高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：98.01.07 班級
範
圍 3-2、3 圓與直線、球面
座號
姓 名
※、填充題(每題 10 分)
1. 直線x − y = 3 被圓x2 + y2 − x + y − 2 = 0 所截得的弦長 = 。
【解答】 2
【詳解】
圓C：(x − 2
1)2 + (y + 2 1)2 =
2
5，圓心P(
2 1，−
2
1)，半徑r = 2 5
又PQ= d(P，L) =
2
| 2 3 1 2
|1 + −
=
2 = 2 2 弦長AB= 2AQ= 2 PA2 −PQ2 = 2 2
25 − = 2
第 1 頁
2. 直線 3x − 4y = k與圓x2 + y2 + 4x − 6y − 12 = 0 交於A，B兩點，若AB= 6，則k 之值為 。
【解答】k = 2 或− 38
【詳解】
圓x2 + y2 + 4x − 6y − 12 = 0 ⇒ (x + 2)2 + (y − 3)2 = 52，圓心P( − 2，3)，半徑r = 5 過P作直線 3x − 4y = k的垂直線垂足M，則M為AB中點⇒AM = 3，又PA= r = 5
∴ PM = 52−32 = 4，即d(P，AB) =
16 9
| 12 6
|
+
−
−
− k = 4 ⇒ k + 18 = ± 20 ∴ k = 2 或− 38 3. 有一圓的圓心( − 3，4)，與直線 3x − 4y + 5 = 0 相切，其圓方程式為 。
【解答】(x + 3)2 + (y − 4)2 = 16
【詳解】
圓C的圓心A( − 3，4)與直線L：3x − 4y + 5 = 0 相切 故半徑r = d (A，L) =
2
2 ( 4)
3
| 5 4 4 ) 3 ( 3
|
− +
+
×
−
−
× = 4，得圓方程式為(x + 3)2 + (y − 4)2 = 42
4. 過點(1，3)且與圓(x + 1)2 + (y − 2)2 = 5 相切的直線方程式為 。
【解答】2x + y − 5 = 0
【詳解】
點 P(1，3)∈圓 C，故所求切線 L：(1 + 1)(x + 1) + (3 − 2)(y − 2) = 5，得 L：2x + y − 5 = 0 5. 求過P(1，1)且與圓x2 + (y − 3)2 = 1 相切的直線方程式： 。（兩解）
【解答】x = 1 或 y − 1 = − 4
3(x − 1)
【詳解】
P(1，1)代入圓方程式得 12 + (1 − 3)2 = 5 > 1 ∴ P在圓外 設切線為y − 1 = m(x − 1)，即mx − y − m + 1 = 0
2
2 ( 1)
| 1 3
0
|
− +
+
−
−
⋅ m
m
m = 1 ⇒ m = −
4
3 ⇒ 切線y − 1 = − 4
3(x − 1)，另一切線無斜率，即x = 1
6. 自點P(1，5)向圓x2 + y2 − 6x + 4y + 4 = 0 作二切線，切點分別為A，B，則 (1)切線段PA長為 。
(2)△PAB之外接圓方程式為 。 (3)直線AB的方程式為 。
第 2 頁
【解答】(1) 2 11 (2) x2 + y2 − 4x − 3y − 7 = 0 (3) 2x − 7y − 11 = 0
【詳解】
(1)PA= 1+25−6+20+4= 2 11
(2)AQ⊥AP，BQ⊥BP，故△PAB之外接圓，即為以P(1，5)及Q(3，− 2)為直徑之圓 ⇒ (x − 1)(x − 3) + (y − 5)(y + 2) = 0 ⇒ x2 + y2 − 4x − 3y − 7 = 0
(3) 切點弦所在直線AB的方程式為x + 5y −6(1 ) 2
+x +4(5 ) 2
+y + 4 = 0 ⇒ 2x − 7y − 11 = 0 7. 圓C與二直線x + 3y − 5 = 0 及x + 3y − 3 = 0 均相切且圓心在直線
2x + y + 1 = 0 上，則圓C的方程式為 。
【解答】(x + 5
7)2 + (y − 5 9)2 =
10 1
【詳解】
圓C與二平行線x + 3y − 5 = 0 及x + 3y − 3 = 0 均相切，
故圓心在二平行線之正中間x + 3y − 4 = 0 直線上，
又二平行線的距離
2 2
| 5 ( 3) | 1 3
− − −
= + =
10 2 ，
故半徑 =
10 ) 1 10 ( 2 2
1 =
圓心為二直線x + 3y − 4 = 0 與 2x + y + 1 = 0 的交點，解得(x，y) = ) 5 9 5
(−7， 故所求圓的方程式為(x +
5
7)2 + (y − 5 9)2 =
10 1
8. 圓x2 + y2 − 6x + 8y = 0 上任一點P到直線 4x + 3y = 30 的距離最大值 = ，此時P點 的坐標為 。
【解答】11，( − 1，− 7)
【詳解】
(1)x2 + y2 − 6x + 8y = 0 ⇒(x − 3)2 + (y + 4)2 = 52，圓心A(3，− 4)，半徑 5 P點到直線L：4x + 3y = 30 的最大距離
= d(A，L) + r = 5 11 5
5 30 3
4
| 30 12 12
|
2
2 + = + =
+
−
−
(2)過A(3，− 4)，與L：4x + 3y = 30 垂直的直線L′： 3 4 4 3
x t
y t
⎧ = +
⎨ = − +
⎩
代入L得交點Q )
5 2 5
(39，− ，代入圓得交點P ( 1 7)−，−
9. 已知直線L：4x + 3y + 4 = 0 與圓C：x2 + y2 − 6x − 6y − 7 = 0 相切，則切點坐標為 。
【解答】( − 1，0)
【詳解】
圓C：x2 + y2 − 6x − 6y − 7 = 0 ，切線 4x + 3y + 4 = 0
∴ 切點：
2 2
4 4
4 3 4 0
3
6 6 7 0
x y y x
x y x y
⎧ + + = ⇒ = − −
⎪⎨
⎪ + − − − =
⎩
，得(x，y) = ( − 1，0)
10.設A(1，4)與B(3，− 2)為坐標平面上兩點，若AB為圓C的一弦，且距離圓心為 10 ，求圓C的 方程式： 。（兩解）
【解答】(x + 1)2 + y2 = 20 或(x − 5)2 + (y − 2)2 = 20
【詳解】
AB中點M(2，1) ，____\AB=(2, 6)− =2(1, 3)− ， 設圓心O(2 3t+ ，1 t+ )
2 2
10 (2 3 2) (1 1) 10
OM = ⇒ + −t + + −t = ，t= ± ，代入O( 2 3t1 + ，1 t+ ) 圓心為(− 1，0)或(5，2)，半徑OA= ( 1 1)− − 2+ −0 4)2 = 20
∴ 圓C：(x + 1)2 + y2 = 20 或(x − 5)2 + (y − 2)2 = 20
11.圓C通過P(2，0)，Q(0，1)，已知圓C在點P的切線斜率為 − 1，求圓心： 。
【解答】(
2 5 2 1 −
− ， )
【詳解】
Sol一
設圓C：(x − h)2 + (y − k)2 = r2，圓C在點P的切線為(2 − h)(x − h) + (0 − k)(y − k) = r2 圓C過P(2，0)，Q(0，1)，且圓C在點P的切線斜率為 − 1⇒ 圓心與點P的直線斜率為 1
⇒ ⎪⎩
⎪⎨
⎧(2 − h)2 + (0 − k)2 = r2……c (0 − h)2 + (1 − k)2 = r2……d 0
2 1 k
− =h
− ……e
，由e得k = h − 2……f，c − d得 4h − 2k = 3……g
f代入g得h = − 2
1，k = − 2 5
Sol二
由____\PQ= −( 2,1)，PQ中點(1, )1
2 ⇒設圓C圓心 (1 ,1 2 ) 2 t
+ +
C t
因為圓C在點P的切線斜率為 − 1⇒ 圓心與點P的直線斜率為 1 (1 2 ) 0
2 1 3
(1 ) 2 2
t t t + −
= ⇒ = −
+ − ，圓心C(
2 5 2
−1，− )
12.求與直線x + 2y − 3 = 0 垂直且與圓x2 + y2 − 2x + 2y + 1 = 0 相切的直線方程式 。
【解答】2x − y − 3 + 5 = 0 或 2x − y − 3 − 5 = 0
【詳解】
直線 x + 2y − 3 = 0⇒斜率 1
m= −2，與直線 x + 2y − 3 = 0 垂直直線之斜率 由切線公式，已知斜率 2 之切線公式：
2 m= 1 2( 1) 1 22 1 2 3 5 y+ = x− ± ⋅ + ⇒ =y x− ±
13. 球面 3x2 + 3y2 + 3z2 − 6x + 9y − 2 = 0 的球心坐標為 ，半徑為 。
第 3 頁
【解答】(1，−
3
2，0)，
6 141
【詳解】
3x2 + 3y2 + 3z2 − 6x + 9y − 2 = 0 ⇒ x2 + y2 + z2 − 2x + 3y − 3
2= 0，
配方得(x − 1)2 + (y + 2
3)2 + z2 = 12
47 ⇒ 球心(1，−
3
2，0)，半徑
6 141 1247 = 14. S：x2 + y2 + z2 + 2(m + 1)x + 2my + 2mz + 4m2 + 4m − 2 = 0，
(1)若S表一球，則m之範圍 。
(2)承上題，若此球之半徑為 2，則球心為 。
【解答】(1) − 3 < m < 1 (2) (0，1，1)
【詳解】
(1) d2+ +e2 f2−4g = 4(m + 1)2 + 4m2 + 4m2 − 4(4m2 + 4m − 2) =4( − m2 − 2m + 3)
∵ S表一球 ⇒ 4( − m2 − 2m + 3) > 0 ⇒ m2 + 2m − 3 < 0 ⇒ − 3 < m < 1 (2) r2 = − m2 − 2m + 3 = 4 ⇒ m2 + 2m + 1 = 0 ⇒(m+1)2 = m = − 1， 0, 球心( , ,
2 2 2
d e f
− − − ) = (− m − 1，− m，− m) = (0，1，1)
15. 以A( − 1，2，3)和B( − 3，6，7)為直徑兩端點的球面方程式為 。
【解答】(x + 2)2 + (y − 4)2 + (z − 5)2 = 9
【詳解】直徑式：
(x + 1)(x + 3) + (y − 2)(y − 6) + (z − 3)(z − 7) = 0
即x2 + y2 + z2 + 4x − 8y − 10z + 36 = 0，即(x + 2)2 + (y − 4)2 + (z − 5)2 = 9
16. 通過四點O(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，1，1)，C(1，0，1)的球面方程式為 。
【解答】x2 + y2 + z2 − x − y − z = 0
【詳解】
設球面方程式為x2 + y2 + z2 + dx + ey + fz + g = 0，
過四點O(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，1，1)，C(1，0，1)代入 則g = 0，1 + d + g = 0，1 + 1 + e + f + g = 0，1 + 1 + d + f + g = 0
⇒ ⇒ d = − 1，f = − 1，e = − 1，g = 0
故所求球面方程式為x
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
= + +
= + +
= +
=
0 2
0 2 0 1
0
f d
f e
d g
2 + y2 + z2 − x − y − z = 0
17. 以P(−1，2，3)為球心，並通過原點的球面方程式為 。
【解答】(x + 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 14
【詳解】半徑r2 =OP2= 1 + 4 + 9 = 14 ∴ 球面方程式為(x + 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 14
18. 設空間中一球面通過兩點(0，2，2)與(4，0，0)，而球心在z軸上，求此球面方程式 。
【解答】x2 + y2 + (z + 2)2 = 20
【詳解】
設球心(0，0，t)，(0 − 0)2 + (2 − 0)2 + (2 − t)2 = (4 − 0)2 + (0 − 0)2 + (0 − t)2 ⇒ t = − 2 (0，0，− 2)與(4，0，0)距離 = 20 即半徑，∴ 球面方程式：x2 + y2 + (z + 2)2 = 20
第 4 頁
