第一部分：選擇題

第 1 頁 數學考科 共 7 頁

-1-

第 一 部 分 ： 選 擇 題 壹 、 單 一 選 擇 題

說明：第 1 至 6 題，每題選出最適當的一個選項，標示在答案卡之「解答欄」，每題答對得 5 分，答錯不倒扣。

1 . 設 P(x,y) 為坐標平面上一點，且滿足

(x−1)² +(y−2)² + (x−3)² +(y−4)² = (3−1)² +(4−2)² 那麼P 點的位置在哪裡？

(1) 第一象限 (2) 第二象限 (3) 第三象限 (4) 第四象限 (5) x 軸或 y 軸上

2. 一群登山友，在山上發現一顆巨樹，隊中 10 位身高 170 公分的男生，手拉著手剛好環抱大樹一 圈。問樹幹的直徑最接近下列何值？

(1) 3 公尺 (2) 5 公尺 (3) 7 公尺 (4) 9 公尺 (5) 11 公尺

3. 如圖，下面哪一選項中的向量與另兩個向量 、 之和等於零向量？

(1) (2) (3) (4) (5)

PO QO

D E

P

Q O

A B C AO

BO CO DO EO

數學考科 第 2 頁 共 7 頁

-2- 4. 若某校 1000 位學生的數學段考成績平均分數是 65.24 分，樣本標準差是 5.24 分，而且已知成績

分佈呈現常態分配。試問全校約有多少人數學成績低於60 分？

(1) 約 80 人 (2) 約 160 人 (3) 約 240 人 (4) 約 320 人 (5) 約 400 人

5. 試問用下列哪一個函數的部分圖形來描述右圖較恰當？

(1) (x-2)²-2 (2) 2sin(x)+2

(3) 2cos(x) (4) -0.5(x-2)²+4

(5) 3–2^x

6. 在坐標平面上有一橢圓，它的長軸落在 x 軸上，短軸落在 y 軸上，長軸、短軸的長度分別為 4、2。如圖所示，通過橢圓的中心 O 且與 x 軸夾角為 45 度的直線在第一象限跟橢圓相交於 P。

則此交點P 與中心 O 的距離為 (1) 1.5

(2) 1. 6 (3) 2 (4) 2. 5 (5) 3. 2

O y

x P

45 y

x (1,0)

(0,1)

第 3 頁 數學考科 共 7 頁

-3-

貳 、 多 重 選 擇 題

說明：第 7 至 12 題，每題至少有一個選項是正確的，選出正確選項，標示在答案卡 之「解答欄」。每題答對得 5 分，答錯不倒扣，未答者不給分。只錯一個可 獲 2.5 分，錯兩個或兩個以上不給分。

7.若實數 a,b,c 滿足 abc>0, ab+bc+ca<0, a+b+c>0, a>b>c，則下列選項何者為真？

(1) a>0 (2) b>0 (3) c>0 (4) |a|>|b|

(5) a²>c²

8. 一機器狗每秒鐘前進或者後退一步，程式設計師讓機器狗以前進 3 步，然後再後退 2 步的規律

移動。如果將此機器狗放在數線的原點，面向正的方向，以1 步的距離為 1 單位長。令 P(n)表示

第n 秒時機器狗所在位置的坐標，且 P(0)=0。那麼下列選項何者為真？

(1) P(3)=3 (2) P(5)=1 (3) P(10)=2 (4) P(101)=21 (5) P(103)<P(104)

9. 下列哪些選項與方程組





= + +

= + +

0 6 3 4

0 3 2

z y x

z y

x 的解集合相同？

(1) y = 0 (2)





=

= +

0 0 3 2

y z x

(3) x = y = 0 (4)







= + +

= + +

0 6 3 4

0 2 3 2 1

z y x

z y x

(5) 

= + +

= + +

0 3 2

0 9 4 6

z y x

z y

x

10.觀察相關的函數圖形，判斷下列選項何者為真？

(1) 10^x=x 有實數解 (2) 10^x=x² 有實數解 (3) x 為實數時，10^x>x 恆成立 (4) x>0 時，10^x>x²恆成立 (5) 10^x= –x 有實數解

數學考科 第 4 頁 共 7 頁

-4- 11. 某甲自 89 年 7 月起，每月 1 日均存入銀行 1000 元，言明以月利率 0.5％按月複利計息，

到90 年 7 月 1 日提出。某乙則於 89 年 7 月起，每單月(一月、三月、五月‧‧‧)1 日均存入 銀行2000 元，亦以月利率 0.5％按月複利計息，到 90 年 7 月 1 日提出。一整年中，兩人都存 入本金12000 元。提出時，甲得本利和 A 元，乙得本利和 B 元。問下列選項何者為真？

(1) B>A (2)











 



 



∑

=

= ¹²

1 1000 1000 1005

k

k

A

(3) 









 



 



∑

=

= ⁶

1

2

1000 2000 1005

k

k

B (4)

12

1000 12000 1005



 



<  A

(5)

12

1000 12000 1005



 



<  B

12. 在∆ABC 中，下列哪些選項的條件有可能成立？

(1) sinA=sinB=sinC= 3 2 (2) sinA,sinB,sinC 均小於 1

2 (3) sinA,sinB,sinC 均大於 3

2 (4) sinA=sinB=sinC=1

2 (5) sinA=sinB= 1

2 , sinC=

3 2

第 5 頁 數學考科 共 7 頁

-5-

第 二 部 分 ： 填 充 題

說明：1.第 A 至 H 題，將答案標示在答案卡之「解答欄」所標示的列號 (13–32)。

2.每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 工匠在窗子外邊想做一個圓弧型的花台，此花台在窗口的中央往外伸出 72 公分，窗口的寬度是 168 公分。則此圓弧的圓半徑為 公分。

B. 2²⁰-1 與 2¹⁹+1 的最大公因數為 。

C. 某公司民國 85 年營業額為 4 億元，民國 86 年營業額為 6 億元，該年的成長率為 50%。

87、88、89 三年的成長率皆相同，且民國 89 年的營業額為 48 億元。則該公司 89 年的成長率為 %。

D. 在一個圓的圓周上，平均分佈了 60 個洞，兩洞

間稱為一間隔。在A 洞打上一支木樁並綁上線，

然後依逆時針方向前進每隔9 個間隔就再打一支

木樁，並綁上線，依此繼續操作，如右圖所示。

試問輪回到A 洞需再打樁前，總共已經打了幾支木樁？

答： 支。

16 17 18

13 14

15

72cm

168cm

19 20

A

數學考科 第 6 頁 共 7 頁

-6- E. 某次網球比賽共有 128 位選手參加，採單淘汰制，每輪淘汰一半的選手，剩下一半的選手進入

下一輪。在第1 輪被淘汰的選手可獲得 1 萬元，在第 2 輪被淘汰的選手可獲得 2 萬元，在第 k 輪 被淘汰的選手可獲得2 ^k-1萬元，而冠軍則可獲得128 萬元。試問全部比賽獎金共多少萬元？

答： 萬元。

F. 某人隔河測一山高，在 A 點觀測山時，山的方位為東偏北 60°，山頂的仰角為45°，某

人自 A 點向東行 600 公尺到達 B 點，山的方位變成在西偏北 60°，則山有多高？

答： 公尺。

G. 有一群體有九位成員，其身高分別為(單位：公分) 160, 163, 166, 170, 172, 174, 176, 178, 180,

此九人的平均身高為171 公分。今隨機抽樣 3 人，則抽到 3 人的平均身高等於母體平均身高的

機率為 。(化成最簡分數)

H. 右圖為一正立方體， 被一平面截出一個四邊形 ABCD，

其中B,D 分別為稜的中點，且 EA:AF=1:2 。 則 cos∠DAB= 。(化成最簡分數)

D

C

F E

A

B 21 22 23

28 29 27 24 25 26

31 32 30

第 7 頁 數學考科 共 7 頁

-7-

參 考 公 式 及 可 能 用 到 的 數 值

1. 一元二次方程式ax²+bx+c=0 的公式解：

a ac b x b

2

2 −4

±

= −

2.

1 2

1 2 2

2 1

1, ) ( , )

( x x

y m y

y x y

x −

= − 的直線斜率 與

通過

3. , 1.

1 ) 1

1 ( ≠

−

−

= ⋅

− r

r r S a

n ar

n n

n 的前 項之和

等比級數

4. ∆ABC 的正弦及餘弦定理

) (

cos 2 )

2 (

) (

, sin 2

sin )sin

1 (

2 2

2 餘弦定理

正弦定理 為外接圓的半徑

C ab b a c

R C R

c B b A a

− +

=

=

=

=

5. 統計公式：

( )( ) ( )( )

( ) ( )

之標準差 為隨機變數

之標準差，

為隨機變數 其中

數 係 關 相

差 準 標

算術平均數

Y X

) 1 1 (

) 1 1(

) (

1

2 1

2 1 1

2

1 2 1

2 2 1 1

Y X

n

i i

n

i i

n

i i i

Y X n

i i i

n

i i

n

i i

n

i i

n

S S

Y y X x

Y y X x S

S n

Y y X x r

X n x

X n x

S

n x x x

n x X M

∑ −

∑ −

∑ − −

⋅ =

∑ − −

=

−

= ∑

∑ −

=

+ ∑ + +

=

=

=

=

=

=

=

=

= =

L

6. 常態分佈的資料對稱於平均數M。且當標準差為 S 時，該資料大約有 68% 落在區間(M-S,M+S) 內，約有 95% 落在區間(M-2S,M+2S)內，約有 99.7% 落在區間(M-3S,M+3S)內。

7. 參考數值： 2≈1.414; 3≈1.732; 5≈2.236; 6≈2.449;π≈3.142

8. 對數值： log₁₀2≈0.3010, log₁₀3≈0.4771, log₁₀5≈0.6990, log₁₀7≈0.8451 9.

 !#" $ %

& ' ( ) *,+ -.) */+ -.) */+ -.) *,+ -0) */+ -.) *,+ -.)

1 2 354 687:9<; = 9 >5= 6 ?A@ B @ @ C5@ D

E F EGE HJILK M N MGM I OPM I M M MGM Q

R S TPR UVSJW R X TPR S YZR [ R R TPR \

] ^ _G] `badcfe g

hbidjfkbl m n oGm p mPm q m o oGm r

s n s q o s t m s t s m o s u

v w v x yZv w zfv x v y yZv u

{ | { } y { x z { } { ~

zf y { ~

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ÏZÃ ÇJÌVÍ ÏZÃ Æ ÐZÃ Ç ÏZÃ Ã

Ñ

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ò ó ô5õ ö ÷5ø ù úšû ü û ý þ5û ü ÿAû 
 

              

                  

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* - '* - )* + * * - * - '* + )(* 01. * * +

2 3 42 5 62 7 8 2 9 2 7 42 9 6(2 3:5 8 2 5

; < =>; ? @>; ? A(; B ; < =>; B @C; ?< A(; <

D E F D G H D E ID E D G F D J HD J

KML N O L P QL P R L N KSL N O L T Q L P

KUK P OVK W QXK N RK W KUK P OVK W QK N

K Y T OY P QZY W RY P K[Y W OY W QY T

KSO W O O W QO P RO T K\O N O O N QO T

K\] P O] T QZ] P R] P K[] W O] T Q] N

K^Q P OQ T Q Q T R Q T KMQ N OQ N Q Q T

KM_ W O _ T Q_ P R _ P KS_ W O _ N Q _ N

KMR N O R P QR N R R KSR T O R T Q R P

Ka` T O,` N Q` W R(` Kb` T O,` P Q ` P

KSc N O c P Qc P Rc K\c W O c T Qc P

Y(L W ]L T _ L T `ZL YL T ]L N _ L T

第 1 頁 數學考科 共 7 頁

-1-

第 一 部 分 ： 選 擇 題 壹 、 單 一 選 擇 題

說明：第 1 至 6 題，每題選出最適當的一個選項，標示在答案卡之「解答欄」，每題答對得 5 分，答錯不倒扣。

1. 在 230 與 240 之間共有多少個質數？

(1) 1 個 (2) 2 個 (3) 3 個 (4) 4 個 (5) 5 個

2. 方程式 x⁴+2x²-1=0 有多少個實根？

(1) 0 (2) 1 (3) 2 (4) 3 (5) 4

3. .下列圖形有一為雙曲線，請將它選出來。

(1) (2) (3)

(4) (5)

數學考科 第 2 頁 共 7 頁

-2- 4. 如圖所示，在坐標平面上，以原點(0,0)為頂點，且通過(2,2),(-2,2)的拋物線，它的焦點

坐標為 (1) (0, 0.5) (2) (0, 1) (3) (0, 1.5) (4) (0, 2) (5) (0,4)

5. 九十年度大學學科能力測驗有 12 萬名考生，各學科成績採用 15 級分，數學學科能力測驗成績

分佈圖如下圖。請問有多少考生的數學成績級分高於11 級分？選出最接近的數目。

(1) 4000 人 (2) 10000 人 (3) 15000 人 (4) 20000 人 (5) 32000 人

2 4 6 8 10 12 14 16

0

人 數 百 分 比

級 分

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

90學年度數學學科能力測驗成績分佈圖

y

(0,0) x

(2,2) (-2,2)

第 3 頁 數學考科 共 7 頁

-3- 6. 如圖

45 45

A

B D E C

∆ABC 中，BC 邊上兩點 D、E 分別與 A 連線。假設∠ACB=∠ADC=45°，三角形 ABC, ABD, ABE 的外接圓直徑分別為 c,d, e。試問下列何者為真？

(1) c<e<d (2) d<e<c (3) e<c, d<c (4) d=c<e (5) d=c>e

貳 、 多 重 選 擇 題

說明：第 7 至 12 題，每題至少有一個選項是正確的，選出正確選項，標示在答案卡 之「解答欄」。每題答對得 5 分，答錯不倒扣，未答者不給分。只錯一個可 獲 2.5 分，錯兩個或兩個以上不給分。

7. 關於雙曲線x² − y² =1，下列選項何者為真？

(1) 對稱於 y 軸 (2) 對稱於直線 x−y=0 (3) 直線 x+y=0 為一漸近線 (4) (−2,0)及(2,0)為其焦點 (5) (−1,0)及(1,0)為其頂點

8.設實數 a,b 滿足

0<a<1, 0<b<1.

則下列選項哪些必定為真？

(1) 0<a+b<2 (2) 0<ab<1 (3) -1<b-a<0 (4) 0<a/b<1 (5) |a-b|<1

數學考科 第 4 頁 共 7 頁

-4- 9. 如圖

∆ABC 的對邊分別為 a,b,c，P 為 C 點的垂足，h 為高， BP=x, AP=y，則下列選項哪些必定 為真？

(1) b

h a C = h +

cos (2)

b y a C = x + cos

(3) cosC=cos(A+B) (4)

ab c b C a

cos 2

2 2

2 + −

=

(5) ab

xy C h −

=

2

cos

10. 平面上有一個直角三角形，其三邊的斜率為實數 m1,m2,m3，並假設m1>m2>m3 。則下列選項哪 些必定為真？

(1) m1m2= –1 (2) m1m3= –1 (3) m1>0 (4) m2≤0 (5) m3<0

11. 函數 1

( ) (cos10 cos12 )

f x = 2 x− x ，x 為實數。則下列選項哪些為真？

(1) ( ) sin11 sinf x = x x 恒成立 (2) f x( ) 1≤ 恒成立 (3) f x( ) 的最大值是 1 (4) f x 的最小值是-1 ( ) (5) ( ) 0f x = 的解有無窮多個

12. 三相異平面兩兩相交於三條相異直線 l₁, l₂, l₃。試問下列選項哪些絕不可能發生？

(1) l₁, l₂, l₃三線共交點

(2) l₁, l₂, l₃不共面，但l₁ // l₂ // l₃ (3) l₁, l₂, l₃共平面

(4) l₁, l₂, l₃兩兩相交，但三交點相異 (5) l₁, l₂, l₃三線中兩兩都是歪斜線

a b

h

x y

c B

C

P A

第 5 頁 數學考科 共 7 頁

-5-

第 二 部 分 ： 填 充 題

說明：1.第 A 至 H 題，將答案標示在答案卡之「解答欄」所標示的列號 (13–35)。

2.每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 11¹⁵除以100 的餘數為 。

B. 令複數 ^{2 cos sin 2 cos}

(

)

7 7

z π i π z i a i a

π π

=  +  ⋅ = +

 

  ^{且 ，則實數}a = 。

C. 某人存入銀行 10000 元，言明年利率 4％，以半年複利計息，滿一年本利和為 Q 元。

則Q= 。

D. 在平面上有一正方形 ABCD， AB、BC、CD、DA 的延長線分別交直線 L 於 P、Q、R、S。

已知PR=3、QS=4，則正方形 ABCD 的邊長為 。

E. 空間中有三個平面 5x+4y-4z = kx, 4x+5y+2z = ky, x+y+z = 0, 其中 k<10。

當k= 時，三個平面交於一線。

13 14

26

23 24 25

15 16 17

18 19 20 21 22

A

D

C B

P R Q S L

數學考科 第 6 頁 共 7 頁

-6- F. 如右圖各小方格為 1cm²的正方形。

試問圖中大大小小的正方形共有多少個？

答： 個。

G. 一顆半徑為 12 公分的大巧克力球，裡頭包著一顆半徑為 5 公分的軟木球。如果將此巧克力球重

新融化，做成半徑為2 公分的實心巧克力球，最多可以做幾顆這樣的巧克力球？

答： 顆。

H. 某次考試，有一多重選擇題，有 A、B、C、D、E 五個選項。給分標準為完全答對給 5 分，只 答錯1 個選項給 2.5 分，答錯 2 個或 2 個以上的選項得 0 分。若某一考生對該題的 A、B 選項已

確定是應選的正確答案，但C、D、E 三個選項根本看不懂，決定這三個選項要用猜的來作

答。則他此題所得分數的期望值為 + 分。

29 30 31 27 28

32 34 33

35

第 7 頁 數學考科 共 7 頁

-7-

參 考 公 式 及 可 能 用 到 的 數 值

1. 一元二次方程式ax²+bx+c=0 的公式解：

a ac b x b

2

2 −4

±

= −

2.

1 2

1 2 2

2 1

1, ) ( , )

( x x

y m y

y x y

x −

= − 的直線斜率 與

通過

3. , 1.

1 ) 1

1 ( ≠

−

−

= ⋅

− r

r r S a

n ar

n n

n 的前 項之和

等比級數

4. ∆ABC 的正弦及餘弦定理

2 2 2

(1) 2 , ( )

sin sin sin

(2) 2 cos ( )

a b c

R R

A B C

a b c bc A

= = =

= + −

為外接圓的半徑 正弦定理 餘弦定理

5. 參考數值： 2 ≈ 1.414 ; 3 ≈ 1.732 ; 5 ≈ 2.236 ; 7 ≈ 2.646 ; π ≈ 3.142

6. 對數值： log₁₀2≈0.3010, log₁₀3≈0.4771, log₁₀5≈0.6990, log₁₀7≈0.8451

7. 半徑 r 的球體積為 4 ³ 3πr 。

0 1 243 5 6

7 8 9 : ;=< >?: ;@< >?: ;@< >?: ;=< >: ;@< >?: ;=< >?:

A B CED FHG I F JEI F KML N O P QER S

T U TVT WYX[Z]\ ^ Z ^V^ W _`^ W ^ a bVb c

d e f`d ehg d i f`d j kld m d n f`d o

p q rVp s[q p s rVp s p`p t p o

rVp u

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