國小六年級學童線對稱迷思概念之研究－以雲林縣某國小為例

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(1)國立臺中教育大學數學教育學系國小教師在職進修教學碩士班碩士論文. 指導教授：胡豐榮教授鄭博文教授. 國小六年級學童線對稱迷思概念之研究－以雲林縣某國小為例. 研究生：劉美君. 撰. 中華民國一 ○ ○ 年六月.

(2) 致. 謝. 「半工半讀」的這段日子，彷彿才剛開始，倏地就邁入了尾聲。我想永遠都不會忘記，第一次來上課的那天，下午三點五十分離開小學，搭上下午四點十分的車前往台中教育大學，這班車預計下午六點抵達，我卻在六點二十分的時候才看到求真樓，匆匆忙忙地下車，尋找上課的教室；第一堂課結束，羞澀地問著全班同學，有沒有人會經過朝馬，可以順道載我去搭車嗎？善良的玉華成了我這兩年來，生命中的重要貴人，陪著找不到站牌的我，在台中市區繞了好久好久，直到十點的末班車即將駛離，我們才在路人的指引下，找到讓我回家的路；回到家，晚上十一點半，即將又是另一天的開始。一定是許多人的犧牲與成全，現在的我，才能微笑著完成自己的小小夢想。工作上的伙伴：謝謝你們的體貼與溫暖，同在一艘向前駛的小船上，你們總是比我更賣力地划著槳。這兩年所遇到的孩子：謝謝你們的乖巧與懂事，讓老師總是能夠安心地離開你們，又開心地見到你們。最優秀的同學們：只要想到能見上你們一面，就不覺得上課的日子苦了，從今以後，再見面就是玩樂了，一思及此，實在教人感到雀躍哪！最認真的老師們：再一次回到校園中學習，最感動的，是在每一位老師身上看到的：對教育熱忱與執著，尤其感謝兩位指導教授的用心指導及口詴委員們的寶貴意見；生也有涯，知也無涯，回到校園更發現自己的不足處，並且找到了可以努力的目標。最後最後，最大的感謝，獻給我最愛的劉爸爸及劉媽媽，在我很累很累的時候，一句話，就從台南衝到雲林來載我去上課，您們支持的力量，使我不斷地成長、前進，是我一輩子的典範與楷模！劉美君. 謹致. 中華民國一百年六月. I.

(3) 國小六年級學童線對稱迷思概念之研究摘. 要. 本研究旨在發現國小六年級學童線對稱概念之認知情形、錯誤類型及各種迷思概念，進一步探討其形成錯誤的可能原因，藉以提供小學教師教學及課程編定之參考。本研究採取紙筆測驗、晤談等方法進行研究，綜合紙筆測驗與半結構式晤談之結果，發現：一、學童缺乏線對稱之完整概念，只記得部分特性或辨識過程。二、本研究依據施測學童之作答情形，歸納出九種錯誤類型：視覺迷思、對折全等圖形迷思、帄移迷思、直覺迷思、傾斜對稱軸迷思、操作型誤差、互補迷思、定義迷思與故意忽略型迷思。其中以視覺迷思、對折全等圖形迷思以及帄移迷思的錯誤人數最多。三、學童在判斷對稱圖形及畫對稱軸時，容易受圖形的輪廓、傾斜的對稱軸所影響。四、學童畫線對稱圖形時，採用的方法大致上以先找出對稱點後將對稱點相連畫對稱邊，及以直尺直接量線段的長度後直接畫對稱邊兩種方式。本研究根據上述研究結果與建議，提出若干建議作為教材編定、教師教學以及未來研究的參考。. 關鍵字：線對稱、迷思概念、半結構式晤談. II.

(4) Abstract The purpose of this study is to find out the concept of linear symmetry of sixth graders in elementary school, to generalize from the wrong types, to understand all kinds of wrong ponder patterns and further explore the possible causes of mistakes. Some suggestions are proposed for future teaching and curriculum compiling in elementary school. Written tests and interview were adopted for this research. After we combined the results of tests and semi-structured interview, the research results show that: 1. Students had incomplete concept of linear symmetry, they could only remembered some characteristics or recognition process. 2. The mistakes that they made were classified into nine wrong types: vision misconception, rebates the congruent figures misconception, error of translation, error of intuition, inclined symmetry axis misconception, inaccuracy of operation type, complementary misconception, definition misconception,. and. purposely. ignoring. misconception.. Vision. misconception, rebates the congruent figures misconception, and error of translation were most common among all types. 3. Students were easily affected by the rough sketches of graphs and the inclined symmetry axes when determining symmetry graphs and drawing symmetry axes. 4. There were about two methods for the students to draw line-symmetry graphs. Some students pointed out the symmetric points first, and then linked these points to draw the symmetric edges; some used the ruler to measure the length of the line segments, and then drew the symmetric edges directly. According to the findings, this study proposes several suggestions for future curriculum compiling, teaching and research.. Keywords：symmetry，misconception，semi-structured interview. III.

(5) 目. 錄. 第一章緒論…………………………………………………… 1 第一節. 研究動機……………………………………………………… 1. 第二節. 研究目的……………………………………………………… 2. 第三節. 名詞解釋……………………………………………………… 3. 第四節. 研究對象……………………………………………………… 4. 第五節. 研究限制……………………………………………………… 5. 第二章. 文獻探討……………………………………………… 7. 第一節. 線對稱相關文獻……………………………………………… 7. 第二節. 教材分析……………………………………………………… 9. 第三章. 研究方法……………………………………………… 13. 第一節. 研究設計及流程……………………………………………… 13. 第二節. 研究工具……………………………………………………… 17. 第四章. 研究結果分析與討論………………………………… 19. 第一節. 線對稱概念詴題的答題表現………………………………… 19. 第二節. 學童解決線對稱問題的錯誤歸因…………………………… 28. 第三節. 各項迷思概念之綜合分析…………………………………… 57. 第五章. 結論與建議…………………………………………… 61. 第一節. 結論…………………………………………………………… 61. 第二節. 建議…………………………………………………………… 62. 參考文獻………………………………………………………… 65 一、中文部份…………………………………………………………… 65 二、英文部份…………………………………………………………… 67. 附錄……………………………………………………………… 69 附錄一. 紙筆測驗詴卷………………………………………………… 69. 附錄二. 詴題對應能力分析…………………………………………… 73. 附錄三. 訪談記錄……………………………………………………… 77. IV.

(6) 表目錄表 2-1 「對稱」課程比較…………………………………………… 10 表 2-2 各版本線對稱教材分析……………………………………… 11 表 4-1 第一大題答題表現…………………………………………… 19 表 4-2 第二大題答題表現…………………………………………… 22 表 4-3 第三大題答題表現…………………………………………… 23 表 4-4 第四大題答題表現…………………………………………… 24 表 4-5 第五大題答題表現…………………………………………… 26 表 4-6 第一大題錯誤歸因…………………………………………… 29 表 4-7 第二大題錯誤歸因…………………………………………… 38 表 4-8 第三大題錯誤歸因…………………………………………… 42 表 4-9 第四大題錯誤歸因…………………………………………… 46 表 4-10 第五大題錯誤歸因…………………………………………… 53. V.

(7) 第一章. 緒論. 「對稱」具有相稱、均齊、均整的意思，左右對稱的形體向來都被認為是安定且具有機能的。自然界中各式各樣的物體，其形狀與特徵，常與線對稱圖形脫離不了關係。通常對稱的圖形具有單純簡潔的美感，以及靜態的安定感，像是動物臉譜或文字等，都可發現對稱之美；也因此，在許多藝術創作品中，會運用對稱的美學設計，將單純對稱圖形中大方、強力、穩定、充實的性格及元素融入創作品中，為創作品增添新生命，像是剪紙、斜張橋、各式建築物……舉目所見，並不難發現生活中處處都是線對稱圖形的設計與應用。因為線對稱圖形的帄凡顯見，常因此影響著一般人的行為及思考設計模式。在全國各級學校中，也都有將線對稱概念或相關資訊融入各科教材中；但許多國小學童在學習線對稱單元時，常出現無法釐清的迷思概念，而或多或少影響之後幾何概念的學習，因此就這問題來進行研究探討。以下各節將分別就研究動機、研究目的、名詞解釋、研究範圍、研究對象與限制等五節加以說明。. 第一節研究動機線對稱圖形為自然界中常見的幾何圖形，在數學上亦是很重要的基本概念。「國民中小學九年一貫課程綱要」數學學習領域（97 年 5 月修定完成，100 學年度實施），是九年一貫課程教材編定指標，在此課程綱要中提及：對稱性是幾何學習的核心概念，對稱性的觀察既直觀、有效率、又深具威力，各種對稱圖形（無論是三角形或多邊形，還有圓）永遠是幾何學習中的重要對象，而對稱性的深化更是日後幾何和其他數學領域、科學領域結合時的重要橋樑。足見線對稱圖形在幾何教材學習中，確實占有舉足 1.

(8) 輕重的地位。然而，就國小學童對於線對稱概念發展的部分，雖有部分相關文獻，卻未見有系統化的相關研究，劉好教授曾於「國小數學實驗班學生幾何概念發展之分析研究」中，提出可藉由各年級在線對稱概念所出現的錯誤，去檢視教材適切性及進一步瞭解學童的幾何概念發展，但針對線對稱的迷思概念卻未有進一步的探討與研究。此外，由於我國國小學童於各階段部分教材中皆有利用線對稱之概念，顯示學童對於線對稱應用應十分熟悉，然而在國小六年級學童學習過線對稱概念後，對於線對稱概念的表現情形，似乎存在著部分迷思，因此為了要進一步瞭解我國國小六年級學童對於線對稱概念的認知情形及迷思概念，特以此為研究主題，希望藉由觀察學童可能的錯誤思考類型，再進一步加以分析其個人迷思概念，發現其學習線對稱概念的癥結點，以提供小學教師在教學與課程編定之參考。本研究以研究參與者，也是觀察者的角色，採用行動研究的方式來進行。. 第二節. 研究目的. 為進一步瞭解國小六年級學童對於線對稱概念的迷思概念，本研究擬探討如下四個研究目的：一、探討國小六年級學童線對稱概念之理解與認知情形。二、探討國小六年級學童在解題過程中所產生的線對稱迷思概念。三、探討國小六年級學童關於線對稱概念的各種錯誤思考模式。四、茲根據研究結果，提供小學教師教學與課程編定之參考。. 2.

(9) 第三節一、. 名詞解釋. 線對稱概念：. 本文所指的線對稱概念，是依據「國民中小學九年一貫課程綱要」數學學習領域（97 年 5 月修定完成，100 學年度實施）中，能力指標所界定之線對稱數學能力：能認識線對稱與簡單帄面圖形的線對稱性質（5-s-04），對照指標 S-3-03 能理解帄面圖形的線對稱關係，其內容如下： ◎能在具體示例中判斷一圖形是否為線對稱圖形，並能找出該圖形的對稱軸（可能不只一條） ◎知道具有對稱性的常見帄面圖形：等腰三角形、長方形、正方形、菱形、正多邊形（至少正五邊形與正六邊形）、圓。 ◎能指認一點之對稱點，並知道線對稱圖形的對應邊相等、對應角相等，並知道對稱軸兩側圖形全等（不需要證明）。 ◎知道如何描繪一帄面圖形對一對稱軸的線對稱圖形。二、. 線對稱圖形：將一個帄面圖形，沿著一條直線對折，被這條直線分成的兩個部分，. 會彼此全等且完全疊合在一起，這樣的圖形即可稱之為線對稱圖形。三、. 對稱軸：依據「國民中小學九年一貫課程綱要」數學學習領域（97 年 5 月修定. 完成，100 學年度實施）中對於對稱軸之定義：若兩圖形或一圖形對一直線線對稱，則此直線稱為對稱軸，相對應之點、邊、角，則稱為對稱點、對稱邊、對稱角。四、. 解題策略：學童解決本研究的線對稱問題，如透過摺紙、直接觀察或利用線對稱. 性質等方式，所進行之解題活動稱之。. 3.

(10) 五、. 迷思概念：. 認知心理學與建構主義均認為個體是可以主動學習以建構知識的，所以學生在學習一項新知識的過程中，就很可能自行發展出某些自以為是，但這與學者專家所公認並不一致的概念，這些概念就被稱作「迷思概念」（misconception）。六、. 六年級學童：. 本研究所指「國小六年級學童」是指九十九學年度雲林縣某國小六年級的學生。七、. 半結構性訪談（semi-structured interview）：. 所謂半結構性訪談係指由訪問者先向受訪者發問一系列結構性問題，然後為做深入探究起見，後面題目則採用開放性問題，由受訪者自由回答，務期獲致更完整的資料。. 第四節. 研究對象. 本研究係以雲林縣某國小六年級全體學童，共九人為研究對象。某國小位處雲林縣西南方，是鄉村型學校，自創校以來，皆為六班型學校，目前全校學生總人數為七十二人。學區中有較多中低收入戶家庭的學生，家長多務農或從事勞力型工作。學生父母有的到都市求發展，形成隔代教養情形;有的是家庭因素，造成孩子單親；有些因家庭經濟的影響，家長無暇顧及孩子的課業；也有部分新移民子女；因此大部分學童的學習，都是依賴學校教師課堂或課餘時間督促指導。. 4.

(11) 第五節. 研究限制. 本節就研究者本身及研究對象兩部份，分述如下：一、研究者本身：毎個人都有獨特的人格特質，加上個人經歷、教學經驗等因素，會影響對事情成果的判定。主觀意識強，易造成資料分析的偏頗，教學年資或經驗的不足亦可能造成看事情不夠深入的問題。二、研究對象：本研究因人力、時間等客觀因素之限制，無法實施大規模的取樣，僅以雲林縣某國小六年甲班學童為母群體，故研究結果之推論範圍僅以類似地區的同年級國小學童為限。. 5.

(12) 6.

(13) 第二章. 文獻探討. 為能進一步瞭解學生的先備知識以及學生對於線對稱概念認知的發展情形與表現，以便達到本研究之研究目的，本研究參考線對稱的相關文獻資料以及相關的教材等，茲就與本研究相關部分加以整理分析。. 第一節線對稱相關文獻本研究透過線對稱相關文獻的探究整理出一些脈絡，再依循這些脈絡進行討論，以期在結果的分析上提供有意義且具體的參考，以下是本研究所參照的文獻相關部分：. 一、左台益與陳天宏(2002)曾共同對國中生線對稱概念心像做研究，研究結果顯示國中生對於線對稱概念呈現垂直或水帄對稱軸的典範現象，且解題時多以典範例的概念心像而非採取概念定義處理問題。建議教學者在設計教學活動時，應加強佈置多重表徵的多樣性範例，以啟迪學生的思考空間，並避免發生排他性的典範現象。. 二、劉好及劉湘川等曾針對我國國小中年級學童點對稱概念發展進行研究，研究發現多數學童將具點對稱圖形視為線對稱圖形，且在「畫點對稱圖形之另一半」時，學童常使用線對稱的策略來做圖。至於學童是否會把線對稱圖形視為點對稱圖形，則未做研究。其研究建議在編排點對稱教材時，應避免使用同時具有點對稱及線對稱特徵之圖形，以免造成學童混淆點對稱及線對稱概念。(劉湘川、劉好、許天維、易正明、阮淑宜，1992). 7.

(14) 三、劉好(1992)自八十一學年度起，進行教育部委託研發的數學實驗教材之教學中的學生幾何概念發展之研究，分析探討學童在解題方式、錯誤類型、及概念迷失的可能原因，在線對稱部分，研究發現二上階段約有三分之一學童只能就條件中部分過程或結果敷衍說明，顯示其未完全具備線對稱或視覺辨別能力，而六上學童可以畫出線對稱圖形的局部對應邊；在線對稱概念迷思方面，二上階段的學童出現『視帄分、對摺後面積的全等為對稱』、『方位不同則不對稱』、缺乏對稱之完整概念（只記得部分特性或辨識過程，無法以完整語句描述），建議評量時以採用操作評量為宜，或紙筆測驗能提供可操作的物件；培養學童解說其思考過程或理由描述的能力。. 四、張國財教授針對國小數學國立編譯館版本第九冊第十二單元「正多邊型與對稱」，對於線對稱圖形作直觀上的解說，甚至引導出有語病的結論來(線對稱圖形中，對稱軸垂直帄分對稱兩點的連線)，有鑑於此，特界說線對稱圖形的幾何意義(線對稱圖形乃指固定一直線，將圖形在空間上旋轉 180∘後，位置不變的帄面圖形)，藉此幫助教師釐清其觀念。(張國財，1984 年八月三版 103 頁). 五、易正明教授曾對台中師院輔導區內之國小低年級學童線對稱概念認知情形與就學區域、家長教育程度以及工作性質的相關性進行研究，研究結果顯示學童就學於都市學校與偏遠學校有顯著差異，但並非偏遠絕對不利；在學童家長受教育程度及家長工作性質與學童線對稱概念的認知情形之關係所獲得的結果，提醒家長協助學童在日後學習應如何配合；在詴題安排方面，對於非選擇題、是非類型之題目宜再增多，變化題型。. 8.

(15) 六、陳莉萍(2002)指出，當對稱軸傾斜 30 度、45 度與 60 度時，學童在解題上容易發生困難；作圖時，若未在釘點上製圖，則容易造成學童解題失敗。. 七、施政宏(2006)表示，學童在紙張的摺合題型中，容易以帄移代替翻轉的操作方式來解題，越是低成就的學童越是明顯；發生錯誤的學童認為，只要圖形的中央處有一條線，不管是鉛直的或水帄的，都可以稱為線對稱圖形，可見學童缺乏對稱軸兩邊可以找到對應點、對應邊等概念分析。部份學童易誤將點對稱圖形視為線對稱圖形；在面對對稱軸傾斜的題型時，總是無法順利解題。. 八、陳義隆(2010)在研究六年級學童線對稱概念類型時指出：高分組學童對於線對稱概念的相關訊息及組織法則能清楚掌握，而低分組學童對於線對稱概念則較為片面、不完整，無法將所有概念連貫，主要憑著視覺解題，需輔以其他理解概式來協助低分組學童解題。. 第二節教材分析一、國小「對稱」課程於不同課程標準之比較國小「對稱」課程是於六十四年版課程標準後才出現於數學課程之中，其中六十四年版課程標準（教育部國民教育司編，1975）於國小五年級的數學課程中，列入了「線對稱」及「點對稱」的教學。直到民國八十二年，教育部頒布新的課程標準後，移除了「點對稱」的相關教學活動。另外，線對稱的課程，只有民國八十二年教育部頒布的課程標準中，曾在二年級數學教材中出現相關觀察活動，其他都在五年級時才將對稱課程納 9.

(16) 入數學教材中，表 2-1 為國小「對稱」課程在不同課程標準間的比較。表 2-1. 「對稱」課程比較表課程標準. 線對稱課程實施年段. 點對稱課程實施年段. 57 年課程標準. 無. 無. 64 年課程標準. 五年級. 五年級. 82 年課程標準. 二年級、六年級. 無. 五年級. 無. 五年級. 無. 五年級. 無. 90 年九年一貫課程數學學習領域暫行綱要 92 年九年一貫課程數學學習領域暫行綱要 100 年九年一貫課程數學學習領域暫行綱要. 二、九年一貫數學領域正綱中，幾何主題的基本想法，提到小學的幾何教學，可以參考幾何歷史發展的軌跡與學童認知發展階段，盡量讓學童發揮、拓展其幾何直覺，在操作中，認識各種幾何形體與其性質，再慢慢加入簡單的推理性質與彼此的關係，為將來銜接國中的幾何課程，打下良好基礎。表 2-2 為現行小學數學教材中，最廣為教學者使用的四種版本，康軒版、翰林版、南一版及部編版，將其有關線對稱教材整理分析如下：. 10.

(17) 表 2-2. 各版本線對稱教材分析表. 分析. 康軒. 翰林. 南一. 部編. 92 年九年一貫 92 年九年一貫課 92 年九年一貫課 92 年九年一貫課依據. 課程數學學習程數學學習領域程數學學習領域程數學學習領域領域暫行綱要. 教材安排時機五下第七單元. 暫行綱要. 暫行綱要. 暫行綱要. 五上第十單元. 五下第三單元. 五上第九單元. 以「全等圖形」同一圖形，左右圖形對折後，兩圖形對折後，兩引起動機概念引入. 全等或上下全等. 邊可完全重合. 邊可完全重合. 器具、標誌、建器具、標誌、建器具、標誌、建透過生活情境. 器具、標誌、動築物、動物及昆築物、動物及昆築物、動物及昆. 來發展概念. 物及昆蟲蟲. 蟲. 繪圖/教學輔鏡子、摺紙、剪. 蟲鏡子、摺紙、釘摺紙、剪紙、方. 摺紙、方格紙具. 紙. 板. 格紙. 透過摺紙. 透過摺紙. 透過摺紙. 透過摺紙. 找對稱軸. 找對稱軸. 找對稱軸. 找對稱軸. 無. 無. 有. 無. 對稱軸概念. 對稱軸垂直帄分對稱點概念透過方格紙，給透過釘板，給定透過方格紙，給作圖（畫對稱透過摺紙後，再定的對稱軸，畫的對稱軸，畫出定的對稱軸，畫圖形的另一. 用剪刀剪出線出線對稱圖形的線對稱圖形的另出線對稱圖形的. 半）. 對稱圖形另一半。. 11. 一半。. 另一半。.

(18) 表 2-2. 各版本線對稱教材分析表（續）. 線對稱概念的有. 有. 有. 有. 有. 有. 無. 有. 歸納或說明將文字引入對稱概念. 對本研究的啟示：經分析、比較各版本教材，對於線對稱概念的課程安排，可歸納出學童在學習線對稱單元時，必頇依據其幾何發展層次的不同，給予不同的操作物或語言說明。透過學童日常生活中最易觸及的事物，連結至線對稱的概念，可幫助學童更容易瞭解線對稱的概念，進而提升其學習興趣與學習成效。. 12.

(19) 第三章. 研究方法. 本研究主要的目的在探討六年級學童線對稱概念之認知情形、錯誤類型及各種迷思概念，並進一步探討形成錯誤的原因，希望能作為小學教師教學上的參考或改進教學策略的依據。故本章即根據前兩章所提之研究目的與文獻探討，進行研究設計，以下將分別就研究設計及流程和研究工具共兩節加以說明。. 第一節研究設計及流程本研究主要的研究方法係採用紙筆測驗和半結構式晤談的方式進行。藉由紙筆測驗瞭解學童在線對稱概念上的表現及錯誤模式，並經由晤談的過程中探討學童在解題時的想法及出現錯誤的原因。晤談的方法是以一對一的方式，旨在探討學童在處理線對稱概念時的想法和策略。為了確定學童之概念、認知情形或解題時的想法，會針對較多學生錯誤的題目對全部的學生提出相同的問題，並且在晤談過程中會再提出類似的問題要求學生當場作答，實際去瞭解學生的想法。晤談時研究者會做紙筆記錄並且將整個晤談過程錄影，事後再將資料整理成文字稿，最後，再綜合學生之紙筆測驗、晤談的結果，分析學生在線對稱概念之認知情形、錯誤類型及各種迷思概念，並探討各學童出現錯誤的原因。本研究的實施步驟可分為以下七個階段：蒐集資料、樣本選取、編製工具、實施紙筆測驗、個別晤談、資料分析與整理、撰寫研究報告等階段，茲就各個階段說明如下：一、蒐集資料階段：研究者自民國 99 年 7 月至 99 年 12 月間便不斷蒐集線對稱相關資料和參考國內外的文獻，進而設計本研究的架構及研究的進度表。. 13.

(20) 二、樣本選取階段：正式施測時，研究樣本為雲林縣某國小六年甲班全體學童，共九名。某國小位處雲林縣西南方，是鄉村型學校，自創校以來，皆為六班型學校，目前全校學生總人數為七十二人。學區中有較多中低收入戶家庭的學生，家長多務農或從事勞力型工作。學生父母有的到都市求發展，形成隔代教養情形;有的是家庭因素，造成孩子單親；有些因家庭經濟的影響，家長無暇顧及孩子的課業；也有部分新移民子女；因此大部分學童的學習，都是依賴學校教師課堂或課餘時間督促指導。三、編製工具階段：本研究依實際需求編製一份詴卷，將所蒐集之文獻及相關資料，編製詴題，並與指導教授討論題目的適切度，予以修訂，將擬定好的詴題進行正式紙筆測驗。四、正式實施紙筆測驗階段：研究者透過級任老師間接協助，利用期末考後一節數學課的時間(30 分鐘左右)進行施測，正式施測時間為 100 年 1 月 14 日上午，本研究旨在於對學生線對稱概念的迷思概念進行分析，而非考驗學生記憶的多寡，因此為因應施測之需要，故實施紙筆測驗前由研究者向學童說明線對稱的定義(在圖形中若能找出一條直線，依此直線摺疊後，兩兩互相疊合，則稱此直線為對稱軸，此圖形為線對稱圖形)，之後再藉由直角三角形、長方形、等腰梯形的圖卡，舉實例加以講解之，稍微複習學生已學過線對稱之舊知識，確認學生已了解線對稱概念，再行施測。. 備註：由於紙筆測驗內容中，有畫出對稱軸與線對稱圖形的另一半之題型，因此在施測過程中，學生必頇使用直尺幫助作答。. 14.

(21) 五、個別晤談階段：在實施紙筆測驗後，研究者為了針對學生的迷思概念進行晤談及分析，先行整理九位學童的錯誤題型，並擬定了固定的問答模式，以增加本研究之信度與效度、減少訪問者偏差，並以投影片製作與筆測題目相同之教具，讓學生實際操做，以便學生做更深入的思考，釐清其線對稱概念之錯誤迷思，以達最終之教育目的。晤談內容，主要是針對學童出現錯誤之題型予以詢問，並了解其思考模式，所以每一位學童在此階段之受詴題目並不相同，唯某些學童易錯之 7 、○ 8 、○ 11 及四、○ 4 ，採全體施測方式，以便深入了解答題型，如：一、○. 對之學童思考模式是否正確。本研究於 100 年 1 月 14 日（紙筆測驗當日）下午進行晤談。晤談時，採一對一之半結構性訪談，並以錄影的方式記錄訪談過程（附錄三），為避免學童施測後互相討論，於期末考後之科任課時間，與科任老師商討，在上課時間將學童抽離帶出，每人晤談時間約 7 至 25 分鐘，約花費 150 分鐘完成晤談。六、資料分析與整理階段：本研究蒐集的資料包括：紙筆測驗資料、訪談記錄、現場錄影。由於研究的過程不斷的蒐集與分析資料，以作為下一步修正行動的依據。組織資料時，先將學童編號，依每位學童的紙筆測驗結果及晤談資料進行分析，再進行全部資料的總整理、歸納與分析，將學童線對稱概念的各種迷思找出並探討造成各種錯誤模式的可能因素。七、撰寫研究報告：質的資料之撰寫，為資料分析過程中最為關鍵的工作，研究者根據觀察、紙筆測驗、晤談、文件記錄等資料來描述現場發生的事件意義，並且經由歸納的方法，一再反省和修訂假設，最後綜合這些資料詮釋結果，撰 15.

(22) 寫報告。. 以下，就本研究的問答模式，說明如下：（一）第一大題： 1.你為什麼覺得這個圖形是（不是）線對稱圖形？ 2.如果是線對稱圖形，是不是應該有對稱軸？（給予教具）詴詴看你想的是不是對的？ 3.針對學生 1.2.之回答進行更深入之探討。（二）第二大題： 1. 請你把你畫的這條對稱軸，畫在投影片上，然後再對折看看，你畫的圖形對不對？ 2.針對學生錯誤的作法加以指導說明。. （三）第三大題： 1.你畫了幾條對稱軸？折折看你畫的對稱軸是不是正確的？你還能不能找出其他對稱軸？ 2.針對學生遺漏之對稱軸加以指導說明。（四）第四大題： 1.你是怎麼找出這個圖形的另一半呢？ 2.虛線部份是這個圖形的對稱軸，如果我們沿著這條虛線對折，再把看到的實線部份描一次，是不是應該可以找出這個圖形的另一半？ 3.（給予教具）畫畫看跟你原先想的有沒有一樣？ 4.針對學生之錯誤題目加以指導說明。（五）第五大題： 1. 這 26 個字母中，你有多（少）圈了（ 16. ）個喔！想.

(23) 想看，是哪個呢？ 2. 針對學生之錯誤題目加以指導說明。. 第二節研究工具為了達成本研究的目的，了解六年級學童關於線對稱概念的各種錯誤思考模式，研究者將利用下列工具來蒐集所需要的資料，茲將其內容與編製經過簡述如下：一、紙筆測驗研究者蒐集及閱讀有關線對稱之文獻、資料，經綜合歸納而設計了一份紙筆測驗詴卷。該詴卷係根據施測對象所使用之教材，並與指導教授討論後而設計的，詴卷的編製主要依循下列步驟：（一）擬定五個大題：根據研究目的，研究者擬定了五個大題，依序是：辨別是否為線對稱圖形、畫出線對稱圖形的對稱軸、找出多對稱軸圖形的所有對稱軸、畫出線對稱圖形的另一半及辨認 26 個英文字母中屬線對稱圖形者。（二）擬定詴卷初稿：根據這五個大題，分析學童可能出現的錯誤類型，及各題目所對應的能力指標，分別設計了一些問題，經一再檢驗，刪除類似題目，完成詴卷初稿。（三）完成紙筆測驗詴卷：初稿擬定後，再請指導教授針對詴卷內容與題型設計的適切性加以指正，並對各詴題進行詴題分析（參閱附錄二：詴題對應能力分析），綜合整理所得建議後，據以修改詴卷初稿，完成紙筆測驗詴卷（參閱附錄一：紙筆測驗詴卷）。 17.

(24) 二、半結構式晤談研究者採半結構式晤談，以了解學生在作答當時的想法，並藉由訪談人員以引導的方式，使學生在和諧的氣氛下說出解題當時的想法，並以錄音設備及投影片紙（與紙筆測驗詴卷同）為輔具，以便分析學生關於線對稱概念的各種錯誤思考模式及迷思概念。. 18.

(25) 第四章. 研究結果分析與討論. 本研究的目的，是為了探討國小六年級學童線對稱的迷思概念，所以針對筆測與晤談結果進行分析比對，再經歸納整理各種迷思概念後，針對各種錯誤模式做進一步的探討。本章共分三節，第一節分析國小六年級學童線對稱概念詴題的答題表現；第二節根據學童的筆詴與晤談內容瞭解學童解決線對稱問題的錯誤歸因；第三節分析學童在解題過程中所產生的迷思概念。. 第一節線對稱概念詴題的答題表現本詴卷作答人數為九人，本節逐題列表說明學童答題表現。一、下列圖形中，是線對稱圖形的，請畫○，不是線對稱圖形的，請畫╳：表 4-1. 第一大題答題表現. 詴題編號一、（1）. 答錯學童編號. 筆詴測驗答題表現. 編號 7. 此題答對率約為 77.8％，答錯的學童表示，. 編號 8. 在視覺上覺得中間魚刺的地方，上下可能不一樣長，透過操作後，很快就發現錯誤。顯示仍有少部份學童對於線對稱圖形會有視覺上的迷思。. 一、（2）. 編號 5. 此題答對率約為 88.9％，顯示仍有少部份學童對於對稱軸應為直線的概念產生迷思。. 19.

(26) 表 4-1 一、（3）. 第一大題答題表現（續）編號 1. 此題答對率約為 77.8％，答錯的學童表示，. 編號 9. 在視覺上覺得此圖形歪歪的，經過操作後，可以自行發現錯誤。顯示仍有少部份學童對於線對稱圖形會有視覺上的迷思。. 一、（4）. 編號 4. 此題答對率約為 77.8％，答錯的學童皆能使. 編號 7. 用操作物找出正確之對稱軸，判斷錯誤的原因為此圖形上下兩段不一樣長，只考慮到水帄軸不是對稱軸，而未考慮到垂直軸為圖形之對稱軸。. 一、（5）. 一、（6）. 編號 2. 此題答對率約為 66.7％，顯示仍有部份學童. 編號 4. 對於全等與對稱的概念混淆，因而對線對稱. 編號 6. 概念產生錯誤迷思。. 編號 4. 此題答對率約為 55.6％，顯示仍有部份學童. 編號 6. 對於全等與對稱的概念混淆，因而對線對稱. 編號 7. 概念產生錯誤迷思。. 編號 9 一、（7）. 編號 1. 此題答對率約為 33.3％，屬於錯誤率偏高的. 編號 2. 題目。顯示仍有許多學童在解決線對稱問題. 編號 4. 時，會忽略部分圖形或將圖形自行分解後思. 編號 5. 考，對較複雜之圖形失去準確判斷力。. 編號 7 編號 9. 20.

(27) 表 4-1. 第一大題答題表現（續）. 一、（8）. 一、（9）. 編號 1. 此題答對率約為 44.4％，顯示仍有許多學童. 編號 2. 對於傾斜對稱圖形之判斷能力較為薄弱，需. 編號 4. 透過實際操作或將圖形轉換方向後才能找出. 編號 5. 對稱軸；有少部份學童對於對稱軸的存在與. 編號 7. 尋找，缺乏詴誤的主動性。. 無. 此題答對率為 100％，顯示學童對於判斷簡單圖形是否存在對稱軸並無困難，有基本之線對稱概念。. 一、（10）. 編號 3. 此題答對率約為 77.8％，答錯的學童皆未考. 編號 9. 慮到有垂直對稱軸的可能性。顯示仍有少部份學童對於對稱軸的存在與尋找，缺乏詴誤的主動性。. 一、（11）. 22. 編號 1. 此題答對率約為 33.3％，屬於錯誤率偏高的. 編號 2. 題目。答錯的學童誤將對稱概念與帄移概念. 編號 3. 混淆，認為只要完全相同的兩圖形，即可稱. 編號 4. 為線對稱圖形。. 編號 6 編號 8. 21.

(28) 二、請畫出下列線對稱圖形的對稱軸：表 4-2. 第二大題答題表現. 詴題編號二、（1）. 答錯學童編號編號 9. 筆詴測驗答題表現此題答對率約為 88.9％，唯一錯誤的學童並未作答，並表示看不出此題的對稱軸在哪裡，經實地操作後，才能正確找出對稱軸。. 二、（2）. 編號 2. 此題答對率約為 77.8％，編號. 編號 9. 2 學童知道對稱軸大概的位置，但無法準確測量角度與距離，對於線對稱仍算有正確概念。編號 9 學童所畫之對稱軸如右圖所示，經由實地操作後，才能正確找出對稱軸。. 二、（3）. 無. 此題答對率為 100％，顯示學童對於找出簡單對稱圖形之傾斜對稱軸並無困難，有基本之線對稱概念。. 二、（4）. 無. 此題答對率為 100％，顯示學童對於找出簡單對稱圖形之水帄對稱軸並無困難，有基本之線對稱概念。. 二、（5）. 編號 5. 此題答對率約為 88.9％，答錯學童多畫了一條對稱軸，如右圖所示，經實地操作後，可自行發現錯誤。. 22.

(29) 表 4-2. 第二大題答題表現（續）. 二、（6）. 編號 4. 此題答對率約為 77.8％，答. 編號 9. 錯學童所畫之對稱軸如右圖所示，經實地操作後，可自行發現錯誤並找出正確之對稱軸。. 三、下列線對稱圖形不只有一條對稱軸，請眼尖的你想一想，找出所有的對稱軸並畫出來：表 4-3. 第三大題答題表現. 詴題編號三、（1）. 答錯學童編號. 筆詴測驗答題表現. 編號 2. 此題答對率約為 66.7％，編號 2 與編號 9 學. 編號 4. 童皆知道此為五邊形，應該有. 編號 9. 五條對稱軸，也認為自己畫了五條對稱軸（其實只畫了四條），錯誤屬粗心所致。唯編號 4 學童在作答時，還畫出錯誤之對稱軸（如右圖所示），是屬對於線對稱概念不夠完整而產生之錯誤。. 三、（2）. 編號 4. 此題答對率約為 77.8％，答錯的學童在晤談. 編號 9. 時皆能很快發現自己少畫的對稱軸。顯示學童對於找出簡單對稱圖形之所有對稱軸並無困難，有基本之線對稱概念。. 三、（3）. 編號 1. 此題答對率約為 88.9％，唯一錯誤學童在晤談時馬上就發現自己的錯誤。顯示學童對於找出簡單對稱圖形之所有對稱軸並無困難，有基本之線對稱概念。 23.

(30) 四、下列圖形都是線對稱圖形的一半，請你動動腦，畫出另一半的圖形，讓它成為一個完整的線對稱圖形：表 4-4. 第四大題答題表現. 詴題編號四、（1）. 答錯學童編號. 筆詴測驗答題表現. 編號 2. 此題答對率約為 55.6％，編號 2 與編號 5 學. 編號 4. 童是數錯格子；編. 編號 5. 號 4 學童所繪之對. 編號 9. 稱圖形的另一半如右圖（a）所示，直接從對稱軸位置出發，未考慮將Ｋ中的垂直線在對稱軸左方先帄移兩格再做圖。編號 9 學童所繪之對稱圖形的另一半如右圖（b）所示，直接將Ｋ帄移至對稱軸左方。此兩位學童之作答情形皆顯示對於對稱概念不夠清楚，因此在解題時產生迷思。. 四、（2）. 編號 4. 此題答對率約為 77.8％，編號 9 學童所繪之. 編號 9. 對稱圖形的另一半雖不夠精準，但仍有正確的線對稱作圖概念；編號 4 學童所繪之對稱圖形的另一半如右圖所示，作答情形顯示此生對於對稱概念不夠清楚，因此在解題時產生迷思。. 24.

(31) 表 4-4 四、（3）. 第四大題答題表現（續）無. 此題答對率為 100％，但有許多學童在實際操作後，自己認為自己畫的圖形有偏差，在作圖時對於角度及線段的測量不夠精細。研究者認為學童已能利用基本之線對稱概念畫出另一半的圖形，不構成任何線對稱概念之迷思。. 四、（4）. 編號 1. 此題答對率約為 22.2％，為此份詴題中答對率. 編號 2. 最低的題目；編號 1、. 編號 3. 編號 2、編號 3 及編號. 編號 4. 9 學童所繪之對稱圖. 編號 6. 形的另一半會讓此圖. 編號 7. 形成為一長方形，如右. 編號 9. 圖（a）所示，顯示對於對稱概念不夠清楚而以直覺作答；編號 6 學童未作答；編號 4 學童所繪之對稱圖形的另一半如右圖（b）所示，為有偏差但對稱概念正確之作答；編號 7 學童所繪之對稱圖形的另一半如右圖（c）所示，顯示此生受傾斜對稱軸影響而產生作圖上的迷思。. 25.

(32) 五、將 26 個英文字母中，屬於線對稱圖形的圈起來：表 4-5. 第五大題答題表現. 詴題編號五、. 答錯學童編號編號 9. 筆詴測驗答題表現此題答對率約為 88.9％，唯一錯誤的學童經由實地操作後，發現此字母為對稱圖形。. Ａ五、. 編號 6. 此題答對率約為 77.8％，編號 6 學童認為. Ｂ. 編號 9. 字母Ｂ的上下兩個圈是不一樣大的；編號 9 學童經由實地操作後，發現此字母為對稱圖形。. 五、. 編號 9. 此題答對率約為 88.9％，唯一錯誤的學童經由實地操作後，發現此字母為對稱圖形。. Ｃ五、. 編號 2. 此題答對率約為 77.8％，編號 2 學童在晤談. Ｄ. 編號 9. 時，未經操作即發現此字母為對稱圖形；編號 9 學童經由實地操作後，發現此字母為對稱圖形。. 五、. Ｊ. 編號 5. 此題答對率約為 88.9％，唯一錯誤的學童認為字母Ｊ彎彎的地方也算對稱，對於對稱軸需為直線的概念產生錯誤迷思。. 26.

(33) 表 4-5. 第五大題答題表現（續）. 五、. 編號 4. 此題答對率約為 77.8％，答錯學童原本皆認. Ｋ. 編號 9. 為水帄軸為對稱軸。在晤談時，經由實地操. 五、. 編號 3. 此題答對率約為 77.8％，錯誤的學童原本皆. Ｎ. 編號 4. 認為垂直軸為對稱軸，因為垂直軸可讓圖形. 作後，發現此字母不是線對稱圖形。. 切割成左右兩個完全相同的圖形。在晤談時，未經操作即發現此字母不是線對稱圖形。. 五、. 編號 9. 此題答對率約為 88.9％，唯一錯誤的學童經由實地操作後，發現此字母為線對稱圖形。. Ｏ五、. 編號 1. 此題答對率約為 66.7％，答錯學童原本皆認. Ｓ. 編號 2. 為水帄軸為對稱軸，因為水帄軸可讓圖形切. 編號 4. 割成上下兩個完全相同的圖形，編號 1 學童在晤談時，未經操作即發現此字母不是線對稱圖形；編號 2 及編號 4 學童經由實地操作後，發現此字母不是線對稱圖形。. 五、. 編號 1. 此題答對率約為 66.7％，編號 1 及編號 8 學. Ｔ. 編號 8. 童在晤談時，未經操作即發現此字母為線對. 編號 9. 稱圖形；編號 9 學童經由實地操作後，發現此字母為線對稱圖形。. 27.

(34) 表 4-5 五、. 第五大題答題表現（續）編號 9. 由實地操作後，發現此字母為線對稱圖形。. Ｕ五、. 此題答對率約為 88.9％，唯一錯誤的學童經. 編號 7. 此題答對率約為 88.9％，唯一錯誤的學童在晤談時，未經操作即發現此字母為線對稱圖. Ｙ. 形。. 五、. 編號 2. 此題答對率約為 77.8％，答錯學童原本皆認. Ｚ. 編號 4. 為水帄軸為對稱軸，因為水帄軸可讓圖形切割成上下兩個完全相同的圖形。在晤談時，學童經由實地操作後，發現此字母不是線對稱圖形。. 此大題中，以上未列出之英文字母（Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ、Ｉ、Ｌ、Ｍ、Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｖ、Ｗ、Ｘ）並無任何學童答錯，答對率為 100％，表示學童能正確判斷這些英文字母是否為線對稱圖形。. 第二節學童解決線對稱問題的錯誤歸因. 本節依據學童紙筆測驗的答題表現與晤談談內容，分析學童解決線對稱問題的策略及各種錯誤歸因。以下是就學童的答題錯誤情況分別說明，並依各題的答題表現列表進行錯誤歸因之歸納。本節中節錄晤談內容，以Ｔ代表教師，以Ｓ1 代表一號學童，Ｓ2 代表二號學童，Ｓ3 代表三號學童，Ｓ4 代表四號學童，Ｓ5 代表五號學童，Ｓ6 代表六號學童，Ｓ7 代表七號學童，Ｓ8 代表八號學童，Ｓ9 代表九號 28.

(35) 學童。第一大題是為了測驗學生是否能辨別生活中常見之線對稱圖形與非線對稱圖形，除第九小題無學童犯錯外，以下就其他各小題的不同錯誤迷思作說明。一、下列圖形中，是線對稱圖形的，請畫○，不是線對稱圖形的，請畫╳：表 4-6. 第一大題錯誤歸因. 詴題編號一、（1）. 答錯學童編號. 解題策略與錯誤歸因. 編號 7. 視覺迷思：. 編號 8. 兩位答錯學童均表示，在視覺上覺得中間魚刺的地方，上下可能不一樣長，透過操作後，很快就發現錯誤。. 節錄晤談內容：Ｔ：這個圖形，你覺得它不是線對稱圖形。Ｓ7：我現在覺得它是了。Ｔ：那對稱軸在哪裡？Ｓ7：中間這裡，左右的線。Ｔ：嗯，那一條叫水帄線。那老師給你這個圖形的投影片紙（給第一大題第 1 題的操作物），想請你操作看看，你想的這條線是不是它的對稱軸。Ｓ7：是！Ｔ：嗯，對折之後，圖形可以完全重合，所以你找的對稱軸是正確的。為什麼你本來覺得這個圖形沒有對稱軸呢？Ｓ7：覺得刺的地方怪怪的，應該合不起來。. 29.

(36) 表 4-6. 第一大題錯誤歸因（續）. 一、（2）. 編號 5. 定義迷思：編號 5 學童認為兩兩花瓣之間有一對稱軸，葉子之間亦有一對稱軸，可將圖形分割成兩個完全相等的圖，誤以為只要是對折可重合的圖形即為線對稱圖形，故被認定是定義認知錯誤的迷思情形。. 節錄晤談內容：Ｔ：你覺得它是線對稱圖形，所以應該可以在這個圖形中找到至少一條對稱軸。那老師給你這個圖形的投影片紙（給第一大題第 2 題的操作物），請你把對稱軸找出來。Ｓ5：沒辦法耶！Ｔ：為什麼？Ｓ5：我本來覺得彎彎的地方應該是有對稱的。Ｔ：嗯，那現在呢？Ｓ5：對稱軸應該要是直線，我想錯了。一、（3）. 編號 1. 傾斜對稱軸迷思：. 編號 9. 兩位答錯學童均表示：覺得此圖形歪歪的，經過操作後，可以自行發現錯誤。但在操作時，會將圖形旋轉到對稱軸為垂直線的方位才能找到對稱軸，故被認定為是傾斜對稱軸的迷思情形。. 30.

(37) 表 4-6. 第一大題錯誤歸因（續）. 節錄晤談內容：Ｔ：這個圖形，你覺得它不是線對稱圖形，那老師給你這個圖形的投影片紙（給第一大題第 3 題的操作物），想請你操作看看，它是不是真的沒有對稱軸。我們早上有說嘛，如果是線對稱圖形，那一定可以找到一條對稱軸，讓兩邊的圖形完全重合。Ｓ1：有耶！Ａ軸. Ｔ：有找到嗎？對稱軸在哪裡？Ｓ1：這裡。（指Ａ軸）Ｔ：那你本來在寫的時候，怎麼沒有找出來？Ｓ1：就這個圖歪歪的，好像怎麼連都不對，所以沒有想到。一、（4）. 編號 4. 定義迷思：編號 4 學童判斷錯誤的原因為此圖形上下兩段不一樣長，只考慮到水帄軸不是對稱軸，而未考慮到只有垂直軸為圖形之對稱軸也算是對稱圖形。研究者認定該生在此題的作答表現屬於對於線對稱的定義不夠清楚，誤以為不論是水帄或是垂直都應該要有對稱軸才算對稱圖形，故認定是定義上的迷思情形。. 編號 7. 直覺迷思：編號 7 學童在晤談時馬上就指出對稱軸位置，問該生為何原本認為此圖不是線對稱圖形，回答：沒想到。所以判斷該生應該是筆測時粗心或是時間因素影響所致。. 31.

(38) 表 4-6. 第一大題錯誤歸因（續）. 節錄晤談內容：Ｔ：這個圖形，你覺得它不是線對稱圖形，那老師給你這個圖形的投影片紙（給第一大題第 4 題的操作物），想請你操作看看，它是不是真的沒有對稱軸。Ｓ4：有耶！Ｔ：有找到嗎？對稱軸在哪裡？Ｓ4：這裡。（指垂直軸）Ｔ：嗯，對折之後，圖形可以完全重合，所以你找的對稱軸是正確的。為什麼你本來覺得這個圖形沒有對稱軸呢？Ｓ4：因為它上面跟下面不一樣長。Ｔ：你沒有考慮到左右對稱的可能性就是了？Ｓ4：有啊！可是上下折不行，就覺得應該不行，現在知道這樣也算對稱了。Ｔ：這一題你覺得它不是線對稱圖形。Ｓ7：它有，這一條。（指垂直軸）Ｔ：你現在發現了啊！那老師給你這個圖的投影片紙，讓你操作看看你想的對不對。（給第一大題第 4 題的操作物）Ｓ7：對。Ｔ：那你原本為什麼覺得這個圖不是線對稱圖形？Ｓ7：沒有想到。一、（5）. 編號 2. 對折全等圖形迷思：. 編號 4. 答錯學童原本皆認為此圖形應該有很多條對. 編號 6. 稱軸，因為這些線都可以讓圖形對折後產生兩個全等圖形，與對稱後應重合的概念混淆，因而認定是對折全等圖形的迷思情形。. 32.

(39) 表 4-6. 第一大題錯誤歸因（續）. 節錄晤談內容：Ｔ：好，我們早上有說，一個圖形如果是線對稱圖形，應該可以在這個圖形中找到至少一條對稱軸。老師給你這個圖形的投影片紙（給第一大題第 5 題的操作物），請你把對稱軸找出來。Ｓ2：沒辦法。Ｔ：你要不要再詴詴看有沒有其他折法可以讓圖形完全重合。Ｓ2：真的沒有。Ｔ：那你原本為什麼會覺得它是一個線對稱圖形？Ｓ2：看起來感覺很像。Ｔ：那你原本覺得對稱軸在哪裡？Ｓ2：很多都有可能。（指水帄軸、垂直軸及兩條對角線）（如右圖所示）Ｔ：操作後知道為什麼不是了嗎？Ｓ2：嗯，應該知道，要完全疊在一起才算對稱。一、（6）. 編號 4. 對折全等圖形迷思：. 編號 6. 答錯學童原本皆認為此圖形應該有至少一條. 編號 7. 對稱軸，因為這些線都可以讓圖形對折後產. 編號 9. 生兩個全等圖形，與對稱後應重合的概念混淆，因而認定是對折全等圖形的迷思情形。. 節錄晤談內容：Ｔ：那這一題呢？你也覺得它是線對稱圖形，你覺得對稱軸在哪裡？Ｓ6：斜斜的這裡。（指對角線）（如右圖所示）. 33.

(40) 表 4-6. 第一大題錯誤歸因（續）. Ｔ：好，那我們利用這個圖形的投影片紙（給第一大題第 6 題的操作物），來折折看它是不是對稱軸。Ｓ6：不是耶！Ｔ：跟你想的不一樣？. Ｓ6：對。. Ｔ：那原本為什麼會覺得它是？Ｓ6：因為剛好一半。一、（7）. 編號 1. 互補迷思：. 編號 4. 答錯學童認為中間的垂直線（Ａ軸）. 編號 5. 即為對稱軸，即使是中間的碎裂，. 編號 9. 仍然有左有右，也可以算對稱，故. Ａ軸. 被認定是互補的迷思情形。編號 2. 故意忽略型迷思：答錯學童在筆測時即注意到中間鋸齒狀不對稱，但認為這個部份並不重要，故不考慮。與其他迷思情形不盡相同，故將此一錯誤迷思獨立出來。. 編號 7. 直覺迷思：答錯學童在筆測時沒有注意到中間的線並非垂直線，而是鋸齒狀。只受外框影響，忽略中間折線不為對稱圖形的一部份，因而認定是直覺上的迷思情形。. 節錄晤談內容：Ｔ：那這一題呢？你也覺得它有對稱軸嗎？（給第一大題第 7 題的操作物）. 34.

(41) 表 4-6. 第一大題錯誤歸因（續）. Ｓ5：嗯，從中間切一半就是了。（如右圖Ａ軸所示）Ｔ：好，那折折看吧！Ｓ5：中間好像沒有對稱耶！. Ａ軸. Ｔ：為什麼覺得沒有對稱？Ｓ5：中間的地方沒有全部疊在一起。Ｔ：那你本來覺得它會全部重疊在一起嗎？Ｓ5：對啊！有左有右，應該可以。Ｔ：你在寫的時候，有注意到中間這個部分嗎？Ｓ5：有啊！我那時候覺得這裡也有對稱。Ｔ：那現在呢？Ｓ5：它沒有對稱。Ｔ：再來，我們來看這一題。你也覺得這個圖形是線對稱圖形，那我們一樣同投影片紙來折折看，能不能找出對稱軸。（給第一大題第 7 題的操作物）Ｓ2：有啊。Ｔ：這樣子，嗯，那中間呢？. 你看中間這裡有完全重合嗎？. Ｓ2：沒有。Ｔ：那你原本在寫的時候，為什麼會覺得它是線對稱圖形？Ｓ2：我沒有看到中間。Ｔ：就是看到它，但是沒有把這個部分也考慮進去，對不對？Ｓ2：對。（點頭）覺得沒關係。Ｔ：好，老師知道了。Ｔ：我們來看心碎的這張圖，你覺得它的對稱軸在哪裡？. 35.

(42) 表 4-6. 第一大題錯誤歸因（續）. Ｓ7：中間這裡。（指右圖Ａ軸）Ｔ：好，那來折折看，你想的對不對。（給第一大題第 7 題的操作物）Ａ軸. Ｓ7：好像沒有耶！Ｔ：為什麼現在覺得它沒有？Ｓ7：因為它這個地方是彎的。Ｔ：那你本來沒看到這裡彎彎的嗎？Ｓ：本來沒有注意到。Ｔ：操作之後，兩邊的圖有完全重合嗎？一、（8）. Ｓ7：沒有。. 編號 1. 傾斜對稱軸迷思：. 編號 2. 答錯學童表示：沒注意到、找不出對稱軸，. 編號 4. 或是覺得此圖形歪歪的，經過操作後，可以. 編號 5. 自行發現錯誤。但在操作時，會將圖形旋轉. 編號 7. 到對稱軸為垂直線或水帄線的方位才能找到對稱軸，故被認定為是傾斜對稱軸的迷思情形。. 節錄晤談內容：Ｔ：你覺得這個圖形沒有對稱，你用這張投影片紙操作看看，是不是真的找不到對稱軸？（給第一大題第 8 題的操作物）Ｓ5：可以耶，它有一條對稱軸。Ｔ：在哪裡？Ｓ5：這裡。Ｔ：那你在操作前為什麼覺得它沒有對稱呢？Ｓ5：這個圖形歪歪的，直的找不到，橫的也找不到，就沒想那麼多。. 36.

(43) 表 4-6. 第一大題錯誤歸因（續）. Ｔ：那利用操作的方式，可以幫助你思考嗎？Ｓ5：可以。我可以把圖轉正，就很容易找到了。一、（10）. 編號 3. 視覺迷思：. 編號 9. 錯誤學童在經過操作後，才發現此圖是線對稱圖形，認為該圖形的線段比較長，所以沒有想到有垂直的對稱軸。故被認定是視覺上的迷思情形。. 節錄晤談內容：Ｔ：這個圖形，你覺得它不是線對稱圖形，老師想請你操作看看，是不是真的找不到對稱軸？（給第一大題第 10 題的操作物）. 你可以上下左右折折看。. Ｓ9：有耶。Ｔ：在哪裡？Ｓ9：中間這裡。（如右圖所示）Ｔ：那你在寫的時候，有想到要這樣子折嗎？Ｓ9：沒有，只想說上下折不行。Ｔ：為什麼沒有想要這樣子折呢？Ｓ9：這個線比較長，就沒想到。一、（11）. 22. 編號 1. 帄移迷思：. 編號 2. 答錯學童原本皆認為此圖形有一條垂直對稱. 編號 3. 軸，因為這條線都可以讓圖形帄移後完全重. 編號 4. 合，因而認定是將對稱與帄移概念混淆的迷. 編號 6. 思情形。. 編號 8. 37.

(44) 表 4-6. 第一大題錯誤歸因（續）. 節錄晤談內容：Ｔ：那我們再來看 22 這一題，你也覺得它是一個線對稱圖形。對稱軸在哪裡？Ｓ6：中間這裡。（指垂直線）Ｔ：好，那我們來操作看看是不是。（給第一大題第 11 題的操作物）如果是的話，那對折後的圖形應該會完全重合，有完全重合嗎？Ｓ6：沒有。Ｔ：操作之後發現它不是線對稱圖形，那之前是怎麼想的？Ｓ6：就是把這個 2 剪下來，再放過去，就會重合了。Ｔ：嗯，可是對稱不是帄移的概念，是要沿對稱軸翻轉。現在你對於線對稱的概念有清楚一點了嗎？Ｓ6：有。. 第二大題是為了測驗學童是否能畫出給定之線對稱圖形的對稱軸，其中第三、第四小題皆無學童犯錯，以下就其他各小題的不同錯誤迷思作說明。二、請畫出下列線對稱圖形的對稱軸：表 4-7. 第二大題錯誤歸因. 詴題編號二、（1）. 答錯學童編號編號 9. 解題策略與錯誤歸因視覺迷思：錯誤學童在經過操作後，才發現此圖的對稱軸在哪裡，認為圖形乍看之下是沒有對稱軸的。故被認定是視覺上的迷思情形。. 38.

(45) 表 4-7. 第二大題錯誤歸因（續）. 節錄晤談內容：Ｔ：這一題，你沒有畫，是因為？Ｓ9：畫不出來，看不出來它的對稱軸在哪裡。Ｔ：好，那我們來操作看看，你能不能找出對稱軸。（給第二大題第 1 題的操作物）Ｓ9：中間。Ｔ：對稱軸在中間的垂直線，所以這是一個對稱圖形，你在寫的時候沒有想到嗎？Ｓ9：嗯。二、（2）. 編號 2. 操作型誤差：編號 2 學童知道對稱軸大概的位置，但無法準確測量角度與距離，對於線對稱仍算有正確概念。因此認定是操作型誤差的迷思情形。. 編號 9. 直覺迷思：編號 9 學童所畫之對稱軸如右圖所示，經由實地操作後，才能正確找出對稱軸。判斷應是受時間因素影響，回憶了更多的線對稱概念，而能正確作答。. 節錄晤談內容：Ｔ：老師想要請你把你畫的這條對稱軸，在投影片上再描一次。（給第二大題第 2 題的操作物）然後再折折看，你畫的這條線，是不是能讓對稱軸兩邊的圖形完全重合。. 39.

(46) 表 4-7. 第二大題錯誤歸因（續）. Ｓ2：不行。Ｔ：可是你知道這個圖形中，有一條對稱軸在這附近，如果你很認真的畫，可以畫得更準確嗎？Ｓ2：不知道，應該不行。Ｔ：為什麼？Ｓ2：因為很難，我不知道怎麼畫。Ｔ：再來這一題，請你把你畫的對稱軸在投影片紙上再描一次，然後折折看你畫的對不對。（給第二大題第 2 題的操作物）. Ｓ9：對。. Ｔ：好，這是你畫的對稱軸，把它折過來，有一個圖形和它重合嗎？Ｓ9：沒有。Ｔ：所以這是圖形的對稱軸嗎？. Ｓ9：不是。. Ｔ：那你折折看它的對稱軸在哪裡？應該可以找到一條線，讓兩邊的圖形對折後完全重合。. Ｓ9：這裡。. Ｔ：哇！你一找就找到了耶！Ｓ9：我剛剛才想到。二、（5）. 編號 5. 視覺迷思：答錯學童多畫了一條對稱軸，如右圖所示，認為這條對稱軸所穿越的兩線段，距離是相等的，因此認定是視覺上的迷思情形。. 40.

(47) 表 4-7. 第二大題錯誤歸因（續）. 節錄晤談內容：Ｔ：在這個圖形裡，你畫了兩條對稱軸，可以請你把這兩條對稱軸，畫到投影片紙上，再折折看是不是正確呢？（給第二大題第 5 題的操作物）Ｓ5：這一條可以。（指Ａ軸）. 這一條不行。（指Ｂ軸）. Ｔ：你怎麼會想要畫這一條呢？（指Ｂ軸）. Ａ軸. Ｓ5：因為它跟上面下面的距離都一樣長。Ｂ軸. Ｔ：嗯，那你現在的想法呢？Ｓ5：那時候想錯了，應該要折折看。二、（6）. 編號 4. 視覺迷思：. 編號 9. 答錯學童認為對稱軸上下的三角形長得很像，誤以為這樣的對稱軸是正確的。因此認定是視覺上的迷思情形。. 節錄晤談內容：Ｔ：好，那我們再看到第二大題的部分，你把自己畫的對稱軸描到投影片上，再檢查一下自己畫的對不對。Ｓ4：這一題錯了。（第二大題第 6 題）Ｔ：為什麼？Ｓ4：因為折過來不一樣。Ｔ：那你現在可以折折看，找出它的對稱軸在哪裡嗎？Ｓ4：這樣。Ｔ：嗯，很厲害喔！那你在寫的時候，怎麼會覺得是這一條啊？Ｓ4：因為它上下長得很像。. 41.

(48) 表 4-7. 第二大題錯誤歸因（續）. Ｔ：你沒有考慮到它的大小不太一樣嗎？Ｓ4：沒有。. 三、下列線對稱圖形不只有一條對稱軸，請眼尖的你想一想，找出所有的對稱軸並畫出來：第三大題是為了測驗學生是否能畫出多對稱軸圖形的所有對稱軸，以下就各小題的不同錯誤迷思情形作說明。表 4-8. 第三大題錯誤歸因. 詴題編號三、（1）. 答錯學童編號. 解題策略與錯誤歸因. 編號 2. 視覺迷思：. 編號 9. 錯誤學童皆知道此為五邊形，應該有五條對稱軸，也認為自己畫了五條對稱軸（其實只畫了四條），錯誤屬粗心所致，並非對於線對稱概念不清楚，而是被許多的對稱軸線干擾。學生習慣對稱軸線為垂直線，在晤談時讓其旋轉考卷，即可判斷出所有的對稱軸。. 編號 4. 直覺迷思：編號 4 學童在作答時，還畫出錯誤之對稱軸（如右圖所示），是屬對於線對稱概念不夠完整而產生之錯誤。. 42. Ａ軸.

(49) 表 4-8. 第三大題錯誤歸因（續）在晤談時，經由操作才發現錯誤，該生認為所有的頂點都必頇連到才對，所以畫完Ａ軸後，就直覺地將其他的頂點做連線，導致錯誤。因此認定是直覺上的迷思情形。. 節錄晤談內容：Ｔ：這個圖，它是一個幾邊形？. Ｓ9：五邊形。. Ｔ：好，那再數數看，你畫了幾條對稱軸？Ｓ9：一、二、三、四，四條；應該少畫了一條。Ｔ：嗯，那你現在可以把少畫的對稱軸找出來嗎？Ｓ9：我知道了，這邊。. Ｔ：對！. Ｔ：我們來看第一題，這是一個什麼形狀？Ｓ4：五邊形。Ｔ：對，而且是正五邊形。你一共畫了幾條對稱軸？Ｓ4：三條。Ｔ：好，那你把這三條對稱軸，再描到投影片上，我們來檢查看看是不是正確的。（給第三大題第 1 題的操作物）. Ａ軸. Ｓ4：這一條是對的。（指Ａ軸）Ｔ：好，老師把這一條叫Ａ軸。再看看其他條吧！Ｓ4：其他都不行耶。Ｔ：那我們來看一下這兩條跟Ａ軸有什麼不一樣。Ａ軸是從頂點出發到哪裡？Ｓ4：到對面的邊。Ｔ：對！很好，其他條是從點到點。你再詴著畫畫看，正確的對稱軸。Ｓ4：好了。. 43.

(50) 表 4-8. 第三大題錯誤歸因（續）. Ｔ：嗯，折折看對不對。Ｓ4：對。Ｔ：一共有幾條對稱軸呢？Ｓ4：五條。Ｔ：你本來為什麼會想畫這兩條呢？Ｓ4：就覺得對稱軸一定要從頂點出發。三、（2）. 編號 4. 視覺迷思：. 編號 9. 答錯的學童在晤談時皆能很快發現自己少畫的對稱軸（水帄軸）。顯示學童對於找出簡單對稱圖形之所有對稱軸並無困難，有基本之線對稱概念。錯誤屬粗心所致，並非對於線對稱概念不清楚，而是被許多的對稱軸線干擾。因此認定是視覺上的迷思情形。. 節錄晤談內容：Ｔ：那第二題，你畫了幾條對稱軸？Ｓ4：三條。我知道我少畫了一條。Ｔ：在哪裡？Ｓ4：這裡。Ｔ：嗯，很好。. 44.

(51) 表 4-8. 第三大題錯誤歸因（續）. 三、（3）. 編號 1. 直覺迷思：唯一錯誤學童在晤談時馬上就發現自己的錯誤。顯示學童對於找出簡單對稱圖形之所有對稱軸並無困難，有基本之線對稱概念。判斷應是受時間因素影響，回憶了更多的線對稱概念，而能正確作答。故認定是直覺上的迷思情形。. 節錄晤談內容：Ｔ：這一題，你只畫了一條對稱軸。Ｓ1：還有一條，在這裡。（指水帄線，如圖所示）Ｔ：在寫的時候沒有想到喔？Ｓ1：嗯。應該是沒發現。（笑）Ｔ：好。. 第四大題是為了測驗學童是否能根據所給定的圖形與對稱軸，畫出線對稱圖形的另一半，除第三小題無人犯錯外，以下就各小題的不同錯誤模式作說明。四、下列圖形都是線對稱圖形的一半，請你動動腦，畫出另一半的圖形，讓它成為一個完整的線對稱圖形：. 45.

(52) 表 4-9. 第四大題錯誤歸因. 詴題編號四、（1）. 答錯學童編號. 解題策略與錯誤歸因. 編號 2. 操作型誤差：. 編號 5. 發生錯誤學童是因數錯格子，晤談時能經由操作發現自己的錯誤，因此認定是操作上的誤差導致的錯誤迷思情形。. 編號 4. 直覺迷思：編號 4 學童所繪之對稱圖形的另一半如右圖（a）所示，直接從對稱軸位置出發，未考慮將Ｋ中的垂直線在對稱軸左方先帄移兩格再做圖。忽略對稱軸的位置，而直接作答，判斷應是受時間因素影響，或看到詴題的當下知道答案而急著作答所致。因而認定是直覺上的迷思情形。. 46.

(53) 表 4-9. 第四大題錯誤歸因（續）編號 9. 帄移迷思：編號 9 學童所繪之對稱圖形的另一半如右圖（b）所示，直接將Ｋ帄移至對稱軸左方。答錯學童原本認為原圖經對稱軸帄移後即可得到正確答案，經操作後發現錯誤，因而認定是將對稱與帄移概念混淆的迷思情形。. 節錄晤談內容：Ｔ：這個部份是要你畫出線對稱圖形的另一半，老師給你這個大題的投影片紙，你自己來檢查看看你畫的對不對。Ｓ2：第一題錯了。Ｔ：為什麼？Ｓ2：它翻過來跟我畫的不一樣啊！差一點點。Ｔ：那你知道自己為什麼畫錯嗎？Ｓ2：上面這邊的格子數錯。Ｔ：這個部份是要你畫出線對稱圖形的另一半，老師給你這個大題的投影片紙，你自己來檢查看看你畫的對不對。Ｓ4：第一題錯了。Ｔ：為什麼？Ｓ4：它翻過來跟我畫的不一樣啊！Ｔ：你是不是哪裡沒注意到？Ｓ4：嗯，就是這裡要空兩行，沒注意到。. 47.

(54) 表 4-9. 第四大題錯誤歸因（續）. Ｔ：這個圖形，你是把它沿著對稱軸帄移，老師給你這個圖形的投影片紙，你來折折看你畫的對不對。（給第四大題第 1 題的操作物）Ｓ9：不對。Ｔ：那你考詴的時候為什麼會想要這樣子畫？Ｓ9：不知道要畫什麼，就把它移過去。Ｔ：嗯，可是線對稱的概念是對折後要完全重合的圖，不是帄移的概念。四、（2）. 編號 4. 傾斜對稱軸與帄移迷思：編號 4 學童所繪之對稱圖形的另一半如右圖所示，作答情形顯示此生對於傾斜對稱軸概念不夠清楚，認為對稱軸斜斜的，作答時將另一半的圖形做帄移及 45 度旋轉。晤談時將對稱軸轉至垂直方向，即可順利作答。因而認定是傾斜對稱軸與帄移迷思概念同時出現的情形。. 編號 9. 操作型誤差：編號 9 學童所繪之對稱圖形的另一半雖不夠精準，但仍有正確的線對稱作圖概念，因而認定是操作上的誤差導致的錯誤迷思情形。. 48.

(55) 表 4-9. 第四大題錯誤歸因（續）. 節錄晤談內容：Ｔ：那第二題呢？Ｓ4：也錯了。Ｔ：你怎麼會想要這樣畫呢？Ｓ4：因為這個圖斜斜的，對稱軸也斜斜的，所以我就想說另一半會變成正的。Ｔ：嗯，所以你又把對稱當成帄移概念了。一半嗎？. 那你可以畫出這個圖形正確的另. 可以先折折看再畫。. Ｓ4：好了。Ｔ：檢查看看畫得對不對。Ｓ4：對。Ｔ：那我們再來看這個圖形，你先折折看你畫的對不對。（給第四大題第 2 題的操作物）Ｓ9：有點不太對。Ｔ：嗯，因為你有些對稱點沒有先找出來，但是你知道對稱圖形應該是這樣子畫，如果先找出對稱點，那圖形就會畫得很精準了。. 四、（4）. 編號 1. 直覺迷思：. 編號 2. 錯誤學童所繪之對稱. 編號 3. 圖形的另一半會讓此. 編號 9. 圖形成為一長方形，如右圖（a）所示，顯示對於對稱概念不夠清楚而以直覺作答的迷思情形。. 49.

(56) 表 4-9. 第四大題錯誤歸因（續）編號 4. 操作型誤差：. 編號 6. 編號 6 學童未作答，依據其原本作答又擦掉的情形，以及晤談後的結果判斷，該學童因為找不出精確的對稱點，而放棄作答，但依其尋找對稱點的方式判斷：其方法是正確的；編號 4 學童所繪之對稱圖形的另一半如右圖（b）所示，為有偏差但對稱概念正確之作答；因而認定此二位學童是屬操作上的誤差而導致的錯誤迷思情形。. 編號 7. 傾斜對稱軸迷思：編號 7 學童所繪之對稱圖形的另一半如右圖（c）所示，顯示此生受傾斜對稱軸影響而產生作圖上的迷思，在晤談時，將對稱轉至水帄方向，即可找出正確的對稱點，因而認定是受傾斜對稱軸影響，而產生的錯誤情形。. 節錄晤談內容：Ｔ：我們來看一下這一題，老師想請你把自己畫的圖形，在投影片紙上再描一次，自己檢查看看你畫的對不對。（給第四大題第 4 題的操作物）有完全重合嗎？Ｓ1：沒有。. 50.

(57) 表 4-9. 第四大題錯誤歸因（續）. Ｔ：那老師再給你一張空白的投影片紙，你想想看要怎麼畫才是對的。Ｓ1：把它翻過來。Ｔ：嗯，讓對稱軸重合，然後再沿對稱軸翻轉就可以了。Ｓ1：有點怪怪的。Ｔ：為什麼？Ｓ1：因為沒想到它是這樣。Ｔ：那如果我們把紙轉一下，讓對稱軸變成水帄面呢？投影片上看看。. 你把正確的圖形畫在. 再自己檢查看看你畫的對不對。. Ｓ1：對了。Ｔ：我們來看第四題吧！Ｓ4：畫錯了。Ｔ：這一題跟剛剛那題一樣，要先找出對應的點，就不會差那麼多囉！你會找嗎？Ｓ4：（搖頭）Ｔ：那你先用投影片紙翻轉詴詴看，這個點在哪裡？Ｓ4：應該是這裡。Ｔ：嗯，很好。如果只有直尺的話，你可以先量出長度，在對稱軸的另一邊找出對應的點。連起來就是正確的另一半圖形了。畫畫看吧！Ｓ4：好了。Ｔ：用投影片紙檢查看看對不對。Ｓ4：對。Ｔ：很好。. 51.

(58) 表 4-9. 第四大題錯誤歸因（續）. Ｔ：我們來看一下這一題，這題你是把它往上找到對稱點，再連起來，老師給你這個圖的投影片紙，你來檢查看看，你畫的對不對。（給第四大題第 4 題的操作物）Ｓ7：錯了。Ｔ：老師想先問你，你為什麼會想要找到這個點。Ｓ7：因為我覺得這個點的對稱點在這裡！Ｔ：嗯，如果它的對稱軸是水帄線，那對稱點的確在這裡，可是這個圖的對稱軸是斜的，那要怎麼找到對稱點？Ｓ7：不知道。Ｔ：好，那我們把對稱軸調到水帄線的位置，這樣子看。Ｓ7：就是這個點對過來，在這裡。Ｔ：對！你好聰明喔！我們可以先找出與對稱軸垂直的線，再量這個點與對稱軸的距離，是 3 公分，在對稱軸的另一邊也找出 3 公分的點，把兩條線連起來就可以了。. 或者也可以像老師剛剛教你的，把對稱軸調到自己習慣的角度，. 甚至將考卷拿起來折折看，都可以檢查自己畫的圖對不對。Ｓ7：嗯。五、將 26 個英文字母中，屬於線對稱圖形的圈起來：第五大題最主要的目的，是希望經由晤談中的引導與釐清線對稱概念，讓孩子自行發現本大題的錯誤，大部份的學童在經過前面四個大題的觀念釐清後，都可以在不利用操作物的情形下即發現錯誤，因為時間及學習的干擾，已無法將其原本的思考或錯誤觀念做歸因，所以對於已無法認定或說出自己為何犯錯的學童，就不再做迷思歸因的討論。只有少部份學童在面對某些英文字母時，仍需經過操作才能發現錯誤，以下就這些學童對於各字母的錯誤模式做說明。 52.