國立光復商工 102 學年度第 1 次教師甄選 數學科 試卷

考生注意：

1.請核對試卷與桌上之准考證號碼與姓名是否相符。

2.試卷上准考證號碼與姓名不得自行撕毀，亦不得擅自拆開彌封。

3.試卷不得書寫不相關之符號及文字。

4.試卷限以黑色或藍色筆書寫。

5.答案請直接書寫於括弧( )內。

違反上述 2～5 者，不予計分。

國立光復商工 102 學年度第 1 次教師甄選 數學科 試卷

一、單選題

( A ) 1.設兩向量 a 、 b 的夾角為

 ，且

| a || b |，| a  b |4，| a  b |

 3，則 cos  (A)

⁷ 25(B) ⁵

13(C)³ 5(D)⁴

5 ( D ) 2.設

、

為方程式 log₂

x log

x2 的兩根，則



³     ³  (A)⁵⁵

8 (B)⁵⁷

8 (C)⁷¹

8 (D)⁷³ 8 ( B ) 3.試問 3¹¹除以 3²  3  1 之餘數為何？ (A)12 (B)9 (C)3 (D)1

( C ) 4.設 a 與 b 為兩向量， a

 (x,y)，x、y 為實數，且

| a | 13， b

 ( 3, 2)，則

a 與 b 之內積的最大值為 何？ (A) 13 (B) 65 (C)13 (D)65

( A ) 5.設 0  x  2 ，則 f (x)  sin²

x  cosx  1 的最大值為何？ (A)

¹

4 (B) ¹

2 (C) ¹

4 (D) ¹ 2 ( B ) 6.下列哪一個點在 y  sinx  cosx 的圖形上？ (A)( ,1)

2



 (B)(⁵ ,^{1 3})

3 2

  (C)(,1) (D)( ,^{1 3})

6 2



 

( D ) 7.設 x  3 1 ，則 x³  6x  1  (A)0 (B)1 (C)2 (D)3

( B ) 8.在坐標平面上，在 | x  1 |  | y  3 |  2 的平面區域中，x  2y 的最大值為何？ (A)13 (B)11 (C)9 (D)7 ( C ) 9.無窮級數 ³

5

+

⁵

25

+

⁹

125

+

¹⁷

625

+ ⋯ ⋯

的和為多少？ (A) ³

4 (B)⁵

6 (C)¹¹

12 (D)¹⁵

16

( C )10.下列何者為方程式(x  2)(x  3)(x  4)(x  5)  60 的正整數解？ (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

( B )11.函數

𝑓(𝑥) = √

_{(𝑥+4)(𝑥−5)}^{𝑥−2 的定義域為 (A){ |x x 4或2 x 5} (B){ | 4x   x 2或x5}}

(C){ | 4x   x 2或x5} (D){ |x x 4或2 x 5}。

( C )12.設有渡船 3 艘，每艘可載 5 人，今有 6 人過渡，則安全過渡的方法有 (A)243 (B)729 (C)726 (D)720 種。

( C )13.參數方程式 2 2 cos 3 3sin

x

y





  

  



， 0

  

2



，的圖形為 (A)圓 (B)拋物線 (C)橢圓 (D)雙曲線。

( C )14.設 f x( )x³3x， x R



，下列敘述何者不真？ (A) 相對極大值為 2 (B)相對極小值為 2



(C)在^{( 1 , 1)} 區間上函數遞增 (D)在^{(1 ,)}區間上函數遞增。

( B )15.拋物線 在其上一點 之切線方程式為 (A) (B) (C)

(D) 。

( C )16.點 A 在圓C：x²y²12x4y300的圓心與原點的連線上，則以點 A 為圓心、過原點與圓 C 外切的圓，

其半徑為 (A)2 10 (B) 10 (C) ¹⁰

2 (D) ¹⁰ 4 。

2 2 4 1 0

x  x y  (1 , 1) 4x y 3 x y 0 x4y 3 2

y x

國立光復商工 102 學年度第 1 次教師甄選 數學科 試卷

( D )17.設直線 L 與直線^{x2y 3 0}垂直，且與橢圓

2 2

5 16 1

x  y  相切，試求直線 L 的方程式 (A)^{2x  y 3 0} (B)

x 

2

y  

6 0 (C) 2

x    y

6 0 (D) 2

x    y

6 0。

( D )18.已知樂透彩的玩法是由 1 至 42 之號碼中圈選 6 個相異號碼，且每期開出 6 個相異的中獎號碼（不包含特 別號碼），則購買 2 張號碼均相異之樂透彩券中，恰有 2 個為中獎號碼之機率為何？ (A) 42

6 42 6

1 1

C

C 

(B) 42 6

36 4 42 6 36 4

C C C

C 

(C) 42 6

36 10 6 2

C C C 

(D) 42 12

36 10 6 2

C C C 

。

( D )19.A 船在燈塔 Q 之西南 60 公里處，B 船在燈塔 Q 之南 西某處，且在 A 船之東南方，則 A、B 兩船相距 (A)20 (B)30 (C) (D) 公里。

二、多選題：(須全對才給分)

( CD ) 1.某班數學老師算出學生學期成績後，鑑於學生平時都很用功，決定每人各加 5 分（加分後沒人超出滿分）， 試問加分前與加分後，下列學生成績統計數值中絕對不會改變的有哪些？ (A)算術平均數 (B)中位數 (C)標準差 (D)全距。



15 3

30 20 3