勾股定理證明-G101
【作輔助圖】
1. 以 AB 為邊，向外作一正方形 ABKH ，以BC 為邊，向外作一正方形 BCED ，以 AC 為邊，向內作一正方形 ACFG 。
2. 連接 HG(於證明過程第 1 點說明 H G F 共線)。
3. 過 K 點作 GF 的平行線，與 CF 的延長線交於 L 點。
4. 過 K 點作 GF 的垂線，與 GF 交於 N 點。
A B
C
D E
F
G
H K
M
L N
【求證過程】
以直角三角形 ABC 的三邊分別向內向外作正方形，先證明圖中的三角形全等，再 經過全等圖形的增補與移除關係後，可得到正方形 ABKH 的面積會等於正方形 BCED 與正方形 ACFG 的面積和，來推出勾股定理的關係式。
1. 先證明三角形 AHG 與三角形 ABC 全等，再得到 H G F共線：
因為 AH AB, AG AC，且GAH 90 BAG CAB，所以 AHG ABC
(SAS 全等).
可得到HGA BCA90，又FGA90，所以HGA FGA180，故 H G F共線。
2. 證明三角形 HKN , 三角形 BKL 皆與三角形 ABC 全等：
因為 HK BK, HNK BLK 90，且HKN 90 NKM BKL，所以 HKN BKL
(AAS 全等).
同理，
BKL ABC
(AAS 全等).
故
HKN BKL ABC
.
3. 證明四邊形 NFLK 為正方形，且正方形 NFLK 與正方形 BCED 的面積相等：
由作圖的平行關係可知四邊形 NFLK 的四個內角皆為直角，且 HKN BKL，因此 KNKL，故四邊形 NFLK 為正方形。又因為 BKL ABC，所以 KLBC， 可得到
NFLK BCED
正方形 面積＝正方形 面積.
4. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：
N
ABKH AHG ABMG HKN
ABC ABMG BKL
ACFG NFLK
ACFG B
MK NM CED
K
正方形 面積＝ 面積＋四邊形 面積＋ 面積＋ 面積
＝ 面積＋四邊形 面積＋ 面積＋ 面積 ＝正方形 面積＋正方形 面積
＝正方形 面積＋正方形 面積.
得到
2 2 2
, AB AC BC 即
2 2 2
. c a b
【註與心得】
1. 來源：這個證明記載於：
Edwards, George C.(1895). Elements of Geometry(p.157). New York : Macmillan and co.
2. 心得：此題證明的難度不高，關鍵在於證明三角形 AHG 與三角形 ABC 全等，三角 形 HKN 與三角形 BKL 全等，以及正方形 NFLK 與正方形 BCED 的面積相 等，再透過圖形的切割與平移，推得正方形 ABKH 的面積會等於正方形
ACFG 與正方形 BCED 的面積和。
3. 評量：
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