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單元四 二次函數的最大值或最小值及其應用
課文A： 二次函數的最大值或最小值
在前面的課文當中，畫過很多種二次函數圖形，有開口向上的，也有 開口向下的。如果二次函數圖形開口向下，那麼就有一個最高點，例如 𝑦 = −(𝑥 − 2)2+ 5 的函數圖形：
在函數圖形上的點，其 𝑦 坐標就是 𝑥 坐標所對應的函數值，例如「(0,1) 在函數圖形上」表示「當 𝑥 = 0 時，對應的函數值 𝑦 = 1」。
而 𝑦 = −(𝑥 − 2)2+ 5 的函數圖形頂點 (2,5) 是最高點，也就是
𝑦 = −(𝑥 − 2)2+ 5 函數圖形上的點都不會比 (2,5) 還要高。換句話說，當 𝑥 = 2 時， 𝑦 有最大值 5。
(2,5)
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如果二次函數圖形開口是向上的，那麼就有一個最低點，例如 𝑦 = 2(𝑥 + 1)2− 3 的函數圖形：
可以知道它的頂點 (−1, −3) 是最低點，也就是 𝑦 = 2(𝑥 + 1)2− 3 函數 圖形上的點都不會比 (−1, −3) 還要低。換句話說，當 𝑥 = −1 時，𝑦 有最 小值 −3。
從上面兩個例子就可以知道頂點可以顯示出函數的最大值或最小值，
所以我們在討論一個函數的最大值或最小值問題時，可以先配成
𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)2+ 𝑘 的形式來找出頂點，再根據開口的方向判斷是最大值還 是最小值。
(−1, −3)
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例題一：求下列二次函數的最大值或最小值，並寫出 𝑥 的值為多少時，
會得到最大值或最小值。
(1) 𝑦 = 𝑥2− 6𝑥 + 5 (2) 𝑦 = 3𝑥2− 6𝑥 + 10 (3) 𝑦 = −𝑥2− 6𝑥 − 9
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解：(1)函數在 𝑥 = 3 時，有最小值 y = −4 (2)函數在 𝑥 = 1 時，有最小值 y = 7
(3)函數在 𝑥 = −3 時，有最大值 y = 0
重點提問
1.根據上面的課文，想要求出二次函數的最大值或最小值，需要做什麼事 呢？
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課文B： 二次函數的應用問題
接下來我們就要看一些牽涉到最大值或最小值的應用問題。
拋體問題
例題一：小坪擲出棒球，已知棒球飛行的水平距離為 𝑥 公尺，棒球離地 面的高度為 𝑦 公尺，這兩者滿足關係式：𝑦 = − 1
24(𝑥2− 10𝑥 − 24)
請問：
(1) 擲球點離地面多少公尺？
(2) 從擲球點到球落地時，飛行的水平距離為多少公尺？
(3) 球飛行途徑的最高點離地面多少公尺？
解(1)：擲球點的位置就是棒球飛行的水平距離為 0 公尺的時候。
所以將 𝑥 = 0 代入關係式 𝑦 = − 1
24(𝑥2− 10𝑥 − 24) 中，
得 𝑦 = − 1
24(02− 10 × 0 − 24) = − 1
24× (−24) = 1 故擲球點離地面 1 公尺。
解(2)：棒球落地時，此時離地面高度為 0 公尺，
所以令 𝑦 = 0 ，代入關係式得 0 = − 1
24(𝑥2− 10𝑥 − 24)，
− 1
24(𝑥2− 10𝑥 − 24) = 0 𝑥2− 10𝑥 − 24 = 0
試試看利用十字交乘法來解，
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𝑥2− 10𝑥 − 24 = 0 (𝑥 − 12)(𝑥 + 2) = 0 𝑥 − 12 = 0 或 𝑥 + 2 = 0 𝑥 = 12 或 −2
因為距離一定是正的，所以 −2 不合。
故從擲球點到球落地時，飛行的水平距離為 12 公尺。
解(3)：求棒球飛行途徑的最高點，就是要找出關係函數的頂點，將函數 配方成「𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)2+ 𝑘」形式時就可以找出頂點了。
𝑦 = − 1
24(𝑥2− 10𝑥 − 24) 𝑦 = − 1
24(𝑥2− 10𝑥+ 52
− 5
2− 24) 𝑦 = − 124(𝑥2− 10𝑥+ 52
− 25
− 24) 𝑦 = − 124[(𝑥2− 10𝑥+ 52)
− 25
− 24]𝑦 = − 1
24[(𝑥2− 10𝑥 + 52) − 49]
𝑦 = − 1
24 (𝑥 − 5)2 +49 24 當 𝑥 = 5 時，有最大值 𝑦 =49
24， 也就是球飛行途徑的最高點離地面 49
24 ≒2.04公尺。
x x
12 2
12
x
2x
10x
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例題二：小朱從高處斜上拋出石頭，經 𝑥 秒後，石頭離地面高度 𝑦 公尺，
且滿足以下關係式：𝑦 = −5𝑥2+ 10𝑥 + 5請問：
(1) 小朱一開始所在的位置多高？
(2) 石頭飛行途徑的最高點離地面多少公尺？
(3) 幾秒的時候石頭會落到地面上？
解(1)：一開始的位置就是時間在 0 秒時候的位置。
所以將 𝑥 = 0 代入關係式 𝑦 = −5𝑥2+ 10𝑥 + 5 中，
得 𝑦 = −5 × 02+ 10 × 0 + 5 = 5，
就表示小朱一開始所在的位置離地面 5 公尺。
解(2)：求石頭飛行途徑的最高點，就是要找出關係函數的頂點，將函數配方成
「𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)2+ 𝑘」形式時就可以找出頂點了。
𝑦 = −5𝑥2+ 10𝑥 + 5 𝑦 = −5(𝑥2− 2𝑥) + 5
𝑦 = −5(𝑥2− 2𝑥+ 12
− 1
2) + 5 𝑦 = −5[ (𝑥 − 1)2− 1] + 5
𝑦 = −5(𝑥 − 1)2 + 5 + 5 𝑦 = −5(𝑥 − 1)2 + 10當 𝑥 = 1 時，有最大值 𝑦 = 10，就是石頭飛行途徑的最高點離地面為 10 公尺。
解(3)：石頭落地時，離地面高度為 0 公尺，
所以令 𝑦 = 0 ，代入關係式得 0 = −5𝑥2+ 10𝑥 + 5，
−5𝑥2+ 10𝑥 + 5 = 0
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𝑥2− 2𝑥 − 1 = 0
沒辦法十字交乘，利用公式解：𝑥 = −𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
先算算 𝑏2− 4𝑎𝑐=(−2)2− 4 × 1 × (−1) = 4 + 4 = 8
𝑥 =−(−2) ± √8
2 × 1 =
2 2 2
2
= 1 ± √2 因為秒數一定是正的，所以 1 − √2 秒不合。故小朱拋出石頭經過 1 + √2 ≒2.4 秒，石頭會落到地面上。
銷售問題
例題三：平安旅行社舉辦旅遊活動，預計人數 30 人，每人收費 5000 元，
當人數達到 30 人後，每多 1 人，每人收費就便宜 100 元。
假設這次活動已經達到 30 人了，又多了 𝑥 人，總收入為 𝑦 元，請問：
(1) 𝑥、𝑦 的關係式。
(2) 當增加多少人時，旅行社才能收到最多錢？
最多一共可以收到多少錢？
※理解題目：在解應用問題的時候，要先理解一下題目的意思！
「辦旅遊活動，預計參加人數 𝟑𝟎 人，每人收費 𝟓𝟎𝟎𝟎 元，當人數到 𝟑𝟎 人後，每多 𝟏 人，每人收費就便宜 𝟏𝟎𝟎 元。」
而且想要列出參加人數跟總收入的關係。可以先舉一些實際的數字來 觀察：
如果 𝟑𝟎 人，每人收費 元，總收入= × 元；
如果 𝟑𝟏 人，每人收費 元，總收入= × 元；
如果 𝟑𝟐 人，每人收費 元，總收入= × 元；
如果 𝟑𝟑 人，每人收費 元，總收入= × 元…
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解(1)：總收入 = 人數×每人的收費
預計人數 30 人，又多了 𝑥 人，所以人數假設為 (30 + 𝑥) 人。
原本每人收費 5000 元，而每多 1 人，每人收費再便宜 100 元，
因為多了 𝑥 人，所以每人收費便宜 100𝑥 元，
所以每人收費可以假設為 5000 − 100𝑥 元。
因此總收入 = (30 + 𝑥) × (5000 − 100𝑥)，
人數 每人收費
函數關係式列成：𝑦 = (30 + 𝑥) × (5000 − 100𝑥) 整理一下這個函數式！
𝑦 = (30 + 𝑥) × (5000 − 100𝑥)
= 30 × 5000 − 30 × 100𝑥 + 5000𝑥 − 100𝑥2
= 150000 − 3000𝑥 + 5000𝑥 − 100𝑥2
= 150000 + 2000𝑥 − 100𝑥2 = −100𝑥2+ 2000𝑥 + 150000
解(2)：已經知道了增加人數與總收入的關係函數後，想求出總收入的最 大值，就必須要進行配方法。
𝑦 = −100𝑥2+ 2000𝑥 + 150000 = −100(𝑥2− 20𝑥) + 150000
= −100(𝑥2− 20𝑥+ 102
− 10
2) + 150000 = −100[(𝑥2− 20𝑥 + 102)− 100] + 150000
= −100(𝑥2− 20𝑥 + 102) + 10000 + 150000 = −100(𝑥2− 20𝑥 + 102) + 160000= −100(𝑥 − 10)2 + 160000
當 𝑥 = 10 時，有最大值 𝑦 = 160000，就是當增加 10 人時，旅行社 可以收到最多錢，一共可以收到 160000 元。
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數值問題
例題四：已知有兩個數字的差為 4，假設兩數中較小的一數為 𝑥、兩數相 乘為 𝑦。請問：
(1) 𝑥 和 𝑦 的關係式。 (2) 兩數相乘的最小值為多少？
解(1)：有兩個數字的差為 4，假設兩數中較小的一數為 𝑥，代表另外一 個數字就比 𝑥 大 4，就是 𝑥 + 4。
這兩數相乘為 𝑦，所以可以列出函數關係式：𝑦 = 𝑥(𝑥 + 4)，
整理一下，𝑦 = 𝑥(𝑥 + 4) = 𝑥2+ 4𝑥
解(2)：已經知道函數關係後，想求出最小值，必須要進行配方法。
𝑦 = 𝑥2+ 4𝑥
𝑦 = 𝑥2+ 4𝑥+ 22
− 2
2𝑦 = (𝑥2+ 4𝑥 + 22)
− 4
⟹ 𝑦 = (𝑥 + 2)2− 4 當 𝑥 = −2 時，兩數相乘有最小值 𝑦 = −4。例題五：已知有兩個數字的和為 24，假設兩數的其中一數為 𝑥、兩數相 乘為 𝑦。請問：
(1) 𝑥 和 𝑦 的關係式。 (2) 兩數相乘的最大值為多少？
解(1)：有兩個數字的和為 24，假設兩數中較小的一數為 𝑥，
代表另外一個數字就是 24 − 𝑥。
這兩數相乘為 𝑦，所以可以列出函數關係式：𝑦 = 𝑥(24 − 𝑥)，
整理一下，𝑦 = 𝑥(24 − 𝑥) = 24𝑥 − 𝑥2 = −𝑥2+ 24𝑥
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解(2)：已經知道函數關係後，想求出最小值，必須要進行配方法。
𝑦 = −𝑥2+ 24𝑥 𝑦 = −(𝑥2− 24𝑥)
𝑦 = −(𝑥2− 24𝑥+ 122
− 12
2) 𝑦 = −(𝑥2− 24𝑥 + 122)+ 12
2 𝑦 = −(𝑥2− 24𝑥 + 122) + 144 𝑦 = −(𝑥 − 12)2+ 144當 𝑥 = 12時，兩數相乘有最大值 𝑦 = 144。
․隨堂練習：
1.小均投出籃球，已知籃球飛行的水平距離為 𝑥 公尺，籃球離地面的高度 為 𝑦 公尺，這兩者滿足關係式：
𝑦 = −𝑥2+ 4𝑥 + 2 請問：
(1) 投籃點距離地面多少公尺？
(2) 從投籃點到球落地時，飛行的水平距離為多少公尺？
(3) 球飛行途徑的最高點離地面多少公尺？
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2. 小強從高處斜向上射出石頭，經 𝑥 秒後，石頭離地面高度 𝑦 公尺，且滿 足以下關係式：
𝑦 = −5𝑥2+ 20𝑥 + 5 請問：
(1) 小強一開始所在的位置多高？
(2) 石頭飛行途徑的最高點離地面多少公尺？
(3) 幾秒的時候石頭會落到地面上？
3.旅行社舉辦旅遊活動，預計人數 20 人，每人收費 4000 元，當人數達到 20 人後，每多 1 人，每人收費就便宜 200 元。假設這次活動已經達到 20 人 了，又多了 𝑥 人，總收入為 𝑦 元，請問：
(1) 𝑥、𝑦 的關係式。
(2) 當增加多少人時，旅行社才能收到最多錢？最多一共可以收到多少錢？
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4.已知有兩個數字的差為 10，假設兩數中較小的一數為 𝑥、兩數相乘為 𝑦。
請問：
(1)𝑥 和 𝑦 的關係式。
(2) 兩數相乘的最小值為多少？
5.已知有兩個數字的和為 20，假設兩數的其中一數為 𝑥、兩數相乘為 𝑦。
請問：
(1) 𝑥 和 𝑦 的關係式。
(2) 兩數相乘的最大值為多少？
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重點提問
1.根據上面的課文，這些題目有哪些題目的目標是在求最大值？
哪些題目的目標是在求最小值？
2.試著出一題與二次函數有關的應用問題。
