勾股定理證明-G097

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勾股定理證明-G097

【作輔助圖】

1. 以 AB 為邊，向外作一正方形 ABKH ，以BC 為邊，向外作一正方形 BCED ，以 AC 為邊，向內作一正方形 ACFG。

2. 連接 HG(於證明過程第 1 點說明 H G F  共線)。

3. 過 C 作 CLHK於 L ，且分別與 AB , GF 相交於 N 點, M 點。

4. 連接 AD , CK 。

A B

C

D E

F

G

H K

M

L N

【求證過程】

以直角三角形 ABC 的三邊分別向上向外作正方形，先證明圖中的三角形全等，再 將正方形 ABKH 切割成兩個長方形，最後由底高的面積計算得到這兩個長方形的面積 和會等於正方形 ACFG 與正方形 BCED 的面積和，來推出勾股定理的關係式。

1. 先證明三角形 AHG 與三角形 ABC 全等，再得到 H  G F共線：

因為 AH AB, AG AC，且GAH 90^ BAG CAB，所以 AHG ABC

   (SAS 全等).

可得到HGA BCA90^，又FGA90^，所以HGA FGA180^，故 H G F共線。

(2)

2. 證明三角形 KBC 與三角形 ABD 全等：

因為BK  AB, BCBD, 且KBC90^ ABC ABD，所以 KBC ABD

   (SAS 全等).

3. 證明四邊形 AHLN 的面積與正方形 ACFG 的面積相等：

由作圖的平行關係可知四邊形 AHLN 為長方形，四邊形 ACMH 為平行四邊形，因此 AHLN AH AN

ACMH AC AG

ACFG



長方形面積＝

＝平行四邊形面積＝

＝正方形面積.

4. 證明四邊形 BKLN 的面積與正方形 BCED 的面積相等：

由作圖的平行關係可知四邊形 BKLN 為長方形，且

2 2

2 (1 )

2 BKLN BK BN

KBC ABD

BD BC BD BC



 

  



長方形面積＝

＝＝＝＝

面積面積

＝正方形BCED面積.

5. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：

ABKH AHLN BKLN

ACFG BCED

正方形面積＝長方形面積＋長方形面積

＝正方形面積＋正方形面積.

得到

2 2 2

, AB  AC BC 即

2 2 2

. c a b

【註與心得】

1. 來源：這個證明記載於：

(1) J. Wipper (1880). 46 Beweise des pythagoraischen Lehrsatzes, nebst kurzen biogr. Mittheilgn uber Pythagoras (p. 11). Leipz.: Friese.

(2) Benj. F. Yanney and James A. Calderhead(1898). New and Old Proofs of the Pythagorean. The American Mathematical Monthly, 4(11), 267.

(3) E. Fourrey (1907). Curiosités Géométriques(p. 70). Paris: Vuibert et Nony.

(4) Walter Lietzmann (1920). Der pythagoreische Lehrsatz.Leipzig & Berlin : Teubner.Dr. Leitzmann, 30.

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2. 心得：此題證明的圖形簡單易懂，將正方形ABKH 切割為兩個長方形，再利用輔助 線將兩個長方形面積分別轉移為平行四邊形與三角形面積的計算，進而推得 正方形 ABKH 面積會等於正方形 ACFG 與正方形 BCED 的面積和。

3. 評量：

國中高中教學欣賞美學

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