壽險精算 (Life Contingencies)
授課教師：余清祥教授
日期：2005年9月27日
第二章：生命表
(Life Table)http://csyue.nccu.edu.tw
生命表(Life Table)
生命表(Life table)為計算生命函數（包括 死亡率、平均壽命、……）的基礎表，
根據一年或數年觀察時間之統計資料編 算而成，通常分為國民生命表(Population Table)及經驗生命表(Experience Table) 。
在台灣地區國民生命表由政府部門修
訂，經驗生命表由保險公司或其公會編
纂。
生命表的歷史發展
生命表的歷史發展(續)
生命表中與死亡相關的資料紀錄通常以 兩種不同的方式來詮釋：
Æ決定性模型（Deterministic framework) 假設事件必定發生。
Æ隨機性模型（Stochastic framework）
假設事件發生的可能性為定值，但含有
隨機的因素。
九十年臺灣地區簡易生命表
年齡組 死亡機率 生存數 死亡數 平均餘命
0 0.00683 100000 683 99448 7288181 72.88
1 － 4 0.00208 99317 207 396794 7188733 72.38 5 － 9 0.00111 99110 110 495236 6791939 68.53 10 － 14 0.00129 99000 128 494751 6296703 63.60 15 － 19 0.00390 98872 385 493485 5801952 58.68 20 － 24 0.00507 98486 499 491208 5308468 53.90 25 － 29 0.00613 97987 601 488499 4817259 49.16 30 － 34 0.00879 97386 856 484925 4328760 44.45 35 － 39 0.01300 96530 1255 479691 3843835 39.82 40 － 44 0.01826 95275 1740 472235 3364144 35.31 45 － 49 0.02516 93535 2353 462082 2891909 30.92 50 － 54 0.03601 91182 3284 448175 2429827 26.65 55 － 59 0.05331 87898 4686 428383 1981652 22.54 60 － 64 0.07755 83212 6453 400812 1553268 18.67 65 － 69 0.12080 76759 9273 361979 1152456 15.01 70 － 74 0.19533 67486 13182 306193 790477 11.71 75 － 79 0.31633 54304 17178 229896 484284 8.92 80 － 84 0.49343 37126 18319 139198 254388 6.85
男性
定 常 人 口
X ~ (X+n) qx lx dx Lx Tx ex
85+ 1.00000 18807 18807 115190 115190 6.12
生命表基本函數
生存數
死亡數
死亡率 q
x及生存活率 p
x
定常人口 L
x及 T
x
其他基本函數 Æ平均餘命
l
xx n d
x o
e
生存數 l
xÆ生存數可視為生命表之根本，表示某一 定值的出生數，隨著年齡生長而剩餘的 生存人數。
Æ通常生命表中假設 l
0= 100,000，也就是 一開始（0歲時）有十萬名活產的嬰兒，
稱為生命表的基數(Radix)。
Æ若個體間視為互相獨立，則存活至 x 歲 的人數 l
x為二項分配 B(l
0,S(x))的變數。
其中S(x) 為存活函數：
S(x) = 1－F
X(x) = P(X > x) , x ≥ 0。
死亡數
nd
xÆ死亡數由生存數計算而得，
nd
x表示 l
0個 嬰兒在 x 至 x + n 歲死亡的期望人數。
Æ生命表中通常只列出 n = 1的相關數值，
紀錄 n = 1的數值時會略去左下標，只以 d
x紀錄。也就是 d
x= l
x– l
x+1，因此
Æ死亡率與生存機率也可由 d
x與 l
x表示：
。
與
∑
∑
∞=
∞
=
=
=
0
0
y
y x
y
y
x d l d
l
)].
( )
(
0
[ S x S x n
l l
l
d
x x x nn
= −
+= × − +
.
,
11
x x x
x x x
x x
x
l
l l
l q d
l
p = l
+= = −
+其它死亡率相關符號及關聯
)
0
S ( x
x
p =
t x s x t x
s t
q p
t x
S
s t
x S x
S
t x
S
x S
s t
x S x
S
t x
s S t
x T t
P q
=
+⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
+ +
− +
= +
+
− +
= + +
<
<
=
) (
) 1 (
) (
) (
) (
) (
) (
) ) (
) (
|
(
定常人口(Stationary Population)
Æ若生命表中的 l
0個新生嬰兒，其出生時 間均勻分散在一年的任一時間，而每年 都有l
0個新生嬰兒，則在任一時間觀察 到的 x 至 x+1歲的人數平均約為L
x人，以 符號表示
Æ T
x則為 x 歲以上的所有人口
全體人口則為T
0。
1
.
0
l dt L
x= ∫
x+t0
l dt . L
T
x tx y
y
x +
∞ ∞
=
∫
∑ =
=
死亡分配的特例：
Æ均勻死亡
(Uniform distribution of death;UDD)表示各年齡生存人數隨年齡直線下降。
Æ在此假設下，定常人口等於
Æ均勻死亡假設對死亡率而言，
( ) 1 − + ⋅
1, 0 ≤ ≤ 1
=
++
t l t l t
l
x t x x( ) .
2 1 2
1
+1
+
=
−
=
x x x xx
l d l l
L
x x
t
q = t ⋅ q
平均餘命(Expectation of Life)
Æ平均餘命 為生命表中已存活至 x 歲的 人，未來預期可存活的年數；在 x = 0 時， 代表的即是平均壽命。
Æ在定常人口(Stationary Population)的假設 下 :
x o
e
x o
e
x x x
o
l
e = T
80 70
60 50
40 30
20 10
0 100000
90000 80000 70000 60000 50000 40000
年齡
l(x)
生存數與 年齡的關係
80 70
60 50
40 30
20 10
0 -2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
年齡
log(qx)
log(死亡率)與 年齡的關係
死力
(瞬間死亡率;Force of Mortality)
連續變數可用機率分配函數描述其瞬間 變化的程度，異於離散變數(Discrete
variables)。當存活時間為連續變數時，
也可考慮死亡率的瞬間變化：
µ
xx t S
x S
x S
t x
S x
S
t x
X t
∆
⋅
−
=
∆ +
= −
∆
≤
<
=
>
∆ +
≤
<
) (
) ( '
) (
) (
) (
) T(x)
0 P(
)
| x
X x
P(
因此
將 dx 移至等號左側，
換言之，
) . ( )
( 1 )
( ) (
lim
'0 dx
x S d x
S x
S x S
t qx
t t
x ⎟⎟ = − = − ⋅
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
= ∆∆
→
∆
µ
).
exp(
) (
)) (
log(
) ) (
( 1
∫
∫
∫
−
=
⇔
−
=
−
=
dx x
S
x S x
x dS dx S
x x
µ µ
).
exp(
0dt
p
x n x tn
= − ∫ µ
+將存活時間以隨機變數的形式表達，因為
可視為CDF，對時間 t 微分可得PDF：
換言之， 可視為存活時間的PDF。
), )
( (
1 p P T x t
q
x t xt
= − = ≤
. ))
( ) (
( 1
) (
) ) (
( )
(
t x x
t t
x x
t x
t
p t
X x S
S
x S
t x
S dt
p d dt
q d dt
d
+
+
⋅ + =
−
−
=
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ +
−
=
−
=
µ µ
t x x
t
p µ
+
代入PDF，死亡機率也可寫成
以連續變數的型態，定常人口可表為
x 歲的人之平均餘命等於
1
.
0 1
0
l dt l p dt
L
x= ∫
x+t=
x∫
t x0
p dt .
q
x n x t x tn
= ∫ µ
+ +0
.
0
p dt
l
dt p
l l
e T
t xx
x t
x x
x x
o
= = ∫
∞= ∫
∞
將x 歲的人之存活時間以 T表示，則
E(T) 及 Var(T) 不見得存在。
Æ例如：S(x) = (1+x)
-1或 S(x) = (1+x)
-2。
. ) (
2
) (
) (
2 0
2 2
0
x x t
x x t
t x
e dt
p t
e dt
p t
T Var
o
o
−
=
−
=
∫
∫
∞
+
∞
µ
x o
e T
E ( ) =
非整數年齡(Fractional Ages)的假設
生命表只有整數年齡的機率分配，因此 必須加上非整數年齡的函數假設，才能 建構連續變數的機率分配。
常見的非整數年齡的假設有三種，在給 定整數年齡x與x+1的數值後，在以內插 法求得x與x+1間的數值：
Æ線性內插(Linear Interpolation)
Æ指數內插(Exponential Interpolation)
Æ調和內插(Harmonic Interpolation)
線性內插：
存活函數滿足
也就是常見的算術平均，在人口統計學 則稱為均勻的死亡分配(U.D.D.)
在這個假設下較重要的特性是
tp
x為 t 的 線性函數：
) 1 (
) ( )
1 ( )
( x + t = − t ⋅ S x + t ⋅ S x + S
) 1 0
( ≤ t ≤
x
.
x
t
q = t ⋅ q
指數內插：
存活函數滿足
也就是常見的幾何平均，因為在這個假 設下死力 µ
x= µ ，因死又稱為定死力
(Constant Force of Mortality)。
在這個假設下較重要的特性是：
t
t
S x
x S
t x
S ( + ) = ( )
1−× ( + 1 )
) 1 0
( ≤ t ≤
. ) (
x tx
t
p = p
)).
1 (
log(
)) (
log(
) 1
( ))
(
log(S x + t = −t S x + t S x +
調和內插：
存活函數滿足
又稱為雙曲線(Hyperbolic)假設。
在這個假設下較重要的特性是：
) , 1 (
) ( 1 )
( 1
+ +
= −
+ S x
t x
S
t t
x S
) 1 0
( ≤ t ≤
. )
1
1−t
q
x+t= ( − t q
x終壽區間成數(Fraction of the Last Age Interval of Life)：假設 a
x=1/2
(U.D.D.)Æ 根據 Chiang(蔣慶琅,1984) 對世界26 個國家的計算結果，在0至4歲都發現
a
x< 1/2，尤其是0歲時最明顯。
x x x
t x
x l dt l a d
L =
∫
01 + = +1 + 其中l(x+t) of Three Assumptions
t
l(x+t)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.01.21.41.61.82.0
U.D.D.
Constant Force Balducci
385 .
0 ,
442 .
0 ,
5 .
0 ≅ ≅
= xC xB
U
x a a
a
不同死亡假設下的終壽區間成數a
xAge
ax
0 20 40 60 80 100
0.250.300.350.400.450.50
Lower Bound Average Upper Bound
臺灣地區1971至2000年各年齡終壽區間成數(男性)
臺灣地區1971至2000年各年齡終壽區間成數(女性)
Age
ax
0 20 40 60 80 100
0.250.300.350.400.450.50
Lower Bound Average Upper Bound
上兩圖為男、女性單一年齡組的終壽區間 成數的平均數及95%信賴區間的上下限。
Æ不大於5歲的終壽區間成數可視為小於0.5;
Æ5~80歲終壽區間成數大約等於0.5；
Æ80歲後則又小於0.5，且隨年齡增加呈現 緩慢遞降的趨勢。
可藉由 t 檢定，或是無母數方法中的
Wilcoxon 符號等級檢定來檢查。
1971至2000年0至4歲終壽區間成數(男性；3年移動平均)
Year
ax
1975 1980 1985 1990 1995 2000
0.20.30.40.5
Age 0 Age 1 Age 2 Age 3 Age 4
1971至2000年0至4歲終壽區間成數(女性；3年移動平均)
Year
ax
1975 1980 1985 1990 1995 2000
0.20.30.40.5
Age 0 Age 1 Age 2 Age 3 Age 4
1歲至4歲的
ax在民國60年至89年間大致 為定值。
0歲的終壽區間成數則呈現不同的趨勢，
在民國80年前的走勢大致穩定，民國80 年後則逐漸下降。
Æ兩者有顯著差異；
Æ民國60至79年的
a0約為0.25；
Æ民國80至89年的
a0約為0.21。
(但與WHO建議的數值仍有差異。)
每千名嬰兒的死亡數 a0的數值
小於20人 0.09
20至40人 0.15
40至60人 0.23
60人以上 0.30
世界衛生組織建議的a0
註：2002年台灣地區的男、女嬰死亡率分別為
千分之6.83 及千分之 5.74。
死亡法則(Law of Mortality)
生命表中的死亡趨勢若可用函數型態表 示，則有關生命的各種相關資訊也可簡 單算出。
常見的死亡法則有 ÆDeMoivre :
ÆGompertz : ÆMakeham : ÆWeibull :
w w x
x x
S( ) = 1− , ≤
1 ,
0
, > >
= BC
xB C
µ
xB A
BC
A
xx
