第壹部分：選擇題 (占 65 分)

第壹部分：選擇題 (占 65 分)

說明：第 1 題至第 6 題，每題 5 個選項，其中只有一個是最適當的答案，畫記在答案 卡之「解答欄」。各題答對得 5 分；未作答、答錯或畫記多於一個選項者，該 題以零分計算。

1. 設 a、b 為實數，

ab

L： ax

by

c

(1) (

ax

by

c

ax

by

c

x

ax

by

c

a

ax

by

c

a

ax

by

c

x

2. 若tan(

α

β

β

γ

α

γ

(1) 15° (2) 30°

(3) 60° (4) 135°

(5) 150°

3. 將所有連續正奇數 1,3,5,7,9,…

由小到大按第

n 組有

n

{ } {

} {

}

(第 1 組) (第 2 組) (第 3 組) ……

試問 2011 這個數位在第幾組內？

(1) 64 (2) 62

(3) 33 (4) 32

(5) 31

4. 若空間中一直線 L：

1 1 2

3 1

3 +

− =

− =

y z

x

S： x

y

z

x

y

z

k

k ？

(1) 9 (2) 10

(3) 11 (4) 12

(5) 13

5. 由 0、1、2、3、4、5，這 6 個數字(這些數字可以重複出現)所組成的四位數中，為 5 的倍數共有 多少個？

(1) 120 (2) 250

(3) 360 (4) 432

(5) 500

6. 下列選項的範圍何者可使不等式3^x>2^x>

x

x

x

(1) 0−1<

x

(2) 0< x<1 (3) 21< x<

(4) 32< x<

(5) 3< x<4

二、多選題(占 35 分)

說明：第 7 題至第 13 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，選出正 確選項畫記在答案卡之「解答欄」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，

得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；所有選項均未

作答或答錯多於 2 個選項者，該題以零分計算。

7. 設

f

x

ax

bx

cx

d

(1) 若

f

i

i

f

i

i

(2) 若方程式

f

x

ac

y

f

x

x 軸必有交點

(4) 若 2 整除

a 且 3 整除 d，則

3是方程式

f

x

(5) 若

f

f

x

8. 設 a、b、c 為實數，且拋物線

y

ax

by

c

a

x

y

x

y

(1) 拋物線的正焦弦長為 2 (2) 拋物線的準線為

y 軸

(4) 拋物線的對稱軸方程式為

x

a

b

c

9. 某次數學測驗，老師改完考卷並計算此次測驗的「全距、中位數、算術平均數為 75 分、標準差為 12 分、及四分位距」，在發考卷後，有一位同學成績加 5 分(加分後沒有超過滿分)，另一位同學 成績扣 5 分，則分數變更前與變更後，學生成績統計數據的改變情形，以下哪些是正確的？

(1) 中位數可能改變 (2) 全距必不變

(3) 標準差有可能變大 (4) 標準差有可能變小

(5) 全距、中位數、算術平均數、標準差、四分位距 有可能都不變

10. Δ

ABC

AB

BC

CA

C 的 高 與 B

，則下列選項哪些是正確的？

(1) 22

x

x

= 3

x

= 9

y

(5) x 的值可能有兩個

11. 空 間 中 一 個 三 角 柱 有 五 個 面 ， 若 包 含 這 五 個 面 的 平 面 方 程 式 分 別 為 ：

E ：

x

y

z

2

x

y

z

E ：

E ：

x

y

z

E ：

x

E ：

x

(1) 平面

E 與平面

E 平行

E 與平面

E 垂直

(3) 此三角柱的底面為銳角三角形 (4) 此三角柱的高為 3

(5) 此三角柱的體積為 12

12. 有一學生想預估 2012 年一月份淡水地區的降雨天數比例 p，利用中央氣象局的統計資料，從 1981~2010 年間，淡水地區在一月份期間的天氣記錄，隨機選取 64 天，選出的資料，其中有 36 天為雨天，令

pˆ 為此次抽樣雨天的平均比率, 則由選取的資料判斷，下列選項哪些是正確的？

( 7 ≈2.646) (1)

p

(2) 95%信心水準下的信賴區間約為[0.4385,0.6865]

(3) 在 95%信心水準下，預估 2012 年一月份淡水地區的下雨天數應會落在 13 ~ 22 天之間 (4) 若將選取的天數增加為兩倍，則

pˆ 的值不會改變

(5) 若將選取的天數增加為兩倍，則 95%信心水準下的信賴區間長度一定變小

13. 若

x

x

x

x

1 4 4 3 3 2 2

1

x x x x x x x

x

S

(1) 若取

x

x

x

x

S 的值為 6

S 的最小值為 6

(3)

S 的最大值為 6

(4)

S 的最小值發生的機率為

(5)

S 的期望值為

第貳部分：選填題 (占 35 分)

說明：1. 第 A 至 G 題，將答案畫記在答案卡之「解答欄」所標示的列號(14~36)。

2. 每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 如右圖，兩個同心圓半徑分別為 2 與 3，若

A

A

A

A

A

A

B

B

B

B

B

B

A

B

B

A

¹⁴

¹⁵

¹⁶ π

B. 四面體

ABCD 滿足 AB

BC

CA

AD

BD

CD

¹⁷

¹⁸

¹⁹

C. 設

O 為 ABC

OAB

²⁰

B 4

B 6 B 2

B 1

A 1 A 2

A 3

A 4

A 5

A 6

B 5 B 3

○

²¹

²²

D. 坐標平面上，點

P 在圓

x

y

Q 在圓

x

y

x

a，在 y 軸上的正射影長為 b，則 a

b

²³

24

25

E. 將 4 個半徑為 3 的球堆疊在水平桌面上，下層 3 個球在桌面上互相外切，上層 只有 1 個球，且與下層 3 個球皆外切，如右圖。則最上層球的最高點離桌面的 距離為 ○

²⁶

²⁷

F. 如右圖：在橢圓 1

9 25

2

2 + =

Γ

x y

： 的右半部與

y 軸所圍成的區域內作一

圓

C，所作的圓 C 其半徑的最大值為

G. 摩天輪百貨公司周年慶為吸引顧客上門，提供消費者抽獎活動。周年慶期間，每天入館消費的前 100 名民眾可參加百元禮券抽獎(禮券面額皆為 100 元)，參加抽獎的民眾，從一個裝有分別標示(1)、

(2)、(3)、…、(9)號共九顆球的箱子中抽出兩球，由抽出兩球的號碼差的數值可得到百元禮券的張 數。(例如：抽出兩球的號碼分別為(2)、(6)，則可得百元禮券四張。)試問：參加抽獎的民眾可獲 得禮券金額的期望值是 ○

32

33

34

35

○

³⁶

○

²⁹

³⁰

○

31

○

²⁸

參考公式及可能用到的數值

1. 一元二次方程式

ax

bx

c

a ac b x b

2

2−4

±

=−

2. 平面上兩點

P

x

y

P

x

y

P

P

x

x

y

y

3. 通過(

x

y

x

y

1 2

1 2

x x

y m y

−

= − ，

x

x

4. 等比數列

ar

n 項之和

r r S a

n

n −

−

= ⋅ 1

) 1

( ，

_r

5. 三角函數的和角公式：sin(

A

B

A

B

A

B

2 1

2 2 1

1 1 tan tan

tan ) tan

tan( θ θ

θ θ θ

θ −

= + +

B

A B A B

A

cos( + = −

6. Δ

ABC

R c

C b

B a

A

2 1 sin sin

sin = = = ，

R 是外接圓半徑

Δ

ABC

_c

_a

_b

_ab

_C

7. 棣美弗定理：設

z

r

θ

i

θ

z

r

n θ

i

n θ

n 為一正整數

8. 參考數值：log₁₀2≈0.3010，log₁₀3≈0.4771，log₁₀7≈0.8451，

4 2 15 6

sin °= − ，

4 2 15 6

cos °= +

9. pˆ 表樣本比例，95%信心水準下的信賴區間為 ˆ(1 ˆ)] 2

ˆ ), 1 ˆ ˆ( 2 ˆ

[

n

p p p

n p

p p

− +

−