高中數學科學習內容
數學教育學習領域課程指引補充文件
頁 數
引 言 ii
第 一 章 學 習 目 標 1
第 二 章 學 習 內 容 4
第 三 章 流 程 圖 62
課 程 發 展 議 會 數 學 教 育 委 員 會 名 錄 65
課 程 發 展 議 會 - 香 港 考 試 及 評 核 局 數 學 教 育 委 員 會 名 錄 67
檢 視 中 學 數 學 課 程 專 責 委 員 會 名 錄 68
為 配 合 學 校 課 程 持 續 更 新 , 回 應 於 2014 年 11 月 至 2015 年 4 月 期 間 在「 新 學 制 中 期 檢 討 與 前 瞻 」中 所 收 集 的 意 見,及 進 一 步 加 強 數 學 課 程 之 縱 向 銜 接 和 與 其 他 學 科 間 的 橫 向 連 繫,課 程 發 展 議 會 數 學 教 育 委 員 會 於 2015 年 12 月 成 立 三 個 專 責 委 員 會 檢 視 及 修 訂 小 一 至 中 六 數 學 課 程。是 次 數 學 課 程 的 修 訂 是 建 基 於《 數 學 教 育 學 習 領 域 課 程 指 引
( 小 一 至 中 六 )》(2017)中 訂 明 的 數 學 教 育 的 課 程 宗 旨、課 程 設 計 和 評 估 的 主 導 原 則 。
本 冊 子 屬 於 《 數 學 教 育 學 習 領 域 課 程 指 引 ( 小 一 至 中 六 )(2017) 補 充 資 料 》 系 列 之 一 , 旨 在 詳 細 闡 述 ︰
1. 高 中 數 學 課 程 的 學 習 目 標 ; 2. 高 中 數 學 課 程 的 學 習 內 容 ; 及
3. 高 中 數 學 課 程 內 各 學 習 單 位 的 學 習 流 程 圖 。
歡 迎 各 界 人 士 就 本 冊 子 提 供 意 見 和 建 議 。 來 函 請 寄 ︰ 九 龍 油 麻 地 彌 敦 道 405 號
九 龍 政 府 合 署 4 樓 教 育 局 課 程 發 展 處
總 課 程 發 展 主 任 ( 數 學 ) 收 傳 真 ︰3426 9265
電 郵 ︰ccdoma@edb.gov.hk
高 中 數 學 必 修 部 分 課 程 的 學 習 目 標
數 與 代 數 範 疇 度 量 、 圖 形 與 空 間 範 疇 數 據 處 理 範 疇
期 望 學 生 能 ︰
延伸數的概念至複數;
進一步運用代數符號探究及描述數量
間的關係;
運用代數符號概括及描述數列的規
律,並應用有關結果解應用題;
從數值、符號及圖像角度闡釋較複雜
的代數關係;
處理較複雜的代數式及關係式,及應
用有關知識和技能建立及解較複雜的 現實生活中的問題,並證明所得結果 的真確性;及
應用「數與代數」範疇內的知識和技
能來概括、描述及傳遞數學意念及進 一步解各學習範疇內的應用題。
運用歸納和演繹方法來學習平面圖形
的性質;
以適當的符號、術語及理由來作與平
面圖形有關的幾何證明;
進一步運用代數關係來探究及描述二
維空間的幾何知識,並應用有關知識 解應用題;
運用三角函數來探究及描述二維空間
和三維空間的幾何知識,並應用有關 知識解應用題;及
應用「度量、圖形與空間」範疇內的
知識和技能來概括、描述及傳遞數學 意念及進一步解各學習範疇內的應用 題。
理解離差的度量;
選擇及運用集中趨勢及離差的度量來
描述和比較數據;
進一步研究及判斷由數據得出的推論
的可信性;
掌握計數的基本技能;
應用簡單公式來建立及解較複雜的概
率問題;及
綜合統計及概率的知識,以解較複雜
的現實生活中的問題。
高 中 數 學 單 元 一 (微 積 分 與 統 計 )課 程 的 學 習 目 標
基 礎 知 識 微 積 分 統 計
期 望 學 生 能 ︰
應用二項展式學習概率與統計;
以建模、繪畫圖像和應用指數函數及 對數函數解應用題;及
理解指數函數和對數函數的關係,並 應用它們解現實生活中的應用題。
認識極限作為微積分學的基礎;
透過現實情境理解微積分的概念;
求簡單函數的導數、不定積分和定積 分;及
應用微積分的知識解現實生活中的應 用題。
理解概率、隨機變量、離散和連續概 率分佈的概念;
以二項、泊松和正態分佈理解統計推 理的基礎概念;
運用統計推理和思考知道何時以及如 何應用統計方法作出推斷和驗證結 論;及
發展對不確定現象的數學思維能力,
並應用相關知識和技巧解應用題。
高 中 數 學 單 元 二 (代 數 與 微 積 分 )課 程 的 學 習 目 標
基 礎 知 識 代 數 微 積 分
期 望 學 生 能 ︰
認識奇函數和偶函數及它們的圖像;
理解數學歸納法原理;
以二項式定理展開二項式;
理解簡單三角函數,涉及複角的重要 三角恒等式和公式;及
認識 e。
理解矩陣和最高為三階方陣的逆矩陣 的概念、運算和性質;
解線性方程組;
理解向量的概念、運算和性質;及
應用向量的知識解二維和三維空間的 應用題。
理解極限作為微積分學的基礎;
理解函數的導數、不定積分和定積分 的概念和性質;
求簡單函數的導數、不定積分和定積 分;
求函數的二階導數;
應用微積分的知識描繪曲線;及
應用微積分的知識解現實生活中的應 用題。
高 中 數 學 必 修 部 分 課 程 的 學 習 內 容
備 注 :
1. 學 習 單 位 分 成 三 個 學 習 範 疇 (「 數 與 代 數 」、「 度 量 、 圖 形 與 空 間 」 和 「 數 據 處 理 」) 和 一 個 進 階 學 習 單 位 。 2. 相 關 的 學 習 重 點 歸 於 同 一 學 習 單 位 內 。
3. 畫 有 底 線 的 學 習 重 點 為 非 基 礎 課 題 。
4. 表 中 「 注釋」 欄 的 內 容 可 視 為 學 習 重 點 的 補 充 資 料 。
5. 學 習 單 位 旁 的 教 學 時 數 旨 在 協 助 教 師 判 斷 課 題 的 教 學 深 度 。 教 學 時 數 僅 作 參 考 之 用 , 教 師 可 因 應 個 別 情 況 自 行 調 節 。
6. 高 中 數 學 必 修 部 分 的 總 課 時 為 250 – 313 小 時( 即 佔 高 中 課 程 總 課 時 的 10% – 12.5%)。高 中 數 學 必 修 部 分 與 延 伸 部 分 一 個 單 元 的 總 課 時 為 375 小 時 ( 即 佔 高 中 課 程 總 課 時 的 15%)。
學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 注 釋
數 與 代 數 範 疇
1.2 由 已 知 根 建 立 二 次 方 程 已 知 根 只 限 於 實 數 。 1.3 由 繪 畫 拋 物 線 y = ax2 + bx + c 的 圖 像 及 讀
取 該 圖 像 的 x 截 距 解 方 程 ax2 + bx + c = 0
1.4 以 二 次 公 式 解 二 次 方 程 只 修 讀 基 礎 課 題 的 學 生 :
不 須 以 a ± bi 的 形 式 來 表 示 非 實 根
不 須 簡 化 諸 如2 48的 根 式
1.5 理 解 二 次 方 程 的 判 別 式 與 其 根 的 性 質 之 關 係
由 於 學 生 在 學 習 重 點 1.8 中 認 識 了 複 數 的 存 在 性 , 因 此 當 < 0 時 , 學 生 必 須 指 出 「 方 程 沒 有 實 根 」 或
「 方 程 有 兩 個 非 實 根 」。
1.6 解 涉 及 二 次 方 程 的 應 用 題 教 師 應 選 擇 與 學 生 經 驗 有 關 的 應 用 題 。
解 涉 及 諸 如 5
1 6
6
x
x 等 較 複
雜 方 程 的 應 用 題 屬 非 基 礎 課 題 , 並
在 學 習 重 點 5.4 中 處 理 。
1.7 理 解 根 與 係 數 的 關 係 及 以 此 關 係 建 立 二 次 方 程
根 與 係 數 的 關 係 包 括 :
a
b
和a
c
,其 中 和 為 方 程 ax2 + bx + c = 0 的 根 且 a 0。
1.8 欣 賞 數 系 ( 包 括 複 數 系 ) 的 發 展 可 討 論 諸 如 數 系 的 分 層 、 循 環 小 數 與 分 數 互 化 等 課 題 。
1.9 進 行 複 數 的 加 、 減 、 乘 和 除 運 算 只 限 於 a bi 形 式 的 複 數 。
注 ︰ 二 次 方 程 的 係 數 只 限 於 實 數 。
2. 函 數 及 其 圖 像 2.1 認 識 函 數、定 義 域 和 上 域、自 變 量 和 應 變 量 的 直 觀 概 念
10
2.2 認 識 函 數 的 記 法 及 運 用 表 列 、 代 數 和 圖 像 方 法 來 表 達 函 數
以 下 表 達 方 式 亦 可 接 受 :
2.3 理 解 二 次 函 數 圖 像 的 特 徵 二 次 函 數 圖 像 的 特 徵 包 括 :
頂 點
對 稱 軸
開 口 方 向
與 兩 軸 的 關 係
學 生 須 以 圖 解 法 求 二 次 函 數 的 極 大 值 和 極 小 值 。
2.4 以 代 數 方 法 求 二 次 函 數 的 極 大 值 和 極 小 值
須 包 括 配 方 法 。
學 生 須 解 與 二 次 函 數 的 極 大 值 和 極 小 值 有 關 的 應 用 題 。
1 2
3. 指 數 函 數 與 對 數 函 數
3.1 理 解 有 理 數 指 數 的 定 義 16 定 義 包 括
1
an 和
m
a 。 n
3.2 理 解 有 理 指 數 的 定 律 有 理 指 數 定 律 包 括 :
a p a q = a p + q
qp a
a = a p q
(a p)q = a pq
a p b p = (ab) p
p
p p
b a b
a
3.3 理 解 對 數 的 定 義 及 其 性 質 ( 包 括 換 底 公 式 )
對 數 性 質 包 括 :
log a 1 = 0
log a a = 1
log a
M = logN a M log a N
log a M k = k log a M
log b N =
b N
a a
log log
3.4 理 解 指 數 函 數 和 對 數 函 數 的 性 質 及 認 識 其 圖 像 的 特 徵
性 質 和 特 徵 包 括 :
函 數 的 定 義 域
當 a >1(0 < a < 1)及 x 遞增時,函數 f (x) = a x 和 f (x) = log a x 遞增(遞減)
y = a x 與 y = log a x 對稱於 y = x
兩 軸 的 截 距
( 從 直 觀 得 ) 函 數 遞 增 率 / 遞 減 率
3.5 解 指 數 方 程 和 對 數 方 程 諸 如 4x 3 2x 4 = 0 或 log (x 22) + log (x + 26) = 2 等可 變 換 為 二 次 方 程 的 方 程 , 在 學 習 重 點 5.3 中 處 理 。
3.6 欣 賞 對 數 在 現 實 生 活 情 境 中 的 應 用 可 討 論 諸 如 以 黎 克 特 制 表 示 地 震 強 度 、 以 分 貝 表 示 聲 音 強 級 等 應 用 。 3.7 欣 賞 對 數 概 念 的 發 展 可 討 論 諸 如 對 數 概 念 發 展 的 歷 史 及
如 何 以 對 數 概 念 設 計 昔 日 的 某 些 計 算 工 具 ( 例 如:對 數 尺 和 對 數 表 ) 等 課 題 。
4. 續 多 項 式 4.1 進 行 多 項 式 除 法 14 亦 可 接 受 長 除 法 以 外 的 方 法 。 4.2 理 解 餘 式 定 理
4.3 理 解 因 式 定 理 學 生 須 運 用 因 式 定 理 因 式 分 解 諸 如 x3 a3的 多 項 式 。
4.4 理 解 最 大 公 因 式 和 最 小 公 倍 式 的 概 念 “H.C.F.”、“gcd” 等 簡 稱 皆 可 使 用 。 4.5 進 行 有 理 函 數 的 加 、 減 、 乘 和 除 不 包 括 多 於 兩 個 變 數 的 有 理 函 數 之
運 算 。
有 理 函 數 在 第 三 學 習 階 段 稱 為 「 代
5. 續 方 程 5.1 運 用 圖 解 法 解 分 別 為 二 元 一 次 及 二 元 二 次 的 聯 立 方 程 , 其 中 二 元 二 次 方 程 只 限 於 y = ax2 + bx + c 的 形 式
10
5.2 運 用 代 數 方 法 解 分 別 為 二 元 一 次 及 二 元 二 次 的 聯 立 方 程
5.3 解 可 變 換 為 二 次 方 程 的 方 程 ( 其 中 包 括 分 式 方 程、指 數 方 程、對 數 方 程 和 三 角 方 程 )
三 角 方 程 的 解 只 限 於 0 至 360 的 區 間 。
5.4 解 涉 及 可 變 換 為 二 次 方 程 的 方 程 之 應 用 題
教 師 應 選 擇 與 學 生 經 驗 有 關 的 應 用 題 。
6. 變 分 6.1 理 解 正 變 和 反 變 及 其 在 解 現 實 生 活 問 題 時 的 應 用
7
6.2 理 解 正 變 和 反 變 的 圖 像
6.3 理 解 聯 變 和 部 分 變 及 其 在 解 現 實 生 活 問 題 時的應 用
7. 等 差 數 列 與 等 比 數 列 及 其 求 和 法
7.1 理 解 等 差 數 列 的 概 念 及 其 性 質 17 等 差 數 列 的 性 質 包 括 :
Tn = ½ ( Tn–1 + Tn+1 )
若 T1 , T2 , T3 , …為 等 差 數 列 , 則 k T1 + a , k T2 + a , k T3 + a , … 亦 為 等 差 數 列
7.2 理 解 等 差 數 列 的 通 項
7.3 理 解 等 比 數 列 的 概 念 及 其 性 質 等 比 數 列 的 性 質 包 括 :
Tn2 = Tn1 Tn+1
若 T1 , T2 , T3 , … 為 等 比 數 列 , 則 k T1 , k T2 , k T3 , …亦 為 等 比 數 列
7.4 理 解 等 比 數 列 的 通 項
7.5 理 解 等 差 數 列 和 等 比 數 列 的 有 限 項 求 和 公 式 及 運 用 該 些 公 式 解 有 關 的 應 用 題
例 如 ︰ 涉 及 等 差 數 列 或 等 比 數 列 求 和 的 幾 何 題 。
7.6 探 究 某 些 等 比 數 列 的 無 限 項 求 和 公 式 及 運 用 該 公 式 解 有 關 的 應 用 題
例 如 ︰ 涉 及 等 比 數 列 的 無 限 項 求 和 的 幾 何 題 。
7.7 解 現 實 生 活 中 相 關 的 應 用 題 例 如 ︰ 涉 及 利 息 、 增 長 或 折 舊 的 應 用 題 。
8. 不 等 式 與 線 性 規 畫 8.1 解 複 合 一 元 一 次 不 等 式 16 須 包 括 涉 及 邏 輯 連 詞「 和 」或「 或 」 的 複 合 不 等 式 。
須 解 三 角 不 等 式 的 問 題 。 8.2 以 圖 解 法 解 一 元 二 次 不 等 式
8.3 以 代 數 方 法 解 一 元 二 次 不 等 式
8.4 在 直 角 坐 標 平 面 上 表 示 二 元 一 次 不 等 式 的 圖 像
8.5 解 聯 立 二 元 一 次 不 等 式 8.6 解 線 性 規 畫 應 用 題
9. 續 函 數 圖 像 9.1 描 繪 及 比 較 不 同 函 數 的 圖 像 , 包 括 常 值 函 數 、線 性 函 數 、 二 次 函 數、 三 角 函 數 、 指 數 函 數 和 對 數 函 數 的 圖 像
11 包 括 定 義 域 、 極 大 值 或 極 小 值 的 存 在 性 、 對 稱 性 、 週 期 性 的 比 較 。
9.2 運 用 y = f (x) 的 圖 像 解 方 程 f (x) = k 9.3 運 用 y = f (x) 的 圖 像 解 不 等 式 f (x) > k、
f (x) < k、f (x) k 和 f (x) k
9.4 從 表 列、符 號 和 圖 像 的 角 度 理 解 函 數 f (x) 的 變 換 , 包 括 f (x) + k、f (x + k)、k f (x) 和 f (kx)
度 量 、 圖 形 與 空 間 範 疇
10. 直 線 方 程 10.1 理 解 直 線 方 程 7 學 生 須 在 給 定 條 件 下 , 諸 如 :
直 線 上 任 意 兩 點 的 坐 標
直 線 的 斜 率 及 其 y 截 距 求 直 線 的 方 程 。
學 生 須 由 直 線 方 程 描 述 有 關 直 線 的 特 徵 , 包 括 :
斜 率
與 兩 軸 的 截 距
某 點 是 否 在 該 直 線 上 不 包 括 法 線 式 。
學 生 須 認 識 斜 率 與 傾 角 的 關 係 。 10.2 理 解 兩 直 線 相 交 的 各 種 可 能 情 況 學 生 須 從 直 線 方 程 判 斷 兩 直 線 相 交
時 交 點 的 數 目 。
在 第 三 學 習 階 段 , 學 生 須 解 聯 立 二 元 一 次 方 程 。
注 : 建 議 教 師 於 中 四 首 學 期 安 排 教 授 此 學 習 單 位 。
11. 圓 的 基 本 性 質 11.1 理 解 圓 上 弦 和 弧 的 性 質 23 圓 上 弦 和 弧 的 性 質 包 括 :
等 弧 所 對 的 弦 相 等
等 弦 截 取 等 弧
由 圓 心 至 弦 的 垂 直 線 平 分 該 弦
由 圓 心 至 弦 ( 直 徑 除 外 ) 的 中 點 的 連 線 垂 直 該 弦
弦 的 垂 直 平 分 線 經過 圓 心
等 弦 至 圓 心 等 距
與 圓 心 等 距 的 弦 相 等
學 生 須 理 解 給 出 三 個 不 共 線 的 點 , 有 而 且 只 有 一 個 圓 經 過 這 三 點 。 弧 與 所 對 的 圓 心 角 成 正 比 例 的 性 質 應 在 第 三 學 習 階 段 闡 述 弧 長 計 算 公 式 時 討 論 。
11.2 理 解 圓 上 角 的 性 質 圓 上 角 的 性 質 包 括 :
一 弧 所 對 的 圓 心 角 為 該 弧 所 對 的 圓 周 角 的 兩 倍
同 弓 形 內 的 圓 周 角 皆 相 等
弧 與 所 對 的 圓 周 角 成 正 比 例
半 圓 內 的 圓 周 角 為 直 角
若 圓 周 角 是 一 直 角 , 則 其 所 對 的 弦 是 一 直 徑
11.3 理 解 圓 內 接 四 邊 形 的 性 質 圓 內 接 四 邊 形 的 性 質 包 括 :
圓 內 接 四 邊 形 對 角 互 補
圓 內 接 四 邊 形 的 外 角 等 於 其 內 對 角
11.4 理 解 四 點 共 圓 和 圓 內 接 四 邊 形 的 判 別 法 四 點 共 圓 和 圓 內 接 四 邊 形 的 判 別 法 包 括 :
若 A 和 D 為 位 於 直 線 BC 同 一 側 的 兩 點 , 並 且 BAC = BDC,
則 A、 B、 C 與 D 四 點 共 圓
若 四 邊 形 有 一 對 對 角 互 補 , 則 該 四 邊 形 為 圓 內 接 四 邊 形
若 四 邊 形 的 外 角 等 於 其 內 對 角 , 則 該 四 邊 形 為 圓 內 接 四 邊 形
11.5 理 解 圓 切 線 和 其 內 錯 弓 形 的 圓 周 角 的 性 質
性 質 包 括 :
圓 的 切 線 垂 直 於 經 過 切 點 的 半 徑
經 過 半 徑 的 外 端 且 垂 直 於 這 半 徑 的 直 線 是 圓 的 切 線
經 過 切 點 且 垂 直 於 切 線 的 直 線 經 過 圓 心
由 圓 外 一 點 至 圓 作 兩 切 線,則:
- 由 外 點 至 切 點 的 長 度 相 等 - 兩 切 線 所 對 的 圓 心 角 相 等 - 圓 心 與 切 線 交 點 的 連 線 平 分
兩 切 線 間 的 夾 角
若 直 線 與 圓 相 切 , 則 弦 切 角 等 於 其 內 錯 弓 形 上 的 圓 周 角
若 直 線 經 過 弦 上 一 端 點 且 與 弦 所 成 的 角 等 於 其 內 錯 弓 形 上 的 圓 周 角 , 則 此 直 線 與 圓 相 切
11.6 運 用 圓 的 基 本 性 質 作 簡 單 幾 何 證 明 證 明 中 可 以 涉 及 第 三 學 習 階 段 的 幾 何 知 識 。
12. 軌 跡 12.1 理 解 軌 跡 的 概 念 6
12.2 描 述 及 描 繪 滿 足 某 些 已 知 條 件 的 點 之 軌 跡
條 件 包 括 :
與 一 點 保 持 固 定 距 離
與 兩 點 保 持 相 等 距 離
與 一 直 線 保 持 固 定 距 離
與 兩 平 行 線 保 持 相 等 距 離
與 兩 相 交 直 線 保 持 相 等 距 離 12.3 以 代 數 方 程 描 述 點 的 軌 跡 學 生 須 求 簡 單 軌 跡 的 方 程 , 其 中 包
括 直 線 、 圓 和 形 式 如 y = ax2 + bx + c 的 拋 物 線 之 方 程 。
13. 圓 方 程 13.1 理 解 圓 方 程 7 學 生 須 在 給 定 條 件 下 , 諸 如 :
圓 心 的 坐 標 及 半 徑 的 長 度
圓 上 任 意 三 點 的 坐 標 求 圓 的 方 程 。
圓 心
半 徑
某 點 在 圓 內 、 圓 外 或 圓 上
13.2 求 直 線 與 圓 交 點 的 坐 標 及 理 解 直 線 與 圓 相 交 的 各 種 可 能 情 況
學 生 須 求 圓 的 切 線 方 程 。
14. 續 三 角 學 14.1 理 解 正 弦 、 餘 弦 和 正 切 函 數 及 其 圖 像 和 性 質 , 包 括 極 大 值 、 極 小 值 和 週 期 性
25 須 包 括 含、90 、180 … … 等 的 正 弦 、 餘 弦 和 正 切 的 數 式 之 化 簡 。
14.2 解 三 角 方 程 a sin = b、a cos = b、
a tan = b( 其 解 限 於 0 至 360 區 間 ) 和 其 他 的 三 角 方 程( 其 解 限 於 0 至 360
區 間 )
解 可 變 換 為 二 次 方 程 的 方 程 屬 非 基 礎 課 題,並 在 學 習 重 點 5.3 中 處 理。
14.3 理 解 三 角 形 面 積 公 式 ½ ab si n C 14.4 理 解 正 弦 和 餘 弦 公 式
14.5 理 解 希 羅 公 式 14.6 理 解 投 影 的 概 念
14.7 理 解 一 線 與 一 平 面 的 相 交 角 和 兩 平 面 的 相 交 角
須 包 括 傾 角 的 概 念 。
14.8 理 解 三 垂 線 定 理
14.9 解 二 維 和 三 維 空 間 中 相 關 的 應 用 題 三 維 空 間 的 應 用 題 包 括 求 兩 直 線 的 交 角、直 線 與 平 面 的 交 角、兩 平 面 的 交 角 、 點 與 點 的 距 離 、 點 與 線 的 距 離 , 和 點 與 面 的 距 離 。
數 據 處 理 範 疇
15. 排 列 與 組 合 15.1 理 解 計 數 原 理 的 加 法 法 則 和 乘 法 法 則 11
15.2 理 解 排 列 的 概 念 和 記 法 “Pn ”、 “nPr”、 “ nPr” 等 記 法 皆 可 使
15.3 解 不 同 物 件 的 無 重 排 列 應 用 題 須 包 括 諸 如「 求 物 件 的 排 列,其 中 三 個 指 定 物 件 必 須 相 鄰 」 等 應 用 題 。 不 包 括 圓 形 排 列 。
15.4 理 解 組 合 的 概 念 和 記 法
“Crn”、 “nCr”、 “ nCr”、 “
r
n ” 等 記 法
皆 可 使 用 。 15.5 解 不 同 物 件 的 無 重 組 合 應 用 題
16. 續 概 率 16.1 認 識 集 合 的 記 法,包 括 併 集、交 集 和 餘 集 的 記 法
10 須 包 括 溫 氏 圖 的 概 念 。
16.2 理 解 概 率 加 法 定 律 及 互 斥 事 件 和 互 補 事 件 的 概 念
概 率 加 法 定 律 指 「P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) 」。
16.3 理 解 概 率 乘 法 定 律 和 獨 立 事 件 的 概 念 概 率 乘 法 定 律 指 「P (A B) = P (A) P (B), 其 中 A 和 B 為 獨 立 事 件 。 」
16.4 認 識 條 件 概 率 的 概 念 和 記 法 須 包 括 法 則 「 P (A B) = P (A) P (B | A) 」。
不 包 括 貝 葉 斯 定 理 。 16.5 運 用 排 列 與 組 合 解 與 概 率 有 關 的 應 用 題
17. 離 差 的 度 量 17.1 理 解 離 差 的 概 念 13
17.2 理 解 分 佈 域 和 四 分 位 數 間 距 的 概 念 17.3 製 作 及 闡 釋 框 線 圖 及 運 用 框 線 圖 比 較 不
同 組 別 的 數 據 分 佈
框 線 圖 亦 可 稱 為 「 箱 形 圖 」。
17.4 理 解 分 組 數 據 和 不 分 組 數 據 的 標 準 差 之 概 念
學 生 須 認 識「 方 差 」這 名 稱 和 方 差 等 於 標 準 差 的 平 方 。
學 生 須 理 解 的 標 準 差 公 式 為 :
= (x1
)2 (xN
)2。
17.5 運 用 合 適 的 量 度 方 法 比 較 不 同 組 別 數 據 的 離 差
17.6 理 解 標 準 差 在 涉 及 標 準 分 和 正 態 分 佈 的 現 實 生 活 問 題 時 的 應 用
17.7 理 解 下 列 情 況 對 數 據 的 離 差 之 影 響 : (i) 對 數 據 的 每 一 項 加 上 一 個 相 同 的 常 數 (ii ) 對 數 據 的 每 一 項 乘 以 一 個 相 同 的 常 數 18. 統 計 的 應 用 及 誤 用 18.1 認 識 抽 取 調 查 樣 本 的 不 同 技 巧 及 製 作 問
卷 的 基 本 原 則
4 學 生 須 認 識「 總 體 」和「 樣 本 」的 概 念 。
學 生 須 認 識 概 率 抽 樣 和 非 概 率 抽 樣 的 方 法 。
學 生 須 認 識 在 製 作 問 卷 時 , 有 些 因 素 會 對 問 卷 的 信 度 和 效 度 產 生 影 響,例 如:問 題 的 形 式、用 語 和 排 序 及 回 應 的 選 擇 。
18.2 討 論 及 認 識 各 種 日 常 活 動 或 調 查 中 統 計 方 法 的 應 用 及 誤 用
18.3 評 估 從 新 聞 媒 介、研 究 報 告 等 不 同 來 源 所 獲 得 的 統 計 調 查 報 告
進 階 學 習 單 位
19. 進 階 應 用 解 較 複 雜 的 現 實 生 活 和 數 學 應 用 題 , 並 在 解 題 過 程 中 尋 找 能 提 供 解 題 線 索 的 資 料 , 探 究 不 同 的 解 題 策 略 或 綜 合 不 同 數 學 環 節 的 知 識
主 要 焦 點 為 :
(a) 探 究 及 解 現 實 生 活 中 較 複 雜 的 應 用 題 (b) 欣 賞 不 同 數 學 環 節 間 的 關 連
14 例 如 :
解 諸 如 稅 、 分 期 付 款 等 財 務 上 的 簡 單 應 用 題
分 析 及 闡 釋 由 調 查 得 到 的 數 據
探 究 及 闡 釋 與 現 實 生 活 情 境 有 關 的 圖 像
探 究 托 勒 密 定 理 及 其 應 用
為 兩 組 線 性 相 關 性 較 強 的 數 據 建
的 非 線 性 關 係 變 換 為 線 性 關 係
探 究 斐 波 那 契 數 列 與 黃 金 比 之 間 的 關 係
欣 賞 密 碼 學 的 應 用
探 究 塞 瓦 定 理 及 其 應 用
分 析 數 學 遊 戲( 例 如:探 究 注 水 問 題 的 通 解 )
20. 探 索 與 研 究 通 過 不 同 的 學 習 活 動,發 現 及 建 構 知 識,進 一 步 提 高 探 索、溝 通、思 考 和 形 成 數 學 概 念 的 能 力
10 此 非 一 個 獨 立 和 割 裂 的 學 習 單 位 。 教 師 可 使 用 建 議 的 時 間 , 讓 學 生 參 與 不 同 學 習 單 位 內 的 活 動 。
總 課 時 : 250 小 時
備注:
1. 學 習 單 位 分 成 三 個 領 域 (「 基 礎 知 識 」、「 微 積 分 」 和 「 統 計 」) 和 一 個 進 階 學 習 單 位 。 2. 相 關 的 學 習 重 點 歸 於 同 一 學 習 單 位 內 。
3. 表 中 「 注釋」 欄 的 內 容 , 可 視 為 學 習 重 點 的 補 充 資 料 。
4. 學 習 單 位 旁 的 教 學 時 數 旨 在 協 助 教 師 判 斷 課 題 的 教 學 深 度 。 教 學 時 數 僅 作 參 考 之 用 , 教 師 可 因 應 個 別 情 況 自 行 調 節 。
5. 高中數學必修部分與單元一的總課時為 375 小時(即佔高中課程總課時的 15%)。
學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 注 釋
基 礎 知 識
1. 二 項 展 式 1.1 認 識 展 式 (ab)n, 其 中 n 為 正 整 數 3 學 生 須 認 識 求 和 記 法()。
不 包 括 以 下 內 容 :
三 項 式 的 展 開
求 近 似 值 的 應 用
2. 指 數 函 數 和 對 數 函 數
2.1 認 識
e
的 定 義 和 指 數 級 數2 3
1 2! 3!
x x x
e x
8
2.2 理 解 指 數 函 數 和 對 數 函 數 須 包 括 以 下 函 數 :
yex
ylnx
2.3 運 用 指 數 函 數 和 對 數 函 數 解 應 用 題 學 生 須 解 包 括 複 利 息 、 人 口 增 長 和 放 射 性 元 素 的 衰 變 有 關 的 應 用 題 。
2.4 將 ykax 和 yk f x
( )
n 化為線性關係式,其中 a、 n 和 k 為實數,a ,0 a ,1 ( ) 0
f x 和 ( ) 1f x
當 取 得 x 及 y 的 實 驗 數 據 時,學 生 須 描 繪 對 應 的 直 線 圖 像 , 並 從 圖 像 的 斜 率 和 截 距 來 確 定 未 知 常 數 的 值 。
教 學 時 數 小 計 11
微 積 分
3. 函 數 的 導 數 3.1 認 識 函 數 極 限 的 直 觀 概 念 5 學 生 須 認 識 有 關 函 數 的 和、差、積、
商 、 純 量 乘 法 極 限 和 複 合 函 數 極 限 的 定 理(不 須 證 明 )。
3.2 求 代 數 函 數 、 指 數 函 數 和 對 數 函 數 的 極 限
須 包 括 下 列 代 數 函 數 :
多 項 式 函 數
有 理 函 數
冪 函 數 x
由 上 述 各 函 數 的 加 、 減 、 乘 、 除 和 複 合 而 成 的 其 他 函 數 , 諸 如
2 1
x
3.3 透 過 基 本 原 理 認 識 函 數 的 導 數 的 概 念 學 生 不 須 運 用 基 本 原 理 求 函 數 的 導 數 。
3.4 認 識 曲 線 y f x( )在 點 x 的 切 線 的 斜x0 率
學 生 須 認 識 記 法 : f x( 0) 和
x x0
dy
dx
。4. 函 數 的 求 導 法 4.1 理 解 求 導 法 的 加 法 法 則 、 積 法 則 、 商 法 則 和 鏈 式 法 則
8 法 則 包 括 :
d ( ) du dv u v
dx dx dx
d ( ) du dv
uv v u
dx dx dx
( ) 2
du dv
v u
d u dx dx
dx v v
dy dy du
dx du dx
4.2 求 代 數 函 數、指 數 函 數 和 對 數 函 數 的 導 數
學 生 須 運 用 的 公 式 包 括 :
( )C 0
(xn) nxn1
( )ex ex
( ln ) x 1
x
(log ) 1
a
x ln
x a
(ax) axlna
不 包 括 隱 函 數 求 導 法 和 對 數 求 導 法 。
5. 二 階 導 數 5.1 認 識 函 數 的 二 階 導 數 的 概 念 2 學 生 須 認 識 記 法 : y 、 f( )x 和
2 2
d y dx 。
不 包 括 三 階 及 更 高 階 的 導 數 。
6. 求 導 法 的 應 用 6.1 運 用 求 導 法 解 涉 及 切 線 、 變 率 、 極 大 值 和 極 小 值 的 應 用 題
10 須 包 括 全 局 和 局 部 的 極 值 。
7. 不 定 積 分 法 及 其 應 用
7.1 認 識 不 定 積 分 法 的 概 念 10 須 介 紹 不 定 積 分 法 為 求 導 法 的 逆 過 程。
7.2 理 解 不 定 積 分 的 基 本 性 質 及 不 定 積 分 法 的 基 本 公 式
學 生 須 認 識 記 法 :
f x dx( ) 。 性 質 包 括 :
kf x dx( ) k f x dx
( )
f x( )g x dx( )
( ) ( ) f x dx g x dx
公 式 包 括 :
k dx kx C
1
1
n
n x
x dx C
n
1 dx ln x
x C
e dxx ex C學 生 須 理 解 積 分 常 數 C 的 意 義 。 7.3 運 用 不 定 積 分 法 的 基 本 公 式 求 代 數 函
數 和 指 數 函 數 的 不 定 積 分
7.4 運 用 代 換 積 分 法 求 不 定 積 分 不 包 括 分 部 積 分 法 。 7.5 運 用 不 定 積 分 法 解 應 用 題
8. 定 積 分 法 及 其 應 用 8.1 認 識 定 積 分 法 的 概 念 12 須 介 紹 定 積 分 的 定 義 為 曲 線 下 矩 形 條 的 面 積 和 的 極 限 。
學 生 須 認 識 記 法 : b ( )
a f x dx
。須 包 括 啞 變 量 的 概 念 , 例 如 : ( ) ( )
b b
a f x dx a f t dt
。8.2 認 識 微 積 分 基 本 定 理 及 理 解 定 積 分 的 性 質
學 生 須 認 識 的 微 積 分 基 本 定 理 為 : ( ) ( ) ( )
b
a f x dxF b F a
, 其 中( ) ( ) d F x f x
dx
。性 質 包 括 :
b ( ) a ( )
a f x dx b f x dx
a ( ) 0
a f x dx
b ( ) c ( ) b ( )
a f x dx a f x dx c f x dx
b ( ) b ( )
akf x dxk a f x dx
b
( ) ( )
a f x g x dx
( ) ( )
b b
a f x dx a g x dx
8.3 求 代 數 函 數 和 指 數 函 數 的 定 積 分 8.4 運 用 代 換 積 分 法 求 定 積 分
8.5 運 用 定 積 分 法 求 平 面 圖 形 的 面 積 學 生 不 須 運 用 定 積 分 法 求 曲 線 與 y 軸 之 間 的 面 積 及 兩 條 曲 線 之 間 的 面 積 。
8.6 運 用 定 積 分 法 解 應 用 題 9. 運 用 梯 形 法 則 計 算
定 積 分 的 近 似 值
9.1 理 解 梯 形 法 則 及 運 用 它 計 算 定 積 分 的 近 似 值
4 不 包 括 誤 差 估 值 。
學 生 須 運 用 二 階 導 數 及 凹 性 判 別 估 計 值 是 過 高 還 是 過 低 。
統 計
10. 條 件 概 率 和 貝 葉 斯 定 理
10.1 理 解 條 件 概 率 的 概 念 6
10.2 運 用 貝 葉 斯 定 理 解 簡 單 應 用 題
11. 離 散 隨 機 變 量 11.1 認 識 離 散 隨 機 變 量 的 概 念 1 12. 概 率 分 佈 、 期 望
值 和 方 差
12.1 認 識 離 散 概 率 分 佈 的 概 念 及 以 表 列、圖 像 和 數 學 公 式 表 示 離 散 概 率 分 佈
7
12.2 認 識 期 望 值 E X
和 方 差 Var( )X 的 概 念 及 運 用 它 們 解 簡 單 應 用 題學 生 須 運 用 的 公 式 包 括:
E X
xP X( x)
Var( ) X E ( X )
2
E g X
( )
g x P X( ) ( x) E aX
b
aE X
b
Var( ) X E X
2 ( E X )
2 Var(aX b)a2Var( )X
E X 的記 法 亦 可 使 用 。
13. 二 項 分 佈 13.1 認 識 二 項 分 佈 的 概 念 及 其 性 質 5 須 介 紹 伯 努 利 分 佈 。
須 包 括 二 項 分 佈 的 平 均 值 及 方 差 (不 須 證 明 )。
13.2 計 算 涉 及 二 項 分 佈 的 概 率 不 包 括 二 項 分 佈 表 的 運 用 。
14. 泊 松 分 佈 14.1 認 識 泊 松 分 佈 的 概 念 及 其 性 質 5 須 包 括 泊 松 分 佈 的 平 均 值 及 方 差 (不 須 證 明 )。
14.2 計 算 涉 及 泊 松 分 佈 的 概 率 不 包 括 泊 松 分 佈 表 的 運 用 。 15. 二 項 分 佈 和 泊 松
分 佈 的 應 用
15.1 運 用 二 項 分 佈 和 泊 松 分 佈 解 應 用 題 5
16. 正 態 分 佈 的 基 本 定 義 及 其 性 質
16.1 透 過 正 態 分 佈,認 識 連 續 隨 機 變 量 及 連 續 概 率 分 佈 的 概 念
3 不 須 推 導 正 態 分 佈 的 平 均 值 及 方 差 。
學 生 須 認 識 學 習 重 點 12.2 的 公 式 亦 適 用 於 連 續 隨 機 變 量 。
16.2 認 識 正 態 分 佈 的 概 念 及 其 性 質 性 質 包 括 :
曲 線 為 鐘 形 並 對 稱 於 平 均 值
平 均 值 、 眾 數 和 中 位 數 均 相 等
平 坦 度 取 決 於
值 曲 線 下 的 面 積 為 1 17. 正 態 變 量 的 標 準
化 及 標 準 正 態 分 佈 表 的 運 用
17.1 將 正 態 變 量 標 準 化 和 運 用 標 準 正 態 分 佈 表 求 涉 及 正 態 分 佈 的 概 率
2
18. 正 態 分 佈 的 應 用 18.1 在 已 知 x1、x2、 和 的 值 的 情 況 下,
求 P X( x1)、P X( x2)、P x( 1 X x2)及 相 關 概 率 的 值 , 其 中 X ~ N( ,
2)7
18.2 在 已 知 P X( 、 (x) P X 、 (x) P aX 、x)
( )
P xX 或 相 關 概 率 的 值 的 情 況 下,b 求 x 的 值 , 其 中 X ~N( ,
2)18.3 運 用 正 態 分 佈 解 應 用 題 19. 抽 樣 分 佈 和 點 估
計
19.1 認 識 樣 本 統 計 量 和 總 體 參 數 的 概 念 9 學 生 須 認 識:
若 總 體 平 均 值 為 和 總 體 大 小 為
N,則 總 體 方 差 為
2
2 1
( )
N i i
x N
。 19.2 當 隨 機 樣 本 大 小 為 n 時 , 認 識 樣 本 平
均 值
X
的 抽 樣 分 佈學 生 須 認 識:
若 總 體 平 均 值 為 和 總 體 方 差 為
2 , 則E X
和2
Var( )X n
。 若 X ~N( ,
2), 則19.3 當 樣 本 大 小 n 足 夠 大 時,運 用 中 心 極 限 定 理 把
X
的 分 佈 當 成 正 態 分 佈19.4 認 識 點 估 計 的 概 念,當 中 包 括 樣 本 平 均 值 和 樣 本 方 差
學 生 須 認 識:
若 樣 本 平 均 值 為 x 和 樣 本 大 小
為 n , 則 樣 本 方 差 為
2
2 1
( )
1
n i i
x x
s n
。學 生 須 認 識 無 偏 估 計 量 的 概 念 。 20. 總 體 平 均 值 的 置
信 區 間
20.1 認 識 置 信 區 間 的 概 念 6
20.2 求 總 體 平 均 值 的 置 信 區 間 學 生 須 認 識:
從 一 個 已 知 方 差 為
2的正 態 總 體 中 抽 取 一 個 大 小 為 n 的 隨 機 樣 本 , 其 總 體 平 均 值 的 100(1
)% 置 信 區 間 為2 2
(x z , x z )
n n
。
一 個 總 體,不 知 其 方 差,但 樣 本 大 小 n 足 夠 大 時 , 總 體 平 均 值
的 100(1
)% 置 信 區 間 為2 2
( s , s )
x z x z
n n
,其 中 s 為 樣
本 標 準 差 。 教 學 時 數 小 計 56
進 階 學 習 單 位
21. 探 索 與 研 究 通 過 不 同 的 學 習 活 動 , 發 現 及 建 構 知 識 , 進 一 步 提 高 探 索 、 溝 通 、 思 考 和 形 成 數 學 概 念 的 能 力
7 此 非 一 個 獨 立 和 割 裂 的 學 習 單 位 。 教 師 可 運 用 建 議 的 時 間 , 讓 學 生 參 與 不 同 學 習 單 位 內 的 活 動 。
教 學 時 數 小 計 7
備 注 :
1. 學 習 單 位 分 成 三 個 領 域 (「 基 礎 知 識 」、「 代 數 」 和 「 微 積 分 」) 和 一 個 進 階 學 習 單 位 。 2. 相 關 的 學 習 重 點 歸 於 同 一 學 習 單 位 內 。
3. 表 中 「 注釋」 欄 的 內 容 , 可 視 為 學 習 重 點 的 補 充 資 料 。
4. 學 習 單 位 旁 的 教 學 時 數 旨 在 協 助 教 師 判 斷 課 題 的 教 學 深 度 。 教 學 時 數 僅 作 參 考 之 用 , 教 師 可 因 應 個 別 情 況 自 行 調 節 。
5. 高中數學必修部分與單元二的總課時為 375 小時(即佔高中課程總課時的 15%)。
學 習 單 位 學 習 重 點 時 間 注 釋
基 礎 知 識
1. 奇 函 數 和 偶 函 數 1.1 認 識 奇 函 數 和 偶 函 數 及 它 們 的 圖 像 2 學 生 須 認 識 絕 對 值 函 數 為 偶 函 數 的 一 個 例 子 。
2. 數 學 歸 納 法 2.1 理 解 數 學 歸 納 法 原 理 3 須 包 括 數 學 歸 納 法 的 基 本 原 理 。
學 生 須 證 明 與 有 限 數 列 求 和 有 關 的 命 題 。
不 須 證 明 與 不 等 式 有 關 的 命 題 。 3. 二 項 式 定 理 3.1 以 二 項 式 定 理 展 開 指 數 為 正 整 數 的 二 項
式
3 須 包 括 二 項 式 定 理 的 證 明 。 學 生 須 認 識 求 和 記 法()。
不 包 括 以 下 內 容 :
三 項 式 的 展 開
最大係數、最大項和二項式係數性 質
求 近 似 值 的 應 用 4. 續 三 角 函 數 4.1 理 解 弧 度 法 的 概 念 15
4.2 理 解 餘 割 函 數 、 正 割 函 數 和 餘 切 函 數 學 生 須 運 用 的 公 式 包 括 :
2 2
1 tan
sec
和2 2
1 cot
cosec
4.3 理 解 正 弦、餘 弦、正 切 函 數 的 複 角 公 式、
二 倍 角 公 式 及 正 弦 、 餘 弦 函 數 的 和 積 互 化 公 式
公 式 包 括 :
sin(A B )sin cosA Bcos sinA B
cos(A B )cos cosA B sin sinA B
tan( ) tan tan 1 tan tan
A B
A B
A B
sin 2A = 2 sin A cos A
cos 2A = cos2A sin2A
= 1 2 sin2A = 2 cos2A 1
tan 2A =
2
2 tan 1 tan
A
A
sin2A =1
2(1 cos 2A)
cos2A =1
2(1 + cos 2A)
2sin cosA Bsin(A B ) sin( A B )
2cos cosA Bcos(A B ) cos( A B )
2sin sinA Bcos(A B ) cos( A B )
sin sin 2sin cos
2 2
A B A B
A B
sin sin 2 cos sin
2 2
A B A B
A B
cos cos 2 cos cos
2 2
A B A B
A B
cos cos 2sin sin
2 2
A B A B
A B
不包括「輔助角的形式」。
2
1
sin 1 cos 2 A 2 A
和
2 1
cos 1 cos 2
A2 A 可視為源自二倍角
5. e 的 簡 介 5.1 認 識 e 和 自 然 對 數 的 定 義 及 其 記 法 2 可 考 慮 用 以 下 兩 種 方 式 介 紹 e:
lim(1 1 )
ne
n
n
(不 須 證 明 此 極 限 的 存 在 性 )
1 2 3
2! 3!
x x x
e x
這 些 定 義 可 在 學 習 重 點 6.1 介 紹 。 教 學 時 數 小 計 25
微 積 分
6. 極 限 6.1 理 解 函 數 極 限 的 直 觀 概 念 3 學 生 須 認 識 有 關 函 數 的 和、差、積、
商、純 量 乘 法 極 限 和 複 合 函 數 極 限 的 定 理(不 須 證 明 )。
6.2 求 函 數 的 極 限 學 生 須 運 用 的 公 式 包 括 :
0
lim sin 1
0
lim 1 1
x
x
e
x
須 求 當 自 變 量 趨 向 無 窮 時,有 理 函 數 的 極 限 。
7. 求 導 法 7.1 理 解 函 數 導 數 的 概 念 13 學 生 須 從 基 本 原 理 求 初 等 函 數 的 導 數 , 例 如: C、xn (n 為 正 整 數 )、
x 、sin x、cos x、e x 和 ln x。
學 生 須 認 識 記 法 : y、 f x( )和
dy
dx
。 不 須 判 別 函 數 的 可 導 性 。7.2 理 解 求 導 法 的 加 法 法 則 、 積 法 則 、 商 法 則 和 鏈 式 法 則
法 則 包 括 :
d ( ) du dv u v
dx dx dx
d ( ) du dv
uv v u
dx dx dx
( ) 2
du dv
v u
d u dx dx
dx v v
dy dy du dx du dx
7.3 求 包 含 代 數 函 數 、 三 角 函 數 、 指 數 函 數和 對 數 函 數 的 函 數 之 導 數
學 生 須 運 用 的 公 式 包 括 :
( )C 0
(xn) nxn1
(sin )x cosx
(cos )x sinx
(tan )x sec2x
(ex) ex
( ln ) x 1
x
須 包 括 下 列 的 代 數 函 數 :
多 項 式 函 數
有 理 函 數
冪 函 數 x
由 上 述 各 函 數 的 加 、 減 、 乘 、 除 和 複 合 而 成 的 其 他 函 數 , 諸 如 x 2 1
7.4 以 隱 函 數 求 導 法 求 導 數 須 包 括 對 數 求 導 法 。
7.5 求 顯 函 數 的 二 階 導 數 學 生 須 認 識 記 法 : y 、 f( )x 和
2 2
d y dx 。
學 生 須 認 識 二 階 導 數 判 別 法 及 凹 性 。
8. 求 導 法 的 應 用 8.1 求 曲 線 的 切 線 方 程 14
8.2 求 函 數 的 極 大 值 和 極 小 值 須 包 括 全 局 及 局 部 極 值 。
8.3 描 繪 多 項 式 函 數 及 有 理 函 數 的 曲 線 當描繪曲線時,須注意以下事項:
曲 線 的 對 稱 性
x 值 和 y 值 的 限 制
曲 線 與 兩 軸 的 截 距
極 大 點 和 極 小 點
拐 點
曲 線 的 垂 直 、 水 平 和 斜 漸 近 線 學 生 須 運 用 除 法 推 算 有 理 函 數 曲 線 的 斜 漸 近 線 方 程 。
8.4 解 與 變 率 、 極 大 值 和 極 小 值 有 關 的 應 用 題
9. 不 定 積 分 法 及 其 應 用
9.1 認 識 不 定 積 分 法 的 概 念 15 須 介 紹 不 定 積 分 法 為 求 導 法 的 逆 過 程。
9.2 理 解 不 定 積 分 的 性 質 及 運 用 代 數 函 數 積 分 公 式 、 三 角 函 數 積 分 公 式 和 指 數 函 數 積 分 公 式 求 不定積 分
公 式 包 括 :
k dxkxC 1
1
n
n x
x dx C
n
1 dx ln x
x C
e dxx ex C
sinx dx cosxC
cosx dxsinxC
sec2x dxtanxC9.3 理 解 不 定 積 分 在 數 學 情 境 的 應 用 須 包 括 不 定 積 分 在 諸 如 幾 何 學 方 面 的 應 用 。
9.4 運 用 代 換 積 分 法 求 不 定 積 分
9.5 運 用 三 角 代 換 法 求 含 有 a2x2 、
2 2
1
a x
或 21
2x a
形 式 的 不 定 積 分學 生 須 認 識 記 法 :sin1 x 、 cos1 x 和 tan1x,以及 有 關 主 值 的 概 念 。
9.6 運 用 分 部 積 分 法 求 不 定 積 分 教 師 可 引 用
ln x dx為 例 子 說 明 分 部 積 分 法 。在 求 一 個 積 分 時 最 多 運 用 分 部 積 分 法 兩 次 。
10. 定 積 分 法 10.1 認 識 定 積 分 法 的 概 念 10 須 介 紹 定 積 分 作 為 和 的 極 限,並 由 此 定 義 求 定 積 分 。
須 包 括 啞 變 量 的 概 念 , 例 如 , ( ) ( )
b b
a f x dx a f t dt
。不 包 括 以 定 積 分 法 求 無 窮 數 列 之 和 。
10.2 理 解 定 積 分 的 性 質 性 質 包 括 :
b ( ) a ( )
a f x dx b f x dx
a ( ) 0
a f x dx
b ( ) c ( ) b ( )
a f x dx a f x dx c f x dx
b ( ) b ( )
akf x dxk a f x dx
b
( ) ( )
a f x g x dx
b ( ) b ( )
a f x dx a g x dx
若 f(x) 為 奇 函 數 , 則
( ) 0
a
a f x dx
若 f(x) 為 偶 函 數 , 則
( ) 2 ( )
a a
f x dx f x dx
10.3 求 代 數 函 數 、 三 角 函 數 和 指 數 函 數 的 定 積 分
學 生 須 認 識 的 微 積 分 基 本 定 理 為 : ( ) ( ) ( )
b
a f x dxF b F a
,其 中( ) ( ) d F x f x
dx
。10.4 運 用 代 換 積 分 法 求 定 積 分
10.5 運 用 分 部 積 分 法 求 定 積 分 在 求 一 個 積 分 時 最 多 運 用 分 部 積 分 法 兩 次 。
11. 定 積 分 法 的 應 用 11.1 理 解 以 定 積 分 求 平 面 圖 形 面 積 的 應 用 4 11.2 理 解 以 定 積 分 求 沿 坐 標 軸 或 平 行 於 坐 標
軸 的 直 線 旋 轉 而 成 的 旋 轉 體 體 積 的 應 用
須 包 括 「 圓 盤 法 」。
教 學 時 數 小 計 59 代 數
12. 行 列 式 12.1 認 識 二 階 及 三 階 行 列 式 的 概 念 2 學 生 須 認 識 記 法 : |A| 和 det A。
13. 矩 陣 13.1 理 解 矩 陣 的 概 念 、 運 算 及 其 性 質 10 運 算 須 包 括 矩 陣 的 加 法 、 純 量 乘 法 和 乘 法 。
性 質 包 括 :
A B B A
A(B C )(A B ) C
(
)A
A
A
(A B )
A
B A BC( )(AB C)
A B C( ) ABAC
(A B C ) ACBC
(
A)(
B)(
)AB AB A B
13.2 理 解 二 階 及 三 階 方 陣 逆 矩 陣 的 概 念 、 運 算 及 其 性 質
性 質 包 括 :
A 的 逆 矩 陣 是 唯 一 的
(An)1(A1)n
(AT)1(A1)T
A1 A1
(AB)1B A1 1
其 中 A 和 B 為可逆矩陣, 為非零純 量 。
14. 線 性 方 程 組 14.1 以 克 萊 瑪 法 則 、 逆 矩 陣 和 高 斯 消 去 法 解 二 元 和 三 元 線 性 方 程 組
6 須 包 括 以 下 定 理 :
一 個 齊 次 線 性 方 程 組 有 非 平 凡 解 當 且 僅 當 它 的 係 數 矩 陣 為 奇 異 矩 陣 15. 向 量 的 簡 介 15.1 理 解 向 量 及 純 量 的 概 念 5 須 包 括 向 量 的 模 、 零 向 量 及 單 位 向
量 的 概 念 。
學 生 須 認 識 印 刷 時 採 用 的 向 量 記 法 (包 括 a 和 AB )以 及 書 寫 時 採 用 的 記 法(包 括 a 、 AB 和
a
)和 表 示 向 量 的 模 的 記 法(包 括 a 和 a )。15.2 理 解 向 量 的 運 算 及 其 性 質 須包括向量的加法、減法和純量乘 法。
性 質 包 括 :
a b b a
a(b c ) (a b)c
a 0 a
0 a 0
( a)(
)a (
)a
a
a
(a b )
a
b 若
a
b
1a
1b( 其 中 a 和 b 為 非 零 並 且 互 相 不 平 行 的 向 量 ), 則
= 1 及 =
115.3 理 解 向 量 在 直 角 坐 標 系 統 的 表 示 法 學 生 須 運 用 的 公 式 包 括 :
在 R3中 ,
OP x
2 y
2 z
2 在 R2中 ,
sin
y
和
2 2
cos x
x y
可 以 運 用 向 量 在 直 角 坐 標 系 統 的 表 示 法 來 討 論 在 學 習 重 點 15.2 的 注 釋 中 所 提 及 的 性 質 。
不 包 括 方 向 餘 弦 的 概 念 。
16. 純 量 積 與 向 量 積 16.1 理 解 向 量 的 純 量 積 ( 點 積 ) 的 定 義 及 其 性 質
5 性 質 包 括 :
a b b a
a(
b)
(a b ) a b c ( ) a b a c
a a a
2 0
a a 0 當 且 僅 當 a0
a b a b
a b
2 a
2 b
2 2( a b )
16.2 理 解 在 R3中 向 量 的 向 量 積( 叉 積 )的 定 義 及 其 性 質
性 質 包 括 :
a a 0
b a (a b )
(a b ) c a c b c
a (b c) a b a c
(
a) b a (
b)
(a b )
a b
2 a b
2 2 ( a b )
217. 向 量 的 應 用 17.1 理 解 向 量 的 應 用 6 須 包 括 線 段 的 分 割 、 平 行 性 和 正 交 性 。
須 包 括 求 兩 向 量 間 的 夾 角 、 向 量 投 射 至 另 一 向 量 的 投 影 和 三 角 形 的 面 積 。
教 學 時 數 小 計 34
進 階 學 習 單 位
18. 探 索 與 研 究 通 過 不 同 的 學 習 活 動,發 現 及 建 構 知 識,進 一 步 提 高 探 索、溝 通、思 考 和 形 成 數 學 概 念 的 能 力
7 此 非 一 個 獨 立 和 割 裂 的 學 習 單 位。
教 師 可 運 用 建 議 的 時 間,讓 學 生 參 與 不 同 學 習 單 位 內 的 活 動 。 教 學 時 數 小 計 7
總 課 時 : 125 小 時
流 程 圖 : 高 中 數 學 課 程 必 修 部 分
軌跡
變分
函數及其圖像 不等式
與 線性規畫
等差數列與 等比數列 及其求和法
續函數圖像 指數函數與 對數函數
續多項式 一元二次方程
續方程
圓的 基本性質
續三角學
續概率 圓方程
離差的度量 排列與組合
統計的應用 及誤用 直線方程
進階應用 數與代數
範疇
度量、圖形 與空間範疇
數據處理 範疇 初中數學課程