第壹部分：選擇題（占 60 分）

(1)

第壹部分：選擇題（占 60 分）

一、單選題（占 30 分）

說明：第 1 題至第 6 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，

該題以零分計算。

1

^邏輯

學校規定上學期成績需同時滿足以下兩項要求，才有資格參選模範生。

一、國文成績或英文成績 70 分（含）以上；二、數學成績及格。

已知小文上學期國文 65 分而且他不符合參選模範生資格。請問下列哪一個選項的推論是正確的？

(1)小文的英文成績未達 70 分 (2)小文的數學成績不及格

(3)小文的英文成績 70 分以上但數學成績不及格 (4)小文的英文成績未達 70 分且數學成績不及格 (5)小文的英文成績未達 70 分或數學成績不及格出　　處：龍騰版《數學 2》第 2 章排列、組合

《稱霸高中數學 1~4 冊總複習講義》第 5 單元排列、組合解題觀念：能區分邏輯上的「且」與「或」，就可解出。

(2)

令

a

2.6¹⁰2.6⁹，

b

2.6¹¹2.6¹⁰， 2.6¹¹ 2.6⁹

c

 2 。請選出正確的大小關係。

(1) a b c  　(2) a c b  　(3)b a c  　(4) b c a  　(5) c b a  出　　處：龍騰版《數學 1》第 3 章指數、對數函數

《稱霸高中數學 1~4 冊總複習講義》第 3 單元指數、對數函數解題觀念：將三數改寫成同一形式2.6⁹ ，比較出大小。

k

答　　案：(4) 解　　析：因為

^a

^^{2.6 2.6 1}⁹



^{ }



^{2.6 1.6}⁹^ ^，

^b

^^{2.6 2.6}⁹



²^^2.6



^^2.6⁹^^4.16^，

9 2.62 1 9

2.6 2.6 2.88

c

  2  

  ，

所以

b c a

  。故選(4)。

3

條件機率

袋子裡有 3 顆白球，2 顆黑球。由甲、乙、丙三人依序各抽取1顆球，抽取後不放回。若每顆球被取出的機會相等，請問在甲和乙抽到相同顏色球的條件下，丙抽到白球之條件機率為何？

(1)1

3　(2) 5

12　(3)1

2　(4)3

5　(5)2 3 出　　處：龍騰版《數學 2》第 3 章機率

《稱霸高中數學 1~4 冊總複習講義》第 6 單元機率解題觀念：利用條件機率的定義求解。

答　　案：(3)

解　　析：

  ^ _ _ ^

3 2 1 2 1 3 5 4 3 5 4 3 1

3 2 2 1 2 5 4 5 4

P P

P

    

   

   甲乙同色丙白

丙白｜甲乙同色

甲乙同色故選(3)。

(3)

4

^迴歸直線

已知以下各選項資料的迴歸直線（最適合直線）皆相同且皆為負相關，請選出相關係數最小的選項。

(1) 2 3 5 1 13 1

x

y

　(2) 2 3 5

3 10 2

x

y

　(3) 2 3 5 5 7 3

x

y

　(4) 2 3 5 9 1 5

x

y

　(5) 2 3 5 7 4 4

x

y

出　　處：龍騰版《數學 2》第 4 章數據分析

《稱霸高中數學 1~4 冊總複習講義》第 7 單元數據分析

解題觀念：觀察出 x 、 y 及 相等，再根據斜率 m 的公式，判定出x  最小，其相關係數 r 就最小。y

答　　案：(5)

解　　析：由迴歸直線的斜率 ^y

x

m r



  ，得 ^x

y

r m



  。

因為各選項的 m 及 都相等，且 m 為負，x

所以哪一個選項的 最小，其相關係數 r 就最小。計算各選項的y  ：y

(1) 16 64 16 96

3 3

y     。(2) 4 25 9 38

3 3

y     。(3) 0 4 4 8

3 3

y     。

(4) 16 16 0 32

3 3

y     。 (5) 4 1 1 6

3 3

y     。故選(5)

5

排列組合

將24 顆雞蛋分裝到紅、黃、綠的三個籃子。每個籃子都要有雞蛋，且黃、綠兩個籃子裡都裝奇數顆。請選出分裝的方法數。

(1) 55 　(2) 66 　(3)132 　(4)198 　(5) 253 出　　處：龍騰版《數學 2》第 2 章排列、組合

《稱霸高中數學 1~4 冊總複習講義》第 5 單元排列、組合解題觀念：將題目轉換成方程式，再逐一討論求得方法數。

答　　案：(2)

解　　析：設紅、黃、綠三個籃子各裝 x 、 2

y

 、 2 11

z

 （ , ,

x y z

  ）顆雞蛋。

依題意，得



² ¹

 

² ¹



²⁴ ² ² ²⁶

x



y

 

z

   

x y



z



(4)

由上式得知 x 為偶數，討論方程式的解如下：

當

x

 時，2

y z

 12，有 1 2 11 11 10 1

y

z



 ，共11組解。

當

x

 時，4

y z

  ，有11 1 2 10 10 9 1

y

z



 ，共10 組解。

　　　　　　

當

x

22時，

y z

  ，有2 1 1

y

z

，共1組解。

因此，方法數共有_{11 10} ₁ ^{11 11 1}

 

₆₆

2

      種。

故選(2)。

6

^三角

莎韻觀測遠方等速率垂直上升的熱氣球。在上午 10：00 熱氣球的仰角為 30 ，到上午 10：10 仰角變成34 。請利用下表判斷到上午 10：30 時，熱氣球的仰角最接近下列哪一個度數？

 30 34 39 40 41 42 43

sin

 0.500 0.559 0.629 0.643 0.656 0.669 0.682 cos 0.866 0.829 0.777 0.766 0.755 0.743 0.731 tan 0.577 0.675 0.810 0.839 0.869 0.900 0.933 (1) 39 　(2) 40 　(3) 41 　(4) 42 　(5) 43

出　　處：龍騰版《數學 3》第 1 章三角

《稱霸高中數學 1~4 冊總複習講義》第 8 單元三角解題觀念：依題意畫出圖形，再根據正切函數的定義求解。

答　　案：(3)

解　　析：如圖，設底邊為1，10：00 時熱氣球高 a ，10：10 升高 x ， 則 10：30 再升高 2x 。因為

tan30 0.577 tan 34 0.675

a

a x

  

    

 ﹐

所以

x

0.675 0.577 0.098  。因此﹐

3 0.577 3 0.098 0.871 tan 41

a



x

      。故選(3)。

(5)

二、多選題（占 30 分）

說明：第 7 題至第 12 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 5 分；

答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

7

^{矩陣的乘法}

設 n 為正整數，符號 1 1 0 2

 n

 

  代表矩陣 1 1 0 2

 

 

 自乘 n 次。令 1 1 0 2

n

n n

a b c d

 

  

 

   ，請選出正確的選項。

(1)

a

₂ 　(2)1

a a a 為等比數列　(3)

1, 2, 3

d d

1, 2,

d 為等比數列　(4)

3

b b b 為等差數列

1, 2, 3

(5)

c c c 為等差數列

1, 2, 3

出　　處：龍騰版《數學 4》第 3 章矩陣

《稱霸高中數學 1~4 冊總複習講義》第 13 單元矩陣

解題觀念：利用矩陣乘法的定義運算後，再根據等差數列與等比數列的定義選出正確的選項。

答　　案：(1)(2)(3)(5) 解　　析：計算如下：

1 1 2 1 1 1 1 1 3 0 2 0 2 0 2 0 4

       

       

       ， 1 1 3 1 3 1 1 1 7 0 2 0 4 0 2 0 8

       

       

       。 (1)

a

2  。1

(2)

a

₁ ，1

a

₂ ，1

a

₃ 為等比數列。1 (3)

d

1 ，2

d

₂  ，4

d

₃ 為等比數列。8 (4)

b

₁ ，1

b

₂ ，3

b

₃ 不為等差數列。7 (5)

c

1 ，0

c

₂ ，0

c

₃ 為等差數列。0 故選(1)(2)(3)(5)。

(6)

8

^{指數與對數不等式}

設

a    1 b 0

，關於下列不等式，請選出正確的選項。

(1)

   

^

^a

⁷^{ }

^a

⁹⁽²⁾

^b

^⁹ ^

^b

^⁷⁽³⁾^log¹⁰¹

_a

^^log¹⁰¹

_b

　(4) log 1 log 1a  b 　(5) log_a

b

log_b

a

出　　處：龍騰版《數學 1》第 3 章指數、對數函數

《稱霸高中數學 1~4 冊總複習講義》第 3 單元指數、對數函數解題觀念：利用指數函數與對數函數的遞增與遞減特性解題。

答　　案：(1)(2)

解　　析：(1) 因為底數   ，所以

a

1

   

^

^a

⁷^{ }

^a

⁹^。

(2) 因為底數 0  ，指數 9

b

1    ，所以7

b

^⁹

b

^⁷。 (3) 因為底數10 1 ，真數1 1

a

 ，所以

b

log₁₀1 log₁₀1

a



b

。 (4) log 1 log 1 0a  b  。

(5) 錯！例如：當

a

 ，2 1

b

 時，滿足4

a

   ，但1

b

0

　　　　　 ₂1

log log 2

a

b

 4  小於 1 4

log log 2 1

b

a

   。2 故選(1)(2)。

9

^二次函數

設

a b c

  。已知實係數多項式函數

^y

^

^{f x}  

的圖形為一開口向上的拋物線，且與 x 軸交於

 ^a

^,0



、

  ^b

^,0 兩點；實係數多項式函數

^{y g x}

^

 

的圖形亦為一開口向上的拋物線，且跟 x 軸相 交於

  ^b

^,0 ^、

  ^c

^,0 ^{兩點。請選出}

^y

^

^{f x}  

^

^{g x}  

^{的圖形可能的選項。}

(1)水平直線　(2)和 x 軸僅交於一點的直線　(3)和 x 軸無交點的拋物線 (4)和 x 軸僅交於一點的拋物線　(5)和 x 軸交於兩點的拋物線

出　　處：龍騰版《數學 1》第 2 章多項式函數

《稱霸高中數學 1~4 冊總複習講義》第 2 單元多項式函數

解題觀念：了解

^y

^

^{f x}  

圖形與 x 軸交點的 x 坐標就是方程式

^{f x}  

 的實根解題。⁰ 答　　案：(4)(5)

解　　析：設

^{f x}  

^

^{A x a x b} 

^

 

^



^，

^{g x}  

^

^{B x b x c} 

^

 

^



^，

^A

^{ ，}⁰

^B

^{ ，則}⁰

           

f x



g x



A x a x b

  

B x b x c

 

 ^{x b A x a}     ^{B x c}   

    

 ^{x b}    ^{A B x}   ^{Aa Bc}  

    

 ^{A B x b x}   

^

^{Aa Bc} _{A B}

^ ^

      ，

A B

  。0

(7)

 當

Aa Bc A B b

 

 時，圖形為與 x 軸交於兩點的拋物線。

 當

Aa Bc A B b

 

 時，圖形為與 x 軸交於一點的拋物線。

故選(4)(5)。

10

^二次曲線

坐標平面上考慮兩點

Q

1

 

1,0 ，

Q

2



1,0



。在下列各方程式的圖形中，請選出其上至少有一點

P

滿足內積

PQ PQ  

1 20^的選項。

(1) 1

y

 　(2)2

y x

 ² 　(3)1  

x

² 2

y

² 　(4)1 4

x

²

y

²  　(5)1 ² ² 1 2 2

x



y



出　　處：龍騰版《數學 3》第 3 章平面向量及數學 4 第 4 章二次曲線

《稱霸高中數學 1~4 冊總複習講義》第 10 單元平面向量

解題觀念：先找出 P 點的軌跡，再逐一檢查 5 個選項中，哪些圖形與軌跡有交點。

答　　案：(1)(3)(4)

解　　析：設

^{P x y ，代入} 

^,

 _{PQ PQ}  

₁_ ₂_₀^，得



¹^{ }

^{x y}

^,

 

     ¹

^{x y}

^,



⁰



¹

^x  

 ¹

^x 



^y

² ⁰

^x

²

^y

² ，¹ 即 P 是圓心

 

0,0 ，半徑1的圓之內部的點。

(1) 　(2) 　(3)

(4) 　(5)

選項(1)(3)(4)有交點，故選(1)(3)(4)。

(8)

11

^橢圓

設

F 、

₁

F 為橢圓 Γ 的兩個焦點。S 為以

₂

F 為中心的正方形（ S 的各邊可不與 Γ 的對稱軸平行）。

₁ 試問 S 可能有幾個頂點落在Γ 上？

(1)1　(2) 2 　(3) 3 　(4) 4 　(5) 0

出　　處：龍騰版《數學 4》第 4 章二次曲線

《稱霸高中數學 1~4 冊總複習講義》第 14 單元二次曲線解題觀念：能利用畫圓及知道近日點，就可解出。

答　　案：(1)(2)(5)

解　　析：因為正方形的四個頂點到中心等距離，所以

S 的頂點必落在以 F 為圓心的圓 C 上。

₁ 又因為在所有橢圓上的點中，以頂點

A 距離 F 最近（近日點），所以圓 C 最多與橢

₁ 圓Γ 交 2 點﹐即 S 最多有 2 個頂點落在 Γ 上。

底下三個圖中的 S 分別有 0 、1、 2 個頂點在橢圓 Γ 上：

圖 1　　　　　　　　圖 2　　　　　　　　圖 3

三個圖中，圓

C 的半徑在圖 1 小於 AF ，在圖 2 等於

₁

AF ，在圖 3 等於正焦弦長之半

₁ 故選(1)(2)(5)。

12

^{等差與等比數列}

設實數組成的數列

a 是公比為 0.8

_n  的等比數列，實數組成的數列

b 是首項為10 的等差數列

_n 已知

a

₉ 且

b

₉

a

₁₀

b

₁₀。請選出正確的選項。

(1)

a

9

a

10 　(2)0

b

10  　(3)0

b

9

b

10　(4)

a

9 

a

10　(5)

a

8

b

8

出　　處：龍騰版《數學 2》第 1 章數列與級數

《稱霸高中數學 1~4 冊總複習講義》第 4 單元數列與級數

解題觀念：能知道等比數列的公比介於 1 與 0 之間時，其數列的變化，及根據題意判定出等差數列的公差為負，就可解出。

答　　案：(1)(3)

解　　析：因為等比數列

a 的公比為 0.8

_n  ，所以

a 是正負相間，且愈來愈接近 0 。

_n 因為

b 是首項為10 的等差數列，所以

_n

b 是從10 開始遞增或遞減的數列。

_n

又知

a

9 且

b

9

a

₁₀

b

₁₀，所以

b 與

9

b 有一個比負數還小，因此，

10

b 為遞減數列，且公

_n 差為負。

(9)

(1) 因為

a 正負相間，所以

_n

a

₉

a

₁₀ 。0 (2)(3) 因為

b 為遞減數列，所以

n

b

₁₀ 。

b

₉

又因為

a 與

₉

a 一正一負，且

₁₀

a

₉ 且

b

₉

a

₁₀ 

b

₁₀，所以

b

₁₀ 。0 (4)(5) 下圖的數列

a 與

n

b 滿足題意。

_n

但

a

₉

a

₁₀，

a

₈ 。

b

₈ 故選(1)(3)。

第貳部分：選填題（占 40 分）

說明： 1. 第 A 至 H 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（13－

35）。

2. 每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A

^根式

設

k

為一整數。已知 1 3 31 3

k

 

k

 ，則

k 

　　　　。

出　　處：龍騰版《數學 1》第 1 章數與式

《稱霸高中數學 1~4 冊總複習講義》第 1 單元數與式解題觀念：利用平方去根號求解。

答　　案：16

解　　析：由原式，得

 

²

3 31 1 2 279 1

k

   

k k

 

k

 。因為16²256，17²289，所以

k

16。

(10)

B

^複數

設 a 、b 為實數且

 ^{a bi}

^

 

^{2 6}^

ⁱ 

  ，其中⁸⁰

i

²   。則1

 ^{a b}

^,



 （　　　　,　　　　）。

出　　處：龍騰版《數學 1》第 2 章多項式函數

《稱霸高中數學 1~4 冊總複習講義》第 2 單元多項式函數解題觀念：利用複數的運算及複數相等的定義求解。

答　　案：



^^4,12



解　　析：由原式，得



²

^a

^⁶

^b  

^ ⁶

^a

^²

^{b i} 

^{  。}⁸⁰

根據複數相等的定義，得

2 6 80 6 2 0

a b a b

  

  

 。

解得

a

  ，4

b  12

。

C

^分點公式

坐標平面中

A a  

,3 ，

B 

16,

b ，  C 

19,12



三點共線。已知 C 不在

A 、B 之間，且 AC

:

BC

3 : 1，則

a b  

　　　　。

出　　處：龍騰版《數學 3》第 3 章平面向量

《稱霸高中數學 1~4 冊總複習講義》第 10 單元平面向量解題觀念：利用分點公式求解。

答　　案：19

解　　析：如圖，因為

AB

:

BC

2 : 1，所以由分點公式，得



^16,

^b 

_{ }^

^a

^₃^{38 3 24}^, ^₃ ^_

 。

解得

a

10，

b

 ，即9

a b

 19。

D

方程式

阿德賣100 公斤的香蕉，第一天每公斤賣 40 元；沒賣完的部分，第二天降價為每公斤 36 元；

第三天再降為每公斤 32 元，到第三天全部賣完，三天所得共為 3720 元。假設阿德在第三天所 賣香蕉的公斤數為 t ，可算得第二天賣出香蕉的公斤數為

at b 

，其中 a  　　　　，

b 

。

出　　處：龍騰版《數學 3》第 3 章平面向量

《稱霸高中數學 1~4 冊總複習講義》第 10 單元平面向量解題觀念：依題意列出方程式，再利用恆等式的概念解題。

答　　案： ， 702

(11)

解　　析：依題意，可列得

 

  ^ ^

40 100

at b t

  36

at b

 32

t

3720，整理得



^{280 4}^

^b  

^{  }⁴

^a

⁸

 ^t

^{ 。}⁰

因為是恆等式，所以

280 4 0 4 8 0

b a

 

  

 。

解得

a

  ，2

b  70

E

^圓與直線

坐標平面上，一圓與直線

x y

  以及直線1

x y

  所截的弦長皆為14 。則此圓的面積為5 　　　　 。

出　　處：龍騰版《數學 3》第 2 章直線與圓

《稱霸高中數學 1~4 冊總複習講義》第 9 單元直線與圓解題觀念：利用兩平行線的距離公式及畢氏定理求解。

答　　案：51

解　　析：因為兩平行直線

x y

   與1 0

x y

   所截的弦等長，且其距離為5 0

   

 

²

2

1 5 4 2 2 2 1 1

  

 

  ，

所以弦心距 1

2 2 2

d

 2  。因此，圓的半徑

 

²

72 2 51

r

   。

故此圓的面積為51 。

F

線性規劃

令 A



、 B



為坐標平面上兩向量。已知 A



^的長度為1， B



^的長度為2 且 A



與 B



^{之間的夾角為}

60 。令 u

  



A



B

， v

  



x A y B

 ，其中 x 、y 為實數且符合 6   以及 2

x y

8     ，

x y

0 則內積 u v

 

 ^{的最大值為　　　　。}

出　　處：龍騰版《數學 3》第 2 章直線與圓及第 3 章平面向量

(12)

2 2

x A y A B x B A y B



     

     4 2 5

x y x y x y

      又 x 、 y 的可行解區域如圖

將四頂點代入 2

x

5

y

，得



^,

       

^3,3 ^4,4 ^3,5 ^2,4



2 5 21 28 31 24

x y

x



y

根據頂點法，當

x

 ，3

y

 時， u v5

 

 ^有最大值³¹

G

正弦定理

設銳角三角形 ABC 的外接圓半徑為8 。已知外接圓圓心到 AB 的距離為 2 ，而到 BC 的距離為 7 ， 則 AC 。（化成最簡根式）

出　　處：龍騰版《數學 3》第 1 章三角

《稱霸高中數學 1~4 冊總複習講義》第 8 單元三角解題觀念：利用和角公式及正弦定理求解。

答　　案：4 15

解　　析：依題意，得右圖。利用和角公式，得

 

sin

B

sin   sin cos  cos sin  2 15 2 15 7 15

8 8 8 8 4

     。

再利用正弦定理 2

sin

AC R B

 ，得

2 sin 16 15 4 15

AC



R



B

  4  。

(13)

H

^{空間中的直線與平面}

如圖，在坐標空間中，

A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 為正立方體的八個

頂點，已知其中四個點的坐標

^A 

^0,0,0



、

^B 

^6,0,0



、

^D 

^0,6,0



及



^0,0,6



E

，

P 在線段 CG 上且 CP

:

PG

1 : 5，

R 在線段 EH 上且

: 1 : 1

ER RH

 ， Q 在線段 AD 上。若空間中通過 P ， Q ， R 這三點的 平面，與直線 AG 不相交，則 Q 點的 y 坐標為 。（化成最簡分數）

出　　處：龍騰版《數學 4》第 2 章空間中的平面與直線

《稱霸高中數學 1~4 冊總複習講義》第 12 單元空間中的平面與直線

解題觀念：利用外積求得平面的法向量，再由平面與直線不相交，得知平面的法向量與直線的方向向量垂直，即其內積為 0，就可解出。

答　　案：15 11

解　　析：依題意，得

^G 

^6,6,6



^、

^P 

^6,6,1



^、

^R 

^0,3,6



^。設

^Q 

^{0, ,0}

^y 

^{， 0}^{  ，}

^y

⁶

 為通過 P 、 Q 、 R 三點的平面。由  與直線 AG 不相交，得知

 與直線 AG 平行，因此，  的法向量 n



^與直線

_{AG 的方向向量 l} 

^垂直。取



^{6, 3,5}

 

^6, ^{6, 1}

 

33 5 , 36, 6 18



n



PR PQ

     

y

   

y

 

y



  

   

1 1 6,6,6 1,1,1 6 6

l



AG

 

 

因為 n

 



l

^，所以

  _{n l}

_ _₀^，即



33 5 , 36, 6

y

 

y

18

 

 1,1,1



 0 15 11

y

0 解得 15

y

11。

(14)

參考公式及可能用到的數值

1. 首項為 a ，公差為 d 的等差數列前 n 項之和為



²



¹

 

2

n a n d

S

 



首項為 a ，公比為 r （

r

 ）的等比數列前 n 項之和為1



¹



1

a r

n

S r

 



2. 三角函數的和角公式：^sin

 ^{A B}

^



^^{sin cos}

^A ^B

^^{cos sin}

^A ^B

　　　　　　^cos

 ^{A B}

^



^^{cos cos}

^A ^B

^^{sin sin}

^A ^B

　　　　　　^tan

 ^{A B}

^



^_{1 tan tan}^tan_

^A

^

_A

^tan

^B _B

3. △

ABC

的正弦定理： 2

sin sin sin

a b c R

A



B



C

 （ R 為△

ABC

外接圓半徑）

△

ABC

的餘弦定理：

c

² 

a

²

b

²2

ab

cos

C

4. 一維數據 X ：

x x

1, 2, ,

x

_n，算術平均數



1 2



1

1 1 ⁿ

X n i

i

x x x x

n n





   ^ 



標準差

 

² ² ²

1 1

1 ⁿ 1 ⁿ

X i X i X

i i

x x n

n n

  

 

  





  



 

5. 二維數據

 ^{X Y ：}

^,

  x y

1, 1

 

,

x y

2, 2



, ,

 x y

_n, _n



，相關係數

   

1 ,

n

i X i Y

i X Y

X Y

x y

r n

 

  

 





迴歸直線（最適合直線）方程式 , Y

 

Y X Y X

X

y



r



x



   

6. 參考數值： 2 1.414 ， 3 1.732 ， 5 2.236 ， 6 2.449 ， 3.142

7. 對數值：log 2 0.301010  ，log 3 0.4771₁₀  ，log 5 0.6990₁₀  ，log 7 0.8451₁₀ 

第壹部分：選擇題（占 60 分）