數學第一冊第 0 章基礎概念數學第一冊第 1 章數與坐標

(1)

TCFSH124

數學第一冊第 0 章基礎概念數學第一冊第 1 章數與坐標

p q≡q p

 y−k =m x−h

 ^a⋅  ^b=−  ab , if a0∧b0

九十七學年度第一學期座號：

姓名：

http://cplee8tcfsh.blogspot.com/

(2)

0-1 集合的基本概念

一、基本觀念：

1.集合與元素：

將一群明確而可鑑別的事物看成一個整體，這個整體就稱為一個集合，通常用大寫英文字母表示，如：

A

而這些事物則稱為此集合的元素，通常用小寫英文字母表示，如：

x

2.集合的表示法：

列舉法：將集合中的每一元素逐一列在大括號{}中

例如{2，4，6，8，10}表示小於等於 10 的正偶數所成集合描述法：先以一文字表集合的元素；再於其後描述其具有的性質

例如{x|0<x≦10，x 為偶數}亦表示小於等於 10 的正偶數所成集合彬註：元素無次序性

3.屬於與不屬於：

若

x 為集合 A 中的一個元素，記作 x ∈A，讀作 x 屬於 A

反之，記作

x ∉A，讀作 x 不屬於 A

4.子集：設 A，B 為兩集合

若

A 中的任一元素都屬於 B，則稱 A 為 B 的子集

記作

A⊂ B 或 B⊃A，讀作 A 包含於 B 或 B 包含 A

若a∈A，但 a∉B，則 A 不是 B 的子集，記作 A

⊄ B

彬註 1：為任何集合的子集合

彬註 2：對任何集合 A，均滿足 A⊂

A

5.冪集合：集合 A 的所有子集所成集合稱為冪集合，以 2^A表之 Ex1.設 A={1，2，3}，則 A 的所有子集共有幾個？[

2

³

=8

]

6.集合的相等：設 A，B 兩集合的元素完全相同(不考慮元素的排列順序及重複次數) 則稱

A、B 為相等的集合，記作 A=B。亦即”A⊂B 且 B ⊂A”

Ex2.A={x，y}，B={x+1，2，3}，若 A=B，試求 x，y 之值？[2，3]

7.常用的集合：

∅

：空集合：不含任何元素的集合為空集合，記作∅或{}

N：所有自然數

所成的集合

Z：所有整數

所成的集合

Q：所有有理數

所成的集合

R：所有實數

所成的集合

C：所有複數

所成的集合彬註：數系

N ⊂Z ⊂Q⊂ R⊂C

(a，b)={x|a<x<b}，其中 a，b

∈R，a<b；此稱為開區間

[a，b]={x|a≦x≦b}，其中 a，b

∈R，a<b；此稱為閉區間

[a，b)={x|a≦x<b}，其中 a，b

∈R，a<b

(a，b]={x|a<x≦b}，其中 a，b

∈R，a<b

(a，

∞)={x|a<x}，其中 a ∈ R (無限大只能趨近，禁用等號，限用開區間)

(-

∞， a) ={x|x<a}，其中 a∈R

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(3)

二、集合的運算

1.交集：由集合 A、B 的所有共同元素所組成的集合稱為 A 與 B 的交集，

記作

A∩B，讀作 A 交集 B。此即 A∩B={x|x∈A ∧x∈ B}

2.聯集：由集合 A、B 的所有元素組成的集合稱為 A 與 B 的聯集，

記作

A∪B，讀作 A 聯集 B。此即 A∪B={x|x ∈A∨ x∈B}

3.差集：在集合 A 中但不在集合 B 中的所有元素所成的集合，

記作

A-B，讀作 A 差集 B。此即 A-B={x|x∈A ∧x ∉B}

Ex3.A={2，5，x+1}，B={-4，x-2，x²-2x-3}，A∩B={2，5}，則 x=？[4]

4.宇集：所討論對象的全體所成的集合稱為宇集(或基集)，通常以 U 表之 5.補集：若 U 為宇集，A 為一集合，則 U 中所有不在 A 中的元素所成集合，

稱為

A 的補集(或餘集)，記作 A’。此即 A’={x|x ∉A}=U-A

6.文氏圖

Ex4.若 A⊂

B，則下列哪些成立？(A)A∪ B=B(B)A∩B=A(C)A’⊂ B’(D)B’⊂ A’[ABD]

7.常用性質：

A∪B=B∪A

(交換)

A∩B=B∩A

(交換)

(A∪B)∪C=A (∪

B∪C)

(結合) (A∩B)∩C=A∩(B∩C) (結合)

A (

∪

B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

(分配)

A∩(B∪C)=(A∩B) (

∪

A∩C)

(分配)

(A∩B)’=A’∪B’ (DeMorgan) (A∪B)’=A’∩B’ (DeMorgan) (A’)’=A

三、集合的元素個數：

1.有限與無限：A 為一集合，

若

A 的元素可數盡，則稱 A 為有限集合

若

A 的元素不可數或數不盡，則稱 A 為無限集合

2.有限集合 A 的元素個數記作 n(A)

彬註：集合的元素個數以互異考慮(重複只計一次)

Ex5.設實數集 S 滿足：(1)2

∉S，3 ∈S，(2)若 a ∈S，則 ^S a

a ∈

−

− 2

3

。

下列何者正確？(A)-1∈S(B)0

∈S(C) ^∈ ^S 2

1

(D)

∈ ^S 2

3

(E)n(S)≧3[

BDE]

3.有限集合的元素個數性質：

n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)

n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C) n(A-B)=n(A)-n(A∩B)

(2 ) 2^A ^{n A}( )

n =

Ex6.三位正整數中，是 2 或 3 的倍數者有？個[600]

cplee-1-0-1-2/8

(4)

Ex7.1 到 120 的自然數中，是 2 或 3 或 5 的倍數者有？個[88]

Ex8.若 M={x

∈N

1

≤x ≤1000}，則 M 中與 30 互質的有個[266]

Ex9.1 到 1000000 的自然數中，(1)是完全平方數或立方數者有幾個？(2)非平方數，

也非立方數者有幾個？(3)是平方數，但不是立方數者有幾個？

[1090；998910；990]

Ex10.x

∈R，A={x|  x >

1}、B={x|x>1}、C={x|x²

>1}、D={x|x

³

>1}

則(1)A

⊂B(2)B⊂ C(3)C⊂D(4)D ⊂A(5)A⊂C(6)B ⊂D[2456]

Ex11.下列哪些正確？(A)0

⊂{0}(B)0 ⊂∅(C)0∈∅

(D)0

∈{0}(E)∅⊂

{0}[DE]

Ex12.若 A={1，2，3，{1，2}}，B={1，2}則下列何者為真？

(1)1∈A(2)1

∈B(3)B∈A(4)B⊂ A(5){B}⊂A(6){3} ⊂A(7){1，{1，2}} ⊂A[1234567]

Ex13.設 A={x|a≦x≦1}，

B={x|-1≦x

≦0}

(1)若 A-B={x|0<x≦1}，則

a 的範圍為？Ans：-1≦a

≦0 (2)若 A-B=A，則 a 的範圍為？Ans：0<a≦1

(3)若 A-B 中的元素共有 4 個整數，則 a 的範圍為？[-5<a≦-4]

Ex14.設 A

⊂B，下列哪個必是空集合？(A)A ∩B’(B)A’ ∩B(C)A’∩ B’(D)A∩B[A]

Ex15.市場調查 200 戶住家發現：有訂閱甲報的 57 戶，有訂閱乙報的 68 戶，有訂閱丙報的78 戶，恰訂閱其中兩種的有 53 戶，而此三種報紙都訂閱的有 10 戶，試問三種報紙都不訂閱的有幾戶？[70]

Ex16.52 個學生參加數學測驗，測驗題分 A，B，C 三題，結果答對 A 題者有 37 人，

答對

B 題者有 30 人，答對 C 題者有 25 人，同時答對 A，B 者有 20 人，同時答對 B，C 者有 13 人，同時答對 C，A 者有 16 人，三題均答對者有 5 人，則

(1)A，B，C 三題中至少答對一題者有幾人？(2)三題均答錯者有幾人？(3)恰答對一 題者有幾人？(4)至少答對二題者有幾人？[48；4；9；39]

cplee-1-0-1-3/8

(5)

0-2 邏輯的基本概念

一、敘述與命題：

1.敘述：凡可明確地判斷為「真」或「假」的語句稱為敘述

2.否定敘述：將一敘述「p」否定後可得一新敘述，稱為否定敘述，記作「~p」

由

p 是正確的可推出~p 是錯誤的；由 p 是錯誤的可推出~p 是正確的

彬註：否定：(且 vs.或)、(所有 vs.有些)、(每一 vs.至少有一)

3.將「若 p 則 q」之形式的敘述稱為命題，記作「p

→ q 」；

其中

p，q 為兩敘述，且稱 p 為前提(假設)，q 為結論

4.命題的真假判斷：

命題為「對」有二種可能：

結論「真」或前提「假」命題為「錯」有一種可能：

前提「真」且結論「假」時，

例：考試得分有二種可能：學生答對或題目出錯，

考試沒得分只有一種可能：當題目對且學生答錯

Ex17.下列何者為敘述？(A)x+1=x-5(B)x+1=-5(C)3+7<5-10(D)彬哥非常帥 (E)三角形不是四邊形。[ACE]

Ex18.下列命題何者為真？(A)△ABC 中， AB+ BC > CA且 AB−CA< BC

(B)△ABC 中，兩邊中點連線段平行第三邊且等於第三邊長的一半 (C)平行四邊形一組對邊平行且相等

(D)梯形一組對邊平行且相等

(E)梯形對角線互相垂直且平分[ABC]

Ex19.寫出下列各命題的否定命題：

(1)李吉彬是好人。[李吉彬不是好人]

(2)小李的月考數學和英文均及格。[小李的月考數學或英文不及格]

(3)小李的月考數學及格或英文及格。[小李的月考數學和英文均不及格]

(4)一年二班同學中有人騎腳踏車上學。[一年二班同學沒人騎腳踏車上學]

(5)一年十七班全班同學都沒有說謊。[一年十七班有些同學說謊]

(6)△ABC 中，有一內角為鈍角。[△ABC 的三內角均非鈍角]

(7)∀x

∈R，x>3。[∃ x∈R， ∋ x

≦3]

(8)∃x

∈Q， ∋x

≦ 。[3

∀x ∈Q，∋x>3]

5.給定一命題「p→

q 」，可衍生出以下三命題：

逆命題：即命題「

q → p 」

否命題：即命題「~p

→

~ q 」 否逆命題：即命題「~q→~ p 」

6.命題等價：互為否逆之命題等價(用真值表證) 即「

p → q 」≡「~q→

~ p 」

cplee-1-0-2-4/8

p q p → q

ο ο ο

ο × ×

× ο ο

× × ο

p → q q → p

~p

→

~q

~q → ~p

(6)

Ex20.寫出命題「用功讀書的學生必有獲得知識」的否命題，逆命題，否逆命題 [不用功的學生沒有獲得知識；有獲得知識的學生必定用功讀書；沒獲得知識的學生必定不用功讀書]

Ex21.下列推論何者為真？

(A)已知「天下雨→地面潮濕」，則「天不下雨→地面不潮濕」

(B)已知「某人家裡有電視機→某人不是窮人」且「某人是窮人→某人不必納稅」。

已知某人家裡沒有電視機，可以推得某人不必納稅。

(C)若「好青年不抽煙」為真，則「某人不抽煙→某人是好青年」[全偽]

Ex22.以下命題皆為真：^若

A 為綠色則 B 為紅色

_、^若

A 非綠色則 B 為白色

_、

若

B 為紅色則 C 為藍色

_、^若

C 非黑色則 B 為黃色

_、^若

C 為藍色則 D 非白色

_；已知

D 為白色，試問 B、C 之顏色？[B 為白色，C 為黑色]

7.邏輯「且」「∧」：只有

pq 同時為「真」時，「p ∧q」才「真」

8.邏輯「或」「∨」：只要

pq 非同時為「假」時，「p∨q」就「真」

9.真值表(窮舉)：

「

p → q 」

≡「~q

→

~ p 」

≡「~p

∨q」

10.邏輯的 DeMorgan：

^~ ⁽

^p^∧ ^q

⁾

^≡

^(~

^p

⁾

^∨

^(~

^q

⁾

，

^~ ⁽

^p∨ ^q

⁾

≡

^(~

^p

⁾

∧

^(~

^q

⁾

二、條件(因果關係)

1.充分條件：若命題「p

→ q 」為真，則用符號「p ⇒ q 」表示，讀作 p 蘊涵 q

(即由敘述 p 可推得敘述 q)。p 稱為 q 的充分條件

2.必要條件：同上，q 亦稱為 p 的必要條件

3.充要(充分必要)條件：若命題「p

→ q 」「q → p 」均為真，則用符號「p ⇔ q 」表示，

讀作若且唯若 p 則 q。(即由敘述 p 可推得敘述 q，而由敘述 q 亦可推得敘述 p) 此時

p 稱為 q 的充要條件，q 亦稱為 p 的充要條件

(if and only if)(iff)

Ex23.判斷下列為充分、必要或充要條件：

△ABC 中，∠A>90^o是△ABC 為鈍角三角形的何種條件？[充分]

△ABC 中，∠A<90^o是△ABC 為銳角三角形的何種條件？[必要]

a>0，b<0 為 ab<0 的何種條件？[充分]

a,b∈R，a=b=0 是 a

²+b²=0 的何種條件？[充要]

a,b∈R，a+b>0 且 ab>0 為 a>0 且 b>0 的何種條件？[充要]

-1<x<3 為 x²-2x-3<0 之何種條件？[充要]

x

≦ 為(x+1)(x+2)<0 之何種條件？[必要]0

cplee-1-0-2-5/8

p q p ∧ q p ∨ q p → q

~

q →

~

p ~ p ∨ q

ο ο ο ο ο ο ο

ο × × ο × × ×

× ο × ο ο ο ο

× × × × ο ο ο

(7)

Ex24.若 p 為 q 的充分條件，q 為 r 的充要條件，r 為 s 的充要條件，s 為 q 的必要條 件，則(1)p 為 s 的何種條件？(2)q 為 s 的何種條件？(3)p 為 r 的何種條件？

[充分；充要；充分]

三、常見證明方法：

1.直接證法：蘊涵關係具有遞移性，即 p

⇒ q 且 q ⇒ r 可得 p⇒ r

利用此一性質，若欲證明「

p ⇒ q 」

可證明

p ⇒p

1、

p

1

⇒ p

2、⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅、pn – 1

⇒ p

n、pn

⇒ q 即可

2.歸謬證法：利用命題與否逆命題等價，若欲證明 p⇒

q ，可證明~q⇒

~ p 3.窮舉證法：考慮所有可能情形(例：真值表)

4.鴿籠原理：10 隻鴿子進入 9 個籠子 至少有 1 籠子有 2 隻以上 ( 含 ) 的鴿子 5.常用符號：(∀對所有的)。(

∃存在)。(∃

!存在唯一)。(

∋使得)

Ex25.x，y，z

∈R，命題「若 x+y+z=9，則 x

³+y³+z³≠3xyz」為偽，則 x-y+z=？[3]

Ex26.已知「若 x+y=5 則 2x–y

≠

1」為偽，求 x、y 之值[2，3]

Ex27.設 a，b，c 都是奇整數，試證：方程式 ax²+bx+c=0 沒有“整數解”

Ex28.試證：a³+b³+c³=3abc⇔a+b+c=0 或 a=b=c

Ex29.試證：若 n

∈Z，n

²為3 的倍數，則 n 為 3 的倍數

Ex30.試證：若 a，b，c∈

Z，且 a

²+b²=c²則三者最少有一為偶數

Ex31.試證：若 10 人數學總分為 700 分，則至少有一人的分數不小於 70 分

Ex32.試證：若 m，n∈

Z，mn 為偶數，則 m 是偶數或 n 是偶數

Ex33.在邊長 1 的正方形內任意放置 5 個點，試證：至少有兩點的距離不大於

2 2

Ex34.在 19 個密閉的盒子中，每個盒子都裝了乒乓球，每盒最多裝 6 個，

試證：至少有4 個盒子裝的乒乓球數一樣多

cplee-1-0-2-6/8

(8)

(A) (B) (C) (D)

•

f f

(A) )

B B

A

0-3 函數的基本概念

一、函數的意義：

1.定義域、對應域、值域：

f：A→ B 中，

集合

A 稱為函數 f 的定義域

，集合

B 稱為函數 f 的對應域

，

所有函數值

f(a)所成的集合稱為 f 的值域

，以

f(A)表示。

其中

f(A) ⊂B

Ex35.求下列函數的定義域(1)f(x)=

2 1

− + x

x (2)f(x)= ^{| x}^|(3)f(x)= 1 4 5

x + + x

−

[{x|x>2}；{x|x

∈R}；{x|-4≤ x<5}]

Ex36.求下列函數的值域(1)f(x)=x+2，-1≦x≦ ，(2)f(x)=1

2 | 2

|

−

− x

x

，x≠2

(3)f(x)=

3 |

| x − x

² [{f(x)|1≤f(x)

≤3}；{1，-1}；{0}]

Ex37.設 f(x)滿足 f(x-1)=4x²-7x+1，則 f(x)=？[4x²+x-2]

2.函數的圖形：

若

A，B⊂R，f：A→B 為一函數，將所有點(x，f(x))，x∈ A，

描繪於平面直角坐標系中，所形成的圖形稱為函數

f 的圖形

此圖形即平面直角坐標系中的一個點集合

Γ={(x，f(x))|x ∈A}

3.函數圖形的特徵：經過函數 y=f(x)定義域 中的任一點

x，

作垂直於

x 軸的直線 L，則 L 與函數圖形恰交於一點(x，f(x))

Ex38.下列關係式中，「y 是 x 的函數」有哪些？

(A)x=3(B)y=2(C)xy=1(D)y²+3x–2=0(E)x²=3x–y[BCE]

Ex39.下列那些圖形可為函數圖形：

[AD]

4.遞增函數：函數圖形如果由左至右逐漸升高，則稱此函數為遞增函數；

若

a>b，則 f(a)≧f(b)

(無等號稱絕對遞增)

5.遞減函數：函數圖形如果由左至右逐漸下降，則稱此函數為遞減函數；

若

a>b，則 f(a)≦f(b)

(無等號稱絕對遞減) 彬註：微分正負表示增減

6.偶函數：若函數 f 滿足 f(–x)=f(x)，則稱 f 為偶函數。例：f(x)=x² 函數圖形左右對稱於

y 軸

7.奇函數：若函數 f 滿足 f(–x)=–f(x)，則稱 f 為奇函數。例：f(x)=x³ 函數圖形對稱於原點

cplee-1-0-3-7/8

(9)

8.週期函數：若函數 f 滿足 f(x+T)=f(x)，則稱 f 為週期函數。

最小正數

T 稱為週期

Ex40.若函數 f(x)表 2^x之個位數字，如

f(3)=8，f(4)=6；

求

f(1)+f(2)+ …+f(101)之值。[502]

二、函數的合成：

設兩函數

f：A →B，g：B →C，稱 g ° f ：A→ C 為 f 與 g 的合成函數，即 g ° f ( x)=g(f(x))

Ex41.設 f(x)=x²+1，g(x)=x-1，則(1)f

° g ( x)=？(2)g ° f ( x)=？(3)f ° f ( x)=？

[x²-2x+2；x²；

x

⁴+2x²+2]

三、函數的對映關係：

1.嵌射(1–1)：設 f：A

→B 為一函數，對 A 中任二元素 x

1，

x

2，若

x

1

≠x

2時恆有

f(x

1)≠

f(x

2)，則稱 f 為一對一函數

2.蓋射(映成)(onto)：設 f：A→

B 為一函數，若 f(A)=B，則稱 f 為映成函數

3.對射：(1–1&onto)

Ex42.若 A={x，y，z}，B={1，3，5，7}，則由 A 映至 B 的函數共有幾種？[64]

Ex43.設函數 f  x =

{

^[

^x ^{x ] 1x3}

²

^{,−1≤x≤1}

^，其中[x]表高斯函數，且 f(x+4)=f(x)，

求

f(11)與 f(-7)與 f  29

3 

[1；1；1]

Ex44.求下列函數的定義域、值域(1)f(x)= 5 4x x

− −

² (2)f(x)= 1 ₂ 4x x

−

[(1)A={x|-5≤

x≤1}，f(A)={y|0 ≤y ≤3}；(2)A={x|0<x<4}，f(A)={y|y≥

1

2 }]

Ex45.若 f(x)=4x–5，g(x)=3x+1 且 f(k)=g(2)，試求 k？[3]

Ex46.設

⁾ ³ ² 1

2 ( 1 = +

−

− x

x

f x

，則

f(1)=？[2]

Ex47.函數

3 2

1 ) 3

1 ( 1

+

= −

− +

x x x

f x

， x≠1 ， x≠−3

2 ，求

f(x)=？[

1 5

4 2

− + x

x

， x≠1 5 ]

Ex48.設 f(x)為一函數，滿足 f(x+3)=f(x)，f(-x)=-f(x) 已知

f(1)=3，求 f(7)與 f(-22)[3；-3]

cplee-1-0-3-8/8

(10)

1-1 整數 Z

一、整數的性質：

1.封閉性：＋－×

2.離散性：a，b∈Z，a≠b，則|a-b|≧1

3.除法原理：a、b∈Z，b

≠0，a=bq+r，其中 0 ≤r<|b|

二、因數與倍數：設

a、b、c∈Z

1.零不為任意非零數之因數 2.零為任意非零整數之倍數 3.a|b，b|c⇒a|c (遞移性)

4.a|b，a|c⇒a|mb±nc，其中 m、n∈Z (倍數加減乘倍數仍為倍數)

Ex1.設 m，n∈

N，m＞1，若 m|(35n＋28)且 m|(5n＋3)，則 m 之值＝？[7]

Ex2.設 n

∈N，且 ^N n

n ∈

− +

3 2

12

5

，求

n 值？[2，3，8，21]

三、質數prime

1.質數：正因數恰只有二個(1 與本身)之自然數稱之 2.最小之質數為 2

3.質數檢驗定理：a∈N，a>1，若 a 沒有小於或等於 ^a的質因數，則

a 為質數

4.質數 2、3、5、7、11...的倍數判斷

5.質數無限多個

Ex3.若六位數 12a49b 為 36 的倍數，求數對(a，b)？[(0，2),(9，2),(5，6)]

Ex4.n∈

N 且 p=n

⁴

−6n

²+25 為質數，求 n，p 之值？[2，17]

四、標準分解式

kk

p p p

a =

1^α¹ ^α2²



^α

1.正因數的個數 n=

⁽ α

1+

¹ ⁾⁽ α

2+

¹ ⁾ _ ⁽ α

k +

¹ ⁾

2.正因數的總和 S=

_ ∑

t=0 α₁

p

₁^t

 ∑

t =0 α₂

p

₂^t

⋯ ∑

t=0 α_k

p

_k^t



3.正因數的乘積= 2

n

a

4.正因數的倒數和=

^S

a

5.因數的個數=2n 6.因數的總和=0

Ex5.試求 57600 的

(1)正因數的個數及總和(2)因數的個數及總和(3)正因數的乘積及倒數和 (4)正因數中，完全平方數的個數及總和

(5)正因數中，是 9 之倍數，但不是 8 之倍數者的個數及總和 [81，205933；162，0；

240

⁸¹，

57600 205933

；20，88660；9，1953]

cplee-1-1-1-1/16

(11)

Ex6.將 333333 的所有正因數，由大而小排列，a1>a2>a3>a4>，求 a⁴=?[37037]

五、最大公因數(g.c.d.)與最小公倍數(l.c.m.) (註：均正) 1.設 a，b∈Z，ab≠0，則(a，b)．[a，b]=|ab|

2.設 a，b，c∈Z，abc≠0，則

(1)(a，b，c)．[a，b，c]=|abc|不一定成立

(2)若(a，b)=(b，c)=(c，a)=1，則(a，b，c)．[a，b，c]=|abc|

3.若 a，b，c∈Z，a|bc 且(a，c)=1

⇒a|b

4.設 p 為質數且 p|ab⇒p|a 或 p|b

5.若 a、b∈Z，(a，b)=1⇒(ab，a

+b)=1，(ab，a-b)=1

Ex7.a，b∈

N，a＋2b＝126，[a，b]＝140，則數對(a，b)＝？[(70，28)]

Ex8.a、b∈

N，若 ab＝77760 且[a，b]＝1080，那麼 a 與 b 的正公因數有多少個？

[12]

Ex9.a∈

N，若 281 除以 a 餘數為 17，881 除以 a 餘數為 23，求可能 a 值之和？[99]

六、同餘≡

1.(mod 7)1≡8≡15≡22

2.a≡b，c≡d⇒a(+-×^)c≡b(+-×^)d 七、輾轉相除法

1.直式 2.橫式

13

÷

8=1...5 13=8×1+5 8÷5=1...3 8=5

×1+3

5÷3=1...2 5=3

×1+2

3÷2=1...1 3=2

×1+1

2÷1=2...0 2=1

×2+0

Ex10.設 a

∈N，若

2 1 6 1

a

1 5

＝ 803

371 ，則

a＝？[12]

3.設 a、b∈Z，b≠0，若 a=bq+r，其中 0

≤r<|b|⇒(a，b)=(b，r)(輾轉相除法原理)

4.設 a、b∈N，(a，b)=d⇒∃

m、n∈Z，使得 d=ma+nb(最大公因數表現定理)

Ex11.若正整數 a，b，q，r 滿足 a=bq+r，且令(a，b)表示 a 與 b 的最大公因數，

則下列何者為真?(A)(a，b)=(b，r)(B)(a，b)=(q，r)(C)(a，q)=(b，r) (D)(a，q)=(q，r)(E)(a，r)=(b，q)[AD]

cplee-1-1-1-2/16

1 13 8 1 8 5 1 5 3 1

3 2 2 2 1

2 0

(12)

Ex12.設 a ,b , x , y , z∈N ，且

{ ^{a=b x4098} b=4098 y582

4098=582 z24

，求(a，b)最大公因數[6]

八、整數解(不定方程)：例：求 13x+8y=1 之整數解通解為 ∈

−

= +

−

= t Z

t y

t

x

,

13 5

8

3

，表示法並不唯一，

x=-3，y=5 為一組解(代入滿足方程式)

x=8t，y=-13t 為零解(代入=0)(係數顛倒變號之互質比例)

1.輾轉相除法：(擴充型)

例：91x+56y=(91，56)

如右表，一組解為

x=-3，y=5

2.求一術：例：13x+8y=1 第一列為商數(輾轉相除法) 第二列最左邊固定為1 第三列最左邊固定為0 與 1 餘格=上方商數左格+左左格

最右欄的餘格分別為

x，y 之係數(可作為驗算用)(零解)

次右欄的5，3 搭配右方正負號即為一組解(y=5，x=-3)

3.尤拉解法：(1)留小係數(2)假分數換帶分數(3)求一組解(或再一次) 例：13x+8y=7

8y=7-13x

8 3 2 1

8 1 13

7 x

x x

y = − = − + − +

令

8 3 1 + x

−

=1 得一組解 x=3，y=-4 4.中國剩餘定理：

例：今有物，不知其數。三三數之剩一，五五數之剩二，七七數之剩三

。問物幾何﹖答曰：五十二三人同行七十稀

五樹梅花廿一枝七子團圓月正半除百零五便得知。

(70+42+45)÷105…..52

Ex13.求滿足下列條件之最小自然數 n 值 (1)n 除以 7，5 均餘 2

(2)n 除以 7，5 各餘 5，3 (3)n 除以 7，5 各餘 5，2

(4)n 除以 7，6，5 各餘 5，1，2[2，33，12，187]

cplee-1-1-1-3/16

1 91

a

56

b

1 56

b

35

a-b

1 35

a-b

21 -a+2b 1

21 -a+2b 14 2a-3b 2 14 2a-3b

7 -3a+5b

14 -6a+10b 0 8a-13b

1 1 1 1 2

1 1 2 3 5 13 0 1 1 2 3 8

1 1 1 1 2

+ - + - + - - + - + - +

3...1 35

70

105

5...2 21

42

63 84 105

7...3 15 30

45

60 75 90 105

(13)

Ex14.求 xy–3x+4y=5 的整數解？[(-3，-4),(-5，10),(3，2),(-11，4)]

Ex15.設 x，y

∈Z，則 ²

_x ⁺

³

_y ＝1 有幾組解？[7]

Ex16.設 a，b 為正整數，a 除以 18 的餘數為 7，b 除以 12 的餘數為 10，

則

a

²＋ab 除以 6 的餘數為？[5]

Ex17.已知『偶數的平方是 4 的倍數；奇數的平方除以 4 餘數為 1』。

考慮五個數：513，226，216，154，145。試問下列何者可以和上述五數中的某一數相加成為完全平方數：(A)513(B)226(C)216(D)154(E)145[ACE]

Ex18.下列哪些數是 9 的倍數?

(A)247023846(B)645×7329(C)3^{1 0 1}(D)986³+814³(E)10^{9 0}+1[ABCD]

Ex19.設 n

∈N，且

n² −9n−1=k∈

N，求數對(n，k)？[(26，21)，(10，3)]

Ex20.若 a，b 均為整數且方程式 x²－

ax＋817＝0 與 x

²－bx＋3553＝0 有共同的質數根，則數對(a，b)＝?[(62，206)]

Ex21.自然數 7200 的正因數中為 12 的倍數而非 60 的倍數者有多少個？[8]

Ex22.2⁷×3⁴×5³的正因數中，被45 整除，不被 8 整除者共多少個？[27]

Ex23.設 x，y

∈N 且 xy＝3600，求

(1)正整數解(x，y)共有？組 (2)正偶數解有？組

(3)x，y 互質之(x，y)共有？組

(4)x，y 為完全平方者有？組[45，27，8，12]

Ex24.a

∈N，a ≥1000，且 a 被 465 除後餘數為 30，求(a，465)？[15]

Ex25.x

∈N，x≠1，以 x 除 215，425，7195 之餘數均相同，求 x 值？[2,5,10]

Ex26.有一軍團，人數在三千與四千之間，今將此軍團排成若干個同樣的方陣，發現以8

×8 方陣排之，或以 12×

12 方陣排之，都恰好排盡，求軍團人數？[3456]

cplee-1-1-1-4/16

(14)

Ex27.天干地支記日是分別以甲子、乙丑、丙寅、丁卯、戊辰、己巳、庚午、辛未、壬申、

癸酉、甲戌、乙亥、丙子、丁丑、…癸亥、六十天為一週期循環記日。已知民國89 年 7 月3 日為壬戌日，那麼推算民國 90 年 1 月 1 日以天干地支記是？[甲子]

Ex28.兩個正整數的最大公因數 36，其和為 504，且兩數都大於 150，則此兩數為？

[180，324]

Ex29.若

n

6 ，

n

²

196 ，

n

³

441 皆為正整數，則正整數

n 的最小值為？[42]

Ex30.設 n

∈N，且 n

⁴－3n²＋9 是質數，則 n＝？[1 或 2]

Ex31.a 是整數，則滿足 a³|2⁷×3⁴×5³的

a 共？個[24]

Ex32.(2993)^{7 4 6 8 7}的值除以10 所得餘數為？[7]

cplee-1-1-1-5/16

(15)

1-2 有理數 Q 與實數 R

一、有理數

Q：

Q={x|x=

^q_p ，p≠0，p、q∈

Z，(p，q)=1}，

如：整數、分數、有限小數、循環小數

彬註：無理數

Q’表成小數時，為不循環之無限小數(Q’=R-Q)

Ex33.把循環小數 8.15 374 化為最簡分數 Ans：[

⁸¹⁴⁵⁵⁹

99900

]

Ex34.已知：設 n

∈N，若 n

²為3 的倍數，則 n 為 3 的倍數。試證：

(1)

 ³

^為無理數⁽²⁾

^5  ³

^為無理數⁽³⁾



^3



³^{2 為無理數}

1.有理數的稠密性：任意二相異的有理數之間，至少有一個有理數存在。

此外

任意二相異的有理數之間，至少有一個無理數存在。

任意二相異的無理數之間，至少有一個有理數存在。

任意二相異的無理數之間，至少有一個無理數存在。

2.設 a、b、c∈Q，

 ^{c ∈Q '}

^，則

^a+b

^c^=0⇔a=b=0

3.手動開根號

Ex35.若



^11



72 =a+b，其中 a

∈N，0<b<1，求 a，b？[4， 

^{2−1 ]}

Ex36.x，y

∈Q，且 x y 

^16



^252=x



⁸⁻



285 ，求 x，y。[1，1]

Ex37.設 m

∈Z，且 x

²−3



^{2 x}



2 m=4 有有理根，求 m 值。[4 或-1]

Ex38. 58.07化為小數時，小數點後第一位數是？[6]

二、實數 R

1.數線上之所有點代表之數所成之集合，稱為實數

2.封閉性(R：+-×÷)(Q：+-

×÷

)(Q’沒有)(Z：+-×)(N：+×) 3.稠密性(Q、R)、離散性(N、Z)

4.a，b∈R；a²

+b

²

=0⇔a=b=0

Ex39.判斷下列敘述是否正確?(A)若 a，b

∈Q，則 a+b ∈Q(B)若 a，b 均為無理數，

則

a+b 亦為無理數(C)若 a 為有理數，b 為無理數，則 a+b 亦為無理數(D)設 a，b∈Q，x，y 為無理數，若 a+x=b+y，則 a=b，x=y(E)設 x∈R，x ≠0，若 x

⁹

∈Q，x

^{1 2}

∈Q，則 x∈Q(F)設 x ∈R，x≠

0，若 x⁷

∈Q，x

^{1 2}

∈Q，則 x∈ Q[ACF]

cplee-1-1-2-6/16

(16)

三、絕對值函數

1.幾何意義：數線上二點 a，b 的距離=|a-b|

2.a∈R⁺，|x|≦a

⇔- a≦x≦a

3.a∈R⁺，|x|≧a

⇔x≦-a 或 x≧a

4.f(x)=x–a1

 + x–a

2

+

^{⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅}

+ x–a

n

在 x=『中位數』時，f(x)有最小值。

比較：

f(x)=(x–a

1)²

+(x–a

2)²

+

^{⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅}

+(x–a

n)²在

x=『算均』時有最小值。

5.||a|-|b||≤|a

±b|≤

|a|+|b|

Ex40.a，b，x

∈R，若 ∣a x1∣≥b 之解為 x≥5∨x≤−3 ，求 a，b [-1，4]

Ex41.設 x

∈R，求 f(x)＝ x

－＋－＋－1

x

2

x

30之最小值。[29]

Ex42.x

∈R，求使 ∣x−3∣∣x8∣=k 有解之最小整數 k。[11]

四、數線(R)：

1.距離：點 A(a)與點 B(b)之距離為|a-b|

2.中點：點 A(a)與點 B(b)之中點為 M(

2 b a +

) (算術平均) 3.內分點：點 A(a)與點 B(b)之內分點(PA：PB=m:n)為 P(

m n

mb na

+

) (加權平均) 4.外分點：點 A(a)與點 B(b)之外分點(PA：PB=m:n)為 P(

m n

mb na

−

) (加權平均)

Ex43.數線上三點 A(2)，B(5)，P(x)，如果 P 介於 A 與 B 間，且 AP : BP ＝5：8，

求

x 值？[

13 41

]

Ex44.設 11－6 2 的整數部分為

a，純小數部分為 b，則 b a −

1

＋

b 之值為？[3]

Ex45.設正實數 a 的純小數部分為 b，已知 a＋b²＝

n，n∈N，求 b 之值？[

2 1 5

− ]

Ex46.設方程式 x²－2x－4＝0 的兩根為 α、β，則|α|+|β|之值＝？[2 5]

Ex47.x

∈N，f(x)表

^x的整數部分，則

f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(100)=？[625]

Ex48.x，y

∈R，|x＋

2 1

|

2 ≤ 3

，|y－

2 5

|

2 ≤ 1

，求下列之範圍 (1)x－y (2)xy (3) ^x_y (4)xy－3x－2y＋1 [-5≦x－y≦-1，-6≦xy≦ ，3 -1≦ ^x_y ≦

2

1

，-5≦xy－3x－2y＋1≦-1]

cplee-1-1-2-7/16

(17)

m>0 m<0 m=0 m 不存在

1-3 平面座標

一、兩點間的距離公式：

平面上兩點

A(x

1，

y

1)，B(x2，

y

2)，其距離 AB=



^

^x

¹⁻

^x

²^²^

^y

¹⁻

^y

²^²

Ex49.設點 P 到 A(3，0)，B(0，1)，C(0，6)都等距，則 P 的坐標為？[

⁾ 2 , 7 2 ( 5

]

Ex50.設△ABC 的三個頂點坐標各為 A(2，－5)，B(3，1)，C(－4，2)，則

∠A，∠B，∠C 的大小順序為？[B>A>C]

二、中點公式：A(x1，

y

1)，B(x2，y2)，則 AB 中點 M 的坐標為 ) , 2

(

x

¹

+

2

x

²

y

¹

+ y

² 三、分點公式：A(x1，

y

1)，B(x2，y2)，

P ∈AB ↔

， AP : BP=m: n

內分點

P 的坐標為

( ¹ ², ¹ ²)

n m

my ny n m

mx nx

+ + +

+

外分點

Q 的坐標為

( ¹ ² , ¹ ²)

n m

my ny n

m mx nx

− +

−

− +

−

(m，n 任擇一變號)

Ex51.設△ABC 之頂點為 A(2，－8)，B(－6，－2)，C(6，－5)而且頂點 A 的分角 線交BC於

D 點，求 D 點的坐標？[(2,-4)]

Ex52.平行四邊形之三頂點為 A(5，–4)，B(–3，2)，C(4，1)，求第四個頂點的坐 標[(-4,7)，(12,-5)，(-2,-3)]

四、三角形的重心、內心：

A(x

1，

y

1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， AB=c， BC=a，CA=b

△ABC 的重心 G )

, 3

(

x

¹

+ x

3²

+ x

³

y

¹

+ y

²

+ y

³

(算術平均)

△ABC 的內心 I( ¹ ² ³, ¹ ² ³)

c b a

cy by ay c

b a

cx bx ax

+ +

+ + +

+ +

+

(加權平均)

四、直線的斜率

1.定義：設直線 L 過兩點 A(x1，

y

1)，B(x2，y2)，則 L 的斜率為 m= ² ¹

2 1

y y x x

−

彬註：若

L 是鉛直線(即 x

1=x2)，則 L 斜率不存在 2.直線 ax+by+c=0 的斜率為

− _b ^a

(b

≠0)

（若

b=0，表示直線為鉛垂線，沒有斜率）

Ex53.設函數 f(x)＝ax＋b，若 x 值減少 2 單位，其 f(x)值增加 6 單位，則 a 之值為 (A)2(B)－2(C)3(D)－3(E)

⁻¹

3

[D]

3.斜率的正、負：

cplee-1-1-3-8/16

(18)

m

₂>m₁

m

₂

m

₁

m

₂<m₁

m m

₂₁ 4.斜率的絕對值愈大，直線愈陡

5.若兩直線 L1，

L

2的斜率分別為

m

1，m2

(1)L1//L2

⇔ m1=m2

(2)L1

⊥ L2 ⇔ m1×m2=-1

6.m=tanθ (θ 為該直線與 x 軸正向所夾有向角) 7.A、B、C 三點共線⇔

m

A B＝mB C＝mC A

Ex54.設 A(4，1)，B(–2，3)，C(a，a–1)為直角三角形之三頂點，求 a 值[5,-5,0,4]

Ex55.若三直線 L1：3x–y

−

1=0，L2：x

− y+1=0，L3：2x+ky+1=0，不能圍成一個三

角形，求

k 值[-2，

3 − 2

，

2 − 3

]

五、直線方程式

1.直線方程式的表示法：

(1)點斜式：斜率 m，過點(x1，

y

1)⇒L：  y− y1=m x−x₁ (2)斜截式：斜率 m，y 截距 b⇒L：y=mx+b

(3)截距式：x，y 截距各為 a，b，ab

≠0⇒ L： + = ¹ b

y a x

彬註：截距是指座標值(可正可負)，並非指距離(非負) (4)一般式：ax+by+c=0

Ex56.△ABC 的三邊 BC ， CA ， AB 分別在直線 x＋2y＝9，x－y＝9，3x－y

＝13 上，試求△ABC 之重心,垂心,外心[

⁾ 3 , 5 3 ( 16 −

，(6,1)，(5,-3)]

Ex57.求過(–2，2)且與坐標軸所圍成三角形面積為 1 的直線方程式？

[

¹

1 2 x + y =

，

¹

2 1 x + y = −

]

Ex58.直線 L 過(1，2)，與坐標軸在第一象限所圍成之三角形面積最小，

求

L 及最小面積[2x+y=4，4]

Ex59.k∈R，直線 L：(3k+5)x–(2k

−

1)y−(k+19)=0 恆過一點，求此點坐標。[(3,4)]

cplee-1-1-3-9/16

(19)

(5)過 P(x0，

y

0)且平行向量 v =(a，b)的直線參數式為

{ ^{x= x} ^{y= y}

⁰0^{a t}b t

, t ∈R

彬註1：此直線的斜率為

a b

彬註2：直線之參數方程式表示法不唯一 (6)直線參數式：

設

A(x

1，

y

1)，B(x2，

y

2)為相異二定點，

(1)直線

AB ↔

的參數式為

{ ^{x= x} ^{y= y}

¹1^

^x y

²₂⁻−

^x y

¹₁^tt

, t∈R

(2)線段 AB 的參數式為

{ ^{x= x} ^{y= y}

¹1^

^x y

²₂⁻−

^x y

¹₁^tt

, 0≤t≤1

(3)射線

^ AB

的參數式為

{ ^{x= x} ^{y= y}

¹1^

^x y

²₂⁻−

^x y

¹₁^tt

, t≥0

Ex60.A(1，2)，B(2，–1)，P(x，y)∈ AB，求下列各式之最大值與最小值：

(1)3x–4y+6 (2)x²+y²–4 [16，1；1，

2 − 3

]

Ex61.若 A(3，–50)，B(47，27)，

(1) AB上一共有多少個格子點?

(2)若 P(x，y)∈ AB且 AP上有 5 個格子點，求 x 的範圍[12，19≦x<23]

(7)直線系

設二直線

L

1：

a

1

x+b

1

y+c

1=0、L2：

a

2

x+b

2

y+c

2=0 相交於點 P(m，n) 則過點

P 之所有直線可表示成 k

1(a1

x+b

1

y+c

1)+k2(a2

x+b

2

y+c

2)=0 分為下列三類：

(a)(特殊狀況)k1=0：即 L2

(b)(特殊狀況)k2=0：即 L1

(c)k1

k

2≠0；即除了 L1、

L

2之外的所有直線。

可進一步化成

α

(a1

x+b

1

y+c

1)+(a2

x+b

2

y+c

2)=0 或(a1

x+b

1

y+c

1)+

β(a

2

x+b

2

y+c

2)=0

Ex62.直線 L1：31x－17y＋1＝0，L2：19x＋13y－2＝0 相交於點 A，而 B 是原點，

則 _AB的方程式為？[27x-7y=0]

Ex63.設有兩直線 L1：7x＋4y＋10＝0 與 L2：12x＋9y＋30＝0 交於 P 點，

求通過

P 點且 x 軸截距為－4 之直線方程式？[x+y+4=0]

2.平行線與垂直線

(1)與 ax+by=c 平行的直線可設為 ax+by=k，(k≠c) (2)與 ax+by=c 垂直的直線可設為 bx-ay=k

彬註：係數顛倒變號

Ex64.平行於直線 3x−4y

−5=0，且與兩軸所截出的線段長為 5 之直線方程式為何？

[3x-4y=±12]

cplee-1-1-3-10/16

(20)

Ex65.已知 A(3，4)，B(－2，1)，則直線 AB 的方程式為？過 C(4，2)與直線 AB 垂 直的直線方程式為？[3x-5y+11=0，5x+3y=26]

六、距離、投影、對稱及其應用

1.點 P0(x0，

y

0)到線 L：ax+by+c=0 之距離 d(P0，

L)=

⁰ ₂ ⁰₂

b a

c by ax

+ + +

(應用：角平分線，內心)

2.線 L1：ax+by+c1=0 到線 L2：ax+by+c2=0 之距離 d(L1，L2)= ¹₂ ²₂

b a

c c

+

−

3.點 P0(x0，

y

0)到線 L：ax+by+c=0 之投影點 H( ₀ ⁰ ₂ ⁰₂

b a

c by a ax

x +

+

− +

^， 0 ⁰ ₂ ⁰₂

b a

c by b ax

y +

+

− +

)

4.點 P0(x0，

y

0)到線 L：ax+by+c=0 之對稱點 P’( ₀

2

⁰ ₂ ⁰₂

b a

c by a ax

x +

+

− +

， ₀

2

⁰ ₂ ⁰₂

b a

c by b ax

y +

+

− +

)

5.對稱點特例 m=±1

Ex66.設 A(2，－5)，直線 L：x－2y＋3＝0，則由點 A 作直線 L 的垂線的垂足坐標 為？設

L 為線段

AB的中垂線，則

B 點的坐標為？[(-1,1)，(-4,7)]

Ex67.求點 P(3，－1)關於直線 2x－3y＋4＝0 之對稱點坐標？[(-1,5)]

Ex68.有一道光線從第一象限沿著直線 L：3x－4y＝1 射向 x 軸上的 P 點，經 x 軸反 射後，光線沿著另一條直線

L'離去，求 P 點坐標與 L'方程式[(

3

1

,0)，3x+4y=1]

5.在 L 上找一點 P，使 PAPB 最小；L 異側連線交點(同側對稱成異側) 6.在 L 上找一點 P，使 ∣PA−PB∣ 最大；L 同側連線交點(異側對稱成同側) 7.在 L 上找一點 P，使 PA²PB² 最小；中點投影點、投影點中點

8.在平面上找一點 P，使 PA²

PB

²

PC

² 最小；算術平均(重心) Ex69.設 A(2，1)，B(3，2)，C(–1+t，1+t)，t

∈R

(1)求點 C 的軌跡方程式(2)求∆ABC 周長的最小值[x-y+2=0，2 5+ 2]

Ex70.設 A(1，0)，B(

−1，2)，試在直線 L:x+2y=8 上取一點 P，使 PA

²

PB

² 最小，

求

P 點坐標[ ⁾ 5 , 17 5

( 6

]

Ex71.在 xy 平面上，有三點 A(3，0)，B(1，2)，C(－1，－2)及點 P，則當 P 之坐 標是？時，

PA

²

PB

²

PC

² 之值最小，其值為？[(1,0)，16]

cplee-1-1-3-11/16

(21)

七、三角形的五心：

1.重心：三中線(點+點)交點彬註：算術平均公式

2.內心：三內角平分線(點線距)交點彬註：加權平均公式

3.外心：三中垂線(點+斜率)交點 4.垂心：三高(點+斜率)交點

5.旁心：二外角一內角平分線(點線距)交點彬註：加權平均公式

6.外心、重心、垂心共線；稱為尤拉線

Ex72.△ABC 的三頂點 A(2，1)，B(7，4)，C(4，9)，下列敘述那些是正確的？

(A)△ABC 為直角三角形(B)△ABC 為等腰三角形

(C)△ABC 的外心坐標為(6，5)(D)△ABC 面積為 17[ABD]

Ex73.已知三角形的三頂點為 A(3，3)，B(－1，－5)與 C(6，0)，則△ABC 之垂心 坐標為？[

 14

3 , 2 3 

]

Ex74.若點 A(

−

3，k)及點 B(k，1)都在以 P(2，1)為圓心的圓上，求 k 值？[-11]

Ex75.(1)求



^

^x−4

²^25



^

^x4

²1 之最小值 m，及此時之 x 值[10， −8 3 ] (2)求

∣  ^x−4

²

^ ^25  ^ ^x4

²

^1∣

^之最大值

M，及此時之 x 值[ 4  ⁵

^，^-6]

Ex76.已知 A(1，2)與 B(3，4)為兩定點，P(x，y)為直線 x＋2y＝3 上一點，

問 PA=PB 時，P 的坐標為？[P(7,-2)]

Ex77.設 m

∈R，二直線 mx＋3y＋1＝0 與 x＋(m－2)y＋m＝0 相交於第二象限內，求 m 範圍為？[1<m<3]

Ex78.△ABC 中，三邊 AB , BC , CA 上各有一分點 D，E，F，若 A(4，－1)，

B(3，5)，C(－1，2)且 AD DB

=

BE

EC

=

CF

FA

=2008

97 ，求△

DEF 之重心坐標[(2,2)]

Ex79.△ABC 中，A(－2，－5)，B(3，0)，垂心

 11 2 ,− 1

2 

，求

C 點坐標及△ABC

之面積？[(0,5)，20]

cplee-1-1-3-12/16

(22)

1-4 複數與複數平面

一、複數與虛數

1.定義：形如 a+bi(a，b∈R)的數稱為複數；其中 i= −

1

。

a 稱為實部，b 稱為虛部。

彬註：

i=

−

1

；

i

²=

−1；i

³=

−i；i

⁴=1(四次一循環) 2.若 b=0 則稱為實數；若 a=0 則稱為純虛數

3.複數的四則運算

加法、減法：實部虛部分開獨立運算乘法：分配律

除法：分母實數化 4.虛數無大小之分

5.i 不置放於分母 、

i 不置放於根號

內 Ex80.求 i 之平方根。[ 1

2

+ i

]

Ex81.z

∈C，z

²=3–4i，求 z(求 3–4i 之平方根)。[ ±2−i ]

6.i 與 ω 的週期性質

i= 

^{−1 :}

{ ⁱ

^1ii⁴⁼¹ ²^i³⁼⁰

=−1



^{3 i}

2

: {

^{1}^²^⁼³^⁼¹¹^=²⁼⁰

二、共軛複數：

1.定義：設 z=a+bi(a，b∈R)，則 a–bi 稱為 z 的共軛複數，記為 z=a–bi。

2.性質：(1)z1± z2 = z1± z2(2)z1⋅z2 = z1⋅z2 (3) zⁿ=

z

ⁿ(4)

2 1 2 1

z z z z =

Ex82.(1)求 1+i+i²+

⋅⋅⋅⋅⋅

+i^{6 2}之值 (2)ω=

2 3 1 + i

−

，求



³¹



³²

...

¹⁷² 之值[i，w]

彬註1：

 ^a  ^b= {

⁻

^ ab , a0∧b0

 ^ab , otherwise

彬註2：

 ^a

 ^b

⁼

{

⁻

_ ^a ^b ^ ^a ^b ^{, a0∧b0} , otherwise

Ex83.x，y

∈R，且 x+y+i=–10+xyi，求  ^x−  ^y 

² ^[-8]

cplee-1-1-4-13/16

(23)

Ex84.若 x1

x

=−1 ，求 x¹⁹ 1

x

¹⁹

x

^{1 9}+

¹

₁₉

x

之值[-1]

三、複數平面(高斯平面)：

複數的絕對值：

1.定義：設 z=a+bi(a，b∈R)，規定 z 的絕對值

∣ z ∣

=

 ^a

²^b²

2.幾何意義：

(1)

∣ z ∣

：複數

z 到原點的距離。

(2)

∣ ^z

1−

z

₂

∣

^：複數

^z

¹^與

^z

²^{之間的距離。}

3.性質：(1)

∣ z ∣

=

∣ z ∣

≥0 (2)

∣ z ∣

²⁼

z⋅z (3) ∣ ^z

¹^⋅z²

∣

⁼

∣ ^z

¹

∣

^⋅

∣ ^z

²

∣

⁽⁴⁾

∣ ^z ^z

¹²

∣

⁼

^∣ ∣ ^z ^z

¹²

^∣ ∣

⁽⁵⁾

∣ z

ⁿ

∣

=

∣ z ∣

ⁿ

4.三角形不等式：

∣ ∣ ^z

¹

∣

⁻

∣ ^z

²

∣ ∣

^≤

∣ ^z

¹^

^z

²

∣

^≤

∣ ^z

¹

∣

^

∣ ^z

²

∣

，兩邊和大於第三邊，兩邊差小於第三邊 Ex85.設 z =5−12 i⋅72 i

2−7 i⋅34 i ，則|Z|＝？[

¹³ 5

]

Ex86.在高斯平面上 z1=4+5i，z2=−4+15i (1)求使

∣ ^z

¹⁻

^a ∣

^

∣ ^z

²^−a

∣

^{為最小的實數}

^a

(2)求使

∣ ^z

¹⁻

^a ∣

²^

∣ ^z

²^−a

∣

² ^{為最小的實數}

^{a [2，0]}

四、一元二次方程式

ax

²+bx+c=0(a，b，c

∈R，a≠

0) 1.二根為 x= −b±

 ^b

²^{−4 a c}

2 a

2.根的性質：

{ ^b

²−4 a c0 ⇔兩相異實根

b

²−4 a c=0 ⇔兩相等實根

b

²−4 a c0 ⇔兩共軛根虛實係數方程式

⇒

複根成對

3.根與係數的關係：設實係數二次方程式 ax²+bx+c=0 二根為  ,  ，則 (1) =−b

a

(2) ⋅=

c a

彬註：高次可類推

4.正根、負根：

 D=b

²

−4 a c 

(1)二正根：







>

+

≥

0 0 0

α β

β α

D

(2)二負根：







>

<

+

≥

0 0 0

α β

β α

D

(3)一正根、一負根： ⋅0

(4)二根均大於 10：

{

^

^D≥0 α−10 β−100



α−10⋅ β−100

。討論：

{ ^{α β20} ^{α⋅β100} ^D≥0

^可以嗎^?

5.以  ,  為二根的一元二次方程式為 x²-(α+

β

)x+αβ=0 Ex87.  ,  為 x²

−

2x+3=0 的二根，求

(1)α +² β ²(2)α +³ β³(3)α +⁴ β⁴ [-2，-10，-14]

cplee-1-1-4-14/16

(24)

Ex88.  ,  為 x²+6x+4=0 的二根，求



^



^



² ^之值？^[-10]

Ex89.若 =−1



^{3 i}

2 ，求下列各式之值：

(1) 252 ²⁶ (2) 2−2−²2−³2−⁴2−⁵ [729，49]

Ex90.若 a

∈R，且方程式 x

³+ax²+2x+1=0 有純虛根，求 a 値。[ 1 2 ]

Ex91.設  ,  為 x²+8x+6=0 的二根，求 2

₆ +

2

+ ₆

+ β

α α

β

值。[

12 − 13

]

Ex92.設  ,  為 x²-2x–2=0 的二根，則

⁽

α ⁴−

²

α ³−

²

α ²+α −

¹ ⁾⁽

β ⁴−

²

β ³−

²

β ²+ β −

¹ ⁾

=?

[-3]

Ex93.設 α，β 為 x²＋5x＋3＝0 之二根；γ，δ 為 2x²－4x－3＝0 之二根，求 (α-γ)(α-δ)(β-γ)(β-δ)之值？[

³⁹

4

]

Ex94.設 x，y 為實數， x y−4 i=1 x y i ，求 _x^y

^＋

_y^x ＝？[ i

2 17

]

Ex95.k

∈R，x

²+(k+2)x+(k+5)=0，依下列各條件求 k 範圍：

(1)二正根(2)二負根(3)一正根，一負根[-5<k≦-4；

k

≧ ；4

k<-5]

Ex96.m∈Q，二次方程式 mx²+(m–2)x+n=0 之根恆為有理數，求有理數 n 値[0,-2]

Ex97.設 m

∈Q，且

^x²⁻ ⁽ ³⁺¹⁾^x⁺ ³^m⁻ ²⁼ ⁰有有理根，求

m 值[2，-1]

Ex98.x

∈R，若 x

²–2x+a=0 的二根絕對值之和為 4，求實數 a 值[-3]

Ex99.方程式 x²–11x+(k+30)=0 之二根均大於 5，求實數 k 範圍[

4 0 < k ≤ 1

]

Ex100.設 k∈

Z，且 x

²–(k+3)x+2k–1=0 二根均為整數，求 k 值[3，-1]

Ex101.解方程式

∣ x

²−4

∣

=2 x−1 [3，−1+ ⁶ ]

cplee-1-1-4-15/16

(25)

Ex102.若 a 與 a+2 為異號的實數，且均為方程式 x²+|x|+3k=0 的解，求 k 値[

⁻² 3

]

Ex103.設實係數二次方程式 x²+x+c=0 的兩根 a，b 都不是實數，

而且

a b , 1

1

也正是此方程式的兩根，則

a

²+b²的數值為何？[-1]

Ex104.設 m∈

R，方程式 x

⁴+(m–5)x²+(m+3)=0 有(1)相異四實根(2)二實根，二虛根 (3)四個純虛根，試分別求 m 的範圍？[-3<m<1；m<-3；m>13]

Ex105.有一邊長為 3 的正六邊形紙板，今在每一個角各剪掉一個小三角形，使其成為正十二邊形之紙板，則此正十二邊形之邊長。[⁶ ³−⁹]

Ex106.甲、乙兩生同解一整係數方程式，甲生看錯 x²之係數得二根為

⁵

4

與

⁻³ 10

，乙生用公式解，判別式計算錯誤得二根為 13

12 與 −7

24 ，求正確的方程式。

[

48 x

²

− 38 x − 15 = 0

]

Ex107.設複數平面上有一正方形 ABCD，A(0)，B(3＋2i)，D 在第二象限內，試求 出

C，D 所在位置(複數表示) Ans：C(1+5i)，D(-2+3i)

Ex108.解方程式 x²－(3＋2i)x＋5(1＋i)＝0 的根。[2-i，1+3i]

Ex109.若已知(2－i)x²－3(1－i)x－2(1＋i)＝0 有實數解，求另一根。[ −1−3 i 5 ]

數學第一冊第 0 章基礎概念 數學第一冊第 1 章數與坐標

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