 2 7 a a

 r   。前9 項和

9 9

9 1

1 2 1

7 3577

1 2 1

S a r r

   

       。

一等比級數的第 3 項為 36、第 6 項為 972，

則此級數前6 項之和為何？

設該級數第 k 項為a 、公比為 r， _k 則a₃ 36、a₆ 972。

由a₆ a₃r^{6 3}^ 可得 ³ 972 ³ 36 27 3

r    ，故_r_₃。代入a₃  a₁ r^{3 1}^

可得 ₁ ³₂ 36 9 4 a a

 r   。前6 項和

6 6

6 1

1 3 1

4 1456

1 3 1

S a r r

   

       。

類題 6

在2 和 250 中間插入 2 個數，使其成為等比數列。則此數列之和為何？

312 等差級數前n 項和 ¹ ¹

1

1 1

( 1 )

1 1

( 1 )

n n

n

r r

a a r

S r r

na r

      

   

    

      

 



時時

(18)

已知一等比級數的首項為8、公比為 3、和為 2912，則該級數共有幾項？

設該級數第 k 項為a 、公比為 r、項數為_k n，則a₁8、r3。

由前n 項和 ₁ ¹

1

n n

S a r r

  

    

可得 3 1

2912 8

3 1

n

   ，

化簡可得3ⁿ 729 3 ，⁶ n6。

已知一等比級數的首項為 5、公比為 2 、和為855，則該級數共有幾項？

設該級數第 k 項為a 、公比為 r、項數為_k n，則a₁ 5、r 2。

由前n 項和 ₁ ¹ 1

n n

S a r

r

  

     可得_{855 5} ^{1 ( 2)}

1 ( 2)

  n

    ，

化簡可得( 2) ⁿ  512 ( 2)  ⁹，n9。

類題 7

已知一等比級數的首項為4、公比為 5、和為 3124，則該級數共有幾項？

5 等差級數前n 項和 ¹ ¹

1

1 1

( 1 )

1 1

( 1 )

n n

n

r r

a a r

S r r

na r

       

    

      

 



時時

(19)

自我評量 _評量

自我

1. 等比數列中，首項為 5、公比為3，則第6 項為 1215 。 2. 等比數列中，首項為 6、第 6 項為 18750，則公比為 5 。

3. 等比數列中，第 3 項為 12、第 6 項為 768。則：(1)公比為 4 ，(2)第 5 項為 192 。 4. 在 6 和 24 之間插入 1 數，使其成為一等比數列，則插入的數為 12 。

5. 3 與 27 的等比中項為 9 。

6. 已知一等比級數共有 5 項，且首項為 2、公比為 4，則此級數之和為 682 。 7. (1) ⁶

1

2 3^k



k ^之值為 ⁷²⁸₇₂₉ ^。 ⁽²⁾ ⁶ 1

2 3

k

k

  



  ^之值為 ¹³³⁰₇₂₉

8. 一等比數列的第 3 項為 36、第 6 項為 288，則(1)公比為 2 (2)首項為 9 。 9. 已知一等比級數的首項為 3、公比為 5、和為 2343，則該級數共有 5 項。

(20)

( Ｂ ) 1. 已知數列 a_k 的一般項為 ^k

k ，則a₉a₁₆  (A)2

7 (B) 7

12 (C) 7

25 (D) 25 144。 ( Ｄ ) 2. 已知 ³⁰

1 k 78

k

a





 ^、 ⁶⁰

31 k 23

k

a





  ^{，求} ⁶⁰

1

(4 _k 3)

k

a





 ^{之值？} (A)20 (B)28 (C)36 (D)40。

( Ｂ ) 3. 等差數列 4, 13, 22, 31, …的第 100 項為 (A)697 (B)895 (C)904 (D)1008。

( Ｃ ) 4. ⁸⁰

1

( 1)

k





  (A)3241 (B)3280 (C)3320 (D)3341。

( Ｃ ) 6. ³⁰

1

(2 )

k





 (A)820 (B)880 (C)930 (D)960。

( Ｃ ) 7. 設 a_k 為等差數列，且a_n    ，則公差為 (A)3 (B)1 (C) 22n 3  (D) 5 。 ( Ｂ ) 8. 等差數列中，第 12 項為 167、第 33 項為 398，則公差為 (A)9 (B)11 (C)13

(D)17。

( Ａ ) 9. 承上題，第 75 項為 (A)860 (B)880 (C)920 (D)960。

( Ｂ ) 10. 求 8 與 40 的等差中項 (A)16 (B)24 (C)26 (D)28。

( Ｄ ) 11. 在 0 和 202 之間插入 100 個數，使其成為一等差數列，求插入的第 80 個數為 (A)148 (B)152 (C)158 (D)160。

( Ｂ ) 12. 承上題，插入的 100 個數之和為 (A)9898 (B)10100 (C)10302 (D)10504。

( Ｄ ) 13. 設三數可構成一等差數列，公差為 3，且三數之和為 24，求三數之積為 (A)224 (B)242 (C)384 (D)440。

( Ａ ) 14. 已知等差級數的首項為 29、末項為 71、總和為 600，項數為 (A)12 (B)13 (C)14 (D)15。

( Ｂ ) 15. 不大於 200 的正整數中，除以 7 餘 3 的數的總和為 (A)2828 (B)2929 (C)3030 (D)3131。

( Ｂ ) 16. 等比數列 a 中，_k a₁96 、公比 ³

r 2 ，則 a 為 (A)243 (B)729 (C)1458 ₆ (D)2187

2 。

(21)

( Ｄ ) 18. 2 , 4, a , 16, b , 24 成等比數列，則 a b  (A)40 (B)24 (C) 24 (D) 40 。 ( Ｂ ) 19. 等比數列 a_k 中，a₃  ，4 a₅  ，則9 a 為 (A)6 (B)₄ 6 (C)13

2 (D) 13

 2 。 ( Ｄ ) 20. 在 64 和 729 之間插入 5 個數，使其成為一等比數列，則下列敘述何者正確？

(A)公比為3

2 (B)插入的第 1 個數為 96 (C)插入的第 3 個數為 216 (D)插入的第 4 個數為324。

( Ａ ) 21. ¹⁰

1

2 3

k

k



 (A)682 (B)1024

3 (D)784。

( Ｃ ) 22. 一等比級數的第 3 項為 24、第 8 項為 768，則此級數前 8 項之和為 (A)1348 (B)1426 (C)1530 (D)1682。

( Ｂ ) 23. 已知一等比級數的首項為 7、公比為 3、和為 2548，則該級數共有幾項？ (A)5 (B)6 (C)7 (D)8。

( Ｂ )24. 假設某地人口逐年遞減，平均每年人口均減少 10%。若當地在 2017 年的人口數為 20 萬，則到了2019 年後的人口數約為 (A)15 (B)16 (C)17 (D)18 萬。

( Ｄ )25.一等比級數有 10 項，首項為 4，公比為1

2，求總和 (A)255

128 (B)511

128 (C)729 128 (D)1023

128 。

( Ａ )26. 一等比數列有 6 項，首項為 2、公比為 ，求總和 (A) 3643  (B)354 (C)324 (D)304。

(22)

數列與級數 03

第 章

03