提要 326：複數之自然對數
複數 z 之自然對數（Natural Logarithm）係指ln ，此一函數為多值函數，說明如z 下。因為z=rei(θ+2nπ)、n=0,±1,±2,±3,，所以：
( )
[ ]
( )
[ ]
(
θ π)
π θ π θ
n i r
e r re z
n i n i
2 ln
ln ln ln ln
2 2
+ +
= +
=
=
+ +
(1)
由此可知：當n=0時，lnz= lnr+iθ ；當n=1時，lnz=lnr+i
(
θ 2+ π)
；當n=2時，(
θ 4π)
ln
lnz= r+i + ；依此類推發現， z 雖是同一個，ln 卻有許多個，故z ln 為多值函z 數。因ln 為多值函數，故需定義其主值（Principal Value）z ，ln 之主值係表為z Ln ，z 其定義如下：
θ i r z= ln +
Ln (2) 或
z i r
z ln Arg
Ln = + (3)
根據式(2)，式(1)可化簡為：
( )
( )
(
π)
π θ
π θ
n i z
n i i r
n i
r z
2 Ln
2 ln
2 ln
ln
+
=
+ +
=
+ +
=
(4)
範例一
試推求i 之值。 i
【解答】
此題需引用一些適當的化簡技巧，說明如下：
[ ] ( )
( )
+
−
=
+
=
=
=
=
+
π π π π
π π
n n i
i e i
i i
i i
n i i i
2 2 exp
2 2 exp
ln exp
ln exp
ln exp
2 2
其中n=0,±1,±2,±3,。問題之解的主值（Principal Value）為
−
=exp π2
ii 。
範例二 試推求ln 之值。 4
【解答】
此題需引用複數之極座標表示法，說明如下：
( )
[ ]
[ ] [ ( )]
( )
(
π)
π
π π
n i n i
e e
n i n i
2 3863 . 1
2 4 ln
ln 4 ln
4 ln 4 ln
2 0 2 0
+
= +
= +
=
=
+ +
其中n=0,±1,±2,±3,。問題之解的主值（Principal Value）為Ln 4=1.3863。
範例三 試推求ln
( )
− 之值。 1【解答】
此題需引用複數之極座標表示法，說明如下：
( ) [ ( )]
(
π π)
π π
n i
ei n 2 ln 1
ln 2
+
=
=
− +
其中n=0,±1,±2,±3,。問題之解的主值（Principal Value）為Ln
