94 年數學科學科能力測驗試卷

(1)

94 年數學科學科能力測驗試卷

__________科__________班學號__________姓名__________

總分

第一部分﹕選擇題

一 ﹑單一選擇題

說 1 至5 題 5 分 明﹕第 ﹐每題選出最適當的一個選項﹐每題答對得 ﹐答錯不倒扣﹒

( ) 1. 試 43659 共問整數有多少個不同的質因數 ﹖

(A)1 個 (B)2 個 (C)3 個 (D)4 個 (E)5 個 ﹒

( ) 2. 利 1

³

＋ 2

³

＋ n

³

＝( ( 1) 用公式 … ＋

2 n n ＋ )

²

﹐ 可 (11)

³

＋ (12)

³

＋ (20)

³

之 (A)41075 計算出 … ＋值為

(B)41095 (C)41115 (D)41135 (E)41155 ﹒

( ) 3. 台 42選 6” ﹕購 01~42 北銀行最早發行的樂透彩（俗稱小樂透）的玩法是 “ 買者從

中任選六個號

碼 39 ﹐ 當這六個號碼與開出的六個號碼完全相同（不計次序）時即得頭獎 ﹔ 台北銀行曾考慮改發行 “

選5”的 01~39 小小樂透 ﹕ 購買者從

中任選五個號碼

﹐ 如

果這五個號碼與開出的五個號碼完全相同（不計次序）則得頭獎 ﹒ 假設原來的小樂透中頭獎的機率是

R ﹐ 而 r ﹒ 試 r 曾考慮發行的小小樂透中頭獎的機率是問此值

R 最 (A)3 (B)5 接近下列哪個選項 ﹖

(C)7 (D)9 (E)11 ﹒

(2)

( ) 5.

某校高一第一次段考數學成績不太理想

﹐ 多數同

學成績偏低 ﹔ 考慮到可能是同學們適應不良所致 ﹐ 數學老師決定將每人的原始成績取平方根後再乘以

10作 100 位 ﹐發 65分 15 為正式紀錄的成績 ﹒ 今隨機抽選同學現調整後的成績其平均為 ﹐ 標準差為

分 100 位 M 介 (A)40  M ＜ 41 ﹔ 試問這同學未調整前的成績之平均於哪兩個連續正整數之間 ﹖

(B)41  M＜ 42 (C)42  M ＜ 43 (D)43  M ＜ 44 (E)44  M ＜ 45﹒

二 ﹑多重選擇題

說 1 至6 題 5 明﹕第 ﹐每題至少有一個選項是正確的﹐選出正確選項﹒每題答對得

分 2.5分 ﹐答錯不倒扣﹐未答者不給分﹒只錯一個可獲 ﹐錯兩個或兩個以上不給分﹒

( ) 1.

如右圖所示 ﹐ 兩射線 O A _與 O B _交 _於 O _點 _﹐ _試 _問 _下列選項中哪些向量的終點會落在陰影區域內 ﹖

( A ) O   A  

＋ 2 O   B   ( B ) 3

4 O   A  

＋ 1 3 O   B  

( C ) 3 4 O   A  

－ 1 3 O   B  

( D ) 3 4 O   A  

＋ 1 5 O   B  

( E ) 3 4 O   A  

－ 1 5 O   B  

﹒

(3)

( ) 2.

如右圖所示 ﹐ 坐標平面上一鳶形ABCD ﹐ 其中 A﹐ C在y-軸上 ﹐ B﹐ D在x-軸上 ﹐ 且 AB＝AD＝ 2﹐ BC＝ C D＝ 4﹐AC＝ 5﹒

令 m ﹑

AB

m ﹑

BC

m ﹑

CD

m 分

DA

別表直線AB﹑ BC ﹑ C D ﹑ D A之斜率 ﹒ 試問以下哪些敘述成立 ﹖

(A )此四數值中以 m 為

AB

最大 (B )此四數值中以 m 為

BC

最小 (C ) m ＝

_BC

－ m (D

_C_D

) m 

_A_B

m ＝

_B_C

－ 1 (E) m ＋

_C_D

m ＞

_D_A

0 ﹒

( ) 3. 假 E

1

﹑E

2

﹑E

3

皆 ( － 1 , 2 , 0) 與 (3 , 0 , 2) 設坐標空間中三相異平面通過

兩 (A)(2 , 2 , 2) (B)(1 , 1 , 1) (C)(4 ,－ 2 , 2) (D)( － 2 , 點 ﹐ 試問以下哪些點也同時在此三平面上 ﹖

4 , 0) (E)(－5 ,－4 ,－ 2) ﹒

( ) 4. 若 0 ＜ θ ＜ 4

 ﹐ 試問以下哪些選項恆成立 ﹖

(A)sinθ ＜ cosθ (B)tanθ ＜ sinθ (C)cosθ ＜ tanθ (D)sin2θ ＜ cos2θ (E)tan 2

 ＜ 1

2 tanθ ﹒

( ) 5. 設 F

1

與 F

2

為 Γ ﹕

²

坐標平面上雙曲線

9 x －

²

16 y ＝ 1 的 P 為 Γ 兩個焦點 ﹐

上 (A)20 一點 ﹐ 使得此三點構成一等腰三角形 ﹒ 試問以下哪些值可能是這些等腰三角形的週長 ﹖

(B)24 (C)28 (D)32 (E)36 ﹒

( ) 6. 設 S 為 AB 為 AB ＝ 10﹒若 P 為 PA ＋ PB ＝ 14﹐則空間中一球面 ﹒ 其一直徑 ﹐ 且空間中一點 ﹐ 使得

P 點 (A) 線 AB 上 (B) 直 AB 上 AB 上 (C) 球 S 的位置可能落在哪裡 ﹖ 段線 ﹐ 但不在線段面

上 (D) 球 S 的 AB 上 (E) 球 S 的 AB 上內部 ﹐ 但不在線段外部 ﹐ 但不在直線 ﹒

第二部分﹕填充題

說 A至 I 題 5 分 明﹕第 ﹐每題完全答對給 ﹐答錯不倒扣﹐未完全答對不給分﹒

A. 若 x

²

＋ x ＋ 2 能 x

⁵

＋ x

⁴

＋ x

³

＋ px

²

＋ 2x＋ q ﹐ 則 p ＝ ﹐q ＝ ﹒ 多項式整除

B. 在 ABCD 的 A(0 , 1) ﹐B(0 , 0)﹐C(1 , 0)﹐D(1 , 1)﹒ 設 P 坐標平面上 ﹐ 正方形四個頂點坐標分別為

為 ABCD 內 PDA與 PBC 的 1 ： 2 ﹐ 且 PAB 與 PCD的正方形部的一點 ﹐ 若 △ △ 面積比為 △ △ 面積比為

2 ： 3 ﹐ 則 P 點的 __________ ﹒ （坐標為化成最簡分數）

C. 在 1 數線上有一個運動物體從原點出發 ﹐ 在此數線上跳動 ﹐ 每次向正方向或負方向跳

個單位 ﹐ 跳動過程可重複

經一點 ﹒ 若經 ﹐ 則此運動物體共有過任何過 6 次＋ 4 處 __ 跳動後運動物體落在點

________ 種

不同的跳動方法 ﹒

D. 設 z ＝ 1 － i ﹔ 若 1 ＋ z ＋ z

²

＋ z

⁹

＝ a ＋ bi ﹐ 其 a ﹐b為 a ＝ __________ ﹐b ＝複數 … ＋中實數 ﹐ 則

__________ ﹒

E. 設 O 為 P 點 (2 , 1) ﹔ 若 A﹑B 分 x 軸正 y 軸坐標平面上的原點 ﹐ 坐標為別是正及

上的點 ﹐ 使得 PA  ⊥

(4)

F. △

如右圖所示 ﹐ 在 A B C ∠ 中 ﹐B A C 的平分線 A D 交對邊 B C 於 D ﹔ 已知 B D ＝ 3 ﹐ D C ＝ 6 ﹐ 且 A B ＝ A D ﹐ 則 c o s ∠ B A D 之值為 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ﹒ （化成最簡分數）

G. 在 F(1 , 0)的坐標平面上 ﹐ 過直線

交

拋物線平面 ﹐ 且知 Γ ﹕y

²

＝4x於 P ﹑Q 兩 P 在半 2 PF 點 ﹐ 其中上

＝3 QF ﹐則 P 點 x 坐 __________ ﹒ （的標為化成最簡分數）

H. 設 x 為滿足 x ． 3

^x

＝3

¹⁸

﹔若 x 落 k 與 k ＋ 1 之 k ＝ __________ ﹒ 一正實數且在連續正整數間 ﹐ 則

I. 如右圖所示 ﹐ A B C D - E F G H _為 _邊 _長 _等 _於 1 之正立方體 ﹒ 若 P 點在立方體之內部且滿足  A  P  

＝ 3 4  A  B  

＋ 1 2  A  D  

＋ 2 3  A  E  

﹐ 則 P 點至直線 A B _之 _距 _離 _為 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ﹒ （化成最簡分數）

(5)

答案

1. C 2. A 3. D 4. B 5. E

1. AB 2. BCE 3. B 4. AE 5. BE 6. BCDE

A. 3 ﹐8 B. ( 2 5 , 2

3 ) C. 6 D. 32 ﹐－1 E. 25

16 F. 3

4 G. 3

2 H. 15 I. 5 6

解析

1. 43659 ＝ 3

⁴

 7

²

 11﹐

有 3 ﹐7﹐11 共 3 個質因數 ﹒

2. 所

求＝ (1

³

＋ 2

³

＋ 20

³

) － (1

³

＋ 2

³

＋ 10

³

) … ＋ … ＋

＝( 20 21 2

． )

²

－( 10 11 2

． )

²

＝ 44100 － 3025＝ 41075 ﹒

3. r R ＝

39 5

42 6

1 1 C C

＝

42 6 539

C C ＝

42 41 40 39 38 37 6 5 4 3 2 1 39 38 37 36 35

5 4 3 2 1

．．．．．

．．．．

＝ 82

9 ≒ 9.1 ﹒

4. log

7

a＝ 11  a＝7

¹¹

﹐ log

7

b＝ 13  b＝7

¹³

﹐

log

7

(a ＋ b) ＝ log

7

(7

¹¹

＋ 7

¹³

) ＝ log

7

[7

¹¹

(1 ＋ 7

²

)]

＝ log

7

¹¹

＋ log

7

50 ≒11 ＋ 2

＝ 13 ﹒ 5. 新

分數為 y ﹐ 原 x ﹐ 分數為

則 y ＝10 x  y

²

＝ 100x ﹐ S ＝ 1

¹⁰⁰ ² ²

(



y ^－ 100 ) y ^ ^S

²

^＝ ¹ ⁽

¹⁰⁰

^y

²

^－ ¹⁰⁰ ^y

²

⁾

(6)

＝ 444775＝

¹⁰⁰

1

100

_i

i



x

＝

﹐

∴

¹⁰⁰

1 i i



x

＝

＝ 444775

100 ＝4447.75 ﹐

M ＝

100

1

100

i i



x

＝

＝ 4447.75

100 ＝44.4775 ﹒

1. 令OP  ＝ α OA  ＋ β OB  ﹐

P 點落在

陰影

區內域  α ＞0 ﹐β ＞0﹐α ＋ β  1﹐

(A)1 ＋ 2 ＞ 1 ﹐ (B) 3

4 ＋ 1 3 ＝ 13

12 ＞ 1 ﹐ 故

選 (A)(B) ﹒

2. 

(A )╳﹕ m 最

_C_D

大 ﹒ (B )○ ﹒

(C )○ ﹕ B C﹑ C D 對 y軸成對稱 ﹒

(D )╳ ∵ ﹕5

²

≠ 2

²

＋ 4

²

﹐ A B與 B C不垂直 ﹒ (E )○ ﹒



3. 題

意僅需驗向是成比例在線上知三證量否 ﹐ 即知是否，亦即在三平面上 ﹒ 平面共線 ﹐

令 P(－ 1 , 2 , 0) ﹐Q(3 , 0 , 2)﹐

PQ  ＝ (4 , －2 , 2)＝ 2(2 , － 1 ,1) ﹐

(A)╳ ﹕令 A(2 , 2 , 2)﹐ PA  ＝ (3 , 0 , 2) // PQ 

﹒ (B)○ ﹕ 令 B(1 , 1 , 1)﹐ PB  ＝ (2 , －1 , 1)// PQ 

﹒ (C)╳ ﹕ 令 C(4 ,－ 2 , 2)﹐ PC  ＝ (5 , －4 , 2) // PQ 

﹒ (D)╳ ﹕令D(－ 2 , 4 , 0)﹐ PD  ＝ ( －1 , 2 , 0) // PQ  ﹒ (E)╳ ﹕ 令E(－5 ,－4 ,－ 2)﹐ PE  ＝ ( －4 ,－6 ,－2) // PQ 

﹒ 4. (A)○﹕cosθ ＞ sinθ ﹒

(B)╳ ﹕tanθ ＝ sin cos



 ^＞

sin 1

 _﹒

(C)╳﹕ 不一定 ﹒

(D)╳ ﹕0 ＜2θ ＜ 2

 _﹐

∴ 不一定 ﹒

(7)

(E)○﹕tanθ ＝ tan(2．

2

 ) ＝

2

2 tan 2 1 tan

2



－ 

去

分母  tanθ － tanθ ． tan

²

2

 ＝2tan 2



tan 2

 ＝ 1

2 tanθ － 1

2 tanθ ．tan

²

2



＝ 1

2 tanθ (1 －tan

²

2

 )

＜ 1

2 tanθ ﹒ （

∵ 0 ＜ tan

2

 ＜ 1 ﹐ tan ∴

²

2

 ＜ 1 ﹒ ）

5. 

a

²

＝ 9 ﹐ b

²

＝ 1 6 ﹐

c

²

＝ a

²

＋ b

²

＝ 9 ＋ 1 6 ＝ 2 5 ﹐ c ＝ 5 ﹐ F

12

F＝ 2 c ＝ 1 0 ﹐

∵ △ P F

₁

F

₂

成一等腰三角形 ﹐

∴ P F

1

＝ F

12

F＝ 1 0 ﹐

∴ | P F

₁

－ P F|＝

2

2 a ＝ 6  |1 0 － P F|＝

2

6  P F＝

₂

1 6 或 4 ﹐

∴ 週長＝ 1 0 ＋ 1 0 ＋ 1 6 ＝ 3 6 或 1 0 ＋ 1 0 ＋ 4 ＝ 2 4 ﹒



6. 依橢圓

定 ﹐ 義

P A ＋ P B ＝ 2 a ﹐A B ＝ 2 c ﹐若 2 a _＞ 2 c ﹐則 P _點 _之圖形為一橢圓 ﹐

∵ P A ＋ P B ＝ 2 a _＝ 1 4 ﹐A B ＝ 2 c _＝ 1 0 ﹐2 a _＞ 2 c _﹐

∴ P _點 _落 _在 _以 A _﹐ B _為 _焦 _點 _之 _橢 _圓 _上 _﹐ 且 a _＝ 7 ﹐ c _＝ 5  b _＝ 2 4 ﹒

A.



1 ＋ 0 － 1 ＋ (p＋1)

1＋1＋2 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ p ＋ 2 ＋ q 1 ＋ 1 ＋ 2

－ 1 ＋ p ＋ 2 － 1 － 1 － 2

(p＋1) ＋ 4 ＋ q (p＋1) ＋ (p＋1) ＋ 2(p＋1) (4－p－1) ＋ (q－2p－2)



∴3 － p ＝ 0  p ＝ 3﹐

(8)

B.



設

P

(

x

,

y

)﹐

P D A

P B C

△

△＝

^P _P _F ^E

＝

¹ ₂



y

＝

² ₃

﹐

P A B

P C D

△

△＝

_P ^P _H ^G

＝

² ₃



x

＝

² ₅

﹐

∴

P

(

² 5

,

²

3

)﹒



C. 此跳動

必有相同列為 5 正 1 負依元素排 6! （＋＋＋＋＋－） ﹐

5! ＝ 6 ﹒

D. 1 ＋ z ＋ z

⁹

＝ 1 (1

¹⁰

) … ＋

1 z z

．－

－＝

1 (1 )

10

1 (1 ) i

i

－－

－－＝ 1 ( 2 ) i

⁵

i

－－

＝ 1 32i i

＋＝ (1 32 ) i i i i

＋

．＝32－ i ﹐

a ＝ 32 ﹐b ＝ 1 ﹒ －

E. PA  ＝ (x －2 ,－ 1) ﹐ P B

   

＝ ( － 2 , y － 1 ) ﹐ P A

   

⊥P   B    P   A  

． P   B  

＝ 0

 － 2 ( x － 2 ) － ( y － 1 ) ＝ 0  2 x ＋ y ＝ 5 ﹐

又 △ O A B ＝ 1 2 x y ﹐ 利用算幾不等式 2

2 xy ＋2xy 5 2 2 x y  2 5

4  2 x y  x y  2 5

8 ﹐

∴ 1

2 x y  2 5 1 6 ﹒

F. 設 AB ＝ a﹐ 則 AB ＝ AD ＝ a﹐ AC ＝ 2a ∠ ﹐ BAD ＝ θ

△ A B D 中 ﹐ c o s θ ＝

22

3

2

2 a a

a a

＋－

．． … … 

△ A C D 中 ﹐ c o s θ ＝

2

( 2 )

2

6

2

22 a a

a a

＋－

．． … … ＋

＋＋＋＋

由 ﹐ 得

2 2

2 9

2 a a

－＝

2 2

5 3 6 4 a

a

－  a

²

＝ 1 8 ﹐

c o s θ ＝

2 2

2 9

2 a a

－＝ 2 1 8 9 2 1 8

．－

．＝ 2 7 3 6 ＝ 3

4 ﹒

G. 令 P(t

²

, 2t) ﹐Q(x , y)﹐

(9)

利用分點公式 ﹐ 1 ＝

32

2

5 xt ＋  x ＝ 1

3 ( 5 － 2 t)

²

﹐ 0 ＝ 34

5 yt ＋  y ＝－ 4 3 t ﹐ Q ( 5

3 － 2

²

3 t, － 4

3 t ) 代入 y

²

＝ 4 x ﹐

得 ( － 4

3 t )

²

＝ 4 ． ( 5

3 － 2

²

3 t ) ﹐ t ＝

2

15 10 ＝ 3 2 ﹐

∴P 點 x 坐 3 之標為

2 ﹒ H. 令 f (x) ＝ x ． 3

^x

－3

¹⁸

﹐

f (15) ＝15． 3

¹⁵

－ 3

¹⁸

＝ 3

¹⁵

(15 － 27) ＜ 0 ﹐ f (16) ＝16． 3

¹⁶

－ 3

¹⁸

＝ 3

¹⁶

(16 － 9) ＞ 0 ﹐

∴ 在 (15 , 16) 之間至少有一實根 ﹐

∴ k ＝ 15 ﹒

I. 令 A(0 , 0 , 0) ﹐B(0 , 1 , 0)﹐E(0 , 0 , 1)﹐D(－1 , 0 , 0)﹐P(x , y , z)如

94 年 數學科 學科能力測驗試卷