第肆章 研究發現與結果
第一節 平行線概念的認知結構
第一階段的實驗，研究者將五位個案訪談的內容去做分析，並將概念認 知結構及推理思維的分析如下。之後我們將建構每一位個案的平行概念結構 圖，嘗試將學生的概念基模繪製出來，並將基模的內容，基模之間如何聯結 (和訪談流程有關)以圖示展現。
以下是根據訪談的過程，對五位個案的概念認知結構及推理思維分析做 個統整及歸納：
一、平行線概念心像與概念定義
訪談問卷中的活動一是要去探討五位個案平行線的概念心像與定義。活 動 1-1 和 1-3 是要去看受訪者的平行線概念心像，我們詢問受訪者一想到「平 行線」時腦中浮現出來的東西(圖文皆可)。五位個案的概念心像分成心智圖 像和概念屬性這兩類，分述如下：
(1)心智圖像：五位個案在回答時會用文字描述或圖形描繪出心智圖 像，而心智圖像種類又分成幾何圖形和生活實物。幾何圖形包括平行四邊 形、矩形等等，譬如 P1、P2、P3 和 P4 都有說出平行四邊形。生活實物是 指有內含兩條線不相交的外觀，譬如馬路等，或是符合個案對於平行線定義 的物品，譬如 P3 說出天花板和地板，問及 P3 為什麼它們是平行的，他表 示因為上下都和旁邊的牆壁垂直。
(2) 概念屬性：個案對於概念屬性的回答主要來自於兩個方向，第一個 就是個案對平行線心智圖像的觀察，譬如 P2 描述平行線對稱、一樣長、方 向一樣等等，P1、P4、P5 都表示平行線是兩直線不相交。第二個就是個案 過去學過的平行線相關概念或是經驗，譬如 P3 表示記得曾學過平行線上下 不一定要等長或對稱，只要上下共同垂直一條直線即會平行；P4 和 P5 還記 得平行線的截角性質。
活動 1-2 是要去看個案的平行線概念定義，我們請個案定義出何謂平行
統整，整理如表 4-1 -23 ：
表 4-1-23 五位個案的概念心像與概念定義
心智圖像 概念屬性 概念定義
P1 幾何圖形（矩形 平行四邊形、菱
形、梯形）
兩直線間距離處處相 等、不相交
平行線中間的距離，是 最短的線 P2 幾何圖形（正四、
正六、正八邊形，
平行四邊形）
對稱、一樣長、方向一 樣
一樣長、方向一樣
P3 生活實物（天花板 和地板、梯子、等 於”=”這符號）、
幾何圖形（平行四 邊形）
上下不一定要等長或 對稱，只要上下共同垂 直一條直線即會平行、
兩直線間距離處處相 等
兩條平行的線，中間畫 一條與它們垂直的線，
來證明它們是平行的
P4 幾何圖形（平行四 邊形），生活實物
（火車軌道）
不相交
內錯角相等、同側內角 互補
兩直線不相交、兩邊可 垂直一條線 P5 生活實物（大馬
路、尺）
很直、不相交 同位角相等、內錯角互
補
兩直線可以同時垂直另 一條直線
從五位個案的回答中，我們也可以看出一些典範現象，譬如 P2 描述平 行線對稱且一樣長，P3 是兩直線「上下」共同垂直一條直線即會平行，代 表 P3 對於平行線會有「上下」的分別。
五位個案在這個活動的回答方式一開始大多是用文字方式去陳述，如果 請他們進一步描述時，會以構圖方式去呈現，在圖 5-1 -35 中我們將個案在 概念心像與定義的文字描述和圖形描述整理出來。
對於概念心像與概念定義之間的關係，有概念定義的個案會因為概念定 義的影響而刺激出一些概念心像，譬如 P3 從天花板和地板都和旁邊的牆壁 垂直，而想到天花板和地板會平行。而概念心像也會讓個案去建構出概念定 義，譬如 P1 和 P2 是用概念心像來解釋何謂平行線。
我們將概念心像與概念定義的表達方式如圖 4-1-27 所示：
圖 4-1-27 平行線之概念心像與概念定義
二、平行線圖形及基本的操作模式
我們以活動二和活動三中，對於中學生平行線的構圖方式和平行線的判 別，去觀察五位個案對平行線圖形及基本的操作模式。
2-1：平行線構圖
五位個案在平行線構圖的方式不盡相同，以下為活動二中，五位個案在 平行線構圖的種類(圖 4-1-28)：
圖 4-1-28 平行線之構圖法
(1) 三角板平移法：P1 利用三角板平移的方式構圖，在之後的平行線檢 驗判別時也常使用這種構圖方式，這種實驗幾何的教學給 P1 很強烈的印 象，但是在詢問 P1 為什麼這樣構圖就是平行線時，P1 無法利用構圖上的特 性去解釋，也就是和一條截線垂直這個基模做連結，只單純利用這種作圖法
概念心像：幾何圖形（P1P2 P3P4）、生活實物（P3P4P5）、
幾何性質(P1P3P4P5)
概念定義：不相交 (P1P4P5)、共垂直一直線 (P3P4P5)、從缺(P1P2)
文字描述
(P2)對稱、一樣長 (P1)平行線中間 的距離，是最短 的線
(P3P4P5)兩直線 可以同時垂直另 一條直線
圖形描述
P2 P1P3P5 P4
F'
E' D'
E D
F
P1 構圖方法：
三角板平移法 P3P4P5 構圖方法：
三角板垂直法 P2 構圖方法：
直尺平移法
P1P5 構圖方法：
兩組線段等距法
詢問 P2 同學這樣構圖為什麼就是平行線時，P2 同學也只是用視覺化的方式 去說明。此外因為 P2 覺得平行線需要一樣長，所以也用直尺去確保兩直線 等長(畫邊界線) 。
(3) 三角板垂直法：P3 P4 P5 同學都是採用三角板垂直的方式構圖，雖 然構圖的順序和方式不盡相同，但是都有利用到概念定義去構圖，這種構圖 法對於直的橫的或斜的平行線，對於他們來說都不困難。當問及為什麼這樣 畫就是平行線時，P4 表示如果兩直線截一直線內錯角相等則會平行，他用 量角器檢查出來會內錯角相等，所以這樣畫會平行。P3 和 P5 則利用概念定 義來解釋。
(4)兩組線段等距法：P1 和 P5 還有另一種構圖法，就是利兩直線之間距 離相等這個概念屬性來構圖。
我們將五位個案在構圖時所使用的類型，分成以工具屬性、直覺辨識和 定義推理這三種操弄方式，整理成表 4-1-24：(○:有出現過的表徵。◎：有 強烈的表徵)
表 4-1-24 五位個案的構圖操弄方式
工具屬性 直覺辨識 定義推理
P1 ◎ （三角板的直 角性質作平移）
○（直尺量測兩組 點對距離處處相 等）
P2 ◎（直尺及直覺辨識）
P3 ◎（三角板的直角性質
及概念定義構圖）
P4 ◎（三角板的直角性質
及概念定義構圖）
P5 ○（直尺量測兩組 點對距離處處相
等）
◎（三角板的直角性質 及概念定義構圖）
2-2：平行線判別
我們以 Duval 的幾何認知理解模式去對於五位個案在活動三中，平行線
判別依照視覺化、構圖；推理三方面做個區分(表 4-1-25)：
表 4-1-25 五位個案對平行線判別的認知模式 直覺（視覺
化）
工具（構圖） 定義（推理）
P1 ○（直線的方 向一樣。）
◎（三角板的直 角性質作平移，
如果平移前後三 板和直線重合即 兩直線平行）
○（利用概念屬性去作判斷，譬如 兩直線之間距離相等）
P2 ◎（直覺辨 識，譬如兩直
線對稱）
○（利用畫邊線 或量長度確保兩 直線等長）
P3 ○（利用三角
板、尺或量角器 去檢驗）
◎ （利用概念定義去作判斷，即 兩直線共垂直一直線）
○（利用概念屬性去作判斷，即兩 直線距離處處等距）
P4 ○（利用量角器
去檢驗）
◎ （利用概念屬性去作判斷，譬如 內錯角相等）
○（利用概念定義去作判斷，即兩 直線共垂直一直線）
P5 ◎ （利用概念定義去作判斷，即
兩直線共垂直一直線）
○（利用概念屬性去作判斷，譬如 內錯角相等）
我們分別去看五位個案在平行線判別問題的認知結構：
(1)P1 是直接使用具體工具去做檢驗。但是在判斷講 義兩對邊是否平行時，P1 在使用具體工具(三角板)時，
發生了工具不適用的現象（三角板不夠大） ，可能就會造 成學生判斷問題的疑惑，因為學生在概念的理解媒介是 依據手邊的工具，但是心像工具部份其實已經有一點作 用了，後來 P1 同學使用「平行線的距離處處等距」這一 個概念屬性，並且對具體工具部份做了改良(延長尺的長
無法用平移法 去解決問題
使用概念心像 (平行的距離處 處等距)
工具的改良
解決問題
(2)P2 認為只要兩直線方向和長度一樣，就是平行 線，因此學生產生了兩個典範現象，第一就是如果長 度不一樣的兩條線就不是平行線，第二就是 P2 將平行 線分成直、橫、斜三種，只要兩條方向一樣便是平行 線。(如圖 4-1-30)
圖 4-1-30 P2 的平行線判別方法 (3)P3 和 P5 會用概念定義來做判別，也就是兩直線共同垂直同一直線，
做法就是畫出一直線，檢查是否會跟兩直線都垂直(用三角板或量角器)，此 外 P3 還有另一種判斷法，就是量兩線之間距離是否一樣，這是 P3 對於平 行性質所存在的另一個概念屬性。
(4)P4 會用概念屬性來做判別，譬如內錯角相等或是同側內角互補，就 會是平行線。不僅如此，P4 會隨意做一切線，去量內錯角會不會相等，來 判斷是否為平行線。P5 也可以用概念屬性來判斷，可是 P5 表示這種方法太 麻煩了，還要去量角度。
在整個認知過程來看，五位個案在做平行線判別時，有些個案會因為圖 形和自己的心智圖像或概念屬性契合，而直覺判斷出圖形是平行的。或者是 利用工具加以檢查，看是否滿足概念心像或概念定義。如果題意沒有明確的 圖形，個案可能會利用紙筆先把圖形建構出來，或是直接利用題意所產生的 心智圖形去判斷。
三 、平行線相關性質的推理結構
在活動 3-3、活動四和活動五這三個階段要看個案在平行線性質的推理 方式。活動 3-3 是以文字敘述的平行線判別，包括平行線的遞移律等等，在 這裡要看學生簡易推理的能力。活動四是平行線的截角性質，活動五則是關 於平行線概念的綜合推理問題。
3-1：簡易推理
活動 3-3 簡易推理的部份，我們從五位個案的應答方式，以 Duval 的幾何 認知理解模式去做個區分(表 4-1-26)：
使用概念心像 (外觀一模一樣)
檢查
畫邊界或用 尺去量
表 4-1-26 五位個案對簡易推理問題的認知模式 直覺（視覺
化）
工具（構圖） 定義（推理）
P1 ◎（將題意轉化成圖
形）
◎（利用概念屬性去作判 斷，譬如共垂直一直線、兩
直線之間距離相等）
P2 ◎（根據題意 直接做判別）
○（畫出圖形，利用 劃邊線或量長度確保
兩直線等長）
P3 ◎ （利用概念定義去作判
斷，即兩直線共垂直一直 線）
P4 ○（聯想到生 活實物，譬如 鐵軌不相交）
○（將題意轉化成圖 形）
◎ （利用概念屬性去作判 斷，譬如內錯角相等）
○（利用概念定義去作判 斷，即兩直線共垂直一直線）
P5 ○（將題意轉化成圖
形）
◎ （利用概念定義去作判 斷，即兩直線共垂直一直
線）
○（利用概念屬性去作判 斷，譬如內錯角相等）
我們分別從五位個案面對以文字陳述判別平行線問題的應答方式來做 說明。
P1 理解問題的方式，是先把題目用圖形描繪出來再做判斷。判斷方式 分成兩種，第一種用概念心像的部份，譬如兩直線共同垂直一條直線，第二 種是用三角板平移在圖形上做檢驗。
P2 對文字敘述的問題較傾向於從字面意義以直覺判斷，因此直覺會讓
學生產生一些迷思，譬如 P2 認為「在一平面上一條直線，和此直線平行的
直線只有一條」是正確的。不過後來研究者建議 P2 做檢查時，P2 在構圖後
解決了這個迷思，但也因為典範心像而造成誤判，譬如圖形畫出來如果不一
出來，其中會發現大部份的問題都是直接回答出來，偶爾需要加強說明時才 會去構圖，這代表 P3 可以用自己的想法去表達出題意和思考過程，也就是 反思後經過編譯，變成自己的想法。但是 P3 對於直線和線段之間定義不甚 清楚，所以會產生一些迷思。
P4 也是會先去將題目轉換成圖形，然後再依據圖形配合語意去說明是 否會平行，從構圖和說明可以看出 P4 會使用概念定義及概念屬性去做判 斷，譬如構圖後發現兩直線內錯角相等。
P5 會用構圖的方式搭配概念定義去回答問題，大部份問題都可以回答 出來，但是當研究者問及「在一平面上的相異兩直線如果不會相交，則此兩 條線平行嗎?」P5 卻迷惑了，她認為兩直線不會相交並不一定代表他們就會 共同垂直一條直線。
從個案的回答方式來看，如果是以文字陳述來判別平行線，大部分的學 生都需要轉換成圖形來觀察，除非像 P3 的語意認知很強烈，便可以直接判 斷。不過像 P2 無法針對題意所提供的性質來用在解題上，就只能從圖形配 合自己的概念心像來判斷。
五位個案回答的方式深受概念心像及概念定義的影響。而這種簡易推 理，以這五為個案來說都沒有什麼問題，因為這樣的推理比較簡短且容易見 到成果，所以對學生來說沒有太大的負擔。
3-2：平行線截角性質
在活動四的截角性質，五位個案的認知結構和推導過程有相當的差異，
我們可以從每位的推導過程去觀察學生的平行線截角性質認知結構。以下的 說明方式，將五位個案分開來各自說明，右邊為推導過程的圖示，左邊為文 字說明。
活動四的題目如下所示(4-1~4-3)：
1. 如右圖，已知 L 和 M 平行，一直線和它們相交，分成 8 個角，請舉出哪些角度相等。(為什麼會相等?) 2.(嘗試證明)
3.(逆證明) 如果
∠ = ∠2 6，L 和 M 是否平行?
知覺觀察 用工具檢查(量 角器)
嘗試利用幾何 特性做推理
嘗試利用平移 法(用三角板)
三角板角度不符
撕下來平移
產生平移的心像
發現問題更改策略
P1 一開始判斷哪些角度相等時，學生全然用 直覺的方式來判斷，後來經由老師詢問原因之後，
學生想要用量角器直接測量。但是訪員問說如果不 用量角器該如何檢測，學生先用角度的互補，但是 沒辦法推得同位角相等(
∠ = ∠2 6)。
P1 嘗試推導同位角相等，想要用到三角板的 平移，但是學生發現三角板的角度和題目的角度是 不一樣的(工具的不適用)。但是 P1 認為，如果有適 當的角度，便可利用平移來判斷出角度相等，所以 P1 心中已經有角度的平移，譬如 P1 提出的策略是 把角度撕下來平移，但是並沒有這麼做(只是口頭 描述)，所以 P1 在心中有平移的概念。
雖然 P1 已有平移的心像，但是還是沒有發覺 平行線的幾何意義所以研究者問如果這兩條不是 平行的，是否同位角也會相等，P1 無法做出肯定 的判斷，他的回答是可能會相等。
圖 4-1-31 P1 的角度判別法
P2 一開始想用量角器來測，後來研究者請 P2 不用量角器來判斷，P2 用外觀看出同位角會相等，
後來訪員詢問原因，P2 是用反向說明(如果不平行 的話，角度就不會相等了) P2 此時有利用旋轉的心 像，如果直線旋轉後，角度就會不相等。
P2 是用構圖的方式去做出說明，將其中一條 線畫歪掉，就可以看到同位角不相等。
圖 4-1-32 P2 的角度判別法
用工具檢查(量 角器)
知覺觀察
利用直線旋轉 (構圖)
P4 會使用概念屬性去回答問題(同位角相等、
對頂角相等…)，所以要找出哪些角度相等並沒有 產生問題，而解釋為什麼會相等時，會直接引用概 念屬性的結果，但是並沒有對於為何有這樣的結果 進一步做推導(因果關係也有點模糊)。
另外 P4 認為同位角相等、內錯角相等、對頂 角相等和同側內角互補四個都要滿足才會是平行 線，後來 P4 更改為只要其中一個性質滿足就會是 平行線(把對頂角相等也放入平行性質了)。
圖 4-1-33 P4 的角度判別法
P5 會使用概念屬性去回答問題，當研究者要 求說明為什麼同位角會相等時，P5 是利用同側內 角互補來推導出來。訪員進一步追問為什麼同側內 角互補時，P5 畫了一個正方形出來，說明兩直角 相加 180 度，但是因為此題的圖形截線是斜的，所 以 P5 畫出一個平行四邊形，但是沒辦法說明為什 麼同側內角互補，所以 P5 有嘗試用特殊例推導出 角度相等，但是要去推導一般例子時會發生困難。
另外 P4 和 P5 都可以使用符號搭配文字去做說 明。
圖 4-1-34 P5 的角度判別法
利用概念屬性
嘗試演繹
列式
得到結果
利用概念屬性
嘗試演繹
列式
得到結果
利用 特殊例
P3 思考了非常久的時間在判斷和思考原因，
他先利用對稱的方式指出對頂角相等(∠2=∠3)，
後來詢問如何推得平行線同位角相等時，P3 先是 畫出一個矩形(如圖)，利用
(1)平行線共垂直一直線Î構成矩形的要素。
(2)矩形對角線分成兩個相同的三角形Î對應角相 等(如圖，做記號部份)
(3)三角形內角和為 180 度Î推得內錯角相等(∠3=
∠6)。
再利用剛剛的對頂角相等，推導出同位角相 等，從這歷程可以看出一開始 P3 用對稱(在心中做 對折的動作)發現同位角相等，然後利用概念定義 和概念屬性，去做出演繹推理的動作，整理都是用 文字陳述的方式，但已經算是很完整的演繹了。
圖 4-1-35 P3 的角度判別法
整體來看，P1 和 P2 只學過國小的平行單元，而且並沒有明顯的概念定 義，所以在角度判斷上會比較仰賴直覺觀察以及工具檢測，他們的重心會放 在圖形的結構上去著手，譬如去嘗試移動或旋轉直線來做判別。P4 和 P5 已 學過國中的平行課程，已經知曉平行線截角性質，所以他們可以利用這些概 念屬性去解決問題，但是他們並不清楚三個截角性質之間的等價關係，以致 於會發生類似用內錯角來證明同位角的循環論證。而 P3 沒有學過這些截角 性質，但是反而可以利用畫輔助線和其他的概念屬性(三角形內角和)來推導 出截角性質。
我們從個案使用輔助線的方式去做觀察，P1 和 P2 沒有平行線共垂一直 線的概念定義，因此在截角性質的證明中沒有看到他們有畫任何輔助線。而 訪員嘗試利用現在教材所使用的證明方法去介入提示，也就是多畫一條垂直 線（如圖 4-1-36） ，但是 P1 和 P2 仍然沒辦法利用這個線索去推得截角性質。
利用對稱推得 對頂角相等
內角和 180 度 概念定義
L M
8 7
6 5
3 4 1 2
同位角相等
念屬性影響，所以認為不必要畫任何輔助線。P5 雖然有依照概念定義畫出 共垂線(如圖 4-1-37)，但是並沒有看出共垂線和截角之間的關係，所以除了 使用特殊例（矩形）和概念屬性之外，無法找出推理的關鍵。
圖 4-1-36 輔助線之畫法(一) 圖 4-1-37 輔助線之畫法(二)
從個案在輔助線的使用方式來探討現今教材的編制，截角性質的證明是 利用一直線共垂直兩平行線，但是學生對於這個證明方式，光是圖形不一定 可以讓學生成功進行推理，不過如果學生有很強烈的概念定義，加上圖形可 以強調「三角形」的部分，希望可以幫助學生達成截角性質的證明。
我們將五位個案的截角問題的認知結構放在一起比較，如表 4-1-27:
表 4-1-27 五位個案對截角問題的認知模式
直覺（視覺化） 工具（構圖） 定義（推理）
P1 ○（視覺化直接 判斷角度相等）
○（工具檢驗，
譬如量角器）
◎（三角板的平 移）
○ （嘗試利用概念屬性去作判 斷，譬如鄰角互補）
◎（從三角板的平移推導出同位 角相等）
P2 ○（視覺化直接 判斷角度相等）
◎（工具檢驗，
譬如量角器）
○（畫出不平行 的一組直線來比
較）
○（反向說明，將直線旋轉後指 出如果不平行，同位角也會不一
樣）
P3 ○（觀察到對頂 角的對稱性發 現對頂角相等）
◎（畫出輔助線） ◎ （利用概念定義去作判斷，
即兩直線共垂直一直線）
○（利用既有基模去作判斷，譬
如三角形內角和為 180 度）
P4 ◎ （利用已知概念屬性去作判 斷，譬如內錯角相等）
P5 ◎ （利用特殊例做輔助說明，
譬如矩形的同側內角互補）
○（利用概念屬性去作判斷，譬 如同側內角互補）
3-3：綜合推理
活動五分成三個問題，我們從每個問題，五位個案的回答方式去看學生 的推理行為，並加以分析(表 4-1-28)：
表 4-1-28 五位個案綜合推理方式 以截角判斷
是否平行
（5-1）
利用平行線和截角求 角度問題（5-2）
從構圖方式及幾何特性 推理出為何平行（5-3）
P1 未注意到截 角，以圖形外
觀來判斷。
將角度直接標示在圖 形上，有畫輔助線，
利用角度的平移和三 角形內角和，推得所
求角度
○先利用構圖方式將圖形畫 出來，然後去檢查是否平行
◎因為平移，所以直覺認為 平行
P2 未注意到截 角，以圖形外
觀來判斷。
將角度直接標示在圖 形上，有畫輔助線，
利用角度的平移和三 角形內角和，推得所
求角度
◎因為構圖方式所得圖形，
兩端點對齊會一樣長
P3 有注意到截 角，利用補角
關係和概念 定義來判斷 出平行
有輔助線及部分列 式，利用角度的平移 和三角形內角和，推
得所求角度
◎ 因為平移，兩直線之間距 離會不變。
○先對一直線作垂直，利用 三角板是同一個（所以角度 不變）推理出對另一直線也 垂直
P4 有注意到截 有輔助線及列式，利 ◎ 先看出對應角相等，然後利
C'
C B
A
B' A'
P5 有注意到截 角，利用平行
則同位角相 等去推得平
行
有輔助線及列式，利 用概念屬性和三角形 內角和，推得所求角
度
◎先畫一垂直線，然後檢查 是否對另一直線垂直
雖然經歷活動四中平行線截角性質的探討，但是 P1 和 P2 在活動 5-1 中會直接去針對圖形的兩直線看起來是否有平行來判斷，而不會去注意到題 目中角度的影響，而 P3P4P5 有注意到角度的影響，並根據截角性質去判斷 兩直線是否平行。
活動 5-2 要從圖形中解角度問題，這題只保留原圖形，並沒有加任何輔 助線， P1 和 P2 看過題目後嘗試去畫輔助線，雖然一開始畫的輔助線無法 幫助解題，但是後來嘗試第二次，利用活動四所得經驗，利用角度平移去找 到所需角度，再利用三角形內角和等於 180 度，把所求角度推導出來。P3P4P5 延長圖形上的直線部份，利用補角關係和截角性質找到一些新角度，然後也 是利用三角形內角和等於 180 度來推導出答案。
活動 5-2 推導過程中，P1 和 P2 並沒有列任何式子，而是先將已知角度 標示在圖形上，然後利用性質和推導，一找到新的角度就把它標在圖形上，
直到所求角度找出來為止。P3 也開始嘗試用式子替代文字說明，將過程記 錄下來。P4P5 的列式和符號的使用上比較完整。
活動 5-3 是詢問三角板經過平移之後，斜邊是否會平行(如右圖)，P1 因 為本身就以平移的方式來構圖，所以視之為理所當然，而 P2 則是
畫出兩邊界對齊來表示兩直線平行。P3 一開始也是被平移所吸引，
認為經過平移所以兩直線之間會等距，後來有注意到三角板移動前
後角度不變，所以用這線索去推得兩直線會垂直同一直線。P4 一
開始便注意到兩個三角形對應角相等，所以直接利用概念屬性（同
位角相等）來說明平行。P5 沒有注意到角度的影響，一開始嘗試
用概念定義去解決問題，但是只能說明如果畫一直線垂直其中一條
的話，在這題會「恰好」垂直另外一條。
從活動四和活動五中，五位個案在面對圖形的問題時，雖然圖形給予的 條件，不足以讓個案直接看出推理的方向，但是五位個案都會嘗試利用輔助 線來幫助推理。然而所畫出來的輔助線不一定可以幫助推理，可能要經過幾 次測試之後，所畫的輔助線可以讓學生聯想到解題的策略，便可以幫助學生 繼續進行推理。
四、平行線的概念心像與問題的推理方式
本研究除了對五位個案進行深度訪談，研究者設計了一份問卷，針對臺 北縣某國中八年級 88 位學生來施測，以分析學生的認知結構。這 88 名學生 尚未學到國中的平行線概念。以下為資料的統整分析。
首先在概念心像的部份，我們循受測者的回答方式大概分成心智圖像和 概念屬性這兩部份。心智圖像又分成生活實物和圖形外觀兩類，生活實物包 含鐵軌、尺、門窗等週遭物品；圖形外觀則是將平行線的圖形直接畫出來。
概念屬性是一些和平行線有相關的幾何性質，平行線的性質(不相交)，或是 矩形的對邊等等；各種類比例與人數如圖 4-1-38：
圖 4-1-38 概念心像的人數比例 概念定義的部份，我們詢問受測者什麼是平行線的定義時，大部份的受 測者都會回答「兩直線不相交」但是回答方式很多種，像是兩線沒交點、兩 線延伸後會交會等等。其他還有「兩直線共垂直一直線」和「兩直線之間處 處等距」這兩種。其他的答案還有水平線、上下排列、一樣長平放等等。各 種類比例與人數如圖 4-1-39：
生活實物 幾何性質 圖形外觀
34 7 47
39%
8%
53%
生活實物 幾何性質 圖形外觀
68%
7%
7%
18%
不相交 共垂直 等距 其他
圖 4-1-39 概念定義的人數比例
平行線構圖方面，受測者在畫平行線的時候大部份會採用直接以視覺化 方式構圖出來，而不會注意到構圖方式及使用的概念屬性或概念定義，人數 分配如圖 4-1-40：
29( 33%)
5( 6%)
54( 61%)
直接畫圖 使用特殊性質 使用概念定義
圖 4-1-40 概念構圖的人數比例
從平行判別來看，大部份受測者都可以利用一些對於平行線的概念屬性 或概念定義去做平行線的判別，但是也有一部份的受測者因為典範現象或是 迷思概念而造成平行判別的錯誤。我們將平行線判別的方式分成知覺辨識、
操作檢查和使用概念定義，受測者表現人數如圖 4-1- 41：
62(71%) 2(2%)
24( 27%)
知覺辨識 使用操作檢查 使用概念定義
圖 4-1-41 平行線判別的人數比例
不相交 共垂直 等距 其他
60 6 6 16
其他回答：水平線、對直、360 度、夾角
0 度、上下排列、一樣長平放
關於遞移律的問題，有部份受測者仍在知覺辨識的階段，從題意直接判 斷或是把圖形畫出來後，看起來就會平行。而有部份受測者可以用一些性質 去說明為什麼會平行，其中有些人直接利用的遞移律的精神，A 和 B 平行，
B 和 C 也平行，那麼 A 和 C 就會平行。不過也有人懷疑這個說法，因為他 們認為平行線和方向有關，也有可能會有不平行的情況發生。 受測者表現 人數如圖 4-1- 42。
24,(27%)
16, (18%)
48, (55%)
知覺辨識 構圖操作 使用遞移律
圖 4-1-42 遞移律的人數比例
接下來的問題比較開放式問答，可以看出受測者的推理方式，我們將推 理方式分成未填寫、知覺辨識、特例操作、實驗歸納、不完備推理，描述形 推理和完備的推理。知覺辨識是用直覺或視覺化去判斷推理，特例操作是運 用一個特殊例去檢驗，或是用平移、測量的方式找出結果，實驗歸納是從一 些例子去找出規律，統整出來的結果，不完備推理已經可以做到推理，但是 有誤或不完整，如果克服這些問題便可到達完備的推理。
在面積問題中，大部份受測者並不知道平行線所蘊含的意義，直接以三 角形本身去找解題的策略。會認為面積相同的受測者，原因有的是兩個三角 形長的很像，或是因為四邊形被對角線切割後面積會平分，所以面積相等；
而認為面積不相同的受測者，有些是看到了兩個三角形的不同之處，可能是
邊或角不一樣大，或是對邊不平行等原因。有些邁入特例操作的人，會嘗試
利用一些特殊例去做一些推導。圖 4-1-43 為面積問題的推理形式之人數比
例。
4.5%
70.5%
10.2%
5.7% 8.0%
1.1%
0.0%
10.0%
20.0%
30.0%
40.0%
50.0%
60.0%
70.0%
80.0%
0 1 2 3 4 5
編碼 0 1 2 3 4 5 6 人數 4 62 9 5 7 1 0
圖 4-1-43 面積問題的推理形式之人數比例
從數據可看到大部份的受測者都是以知覺辨識的方式做答。
截角問題部份，是讓受測者去發現平行線的截角性質，並探索原因為 何。大部份受測者直接用視覺化判斷問卷上的圖形，也有些受測者說那些截 角和平行是沒有關係的。而有的受測者會嘗試畫輔助線以發現新的條件，也 會對於直線的傾斜程度或是角度的平移與方位去做探討。不過絕大部份受測 者在推理角度關係時都會困在循環論證的圈圈中而找不出和平行線的關 聯。而這 88 位受測者中尚未有人可以完備推理的階段。圖 4-1-44 為截角問 題的推理形式之人數比例：
1.1%
76.1%
11.4%
6.8% 4.5%
0.0%
0.0%
10.0%
20.0%
30.0%
40.0%
50.0%
60.0%
70.0%
80.0%
0 1 2 3 4 5
編碼 0 1 2 3 4 5 6 人數 1 67 10 6 4 0 0
圖 4-1-44 截角問題的推理形式之人數比例
0：未填寫 1：知覺辨識 2：特例操作 3：實驗歸納 4：不完備的推理 5：描述性推理 6：完備的推理 0：未填寫
1：知覺辨識
2：特例操作
3：實驗歸納
4：不完備的推理
5：描述性推理
6：完備的推理
1
D C
A B
從數據可看到截角問題和面積問題中，大部份的受測者都是以知覺辨識 的方式做答。
五、平行線的相關迷思概念
從臺北縣 88 位受測者問卷資料中，為了要瞭解受測者的先備知識，所 以也放入一些定義或性質上的檢測，譬如垂直的定義為何，或是三角形內角 和的問題等等，結果發現一個很意外的現象，就是角度的問題，問題如下：
右圖是一個三角形△ABC，請問 (1)∠A+∠B+∠C=_____度?
(2) ∠A=38°， AD 為∠A 之角平分線，求
∠CAD=_____度? ，∠1=________度?
在 88 位有效問卷中，有 20%的受測者不知道或是寫錯第一小題 (18/88)，也就是說這些受測者不會運用三角形內角和為 180 度(甚至不知道 此性質)，至於第二小題，有 50%的受測者知道∠1 為何(44/88)，但是知道
∠CAD 角度的只有 3%(3/88)，大部份的受測者都會回答∠CAD=180°。其 他答錯的受測者雖然有部份可能是不知道角平分線的意義、計算錯誤或是測 量的誤差。但是還是可以發現大部份受測者對角度的符號是很模糊的。此外 性質的不熟悉對於學習平行線的推理時也會造成影響。
另外在前測問卷中佈置了一題是利用圖形去判斷是否平行，答錯人數和 原因如表 4-1-29：
表 4-1-29 平行線判別的答錯情況
題目 1. 2. 3. 4. 5. 6.
答案 平行 平行 平行 平行 不平行 平行
答錯人數 2 (2%) 2 (2%) 5 (6%) 12 (14%) 1 (1%) 10 (11%)
不確定
從問卷的應答方式來看，受測者在平行線的定義和判別上，部份受測者 有以下幾點迷思：
1.平行線是平行或鉛直的典範現象，有受測者認為斜的一組非平行線。
2.平行線是對稱或是一樣長的，如果不一樣長或不對稱就不是平行線。
3.只要是看起來很像平行的就會是平行線。
4.受測者會把平行線和水平線搞混(垂直線和鉛直線搞混)。
5.對於平行線的判別，是利用兩端點距離一樣長來做判別依據。
第 1 點和第 3 點是因為學生在一開始學習時是利用視覺化判斷，圖形對 學生有很深刻的影響，第 2 點和第 5 點不僅是視覺化影響，受測者可能會認 為平行線是「兩線段」而非「兩直線」 ，因此引入長度或對稱等因素。第 4 點則是字義上的混淆。
第二節 平行線概念的起源分解
第一階段研究對五位個案的認知結構和推理方式進行探討，接下來我們
各自從五位個案在訪談中所呈現認知結構和推理方式做一個整體的分析。研
究者嘗試利用訪談的結果，將五位個案的概念歷程描繪成概念結構圖(表
4-2-30)，圖中依照題型去將概念認知結構和推理方式記錄下來，在每一個題
型旁附上這個概念發展所使用的媒介工具。之後從概念結構圖去嘗試做出平
行線的起源分解。
表 4-2-30 五位個案對平行線概念歷程發展與推理思維分析 概念認知結構和推理方式 (P1)
P1 由於學過平行的課程，在課堂中所做過的實驗操作，對 P1 有很深刻的記 憶，所以在平行線的概念建構會常使用實驗操作的方式。在推理的部份，P1 雖 然能做一些舊基模的提取(聯想)和非形式的演繹，但我們可以看到個案面對問題 時，認知上還是以視覺化為主，到中後期有利用構圖來幫忙建構概念，也可以對 照自己的概念心像來做為認知依據。不過由於概念定義是從概念心像描述而來，
所以個案在處理問題時要看問題帶來的刺激以及引發的概念心像來面對問題。
另外媒介工具的使用對於個案的概念認知上的確有很深刻的影響。P1 在構圖 及平行線判別時大多會用到三角板平移或是直尺的構圖及測量。從所使用的媒介 工具來看的話，可以發現這位個案從一開始使用具體工具，到後來開始轉換成心 像工具。
平行概念結構圖(P1)
概念心像描述
概念認知結構和推理方式 (P2)
P2 對於平行的認知主要是視覺化辨識，所以概念心像也以視覺化為主，但是 也因為如此產生了一些典範心像和迷思概念，譬如兩直線要一模一樣長才算平行 等等。至於媒介工具部份，因為文字陳述對 P2 認知上容易誤解，如果以構圖方 面呈現，可以幫助學生理解其概念。但是 P2 並沒有從視覺化或是構圖去看到其 幾何性質，因此無法對於幾何問題做出演繹，只能利用直覺做出判斷。
從所使用的媒介工具來看的話，可以發現這位個案在需要構圖或測量時會使 用具體工具為主，而有些問題會直接用直覺(概念心像)去判斷。
平行概念結構圖(P2)
概念認知結構和推理方式 (P3)
P3 屬於論述性認知理解的方式，所以在回答問題時都是用文字方式陳述，
概念定義部份是兩直線共垂直一直線。我們發現在之後的平行判別和解題上，
P3 都會使用概念定義，此外也會配合一些概念心像去輔助，P3 並不常使用具體 工具的協助，但是有時候也會需要用到構圖來幫助推理。另外 P3 已經能夠做出 非形式演繹，而且邏輯推理思維歷程相當清晰明確，所以研究者相信只要 P3 習得數學式子的表達方式，P3 便可邁入形式的演繹。
平行概念結構圖(P3)
概念認知結構和推理方式 (P4)
P4 的概念屬性非常強烈，雖然 P4 本身有明確的概念定義，但是在做平行的 判別或是解題的時候，P4 都會利用概念屬性來解決問題。而概念屬性其實是概 念心像的一部份，由此可見 P4 的概念心像比概念定義更影響學生的概念認知和 推理。媒介工具的部份，P4 主要在需推理過程中需要構圖(畫輔助線)才會使用 具體工具，多半使用心像工具(概念屬性)為主，而學生也會運用符號工具來幫 忙列式，但以陳述為主，列式為輔。
平行概念結構圖(P4)
概念認知結構和推理方式 (P5)
P5 的概念定義相當明確，所以在面對平行問題時都會使用概念定義，在碰 到證明問題時，P5 也可以做到非形式的演繹，但是並非所有問題都可以順利解 出，要看 P5 有沒有辦法想到解題的關鍵或是聯想到相關的概念屬性。不過無論 有沒有想到做法，從過程中都可以看出概念定義對 P5 的概念認知結構是相當重 要的。媒介工具的部份，P5 主要在推理過程中需要構圖(畫輔助線)才會使用具 體工具，多半使用心像工具(概念定義)為主，而 P5 也會運用符號工具來幫忙列 式。
平行概念結構圖(P5)
整體分析：
我們以縱向的分析去觀察五位個案的同質性和異質性。
首先 P1 和 P2 代表已學過國小平行課程，但尚未學到國中的平行單元，
他們對於平行的思維主要以現存的經驗來處理問題，在圖形的操弄上著重於 視覺辨識，因此在抽象方式以經驗抽象為主。不過 P1 對於平行線的概念心 像是以平移的方式，從構圖中獲得很強烈的印象，因此對於概念的建構也著 重於操作，因此 P1 也有做到擬經驗抽象；同時我們可以發現 P1 和 P2 的概 念定義都沒有很明顯，概念定義的建構上都是基於概念心像的描述。
P3 目前是國二，已習得平行的概念，但是尚未學到關於幾何論證的單 元，所以在回答問題上比起 P1 和 P2 有明顯的概念定義，在 P3 嘗試回答問 題的過程中也發現學生已有非形式演繹的現象，雖然不擅於列式(以陳述語 意為主)，但是有看到不僅單純的實驗操作，也有較明顯的推理過程。
P4 和 P5 都已學過平行單元，所以比起其他三人有更豐富的平行相關概 念屬性，在回答問題上也能適時提取概念基模出來使用，不過 P4 對於概念 屬性印象較為強烈，雖然本身有概念定義(兩線共垂直一直線)，但是比較會 用概念屬性來回答問題。而 P5 則是以概念定義為主，P4 和 P5 都可以用式 子去推導概念歷程的發展。
對於五位個案的抽象思考類型，我們以 Piaget 的三種抽象類型去做分析 依據。從訪談中個案在構圖(活動 2)、平行線判別(活動 3)及性質的推理(活 動 4、5)的回答方式去判定個案是用哪一些抽象類型。在解題歷程中個案不 一定只會用一種抽象類型，在過程中所使用的推理類型可能會有所改變。譬 如 P1 在平行線的判別上可以用視覺化去辨識圖形是否平行，或是利用三角 板平移去檢驗，之後 P1 可以從題意中激發出內部具有的概念屬性而進行反 思抽象。
激發出個案反思的因素有兩個，其一是出於從圖形辨識或圖形操弄中所
引發，譬如 P1 用三角板平移的動作去引發平行線截角性質；另一個是當原
先的經驗和操弄方式無法解決問題時，便會用思考是否有其他的方式，譬如
P1 無法用平移去檢查 A4 紙對邊是否平行，則改用「兩直線之間距離處處相
等」去檢查。我們將五位個案對平行線抽象類型表列如 4-2-31：
表 4-2-31 五位個案對平行線抽象類型 抽象類型 (依題號順序分類)(P1)：
2-1 2-3 3-1 3-3 4-1 4-3 5-1 5-2 5-3
經驗
◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎
擬經
◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎
反思
◎ ◎
抽象方式(依題號順序分類)(P2)：
2-1 2-3 3-1 3-3 4-1 4-3 5-1 5-2 5-3
經驗
◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎
擬經
◎ ◎ ◎ ◎
反思
◎
抽象方式(依題號順序分類)(P3)：
2-1 2-3 3-1 3-3 4-1 4-3 5-1 5-2 5-3
經驗
◎ ◎
擬經
◎ ◎ ◎ ◎ ◎
反思
◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎
抽象方式(依題號順序分類)(P4)：
2-1 2-3 3-1 3-3 4-1 4-3 5-1 5-2 5-3
經驗
◎ ◎
擬經
◎ ◎
反思
◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ 抽象方式(依題號順序分類)(P5)：
2-1 2-3 3-1 3-3 4-1 4-3 5-1 5-2 5-3
經驗
◎
擬經
◎ ◎ ◎ ◎ ◎
反思
◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎
根據以上的資料，我們將五位個案對平行線認知結構統整，如表 4-2-32。
表 4-2-32 五位個案對平行線認知結構統整
年級 概念
定義
截角 性質
概念建構方式 主要抽 象思維
主要使用的 媒介工具 P1 五 無 無 圖形外部操弄(平
移)
經驗+擬 經驗
具體工具Î 心像工具 P2 七 無 無 圖形外部觀察(視
覺化)
經驗 具體工具、心像工具 P3 八 有 無 文字語意表達+概
念定義
(非形式演繹)
擬經驗+
反思
具體工具Î心像工 具
P4 九 有 有 概念屬性(角度判 別性質)
反思 具體工具Î心像工 具Î符號工具 P5 十 有 有 概念定義(非形式
演繹)
反思 具體工具Î心像工 具Î符號工具
從抽象類型來看，五位個案會使用的抽象方式並沒有一個特定的層次發 展，主要是看個案在面對題目時會採取的回應策略，不過越高年級的個案比 較會使用反思抽象來建構概念。
從所使用的媒介工具來看的話，可以發現這些個案從一開始使用具體工 具，到後來漸漸轉換成心像工具，到最後還可以使用到一點符號工具(個案 所慣用的)。但是如果問題無法構成心像或是無適用符號時，個案還是會採 用具體工具來嘗試解決。
以 Dubinsky 所做的起源分解為例，我們嘗試對平行線概念去做起源分 解，參考這五位個案的概念發展以及研究者對於教材的資料收集，我們繪出 起源分解圖(圖 4-2-45)。
我們建構平行線的起源分解圖的依據，不僅是從教材的編制及九年一貫 課程綱要的規劃，還有對於個案的訪談過程中學生對於平行線概念應答時，
所提取的相關概念基模。舉例來說，由於教材對平行線的定義為「兩直線共
同垂直於同一直線」 ，所以平行線概念會和「垂直」和「直線」這些物件有
所關聯，而 P2 這位個案具有平行線需要有線段一樣長這種典範現象，代表
P2 對「直線」這一個基模本身或是在和平行線概念連結時發生了問題。
圖 4-2-45 平行線概念之起源分解
但是從這五位個案的訪談過程來看，他們在提取概念基模的時候，並非 把整個平行的所有相關知識一次全部提取出來，換句話說，在平行線概念這 物件中，中學生並無法如專家可以將所有平行概念膠囊化成一個完整的單 位。所以對於中學生平行線的基模，我們勢必要在細部加以剖析。我們利用 這五位個案在訪談中的表現來做出平行線的內部基模(如圖 4-2-46)。
關於平行線的內部起源分解，我們將平行線概念又細分成心智圖像、概 念屬性、概念定義和綜合推理，從五位個案的訪談之中我們嘗試描述他們在 概念基模內部的的操弄和物件之間的連結關係(描述部份直接加註在圖
1. 兩直線共垂直一線則此兩直線平行 2. 平行線之間處處等距
3. 兩「直線」不相交
4. 截角性質，同位角內錯角等角度的定義。
5. 證明工具(利用三角形內角和 180 度證明全等性質) 直線
平行線 垂直
三角形
內角和
角度
距離
1
2 3
4
5
圖 4-2-46 平行線概念之內部起源再分解
直
平 垂
三 內
角
距 1 2
3 4 5平行
定義
共垂直一線
不相交
性質
截角性質
直線間等距
外觀
方向一樣
生活經驗
生活實物
課程實務
幾何圖形
幾何性質
幾何構圖
證明
同位角相等
圖形+輔助線 三角形內角和
數學語言
式子推導
符號 P1P2P3 對於數學語言仍不
甚熟悉，而使用文字或圖形 替代，P4P5 則可以使用式子 運算推導。
圖形的旋轉和平移對於 P1P2 的性質判斷有深刻的影響，
P3P4P5 會注意到直角的部 分，也可以用此特性來推理。
P1P3 剛學過平行課程，對課 程內容較熟悉， P2P5 印象則 較薄弱。P3P4P5 比較能舉出 生活實物做為例子。
P1P2 對於平行並沒有一個明 確定義，P2 更受到外觀的影 響，認為平行線會一樣長一 樣方向。P3P4P5 有平行線的 定義，這部分連結沒有問題。
P1P2 對於平行線沒有明確定 義，所以證明上會發生一些 問題。譬如在判斷平行線時 會無所依據。
P1P2 會根據外觀來判斷平行 線的性質，譬如平行線的判 別性質以及截角性質會直接 用觀察獲得。P3 很清楚眼見 不為憑，所以很重視性質。
學齡越高者所具備的性質越 豐富，也愈會利用性質來證 明，證明所得性質結果也會 更強烈。
平行
第三節 平行線實驗教學成效分析
一、實驗教學前後學生推理的行為
在第二階段的實驗教學中，有兩個操作變因，一個是局部推理教學和全 控式教學，另一個是有引入 GSP 動態幾何軟體以及傳統的紙筆教學。為了 比較不同教學法之間的差異，我們選取四個班級，其中兩班(NC、GC)是用 局部式教學(教材引用局部推理)的策略，另外兩班(NW、GW)則使用全控式 教學，另外每一種教學方式各選出一個班，引用 GSP 輔助教學(GC、GW)，
以這四個班去看學生在不同情況下的推理層次發展。我們將焦點放在於學生 的推理行為，因此我們採用前後測及學習單均有出現的面積問題和截角問 題，做三個階段的分析比較。(圖表的順序從左至右依序為 NC、NW、GC、
GW 四組)(編碼 1 為知覺辨識，編碼 2~3 為實驗操作，編碼 4~6 為邏輯演繹) 首先是面積問題的前測，一開始四個組的學生在面對面積問題時大部份 都是使用知覺辨識的方式來做推理。截角問題除了視覺之外，還會利用特殊 例的操作，或是手邊的工具去做操作測量。前測部份四組的分佈並沒有太大 的差異。除了截角問題時，NC 和 NW 組在特殊例操作這部份所佔比重較大。
由於前測的環境佈置四組均相同，因此這些差異視為四組學生初始條件之不 同。圖 4-3-47 為四組班級在前測面積和截角問題推理層次人數比例分佈圖：
面積問題(前測)
0.0%
20.0%
40.0%
60.0%
百分比
NC組 4.5% 45.5 9.1% 13.6 18.2 4.5% 4.5%
NW組 7.4% 48.1 14.8 3.7% 22.2 3.7% 0.0%
GC組 3.4% 51.7 24.1 0.0% 10.3 10.3 0.0%
GW組 13.6 50.0 13.6 9.1% 4.5% 4.5% 4.5%
0 1 2 3 4 5 6
編碼：
0：未填寫 1：知覺辨識 2：特例操作 3：實驗歸納 4：不完備推理
5：描述性推理 邏輯演繹 6：完備推理
實驗操作
截角問題(前測)
0.0%
20.0%
40.0%
60.0%
80.0%
百分比
NC組 9.1 18.2 59.1 9.1 4.5 0.0 0.0 NW組 0.0 25.9 63.0 7.4 3.7 0.0 0.0 GC組 0.0 37.9 41.4 10.3 6.9 3.4 0.0 GW組 13.6 27.3 36.4 4.5 18.2 0.0 0.0 0 1 2 3 4 5 6
圖 4-3-47 四組班級在面積和截角問題推理層次人數比例分佈圖(前測)
課堂上的隨堂練習，NC 和 GC 組有比較高的比例可以做到邏輯演繹的 推理方式，而 NW 和 GW 組則是在特殊的操弄推理部份比例較高(NW 組的 面積問題、GW 組的截角問題)，顯示局部推理教學可以促進學生使用邏輯 演繹推理。面積問題中，可以明顯看出 GC 有很高的比例可達到描述性推 理。而截角問題中，四組有一大部份可以做到邏輯演繹，但是也有一部份的 學生無法做答；從邏輯演繹的分佈來看，NC 和 NW 大部份為不完備的推理，
GC 和 GW 有比較多可達形式化的演繹推理，顯示 GSP 的介入可以幫助學
生進行比較完備且形式化的邏輯演繹。圖 4-3-48 為四組班級在隨堂面積和
截角問題推理層次人數比例分佈圖：
面積問題(隨堂)
0.0%
20.0%
40.0%
60.0%
百分比
NC組 18.2 13.6 4.5% 0.0% 27.3 18.2 18.2 NW組 11.1 18.5 18.5 0.0% 33.3 11.1 7.4%
GC組 17.2 0.0% 3.4% 3.4% 13.8 44.8 17.2 GW組 22.7 9.1% 4.5% 9.1% 27.3 9.1% 18.2 0 1 2 3 4 5 6
截角問題(隨堂)
0.0%
20.0%
40.0%
60.0%
百分比
NC組 27.3 9.1% 9.1% 0.0% 45.5 0.0% 9.1%
NW組 29.6 3.7% 7.4% 0.0% 44.4 7.4% 7.4%
GC組 24.1 3.4% 3.4% 20.7 27.6 0.0% 20.7 GW組 18.2 0.0% 27.3 4.5% 36.4 0.0% 13.6
0 1 2 3 4 5 6
圖 4-3-48 四組班級在面積和截角問題推理層次人數比例分佈圖(隨堂)
後測時，NC、NW 和 GC 三組都有接近半數的比例在邏輯演繹的推理
形式，其中大部份是在不完備的推理層次，而 GC 組有較高的比例能達到完
多是直接利用截角性質去做推理，但是大多不完整或是直接陳述，有些是會 用到等價的性質去證所求性質(譬如用同位角相等證明內錯角相等)。可見 GSP 對學生的概念屬性的建構較為強烈。圖 4-3-49 為四組班級在隨堂面積 和截角問題推理層次人數比例分佈圖：
面積問題(後測)
0.0%
20.0%
40.0%
60.0%
百分比
NC組 31.8% 27.3% 0.0% 0.0% 9.1% 22.7% 9.1%
NW組 11.1% 22.2% 14.8% 0.0% 40.7% 11.1% 0.0%
GC組 6.9% 13.8% 10.3% 3.4% 34.5% 10.3% 20.7%
GW組 50.0% 27.3% 9.1% 4.6% 0.0% 4.6% 4.6%
0 1 2 3 4 5 6
截角問題(後測)
0.0%
20.0%
40.0%
60.0%
80.0%
100.0%
百分比
NC組 0.0% 59.1 4.5% 0.0% 36.4 0.0% 0.0%
NW組 0.0% 33.3 11.1 0.0% 55.6 0.0% 0.0%
GC組 0.0% 3.4% 6.9% 6.9% 79.3 0.0% 3.4%
GW組 4.5% 13.6 9.1% 0.0% 72.7 0.0% 0.0%
0 1 2 3 4 5 6
圖 4-3-49 四組班級在面積和截角問題推理層次人數比例分佈圖(後測)
我們將三階段的編碼統計量放在一起(圖 4-3-50)，發現面積問題中 NC、
NW 和 GC 三個組推理層次確實有升高的情形，從前測的知覺演繹到隨堂測 驗時邏輯演繹的轉變，而後測時部份學生會退到知覺推理和不完備推理。而 GW 的未填寫人數過多，所以看不太出來發展情況。
面積問題(NC組)
0.0%
10.0%
20.0%
30.0%
40.0%
50.0%
0 1 2 3 4 5 6
前測 隨堂 後測
面積問題(NW組)
0.0%
10.0%
20.0%
30.0%
40.0%
50.0%
0 1 2 3 4 5 6
前測 隨堂 後測
面積問題(GC組)
0.0%
10.0%
20.0%
30.0%
40.0%
50.0%
60.0%
0 1 2 3 4 5 6
前測 隨堂 後測
面積問題(GW組)
0.0%
10.0%
20.0%
30.0%
40.0%
50.0%
60.0%
0 1 2 3 4 5 6
前測 隨堂 後測
圖 4-3-50 四組班級在面積問題三個階段推理層次人數比例分佈圖
截角問題中，四組大部份都可以進展到邏輯演繹的層次，隨堂測驗時，
GC 和 GW 組比起另外兩組有比較多的比例在正確的形式推理，而後測中，
GC 和 GW 也會有比較多的不完備的推理形式(圖 4-3-51)。
截角問題(NC組)
0.0%
10.0%
20.0%
30.0%
40.0%
50.0%
60.0%
70.0%
0 1 2 3 4 5 6
前測 隨堂 後測
截角問題(NW組)
0.0%
10.0%
20.0%
30.0%
40.0%
50.0%
60.0%
70.0%
0 1 2 3 4 5 6
前測 隨堂 後測
截角問題(GC組)
0.0%
20.0%
40.0%
60.0%
80.0%
0 1 2 3 4 5 6
前測 隨堂 後測
截角問題(GW組)
0.0%
20.0%
40.0%
60.0%
80.0%
0 1 2 3 4 5 6
前測 隨堂 後測
圖 4-3-51 四組班級在截角問題三個階段推理層次人數比例分佈圖
為了觀察四組的學習成效，我們將每個組的編碼去做平均，並對每一組 資料前後做 T_test，以觀察施測前後是否有顯著差異。顯著水準定為 0.05。
因為未做答的問題我們給予編碼 0，但是未做答的變因很多，除了不會 寫之外，可能也有其他原因，所以我們將 0 去除後，另外附上一組資料做為 對照。
表 4-3-33 面積問題的推理層式平均和 T_test 前測 隨堂練習 後測 隨堂-前測
(T_test之 P 值)
後測-前測
(T_test 之 P 值)面積(NC 組) 2.27 3.50 2.32 +1.23(0.067) +0.05(0.942) 扣除 0 2.38 4.28 3.40
面積(NW 組) 1.96 2.89 2.70 +0.93(0.02)* +0.74(0.045)*
扣除 0 2.04 3.25 3.04
面積(GC 組) 1.93 4 3.59 +2.07(<0.0001)* +1.66(<0.0001)*
扣除 0 2 4.83 3.85
面積(GW 組) 1.73 3.09 1.09 +1.36(0.011)* -0.64(0.1)
扣除 0 2 4 2.18
從面積問題來看(表 4-3-33)，GC 和 NW 組的推理層次在前測和隨堂以
及前測和後測均有達到顯著提升；GW 組的推理層次在前測和隨堂有達到顯
著提升，但是前測和後測並未顯著；NC 雖然以隨堂的平均來看比起 NW 組 都要來的高，但是在前測和隨堂以及前測和後測兩部份均未達到顯著。這原 因一部份是 NC 和 GW 組未做答人數過高。另外可以看出 GC 組在 GSP 和 局部推理的教學法之下，推理層次有明顯的提升。
表 4-3-34 截角問題的推理層式平均和 T_test
前測 隨堂練習 後測 隨堂-前測
(T_test 之 P 值)
後測-前測
(T_test 之 P 值)截角(NC 組) 1.82 2.64 2.14 +0.82(0.110) +0.32(0.444)
扣除零 2 3.63 2.14
截角(NW 組) 1.89 2.78 2.78 +0.89(0.039)* +0.89(0.0013)*
扣除零 1.89 3.95 2.78
截角(GC 組) 1.97 3.07 3.79 +1.10(0.018)* +1.82(<0.0001)*
扣除零 1.97 4.05 3.79
截角(GW 組) 1.86 2.95 3.23 +1.09(0.0032)* +1.37(0.0002)*
扣除零 2.16 3.61 3.38
從截角問題來看(表 4-3-34)，NW、GC 和 GW 組的推理層次在前測和 隨堂之間有顯著的提升，NC 組則無。此外 GC 和 GW 組有較明顯的提升，
顯示 GSP 在截角問題中確實可以幫助學生進行邏輯推理。而前測和後測之 間，NW、GC 和 GW 組的推理層次有顯著的提升(NW 的提升沒有另外兩組 高)，這是因為截角性質已經被部份學生所接受。並開始使用在推理證明之 中。不過 NC 組在前測和隨堂以及前測和後測兩部份均未達到顯著提升，原 因是部份學生在局部推理中並未建立起邏輯推理結構，導致無法進展到邏輯 推理。
整體來看，四組當中 GC 組在兩個問題以及兩個階段比較上(前-隨堂、
前-後測)，都有達到非常顯著的差異，從推理層次的分佈上也看得出來 GC
我們欲看在不同推理層次表現的學生在不同問題及教學策略之下推理 層次的轉變為何，故我們以前測時學生在面積問題和截角問題的推理表現去 分成知覺辨識(編碼 1)、實驗操作(編碼 2、3)、邏輯演繹組(編碼 4、5、6) 三組，去觀察每一班的三組在前測、隨堂、後測三部份的推理層次的組平均。
三個階段只要有其一未填寫(編碼 0)即排除，原因是去除有因為無動機填寫 的樣本族群。其餘的有效樣本去取編碼的平均數，做為各組代表的推理層次。
我們先探討以局部推理為教學策略，學生的推理層次變化：(表 4-3-35，
圖 4-3-52)
表 4-3-35 NC 和 NW 兩組前測推理層式人數分佈 局部組(NC)
前測推理層次
知覺 實驗 演繹
面積 11 5 6
面積(去 0) 7 2 3
截角 6 15 1
截角(去 0) 3 10 1
全控組(NW) 前測推理層次
知覺 實驗 演繹
面積 15 5 7
面積去 0 11 4 6
截角 7 19 1
截角去 0 4 14 1
NC組(面積)
0 1 2 3 4 5 6
知覺 1 4.43 2.71
實驗 2.5 5 5.5
演繹 4.33 5 4.67
前測 隨堂 後測
NW組(面積)
0 1 2 3 4 5 6
知覺 1 2.45 2.27
實驗 2.25 3.75 3.25
演繹 4.17 4.5 4.33
前測 隨堂 後測
NC組(截角)
0 1 2 3 4 5
知覺 1 3.67 2
實驗 2.1 3.5 2.5
演繹 4 4 1
前測 隨堂 後測
NW組(截角)
0 1 2 3 4 5
知覺 1 3.75 2.5
實驗 2.07 4 3.29
演繹 4 4 4
前測 隨堂 後測
