第四章

第四章

微分法 : ^{F  x ( )  ( ? )}

积分法 : ^{( ? )   f ( x )} 互逆运算

不定积分

二、 基本积分表

三、不定积分的性质

一、 原函数与不定积分的概念

第一节 不定积分的概念与性质

第四章

一、 原函数与不定积分的概念

引例 : 一个质量为 m 的质

点 , F  Asin t 的作

下沿直线运动 , v(t).

因此问题转化为 :已知 ( ) sin t , m

t A

v  _求 v(t)  ? 在变力

试求质点的运动速度 根据牛顿第二定律 , 加速度

m t F

a( )  t

m

Asin



定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x)

满足 F(x)  f (x) 或 dF(x)  f (x)dx, 在区间 I 上的一个原函数

.

则称 F (x) 为 f ( x)

如引例中 , t m

Asin _{的原函数有} cos t, m

 A  cost  3, m

A

问题 :

1. 在什么条件下 , 一个函数的原函数存在

?2. 若原函数存在 , 它如何表示

? 定理 1. 若函数 f (x)在区间I 上连续, 则 f (x)在 I 上 存在原函数

.

( 下章证明 )

初等函数在定义区间上连续

初等函数在定义区间上有原函数

, )

( )

( 是 的一个原函数

若 F x f x

定理 2. 则 f (x)的所有

原函数都在函数族 F(x)  C _{( C} 为任意常数 ) 内 证 : 1) .

的原函数 是 ( )

)

(x C f x

F 



) )

(

(F x  C 

  F(x)  f (x)

， 的任一原函数 是

设 ( ) ( ) )

2  x f x

) ( )

(x  f x



又知 F(x)  f (x) ]

) ( )

(

[  

 x F x  (x)  F(x)  f (x)  f (x)  0 故 (x)  F(x)  C₀ (C₀ 为某个常数)

即 (x)  F(x)  C_{0 属于函数族} F(x)  C . 即

定义 2. f (x) _在区间 I 上的原函数全体称为f (x)在 I 上的不定积分 ,





;

) (x

f ^— _{被积函数 ;} x

x

f ( )d ^— _{被积表达式 .} x _{— 积分变量}

若 F(x;)  f (x) , _则

C x

F x

x

f  



C 称为积分常数 不可丢 !

例如 ,







不定积分的几何意义 : )

(x

f _{的原函数的图形称为} f (x) x

x f ( )d



的平行曲线族 .

y

o ^x

x

的积分曲线 .

例 1. 设曲线通过点 ( 1 , 2 )

, 且其上任一点处的切线

斜率等于该点横坐标的两倍 , 求此曲线的方程 . 解 :  y  2x

x x y ^



  x²  C

所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有

 C

1² 2

1

 C

因此所求曲线为 y  x² 1

y

o x

) 2 , 1 (

o x

例 2. 质点在距地面x⁰ _处以初速 v₀ 力 , 求它的运动规律 .

解 : 取质点运动轨迹为坐标轴 , 原点在地面 , 指向朝 上 ,

) 0

0 x( x 

) (t x x  质点抛出时刻为 t  0, 此时质点位置为 x₀ , 初速为

设时刻 t 质点所在位置为x  x(t), _则 )

d (

d v t

x t ( 运动速度 ) t

v t

x

d d d

d

2

2   g ( 加速度 )

0 . v 垂直上抛 , 不计阻

先由此求v(t) 再由此求 x(t)

先求 v(t). , d

d  g t

由 v 知

t t

v( ) 



) 0

( v₀

v 

由 得C₁  v₀ , ) 0

(t t v v  g  再求 x(t).

t v

t t

x( ) 



) 0

( x₀

x 

由 得C₂  x₀ , 于是所求运动规律为

0 2 0

21

)

(t t v t x

x   g  

由 ( ) d

d v t

x t  gt  v₀ , _知 故

o x

) 0

0 x( x 

) (t x x 

x



d ) d 1

(



^

二、 基本积分表

从不定积分定义可知 :



d



^

或 C

x  



) 2

( F(x) F(x) _或





1

( kx  C ( k 为常数 )



2

( ^ _¹_1 x^1  C



3

( ln x  C x  0时

) 1 (



] ) ln(

[ )

ln

( x   x 

x

 1

 



) 4

( x

x arctan x  C



6

( sin x  C



8

(



或  arccot x  C

 



) 5

( x

x arcsin x  C _或  arccos x  C



7

(  cos x  C



9

(





10

( sec x  C



11

(  csc x  C



12

( e^x  C



13

( C

a a^x  ln

sh e^x 2e ^x x   ^

C x  ch



15

( sh x  C



14

( ch e^x 2e ^x

x   ^

例 3. 求 d .



解 : 原式

=

x x d³⁴



34 

  C x 



 3 ^31

例 4. 求



解 : 原式 =



3 1

4

x  C

三、不定积分的性质



1

x x

g x

f ( ) ( )]d [

.

2



推论 : 若 ( ) ( ) ,

1

x f

k x

f ⁿ _i

i





 _则

x x

f k

x x

f _i

n i

i ( )d

d ) (

1



 







k ( )d





 f (x)dx g(x)d x )

0 (k

例 5. 求



解 : 原式 =



2 ln(

) 2 (

e e ^x

 ln 2

5 2^x



e^x C

x  



 



 

 

2 ln

5 1

2 2 ln

 C

例 6. 求



解 : 原式 =







 sec²xdx dx  tan x  x  C 例 7. 求 d .

) 1

( 1

2 2

x x x

x



解 : 原式 = x x

x

x

x d

) 1

(

) 1

(

2



x dx 1

1



 x

x d



 x

arctan

  ln x  C

例 8. 求 d . 1 ²

4

x x



解 : 原式 = x x

x d

1

1 )

1 (

2



x x x

x d

1

1 )

1 )(

1 (

2 2









 ² ₂

1 d d

) 1

( x

x x x

C x

x

x   

 arctan

3 1 ₃

内容小结

1. 不定积分的概念

• 原函数与不定积分的定义

• 不定积分的性质

• 基本积分表 ^{( 见 P 18} 2. 直接积分法 :6)

利用恒等变形 , 及 基本积分公式进行积分 .

常用恒等变形方法

分项积分 加项减项

利用三角公式 , 代数公式 ,

 积分性质

2 , ch

x

x e

x e

 

 sh 2

x

x e

x e

 



思考与练习

1. 证明 ₂¹ e^2x , e^x sh x, e^x ch x . sh

ch 的原函数

都是 x x

e^x



2. 若e^x 是 f (x)的原函数, 则

d

)

2 (ln 



(P191 题 4)

提示 : f (x)  (e^x)  e^x e^ln x



 ) (ln x

f x

 1



C x 

 ²

2 1 提示 :

3. 若 f (x) _是 e^x _{的原函数 ,} 则



提示 : 已知

f  ) ( x  e

) 0

(x e C

f   ^x 

 ^

0

) 1

(ln C

x x

f   

x C x x

x

f ₀

2

1 )

(ln   

C x

x  C ln  1

0

4. 若f (x)

; sin 1

)

(A  x (B) 1 sin x;

的导函数为 sin x, 则 f (x) 的一个原函数 是 ( ) .

; cos 1

)

(C  x (D) 1 cos x . 提示 : 已知 f (x)  sin x

求 即

B

) ( )

(   f x x sin )

(

?

?

或由题意 f (x)  cos x  C₁ , _{其原函数为}



5. 求下列积分 :

cos . sin

) d 2 ( ) ;

1 ( ) d

1

(





提示 :

) 1

( 1 )

1 ( ) 1

1

( _{2 2 2 2}

x x

x

x  



x x

x

x ^{2 2 2}

2 cos sin cos

sin ) 1

2

( 

x

x ²

2 csc

sec 



x

x ²

2 cos

sin 

2

2 1

1 1

x x   ) 

(  x²  x²

6. 求不定积分 解：

. 1 d

3 1







 x

e e

x x

1 d )

1

( (e^2x  e^x 1) x

e

e ^{x x} 1)d ( ²  





C x

e

e ^x  ^x  

 ² 2 1

7. 已知





求 A , B .

解 : 等式两边对 x 求导 ,

得 

 ²

2

1 x x

2 2 2

1 1

x x x A

A   

1 x2

B

 

2

2

1

2 )

(

x

x A B

A





 



  

 2 1

0 A

B A











12 12

B A