明誠高中____學年度_____學期
一年___班 座號_____ 姓名：_____________
數學平時考 得分：
一、單選題：
( )1. 1 52＋1
42＋1等於下列哪一個選項？
(A) 1.01 (B) 1.05 (C) 1.1 (D) 1.15 (E) 1.21 答案：B
解析： 1
52＋1
42＋1＝ 42＋52＋52．42
52．42 ＝ 16＋25＋400
400 ＝ 441 400＝21
20 ＝1.05，故選(B)。
( )2. 將 3
7 化為循環小數，則小數點以下的第 2007 位數字為 (A) 2 (B) 4 (C) 5 (D) 7 (E) 8
答案：E 解析： 3
7 ＝0.428571¯¯¯ ，而 2007＝6×334＋3 故小數點後第 2007 位數字為 8 ( )3. 令a＝ 5 ，b＝3 11 ，c＝4 21 ，則三數大小關係為何？
(A) a＞b＞c (B) b＞c＞a (C) c＞a＞b (D) a＞c＞b (E) b＞a＞c 答案：A
解析：a＝ 5 ＝12 56
＝12 15625 b＝3 11 ＝12 114 ＝12 14641 c＝4 21 ＝12 213 ＝12 9261
∴ a＞b＞c
( )4. 有一分數 315a21
24 化為小數時為有限小數，則 a 之值有幾組解？
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 答案：B
解析： 315a21
24 為有限小數 315a21 為 3 的倍數 ( ∵ 24＝3．8＝3．23，分母是 2 或 5 的倍數 就可化成有限小數 )
3＋1＋5＋2＋1＝12，a 可以是 0，3，6，9 二、多選題：
( )1. 設a 為有理數，b、c 為無理數，下列何者必為無理數？
(A) a－b (B) ab (C) b＋c (D) bc (E) a÷b (F) b÷a ( a≠0 ) 答案：AF
解析：(A) 有理數－無理數為無理數 (B) 例如：0× 2 ＝0
(D) 例如： 2 × 2 ＝2 (E) 例如：0÷ 2 ＝0
(F) 無理數÷有理數（不為 0）為無理數 ( )2. 下列何者正確？
(A)設 x＋y，x－y 為有理數，則 x，y 均為有理數。
(B)設 a，b 為有理數，x，y 為無理數，若 a＋x＝b＋y，則 a＝b，x＝y。
(C)設 xy 為無理數，x－y 為有理數，則 x＋y 為無理數。
(D)設 x21，x17為有理數，則 x 為有理數 (E)設 x，y 均為有理數，則y
x 為有理數 答案：ACD
解析：(B) a＝2，x＝1＋ 2，b＝3，y＝ 2，a＋x＝b＋y＝3＋ 2但 a≠b，x≠y (D) x21
x17 ＝x4為有理數，( x4 )4＝x16為有理數，故 x＝ x17
x16 為有理數 (E) y＝0，x
y 不存在 (A)(C)(D)正確 三、填充題：
1. a，b，c 皆為負整數，則 a
| a | ＋ b
| b | ＋ c
| c | ＋ ab
| ab | ＋ bc
| bc | ＋ ac
| ac | ＋ abc
| abc | ＝_______。
答案：－1
解析：∵ a，b，c 皆為負整數 ∴ ab＞0，bc＞0，ac＞0，abc＜0 原式＝(－1 )＋(－1 )＋(－1 )＋1＋1＋1＋(－1 )＝－1
2. 若 x，y 是有理數且( 5－ 2 )x＋( 2－2 2 )y＝7－3 2 ，試求 x＋y＝________。
答案：2
解析：原式 ⇒ ( 5x＋2y )＋(－x－2y ) 2 ＝7－3 2 ⇒
5x＋2y＝7
－x－2y＝－3 ⇒
x＝1
y＝1 ⇒ x＋y＝2 3. 將 0.213 ＋1.32 化成最簡分數為________。
答案：169 110
解析：0.213 ＋1.32 ＝ 213－2
990 ＋1 32
99 ＝ 211
990 ＋ 1310
990 ＝ 1521
990 ＝ 169 110
4. 設 A＝ 6 ＋ 10 ，B＝ 5 ＋ 11 ，C＝ 7 ＋3，則三數中最大者為________。（僅填 A.B.C）
答案：C
解析：A2＝16＋2 60 ，B2＝16＋2 55 ，C2＝16＋2 63
∵ C2＞A2＞B2且 A，B，C 為正數 ∴ C＞A＞B 即 C 最大 5. 設 n 為正整數，則介於 1
10 與 1
11 之間的有理數，其形如 n
440 者共有________個。
答案：3 解析： 1
11 ＜ n 440 ＜ 1
10 40 440 ＜ n
440 ＜ 44
440 40＜n＜44 n＝41，42 或 43，共 3 個 6. 設 x，y 為有理數，若 ( 2x－y－3 ) 2 ＋( x－2y－1 ) 3 ＝0，則 x＝________。
答案：5 3
解析：因 x，y 為有理數，且 2 、 3 均為無理數⇒
2x－y－3＝0
x－2y－1＝0 解得 x＝5
3 ，y＝1 3 7. 設 x、y 為有理數，若 3 ( x＋2 3 )＋y ( 1－2 3 )＝0，則數對 ( x , y )＝________。
答案：( －12 , －6 )
解析：原式 3 x＋6＋y－2y 3 ＝0 ( 6＋y )＋( x－2y ) 3 ＝0
6＋y＝0 x－2y＝0 得 y＝－6，x＝－12，即 ( x , y )＝( －12 , －6 )
8. 有一個最簡分數，分子與分母的和為 70，將其化為小數並四捨五入後為 0.8，求此分數為____。
答案： 31 39
解析：設該分數為 x
70－x ，則 0.75 ≤ x
70－x ＜0.85，即3 4 ≤
x
70－x ＜17 20 由3
4 ≤ x
70－x ⇒ 3 ( 70－x ) ≤ 4x ⇒ 210－3x ≤ 4x ⇒ 30 ≤ x 由 x
70－x ＜17
20 ⇒ 20x＜17 ( 70－x ) ⇒ 37x＜1190 ⇒ x＜32.16… 故 30 ≤ x＜32.16…
∴ x＝30，31，32 x＝30 時，30
40 不是最簡分數 x＝32 時，32
38 不是最簡分數，故 x＝31 ∴ 所求＝31 39 9. 設| ax＋5 | ≤ b 之解為－1 ≤ x ≤ 6，則 a＋b＝________。
答案：5
解析：－1 ≤ x ≤ 6 ⇒ －1－5
2 ≤ x－5
2 ≤ 6－5 2
⇒ －7
2 ≤ x－5 2 ≤
7
2 ⇒ | x－5 2 | ≤
7 2
⇒ | 2x－5 | ≤ 7 ⇒ |－2x＋5 | ≤ 7 a＝－2，b＝7，a＋b＝5 10. 設a∈N，若 2＋ 1
6＋ 1 a＋ 1
5
＝ 803
371 ，則 a＝_______。
答案：12
解析：∵ 371 ＝2＋ 371 ＝2＋
371 61
＝2＋
6＋ 5 61
＝2＋
6＋ 1 61
5
＝2＋
6＋ 1 12＋ 1
5
∴ a＝12
四、非選題：
1. (1)將分數 112
56 ， 133
56 化成小數。
(2)不必經由除法運算，請寫出下列有理數中，化成“小數”時，哪些是“有限小數”，哪些不是有 限小數？ (a) 137
160 (b) 111
150 (c) 80 48
答案：(1) 2, 2.375；(2) (a)(b)是有限小數，(c)不是有限小數 解析：(1) 112
56 ＝2。 133
56 ＝ 7．19 7．8 ＝ 19
8 ＝ 19．53
23．53 ＝2375
1000 ＝2.375。
(2) (a)(b)是有限小數，(c)不是有限小數。
2. 將下列分數表成小數：(1) 320
99 。 (2) 133 990 。 答案：(1) 3.23¯¯ ；(2) 0.134¯¯
解析：(1) 3.232 99）320 297 230 198 320 297 230 198 32
故 320
99 ＝3.23¯¯
(2) 0.1343 990）1330 990 3400 2970 4300 3960 3400 2970 430
故 133
990 ＝0.134¯¯
3. 將下列各循環小數化成最簡分數：(1) 0.234¯¯¯ 。(2) 2.312¯¯ 。 答案：(1) 26
111 ；(2) 763 330
解析：(1) 0.234¯¯¯ ＝0.234234…＝ 234
1000 ＋ 234
( 1000 )2 ＋ 234
( 1000 )3 ＋…＝
234 1000 1－ 1
1000
＝234 999 ＝ 26
111
(2) 2.312¯¯ ＝2.3＋0.0121212…
＝2.3＋( 12 103 ＋ 12
105 ＋ 12
107 ＋… )＝23 10 ＋
12 1000 1－ 1
100
＝ 2289
990 ＝ 763 330
4. 設 x 為實數，求滿足 | x＋5 |＜2 的 x 的範圍。
答案：－7＜x＜－3，幾何意義：在數線上，實數 x 與－5 代表的點之間的距離小於 2 解析：我們分兩種情形討論：
( i ) 當 x ≥－5，則 | x＋5 |＝x＋5，由 | x＋5 |＜2 得 x＋5＜2，即 x＜－3，故知－5 ≤ x＜－3 (ii) 當 x＜－5 時，則 | x＋5 |＝－( x＋5 )，
由 | x＋5 |＜2 得－( x＋5 )＜2，x＋5＞－2，即 x＞－7，故知－7＜x＜－5 由( i )(ii)得 x 的範圍是－7＜x＜－3
幾何意義：
| x＋5 |＜2 表示在數線上，實數 x 與－5 代表的點之間的距離小於 2，如附圖所示：
5. 應用“實數的運算性質”計算 536×0.52－364×0.48＋364×0.52－536×0.48。
答案：36
解析：原式＝( 536＋364 )×0.52－( 364＋536 )×0.48＝( 536＋364 ) ( 0.52－0.48 )
＝900×0.04＝36。（運算律之活用）
6. 舉出滿足 2 ＜r＜ 3 的一個無理數 r，並說明 r 是無理數。
(2) 求滿足 2 ＜ k
10 ＜ 3 之所有整數 k。［提示： 2 ＝1.414…， 3 ＝1.732…。］
答案：(1) 1
2 ( 2 ＋ 3 )；(2) 15，16，17 解析：(1) 取 r＝ 1
2 ( 2 ＋ 3 )，則 2 ＜r＜ 3 。
並且 r 為無理數 ( 若 r 是有理數，則 2 ＋ 3 ＝2r 仍是有理數，產生矛盾 )。
(2) 因 2 ＝1.414…， 3 ＝1.732…， 14
10 ＜ 2 ＜ k
10 17
10 ＜ 3 k＝15，16，17。
7. 已知 a
b 是最簡分數，a 與 b 均為一位正整數，b 的倒數等於 b－3
9a＋1 ，求分數 a b 。 答案： 1
5 或 3 7
解析： 1 b ＝
9a＋1 b2－3b＝9a＋1
因為 9a＋1 並非 3 的倍數.所以 b 也不是 3 的倍數，又 b－3＞0，故將 b＝4，5，7，8 代入 合於條件的只有
a＝1
b＝5 或
a＝3
b＝7 ，故 a b ＝ 1
5 或 3 7
8. 計算下列各式，並將答案表成十進位數。(1) 0. 3 ＋0. 6 。 (2) 0. 3 ×0. 6 。 答案：(1) 1；(2) 0. 2
解析：(1) 0. 3 ＋0. 6 ＝3 9 ＋6
9 ＝1。(2) 0. 3 ×0.6 ＝3 9 ×
6 9 ＝1
3 × 2 3 ＝2
9 ＝0. 2 。 9. 設 a、b 均為實數，若 | ax＋1 | ≥ b 的解為 x ≥ 6 或 x ≤－2，求 a、b 之值。
答案：a＝－ 1
2 ，b＝2 解析：－2＋6
2 ＝2，x ≥ 6 或 x ≤－2 ⇒ x－2 ≥ 6－2 或 x－2 ≤－2－2，
即 x－2 ≥ 4 或 x－2 ≤－4，得 | x－2 | ≥ 4，
故 | 1
2 x－1 | ≥ 2，即 |－ 1
2 x＋1 | ≥ 2，於是 a＝－ 1
2 ，b＝2 10. 設a＝ 21 ，b＝ 21＋ 21 ，試問：
(1) a 最接近哪一個整數？說出道理。(2) b 最接近哪一個整數？說出道理。
答案：(1) 5，略；(2) 5，略
解析：(1) 42＜a2＝21＜52 4＜ 21 ＜5，又 ( 4＋5
2 )2＝( 4.5 )2＝20.25 4.5＜ 21 ＜5，a＝ 21 最接近 5。
(2) 21＋4 ＜b＝ 21＋ 21 ＜ 21＋5 5＜b＜ 26 ， 又 5.52＝30.25＞26，故 5＜b＜ 26 ＜5.5，b 最接近 5。
11. 已知 3 為無理數，試說明 2 3 為無理數。
解析： 設 2 3 為有理數，令 2 3 ＝q
p ，p，q 為整數，( p , q )＝1
⇒ 3 ＝ q
2p 為有理數，但 3 為無理數，所以假設錯誤，故 2 3 為無理數。
