第一讲数值积分及其应用

(1)

第一讲

数值积分及其应用

——

代数精度

—— Gauss

求积公式

(2)

数值积分的一般形式

求积节点求积系数

机械求积公式

 将定积分计算转化成被积函数的函数值的计算

 无需求原函数，易于计算机实现

一般地，用 f(x) 在 [a, b] 上的一些离散点

a  x

₀

< x

₁

< ··· < x

_n

 b

上的函数值的加权平均作为 f (

 )

的近似值，可得

基本思想

0

( )d ( )

b n

i i

a i

f x x A f x



 



( )d ( ) ( )

b

a

f x x  b a f  



^ ^ ^{( , )}^{a b}

(3)

代数精度

定义：如果对于所有次数不超过 m 的多项式 f (x) ，求积公式

都精确成立，但对次数为 m +1 的多项式不精确成立，则称 该求积公式具有

m

次代数精度

 将

f (x) = 1, x, x

²

, … , x

^m 依次代入，公式精确成立 ;

 但对

f (x) = x

^m+1 不精确成立。

 代数精度的验证方法

注：求积公式并不局限于机械求积公式

(4)

举例

例：^梯形公式

具有一次代数精度。

例：^{抛物线公式}

具有三次代数精度。

课后练习：复合梯形公式和复合抛物线公式具有几次代数精

 

( ) ( ) ( )

2

b a

f x dx b a  f a f b

 



( ) ( ) 4 ( )

6 2

b a

b a a b

f x dx      f a  f         f b   



(5)

怎样构造高精度的求积方法

考虑求积公式



含

2n+2

个参数 ( 节点与系数 ) ，为了使该公式

具有尽可能高的代数精度，可将

f (x) = 1, x, x

²

, …,

x

²ⁿ⁺¹ 代入公式，使其精确成立，则可构造出代数

精度至少为

2n+1

的求积公式 !

等分点不一定最佳！自由选取求积节点！

0

( )d ( )

b n

i i

a i

f x x A f x



 



(6)

举例

例：^{试确定节点 x}i 和系数 A_i ，使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度，并求出此求积公式的代数精度。

解：^将

^{f (x)}

^{＝ 1, x, x}²

^{, x}

³ 代入求积公式，使其精确成立，可

得

该公式对 f (x) ＝ x⁴ 不精确成立，故有 3 次代数精 度！

1

0 0 1 1

1 f x( ) dx A f x( ) A f x( )

  



0 1

0 0 1 1

2 2

0 0 1 1

3 3

0 0 1 1

2

0 2 / 3 0

A A

A x A x A x A x A x A x

 

  

  

  

 1

1

3 3

( )d 3 3

f x x f f



   

     



0 1

1, 1

3 3

3 , 3

A A

x x

 



   



(7)

Gauss

型求积公式

一般情形：考虑机械求积公式

定义^：若存节点在 x_i[a, b] 及系数 A_i ，使得上面的求 积公式具有 2n+1 次代数精度，则称节点 x_i 为高斯点，

A

_i 为高斯系数，求积公式为高斯型求积公式

性质：上面的求积公式至多具有 2n+1 次代数精度

将代入验证即可

Gauss

求积公式在所有机械求积公式中代数精度最高

0

( ) d ( )

b n

i i

a i

f x x A f x



 









 ⁿ

i

xi

x x

f

0

)2

( )

(

(8)

Gauss

点

问题：如何计算 Gauss 点

x

_i _{和高斯系数}

A

_i 法一：解非线性方程组

太困难 !  法二：分开计算



先确定 Gauss 点



再通过解线性方程组计算 Gauss 系数

(9)

Legendre

正交多项式：

P

₀

(x) = 1, P

₁

(x) = x

，

Gauss-Legendre

求积公式

特殊情形：

[a, b]=[-1, 1]

Gauss

点就是 Legendre 多项式

p

_n+1

(x)

的零点

n = 1, 2, …

1 1

( n  1) P ( )

_n_

x  (2 n  1 ) x P (

_n

x )  n P ( )

_n_

x

(10)

Legendre

多项式



Legendre

多项式：

1 )

0

( x



P

x x

P

₁

( )



2 / ) 1 3

( )

(

²

2

x

 x 

P

2 / ) 3 5

( )

(

³

3

x x x

P  

8 / ) 3 30

35 ( )

(

⁴ ²

4

x



x



x



P

8 / ) 15 70

63 ( )

(

⁵ ³

5

x x x x

P   



(11)

低阶 G-L 公式



n =0

时 ,

G-L

求积公式 :

Gauss

点 :

将

f (x)

＝ 1 代入求出

A

₀



n =1

时 ,

两点 G-L 求积公式 :

Gauss

点 : ^将

^{f (x)}

^{＝ 1, x} ^代

入

求出

A

₀

, A

₁

0 0

x 

1

f x ( ) d x 2 (0) f

 



0 1

3 3

3 , 3

x   x 

1 1

3 3

( ) d

3 3

f x x f f



   

      



2 1

P ( ) 1 (3 1)

n_

x  2 x 

P ( )

_n_1

x



x

(12)

低阶 G-L 公式



n =2

时 ,

三点 G-L 求积公式 :

Gauss

点 : ₀ ¹⁵ ^, ₁ ^0, ₂ ¹⁵ ^,

5 5

x   x  x 

1 1

5 15 8 5 15

( ) d (0)

9 5 9 9 5

f x x f f f



   

       



3 1

P ( ) 1 (5 3 )

n_

x



2 x



x

(13)

更多 G-L 公式

当

n > 3

时，可用数值方法计算

P

_n+1

(x)

的零点

n

节点个数

Gauss

点

Gauss

系数

0 1 0.0000000 2.0000000 1 2

0.5773503

1.0000000 2 3

0.7745967

0.0000000 0.5555556 0.8888889 3 4

0.8611363

0.3399810

0.3478548 0.6521452 4 5

0.9061798

0.5384693

0.0000000

0.2369269 0.4786287 0.5688889 5 6 0.93246951

0.66120939 0.23861919

0.17132449

0.36076157

0.46791393

(14)

一般区间上的 G-L 公式

做变量代换



积分区间 :

[a, b]

，权函数 :

 (x) = 1

2 2

b a b a x

 

t

 

1

1 0

( ) d ( ) d ( )

2

b n

i i

a i

f x x b a g t t A g t

 

   

 

( ) 2 2

b a b a

g t



f

 

t

  

(15)

G-L

公式举例

例：用四点 G-L 公式 (n=3) 计算定积分

解：令

2 2

0

x cos( ) d x x





4 4

x _  t _ 

 

2 2

( ) 1 cos ( 1)

16 4

g t _  t _  t _

 

1 2 2

2 2

0

cos( ) d

1

1 cos ( 1) d

4 16 4

x x x t t t



  

   

 

[0.3479 ( 0.8611) 0.6521 ( 0.3400) 4

0.6521 (0.3400) 0.3479 (0.8611)]

g g

    

 

0.4674



[ ]=0.46740110027234

I f



(16)

几点注记



其它 Gauss 型求积公式

 Gauss-Chebyshev

求积公式：

[a, b]=[-1,1]

 Gauss-Laguerre

求积公式：

[a, b]=[0,+]

 Gauss-Hermite

求积公式：

[a, b]=[-,+]



实际应用中可以使用复合 Gauss 求积公式



将积分区间分隔成若干小区间



在每个小区间上使用 Gauss 求积公式

第一讲 数值积分及其应用

——

—— Gauss

a  x

< x

< ··· < x

 b

 )

( )d ( )

f x x A f x

 



( )d ( ) ( )

f x x  b a f  



m

f (x) = 1, x, x

, … , x

f (x) = x

 

( ) ( ) ( )

2

f x dx b a  f a f b

 



( ) ( ) 4 ( )

6 2

b a a b

f x dx      f a  f         f b   





2n+2

f (x) = 1, x, x

, …,

x

2n+1

( )d ( )

f x x A f x

 



f (x)

, x





Gauss

A

Gauss

( ) d ( )

f x x A f x

 





Gauss

x

A





Legendre

P

(x) = 1, P

(x) = x

Gauss-Legendre

[a, b]=[-1, 1]

Gauss

p

(x)

n = 1, 2, …

( n  1) P ( )

x  (2 n  1 ) x P (

x )  n P ( )

x

Legendre

Legendre

1 )

( x

P

x x

P

( )

2 / ) 1 3

第一讲数值积分及其应用

^{f (x)}

^{, x}

^{f (x)}