「數學史融入教學─以對數表為例」課後問卷分析
林倉億 國立台南一中
筆者在高一第一冊「3-5 指數與對數的應用」課程開始之初（2010 年 12 月下旬），以布里 格斯 (Henry Briggs, 1561~1630)求 的方法為主體，設計了一份學習單來引入對數表，並實際 在課堂上使用。學習單的內容與使用情形，亦寫成〈數學史融入教學─以對數表為例〉一文，刊 載於2010 年 12 月號的《HPM 通訊》上。而在「3-5 指數與對數的應用」課程結束之後（2011 年1 月上旬），製作了一份課後問卷（參見附錄），請學生填寫，作為自己教學後的一種檢視。
log 2
實施方式是利用某一節課將問卷發下，給一節課的時間寫（不強迫填寫），學生可以翻閱學 習單的內容，亦未禁止彼此討論。填寫時間最多就是一節課，先完成者就自習。總共發出40 份 問卷，收回37 份，其中又有 2 份只作答前兩題。問卷採不記名方式，收回後，筆者再將每份問 卷編號（與學生的座號無關）。
從學生填寫的回答中，發現有設計教材之初的預期效果，給予筆者繼續進行類似課程的信心 與動力，但也有出乎意料之外的影響，提醒在設計類似教材時，還要多加留意的地方。藉此文與 大家分享筆者所得到的收穫。
第一題：在這份學習單中，你印象最深刻的是哪些部分？ （至多選兩個）
(1) 巴比倫人的泥板 (2) 許凱的方法 (3) 納皮爾及他的對數 (4) 布里格斯的著作
《對數算術》與對數表 (5) 布里格斯求lo 的方法 (6) 對數表的使用（學習單中的例 題） (7) 內插法 (8) 對數與克卜勒的行星第三運動定律
g 2
此題的選項均為學習單中的內容，目的是要了解學生覺得學習單的哪些部分較為特別。統計 結果如下表：
選項 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
人數 3 6 15 5 21 6 7 5
如筆者先前所預期的，這份學習單的主角「布里格斯求lo 的方法」獲得近三分之二學生的青 睞。不過，「(3) 納皮爾及他的對數」竟獲得近一半同學的支持，筆者倒是感到十分不解，因為 它在整份學習單中所佔的比重並不大，不過，在看完學生下一題的回答後，終於豁然開朗。
g 2
1
第二題：你怎麼看待或評價布里格斯求log 2的方法，及他製作的對數表？
學生的回答大抵上可以分成幾類。第一類是佩服布里格斯的巧思，想到利用2 的位數來估 算lo 。經筆者統計，共有21 位學生表達了對布里格斯方法的讚許、佩服。例如：
編號 4：「真的滿厲害的，要不是有在課業上學習到求lo 的方法，我完全不知到還可以這麼做。」
編號9：「『天啊！好聰明的人！』在了解這方法後，心中馬上浮現這句話。在沒有各種儀器輔 助的幫助下，竟然可以計算出如此複雜的東西，且那不是隨便就能想出的方法，更是令 人稱奇啊！」
編號15：「過程複雜，但技巧令人耳目一新。」
編號24：「求法相當神奇，完全無法想到。」
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g 2
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第二類則是欽佩布里格斯製作對數表的毅力。例如：
編號 8：「他好強，沒算到「起瘋」，真是佩服佩服。」
編號16：「布里格斯花了很多年來運算，在那個沒有計算機的時代，竟然能算到那麼精準，由 此可見他的毅力真是十分地驚人！」
編號22：「他製作對數表時，沒有發瘋，真是厲害。」
編號32：「布里格斯在當時連計算機都沒有的狀況下，利用紙、筆及幾十年的時間，作出了精 準的對數表，可見他對數學有多麼大的熱情，堅持幾十年的這股意志也令人甘拜下風」
編號15：「原來求出對數表是如此辛苦，連用計算機的我們都算（按）的哇哇叫了，更何況是 親自計算的呢！」
有趣的是，整份問卷中共有四位學生用了「瘋」字來形容布里格斯製作對數表，很坦率地表達出 他們對布里格斯的毅力是感到不可思議的佩服。
2
用多了。」
為底的對數改成以10 為底， ，要不是布里格
斯把納皮爾那鳥數字改掉，我們現在學第三章就會是悲劇了！」
第三類與納皮爾有關。例如
編號17：「把它改成以 10 為底的對數，既簡單又好看，比之前的lo 以 為底的對數表好
編號18：「把原先納皮爾以
編號19：「幸好他改變了納皮爾先生以 7
g 1 10 7
造福後來的我們 1 10 7
1 10 為底，
為底的log 明
，才造福了後世的學生（謝謝！！）」
編號33：「我覺得他把對數表換成以 10 真是個 智の選擇，要不然我們現在算對數就 ……很 XX 了……（log1 107 7
10
N
這什麼鬼東西啊！？XD））」
3
，但卻很直接地表達出納皮爾的對數所帶來的震撼，無怪乎在問 卷的第一題中，會有那麼多人選擇「(3) 納皮爾及他的對數」。
？無論是知識上、情感上的、
正面的、負面的……等等均可，若有影響的話，請具體寫出。
這一題的 材時的辛勞有了回
報，也是繼續類似課程的最大動力。皇天不負苦心人，問卷上呈現的，大多是正向的意見。其中 一種是覺得學習對數變得比較有趣，例如
編號8：「在學習上多了一些趣味，比較不會讓人覺得死氣沉沉。」
編號9：「本來以為對數是背的東西，沒想到有這麼有趣的方法！！」
編號 ：「覺得這種課外活動有趣且有意義，不只知道 怎麼用，也能了解它的發展史，這是 從小到大未曾體驗過的經驗。」
編號33：「在我覺得這份學習單讓我了解到對數の發展史，我覺得收穫滿大的。」
編號3：「原本覺得對數只是來整學生，現在發現對數是很有用的。」
編號6：「我終於了解到對數表是一個大工程，有了對數表，各種天文、航海測量變得更便利，
要好好學習前人的方法。」
編號 ：「一開始我認為對數很抽象，但在完成此學習單後漸漸的了解其實對數就是工具。」
，除了多了一堆運算律和煩人的題目外，其實它蠻實用的。」
編號 ：「以前都把它當成一個沒有實用性的東西，後來才知道它這麼好用。」
編號30：「在知悉對數的起源後，不禁對數學家前輩多了許多敬意，為了使如此方便的運算方 法發揚光大，不惜花費青春歲月製作『對數表』。」
不過， ，這一類回答並不能全部歸功於學習單，因為問卷是在整個「3-5 指數與對數的
，學生們在另外的教材上做到了許多對數實際應用的題目（任何一本課 本、講義都有許多這種問題），這些應用問題也會增強他們認為對數是有用的認知。
編號2：「對數比較容易理解（跟前幾章節相比）。」
編號10：「使我更了解其中的內涵，也幫助我使用對數時更容易上手。」
編號 ：「看完了學習單後，覺得對數是比較好玩的數學，沒有什麼死背的公式，要套哪些公 雖然有些學生的用詞略嫌不文雅
第三題：完成這份學習單後，有沒有影響你對「對數」的看法
回答內容是筆者最為關心的，若能有正面的回饋，不僅是設計教
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另一種則是了解到對數表的製作的目的、辛苦，以及對數的有用。例如 log
11
編號13：「有了 14
憑良心說
應用」課程結束後填寫的
還有少數幾個學生認為這份學習單對他們的學習、理解對數有幫助。
log
17
4
心而已。」
直在腦海中響起，不斷地提醒自己：「僅就這些回答就認定這
最後，當然也有一些負面，或是非正面的回答，若將這些都視而不見的話，那才真的是「自 我感覺良好」。
編號
比較簡單，加速了天文學的進程，只是，我討厭它，對數，好多好難，好討厭。
式，就是只要算的時候小心他的陷阱而已，再來就是算的時候要小 編號19：「讓我更了解布里格斯等的想法，並對『對數』有了更深層的認識。」
編號27：「有，更了解對數。」
老實說，類似的回答對任何一位教師都是一種莫大的鼓勵，筆者也不例外。不過，筆者所受過的 數學教育訓練就像是警笛一樣，一
份學習單真的增進學生對對數的理解，這樣也未免太自我感覺良好了。應該要多做一些求證，比 如說訪談等，才能知道學生的回答是不是『真的』，又可以進一步知道學習單是『如何』增進理 解的。」想到這裡，一種莫名的疲憊感油然而生，轉而不禁佩服數學教育學家的辛苦、偉大。至 於筆者這樣小小的高中教師，偶爾的自我陶醉是很需要的，可以維持教書的熱情。
23：「log ─對數，一個看似簡單，但是影響廣泛的東西，有了它，天文學上很多的數字都
會變得 」
編號24：「令我更加了解對數的功用，稍微改變了原本嫌它麻煩的心情。」
編號28：「原來要成為現在的對數是那麼艱難的事，而它的影響卻如此深遠，雖然不喜歡它們，
但還是克制自己，少罵幾句好了。」
編號20、31：「沒有。」
：
第四題 完成這份學習單後，有沒有影響你對「數學」的看法？無論是知識上、情感上的、
正面的、負面的……等等均可，若有影響的話，請具體寫出。
將數學史融入教學，學生除了可以學到數學外，更可以多了歷史與人文的關懷，改變對數學 的看法。許多研究已經驗證上述的論點，問卷中的這一題並不是要做學術上的檢驗，僅是當作一 種回
去的學者建立的理論所構成，光只是學習就感覺非常困 的貢獻給後人，或許就是促成未來
多數數學觀念的產生，如同發明物，和人類需求有關，而了解它 饋資料的收集，自己參考而已。
編號1：「數學融入有趣的歷史故事可讓上課輕鬆不少。」
編號5：「現在所學習的"數學"是由過
難，何況是從無到有的過程。若是我們也能有一點點 科技發展的基礎。」
編號7：「有，對於數學的東西要了解它可以計算什麼題型，甚至是如何用於生活上的，讓數學 不只是應付考試用的。
的歷史就可以把數學生活化。」
5
下來會對許多有興趣的科目感到無聊，而用這種方法
而貢獻一生。」
份學習單讓我
。」
，想法又是什麼？」
很慶幸自己誕生在這個時代，
要去了解他。」
同樣地，仍是有另類的回答。
編號6：「有，原來數學知識深不可測，學得越多，越覺得恐怖。」
編號
就死去，也沒什麼享受到 後人景仰，真不知是幸還是不幸。」
：你希望以後能再有類似的學習單嗎？請用數字1~5 表示，數字越大代表越希望有再 次的學習單。
編號9：「有！我一直沒有利用數學的小故事 or 數學家創造公式……各種不同的有趣方法來學 習數學，之前"背"或"了解"，長期
不但會更專心的去聽課，且會對數學更加的喜愛！」
編號10：「我原本認為數學的各種概念是容易建構的，原來每一種在現代認為理所當然的概念 都需透過數學家努力的研究才能統整出來，甚至因此
編號11：「數學不再只是數學，而是融合了生活周遭事物。」
編號12：「以前算數學都只是背一些運算公式、理論，也不知道它怎麼來的，這 體認到數學的奧妙！」
編號15：「數學以這種方式呈現，的確能吸引我們的注意，也較能投入，讓我們了解數學的發 展、應用和較有趣的一面
編號23：「數學，不只是算，還有它的歷史一樣是很動人的，或許，想得到更多靈感，就該翻 開數學史，看看古人，怎麼算的
編號25：「數學不再只是計算，它融入了一些故事，讓無味的數學變得十分有趣。」
編號32：「透過這份學習單，更瞭解古人研究數學有多麼艱辛，
可以將過去數學家的智慧學起來，真的很幸運。」
其中編號17 最吸引筆者的目光：「有吧！他讓我比較喜歡去算數學了，尤其是log 的部分，他 影響了我對數學的看法，以前常逃避數學，現在看到數學都想
20、31：「沒有。」
編號28：「原來數學家那麼難當，花了自己的一生才創出公式，然後 人生和成就，只供
編號33：「唉！那時的人還真命苦，我整天算數學腦漿都乾了，他們竟然一生都在算= =，而且 還是手算，真是佩服他們的毅力啊！」
第五題
（限用正整數1、2、3、4、5）
就有回答此題的35
均是4.1，代表願意填寫問卷的學生，基本上都是期待 類似的教學活動，其中填「5」的學生有 15 位，低於 3
1 2 3 4 5 份問卷作統計（如右表），平
數字
人數 0 1 11 8 15
6
的只 這就是設計下一次類似教學活動的最大
以上就是問卷中五個問題的分析。整體說來，學生的反應屬於正向的，與筆者當初設計的目 的「希冀由此讓學生體驗到前人製作對數表的堅持與辛苦，然後，思考為何要花數十年的時間製 作它，它對當時的人們到底有什麼重要性？」算是相當吻合。不過，仍有一些筆者未考慮到的部 分，
最後，筆者在實施這份教材的時候，邀請一位實習教師進教學現場觀察，並在事後提出一些 意見。以下就是這位陳俊龍老師事後所寫的心得感想：
聽了老師的兩節課後，覺得這份學習單的優點是容易引起學生的學習動機，同時也給了學生 一個對數表是怎麼產生的歷史背景，同時每段內容後面都有問題與討論，可以加深學生的學 習印象，而且老師上課講解過程都蠻順暢清楚的，整體來說，我覺得學生可以學到東西。至
缺點的部分（筆者要求一定要寫） ，其實在上完這份教材後，我們有一起討
論，陳老師觀察到有部分學生雖然對教材還滿感興趣的，不過就只是自己看教材，並沒有跟著筆 者的節奏，也沒有注意聽筆者問了哪些問題、說了什麼。特別是到了後來用計算機求 的近
以上的分析或檢討，不僅是作為筆者下次教學的努力方向，也可以讓有興趣想要利用數學史 來教學的老師作為參考。
有1 位。無論學生們期待的理由為何，對筆者來說，
信心來源。
比如說，納皮爾的對數似乎成了「負面的」，這倒是抹煞了他的貢獻，以後有機會應該替他 平反平反。另外，學生可能對數學或對數產生的負向想法，下一次使用類似教材的時候，也要多 所留意。
於缺點，真的要雞蛋裡挑骨頭的話，我認為可以讓學生多點練習，像是除了算log7 以外，
也可以讓他們在課堂上算log3 等等之類的，或是那時上課老師有給他們分組算，那些組之 後也可以交換練習，我想這樣他們一定會更熟悉這部分的內容。
陳老師寫得比較含蓄
log 7 似值，有少數學生並未參與，而是發呆或是在做其他的數學練習題。陳老師提出的這些現場觀察，
的確是筆者當時所疏忽的，非常感謝他的提醒。
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錄
學習單之課後問卷 附
一、在這份學習單中，你印象最深刻的是哪些部分？ （至多選兩個）
(1) 巴比倫人的泥板 (2) 許凱的方法 (3) 納皮爾及他的對數 (4) 布里格斯的著 (6) 對數表的使用（學習單中 作《對數算術》與對數表 (5) 布里格斯求 log 2 的方法
的例題） (7) 內插法 (8) 對數與克卜勒的行星第三運動定律 二、你怎麼看待或評價布里格斯求log 2 的方法，及他製作的對數表？
三、完成這份學習單後，有沒有影響你對「對數」的看法？無論是知識上、情感上的、正面的、
負面的……等等均可，若有影響的話，請具體寫出。
四、完成這份學習單後，有沒有影響你對「數學」的看法？無論是知識上、情感上的、正面的、
負面的……等等均可，若有影響的話，請具體寫出。
五、你希望以後能再有類似的學習單嗎？請用數字1~5 表示，數字越大代表越希望有再次的學習
單。 （限用正整數 1、2、3、4、5）
