8. 設△ABC 為一等腰直角三角形，∠BAC＝90°‧若 P，Q 為斜邊 ─ BC 的三等分

(1)

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1. 右圖是兩組平行線，且相鄰兩線的距離均相等‧

設｜ a ｜＝2，｜b｜＝1，夾角為 60°，下列選

項何者正確？ A AB＝a ＋3 b B CD＝ 3

2 a ＋ b C a ‧ b ＝2 D AB‧CD＝ 1

2 ^E｜CD｜²＝10‧

■^解：

A AB＝－2‧（ 1

2 a）＋3b＝－a＋3b B CD＝3‧（ 1

2 a）＋1‧b＝ 3 2 a＋b C a‧b＝｜a｜｜b｜cos60°＝2‧1‧ 1

2 ＝1 D AB‧CD＝（－a＋3b）‧（ 3

2 a＋b）

＝－ 3

2 ｜a｜²＋ 7

2 a‧b＋3｜b｜² ＝－ 3

2 ‧4＋ 7

2 ＋3＝ 1 2 E ｜CD｜²＝CD‧CD＝（ 3

2 a＋b）‧（ 3

2 a＋b）

＝ 9

4 ｜a｜²＋3a‧b＋｜b｜²＝ 9

4 ‧4＋3＋1＝13 故選B D

2. 坐標平面上，O 為原點，A，B，C，D，E 五點在直線 L 上，則下列何者內積值最大？ ^A OA‧OB B OB‧OB

C OC‧OB D OD‧OB E OE‧OB‧

■^解：如右圖

A OA‧OB＝｜OA｜cosθ‧｜OB｜＝─ OA'‧─

OB

B OB‧OB＝｜OB｜²

C OC‧OB＝｜OC｜cosθ‧｜OB｜＝─ OC'‧─

OB D OD‧OB＝｜OD｜｜OB｜cos90°＝0

(2)

E OE‧OB＝｜OE｜cosθ｜OB｜＝－─ OE'‧─

OB＜0

∵─ OA'＞─

OB＞─

OC' OA‧OB＞OB‧OB＞OC‧OB＞OD‧OB＞OE‧OB ∴OA‧OB 最大

3 坐標平面上有四點 O（0，0），A（－3，－5），B（6，0），C（x，y）‧今有一 質點在 O 點沿 AO 方向前進 ─

AO 距離後停在 P，再沿 BP 方向前進 2─

PB 距離後停在

Q‧假設此質點繼續沿 CQ 方向前進 3─

CQ 距離後回到原點 O，則（x，y）＝ ‧

■^解：利用平面向量坐標表示法，來計算向量的加法、

減法和係數積

已知 OP＝AO＝（3，5）

又 PQ＝2BP＝2（－3，5） OQ－OP＝（－6，10）

得 OQ＝OP＋（－6，10）＝（3，5）＋（－6，10）

＝（－3，15）

令 CQ＝（－3－x，15－y）

∵3CQ＝QO

3（－3－x，15－y）＝（3，－15）（x，y）＝（－4，20）

4. 若△ABC 的三頂點坐標為 A（2，5），B（5，1）及 C（3，7），P 為線段 BC 上 的一點，且 AP 在 AB 上的正射影向量為（ 6

25 ，－ 8

25 ），試求 P 點坐標為 ‧

■^解：OP＝t OB＋（1－t）OC ＝t（5，1）＋（1－t）（3，7）

∴P（2t＋3，7－6t）

AP 在 AB 上的正射影向量為 v＝（ 6

25 ，－ 8 25 ）

(3)

｜AP｜cosθ＝｜AP｜‧ AP‧AB

｜AP｜｜AB｜ ＝ 6t＋3－8＋24t

9＋16 ＝ 30t－5

5 ………○1 ｜v｜＝ 36

625 ＋ 64

625 ＝ 10 25 ＝ 2

5 ………○2 由○1、○²得 30t－5＝2 t＝ 7

30 ∴P 點坐標為（ 52 15 ，

28 5 ）

5. 設 A（4，3），B（6，8），O（0，0）為平面上之三點，令 C 點為 ─

OB 之中點，

且令 a ＝OA，b＝OB，則下列何者為真？ ^A向量 a ＋ b 的長度為 15

B內積 a ‧ b ＝48 C△OAB 的面積為 7 D A 點到直線 OB 的距離為 7 5 E AC＝（1，－1）

■^解：A a＝（4，3），b＝（6，8），a＋b＝（10，11），｜a＋b｜＝ 221 B a‧b＝48

C △OAB 的面積為 1

2 5²‧10²－48² ＝7 D 直線 OB 為 4x－3y＝0，d（A，OB←→

）＝ 7 5 E C（3，4），AC＝（－1，1）

故選B C D

6. 設 O 為坐標平面上的原點，P 點坐標為（2，1）；若 A，B 分別是正 x-軸及正 y-軸 上的點，使得 PA⊥PB，則△OAB 面積的最大可能值為 ‧（化成最簡分數）

■^解：設 A（a，0），B（0，b），則 PA＝（a－2，－1），PB＝（－2，b－1）

∵PA⊥PB PA‧PB＝0 （a－2）（－2）＋（－1）（b－1）＝0 2a＋b＝5 而△OAB 面積為 ab

2

(4)

由算幾不等式知： 2a＋b

2 ＞－ 2a‧b 5

2 ＞－ 2ab 25

4 ＞－2ab 25 16 ＞－

ab

2 ＝△OAB 面積，故最大值為 25 16

7. 如右圖，兩射線 OA 與 OB 交於 O 點，試問下列選項中哪些向量的終點會落在陰影區域內？

A OA＋2OB B 3

4 OA＋ 1

3 OB C 3

4 OA－ 1

3 OB D 3

4 OA＋ 1

5 OB E 3

4 OA－ 1

5 OB‧

■^解：令 P 在 ─

AB 上 OP＝（1－α）OA＋αOB

又 OQ＝t OP 且 t＞1，則 Q 落在陰影區 ∴OQ＝t（1－α）OA＋tαOB

係數和為 t（1－α）＋tα＝t＞1 A 1＋2＞1 B 3

4 ＋ 1

3 ＞1 C － 1

3 OB 與 OB 反向 D 3

4 ＋ 1

5 ＜1 E － 1

5 OB 與 OB 反向 故應選A B

8. 設△ABC 為一等腰直角三角形，∠BAC＝90°‧若 P，Q 為斜邊 ─ BC 的三等分

點，則 tan∠PAQ＝ ‧（化成最簡分數）

■^解：將△ABC 坐標化，取 A（0，0），B（1，0），C（0，1），

如右圖所示

∵C，Q，P，B 共線且 ─ BP：─

PC＝1：2，─ BQ：─

QC＝2：1

由分點公式分別得 AP＝ 2

3 AB＋ 1

3 AC＝ 2

3 （1，0）＋ 1

3 （0，1）＝（ 2 3 ，

1 3 ）

(5)

∵cosθ＝ AP‧AQ ｜AP｜｜AQ｜ ＝

（ 2 3 ，

1

3 ）‧（ 1 3 ，

2 3 ）

（ 2

3 ）²＋（ 1

3 ）² ‧ （ 1

3 ）²＋（ 2 3 ）²

＝ 2 9 ＋ 2

9 5

9 ‧ 5 9

＝ 4

5 ∴tanθ＝ 3 4

9. 設 ABC 為坐標平面上一三角形，P 為平面上一點且 AP＝ 1

5 AB＋ 2

5 AC，則 △ABP 面積

△ABC 面積 等於 A 1 5 ^B

1 4 ^C

2 5 ^D

1 2 ^E

2 3 ‧

■^解：令 AD＝t AP

則由已知得 AD＝t（ 1

5 AB＋ 2

5 AC）＝ t

5 AB＋ 2t 5 AC 因為 B，D，C 三點共線，所以 t

5 ＋ 2t

5 ＝1 t＝ 5 3 即 AD＝ 5

3 AP AP：PD＝3：2，又 BD：DC＝2：1，則 △ABP 面積

△ABC 的面積 ＝ 3

5 △ABD 面積 △ABC 面積 ＝

3 5 （ 2

3 △ABC 面積）

△ABC 面積 ＝ 2

5 △ABC 面積 △ABC 面積 ＝ 2

5 ,選C 10. 如右圖，ABCD 是平行四邊形，─

BF：─

FC＝1：1，

─CE：─

ED＝1：2，─

AE 交 ─

DF 於 P，設 BP＝xBA＋y BC，

求數對（x，y）＝ ‧

■^解：

1 BE＝BC＋CE＝BC＋ 1

3 CD＝BC＋ 1

3 BA ∴BC＝BE－ 1 3 BA ∴BP＝xBA＋y（BE－ 1

3 BA）＝（x－ 1

3 y）BA＋y BE ∵A，P，E 共線 ∴（x－ 1

3 y）＋y＝1

2 BD＝BA＋AD＝BA＋BC＝BA＋2BF ∴BA＝BD－2BF BP＝x‧（BD－2BF）＋y‧2BF＝xBD＋（－2x＋2y）BF ∵D，P，F 共線 ∴x＋（－2x＋2y）＝1

(6)

由1、²得



_x＋² 3 y＝1

－x＋2y＝1

  

^y＝³₄

x＝ 1 2

，故數對（x，y）＝（ 1 2 ，

3 4 ）

11. 設 A，B，P 三點共線，且 ─ AP：─

BP＝m：n，則下列何者正確？

A P 為 ─

AB 的內分點時，mPB＋nPA＝0 B P 為 ─

AB 的外分點時，mPB－nPA＝0 C P 為 ─

AB 的內分點時，OP＝ m OB＋n OA m＋n D P 為 ─

AB 的外分點時，OP＝ m OB－n OA m－n E 若 OP＝αOA＋βOB，則α＋β＝1‧

■^解：

P 為內分點時，mPB＋nPA＝0，OP＝ n OA＋m OB m＋n P 為外分點時，mPB－nPA＝0，OP＝ m OB－n OA

m－n ＝ n OA－m OB n－m 且 n

n－m ＋－m

n－m ＝1 故全選

12. 在坐標平面上的△ABC 中，P 為 ─

BC 邊之中點，Q 在 ─

AC 邊上且 ─ AQ＝2─

QC‧已知 ─ PA

＝（4，3），PQ＝（1，5），則 BC＝ ‧

■^解：

∵─ AQ：─

QC＝2：1 ∴PQ＝ 2

3 PC＋ 1 3 PA 而 BC＝2PC＝2‧ 3

2 （PQ－ 1

3 PA）＝3PQ－PA ＝（3，15）－（4，3）＝（－1，12）

(7)

13. P 為△ABC 內部一點，PA＋2PB＋3PC＝0，PA‧PB＝－4，PB‧PC＝－ 10 3 ， PC‧PA＝－2，則下列何者為真？ ^A｜PA｜＝ 14 B｜PB｜＝ 7

C ─

AB＝ 29 D△PAB＝ 82

2 ^E△ABC＝ 82 ‧

■^解：A PA‧（PA＋2PB＋3PC）＝0 ｜PA｜²＋2PA‧PB＋3PA‧PC＝0 ｜PA｜²＋（－8）＋（－6）＝0 ｜PA｜＝ 14

B PB‧（PA＋2PB＋3PC）＝0 （－4）＋2｜PB｜²＋3（－ 10 3 ）＝0 ｜PB｜＝ 7

C ─

AB＝｜AB｜＝｜PB－PA｜＝ ｜PB｜²－2PA‧PB＋｜PA｜² ＝ 7－2‧（－4）＋14 ＝ 29

D △PAB＝ 1

2 ｜PA｜²｜PB｜²－（PA‧PB）² ＝ 82 2 E PA＋mPB＋nPC＝0

△PAB：△PBC：△PCA＝ 1 m ： 1

mn ： 1 n ＝ 1

2 ： 1 6 ： 1

3 ＝3：1：2 △PAB＝ 1

2 △ABC＝ 82

2 △ABC＝ 82 故全選

(8)

14. 若 D 為△ABC 內部一點，且 2AD＋3BD＋CD＝0，且 AD＝x AB＋y AC，則：

1 數對（x，y）＝ ‧

2 △ABD 的面積：△ACD 的面積：△BCD 的面積＝ ‧

■^解：1 ∵2AD＋3BD＋CD＝0

∴2AD＋3（AD－AB）＋（AD－AC）＝0 ∴AD＝ 3

6 AB＋ 1 6 AC 數對（x，y）＝（ 1

2 ， 1 6 ）

2 ∴△ABD 的面積：△ACD 的面積＝1：3

相同方法可得△ACD 的面積：△BCD 的面積＝3：2

∴△ABD 的面積：△ACD 的面積：△BCD 的面積＝1：3：2

15. 平行四邊形 ABCD 中，E 在 ─

CD 上，─ DE：─

EC＝2：1，F 在 ─

AD 上，─ AF：─

FD＝2：3，

─BF 交 ─

AE 於 P，若 AP＝x AB＋y AD，則數對（x，y）＝ ‧

■^解：如右圖，延長 AE←→

交 BC←→

於 Q

∵△ADE ～ △QCE ─ AD：─

CQ＝─ DE：─

CE＝2：1 ─

CQ＝ 1 2

─AD

令 ─

AF＝2r，─

FD＝3r，則 ─ CQ＝ 1

2

─AD＝ 5 2 r 又△AFP ～ △QBP ─

PF：─ PB＝─

AF：─

BQ＝2r：（5r＋ 5

2 r）＝4：15 ∴AP＝ 4

19 AB＋ 15

19 AF＝ 4

19 AB＋ 15 19 ‧ 2

5 AD＝ 4

19 AB＋ 6 19 AD 故數對（x，y）＝（ 4

19 ， 6 19 ）