一、多重選擇題：每題5分，共20分

(1)

高師大附中106學年度第二學期高三（自然組）第一次段考數學試題

一、多重選擇題：每題5分，共20分

(每題均有五個選項，其中至少有一個選項是正確的。答錯一個選項給3分，答錯兩個選項得1分，錯二個以上的選項不給分)

1.若下列五個函數在x 0處的函數值均定義為0﹐試問哪些函數在x 0處「不連

續」﹖　(1)

| |x x

　(2)

²

3, 0

( ) 0, 0

3, 0

x x

f x x

x x

  

 

  



當當

當

　(3)

[ ] sin

x x

　(4)

| 1| | 1|

x x  x

　(5)

 

x x

  

  （[x]表小於或等於x的最大整數）。

2.若函數f (x)滿足

²

lim ( ) 2 2

x

f x x

 



﹐則下列選項哪些是正確的﹖ (1)

^{lim ( ) 2}^x^²^{f x}



(2)

lim2 ( ) 0

x xf x

 

(3)

² ² lim ( ) 2

( 2)

x

f x x

 



　 (4)

2 2

( ) 2 3 2

lim( ) 7

2 2

x

f x x x

x x



 

 

 

　(5)

⁰

lim ( ) 0

x xf x

 

。

3.下列何者正確？(1)若

aⁿ

為收斂數列， b

n

為發散數列，則

aⁿ



bⁿ

發散 (2)若

aⁿ

為收斂數列， b

n

為發散數列，則數列

a bⁿ



ⁿ

發散(3) 設

aⁿ

﹐ b

n

﹐ c

n

為三個數列﹐且對任意正整數n﹐

aⁿ

b

n

c

n

均成立﹐若

aⁿ

及 c

n

均為收斂數列，則

b

n

為收斂數列， (4)若數列

a ＋bⁿ n

收斂，數列

aⁿ

收斂，則數列 b

n

收斂(5) 若

a2n

為收斂數列，則

aⁿ

為收斂數列。

4.則下列何者正確﹖ (1)

3 3

lim0 x

x x

x





極限值存在　(2)

limsin

3

x

x x



極限值存在　(3)

4 3

lim 2

x

x x



  

 

 

極限值不存在　(4) 級數

1 1

2 4 1 4

n n

 



 



收斂　(5)

1 2 3 1

lim( ... )

2! 3! 4! !

n

n n



    

極限值存在　。

二、填充題:共74分

配分表格

數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 分

數 8 16 22 28 34 40 44 48 52 56 60 64 68 70 72 74 1.求下列各式的極限值，若極限值不存在，則寫不存在

(1)

1

lim 1

+2

n

n^k k  k

＝ (1) (2)

2 2 3

3 2 -1

3 2 5

lim 4 3

n n

n

 

 

  



(2) (3)

1 1 3 5 2 1

lim ( ... )

n

n n n n n



      

 

 

(3) (4)

200 1

1 1

lim ( 200)

1 1

x

x x



 

＝ (4) (5)

(2)

L₂ L₁

B D C

A

1 1 1 1

1 1 2 1 2 3     1 2 3

n

 

   ⋯     ⋯

⋯ (5) 2.若無窮級數收斂且

1 1

(1 ) 4 5

2

k k

x x x

 



  



時﹐則x= (6) 3.無窮等比級數的首項為

2 ﹐和為

6

﹐若前

n

項和

Sⁿ

滿足

6 1

n

1000



S



﹐則

n

的最小值為 (7) 。

4.設f (x)為三次多項式函數﹐且

^lim^x ¹ ^{( )}1 ¹ f x x

 



﹐

^lim^x ² ^{( )}2 ² f x x

 



﹒(1)求f (x)＝ (8) (2) 求

4

lim ( ) 3

x

f x x

 

＝ (9) 。

5.

若

^lim4 3 ³

n n

a n

 



﹐則

^lim3 1

n n

a n

 



(10) 。

6.

函數f (x)

²

1

5 4x x 

的定義域為 (11) ；值域為 (12) 。

7.

若

,

a b

為異於0之實數，且

¹

2 1

lim

^x

1 3

x a b

x



  

 ，求

a b

＝ (13)

8.座標平面上有二相交直線L

1

及L

2

﹐

L1

: 4

x

 3

y

 ， 0

L y2

:  ，自L 0

1

上一點A作L

2

之垂線﹐交L

2

於B點﹔再自L

2

上一點B作L

1

之垂線﹐交L

1

於C點﹐自C點作L

2

之垂線﹐交L

2

於D點，再自L

2

上一點D作L

1

之垂線﹐交L

1

於E點如此繼續下去﹒已知

^AB^⁵

﹐求

ABC

的面積＋

^^CDE

的面積＋... 此無窮多個三角形面積和(這些直角三角形的一股均在直線L

1

上) (14) 。

9.

已知

, a b

為實數﹐

n

為自然數﹐若函數

  ^lim ² ¹₂

1

n n n

x ax b

f x x





 

 

﹐

若對所有實數

^x

﹐

^{f x} 

為連續函數﹐試求數對 ( , )

a b ＝ (15)

。 10.已知

 

³ ¹

f x

 4

x



﹐

f x2 



f f x  

﹐且對正整數

2 n

﹐

fn_1 x



f f x n 

 

， lim

_n

1

n f



 (16) 。

三、計算證明題﹕共6分（請詳列算式，否則不予計分）

設數列

² ² ²

1 2 2

n

a n

n n n n

   

  ⋯ 

﹐利用夾擠定理﹐求 lim

ⁿ

n

a n





？

(3)

高師大附中106學年度第二學期高三（自然組）第一次段考數學答案卷

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