第五章 討論
為瞭解教師在不同類型班級中的數學-幾何教學概念，個人藉由教學觀察系統來分 析兩位個案教師的幾何教學活動，並利用量化和質化資料來詮釋其教學前的構思、教學 中的實作和教學後的反思，以便瞭解兩位教師幾何教學的認知。本章將進一步探討這些 認知內容對教師教學構思與實作的影響，以及其與專業發展的關係和啟示。
第一節 教師的幾何教學概念對教學構思的影響
在本研究中，王老師雖然是初次同時任教體育班和普通班，但是她會從與學生互動 的過程或是與班級導師的經驗交流中，蒐集學生的相關學習訊息，據此增加對任課班級 學生的掌握。而在教學活動的設計上，她規劃以師生對話來瞭解學生對於數學概念的理 解方式、採用分組教學來提升學生的學習興趣或是利用教具展示和操作活動具體化抽象 的幾何概念。周老師由於具有多次同時任教美術班和普通班的經驗，所以，在教學前比 較容易藉由以往的教學經驗來掌握學生學習的相關資訊。而且，她在構思教學活動時會 採用講述來進行教學，同時藉由觀察學生的學習情況臨場調整。這是因為，教師的知識 會直接影響其數學教學和學生的數學學習（Ma, 1999）。而一位有經驗的教師能在教學 前整合現有的資訊，並且在教學中使用慣用的教學和管理程序，以降低其教學認知的需 求；也就是說，教師可以藉由只關注在與課堂教學決策相關的層面，來降低自己的認知 負擔，使得教學活動和學生學習能有彈性的轉變空間，以便作出即時的教學反應（Brown
& Broko, 1992）。
另外，對王老師而言，她認為學習數學是不能忽視邏輯概念，所以對於學生的學習 她會重視數學邏輯形式的表達。而在幾何單元中，她深信「操作活動與幾何概念是同樣 重要」，因此，她所構想的教學會讓學生藉由實際操作來學習幾何圖形的性質。此外，
然，周老師她認為邏輯對數學學習是相當重要的，但是她更強調「學生應該具有想像 力」。基於這樣的觀點，她在幾何單元中會重視課內基本概念與能力的培養，因為她認 為學生的學習若是能夠精熟課內的基本概念，就可以「藉由想像來進行推理」以達到觸 類旁通的成效。而她認為美術班的時數比普通班多，因此教學設計就不僅僅以課內概念 為基礎，也會補充課外的相關觀念，以符合該班學生不同的學習需求。這就如同 Broko et al.（1979）所說的，教師會依據自己的教學信念和教學工作的需求來衡量所蒐集到的學 生資訊，以進行教學的構思。而且，教師也會在自己的教學概念中反應出對學生數學學 習的觀點（Thompson, 1992）。
除此之外，兩位教師在構思幾何單元的教學時，皆認為課程教材內容有時會無法契 合其教學需求，因而會利用自己對課程內容的理解、以往的教學經驗和學生實際學習的 狀況，來重新改編教材，以符合自己的教學需求。以王老師而言，由於課本在幾何單元 的活動設計不適合進行分組教學，因而想選用合適的教具來解說或是讓學生個別操作。
而周老師則是認為課本中的活動內容過於繁瑣，因而決定大量刪除課本所提供的活動，
改以講述的方式進行。另外，她們以前數學學習的經驗也會影響教學的構思。例如王老 師以前是利用繪圖或操作來學習幾何性質，因此在構思她的教學活動時，就會「設計活 動來讓學生作圖或是操作」；而周老師從以前的學習經驗中發現，瞭解概念的來龍去脈 對於國中的數學學習是重要的，因此她在設計教學活動時會著重在「前因後果的解釋以 及概念的推理過程」。所以，教學經驗豐富的教師會利用自己的專業知識來修正教科書 中的學習內容，並且在構思幾何概念的教學時，會選用容易讓學生理解的表徵方式。也 就是說，有經驗的數學教師會利用自己的數學知識來進行教學推理，而教師評估自己教 學表徵的方式，是展現專業學科知識的重要指標之一（Hashweh, 1985；引自 Wilson et al., 1987）。所以個人認為，教師對於數學學習所持有的觀點、關於學生學習和課程教材的 專業知識以及教師個人的學習和教學經驗皆是影響其教學構思的主要因素。
第二節 教師的幾何教學概念對教學實作的影響
在本研究中兩位教師會因為學生程度的不同，而在不同的班級中展現出不同的幾何 教學活動。以王老師而言，她感受到體育班學生的學習相較於普通班的學生需要較多的 引導和示範，所以在教導學生數學概念的推論時，會從較簡單的概念開始，並且也會多 舉一些不同的例子來讓學生熟練。而周老師的普通班教學也是如此。此外，兩位教師也 都會在教學中觀察學生的面部表情或學習反應，來調整自己的幾何教學活動。周老師是 藉由抽問來檢驗個別學生幾何概念的理解，或是重新講解學生學習成效不佳的課程內 容；王老師則是相當關心學生的操作狀況，或是藉由降低問題的難度來增加學生的學習 成就感。由此可知，教師對學生的關心會直接影響其課堂的教學實作。然而，教師會展 現出不同的教學實作是與其認知的差異有關（Artzt & Armour-Thomas, 1999）。一般而 言，教師會隨著學生的學習反應或是教學資源的差異，來調整其教學實作（Lerman, 2001）。而這也呼應了 Artzt & Armour-Thomas 所說的，有經驗的教師會以學生的學習作 為教學的重心。
在王老師和周老師數型關係的教學活動中，可以發現她們會將題目中一連串的圖 形，以圖示將其分解成簡單的物件，藉由物件的拼湊過程讓學生體會出數與型之間的關 係。而且在講解題目時，她們會利用多種不同的解題方法，以發展學生的彈性數學思考。
不僅如此，他們在課堂中也都會表現出重視課內基本觀念的態度。在幾何單元中，她們 會藉由平面圖形之間的包含關係，來帶領學生連結相似的幾何觀念，以貫穿不同單元之 間的幾何內容。其中，周老師會協助學生將小學的學習經驗連結到新單元中的幾何概 念。由此可知，兩位教師是利用自己對幾何概念的理解來彈性安排這些複雜的幾何教學 工作。一般而言，學生在課堂中的數學思考是相當依賴教師對自己數學理解的詮釋（Ma, 1999）。誠如 Ball & Bass（2000）所說，教師必須在教學脈絡中，利用對數學的理解和 洞察力來幫助學生發展健全的數學理解；而且，無論她們多重視概念性理解，她們也沒 有忽略了程序性學習的重要性（Ma）。
在幾何單元的教學實作裡我們可以發現，為了協助學生擺脫幾何圖形在定義和性質 上形式化的束縛，以發展合適的幾何視覺心像，進而學習抽象的幾何概念，周教師是選 擇生活化的經驗和實例來詮釋，而王老師則是以直覺且簡單的方式重新詮釋幾何意義。
這似乎反映出，教師相信讓學生以自己的直觀方式，依據教學的情境和脈絡來學習數學 才是比較合適的學習方式（許秀聰，2005）。然而，王老師的幾何教學主要是操作取向，
運用操作物使學生對幾何概念先有視覺上的心像，以建立關於圖形組成要素的空間察覺 能力。她之所以選用這樣的教學方式是考量到課文中的數學文字敘述對於目前的國中學 生而言是很繁瑣且不易理解的。而這就如同 Fuys et al.（1988）所指出，藉由操作可以 幫助學生越過數學語言表達上的困難，使他們可以藉由具體物或繪圖來解釋他們對幾何 圖形的想法。反之，在周老師的教學活動中，較不易看見操作取向的教學活動，而主要 是以講述的方式進行教學。這是因為她重視的是整體的幾何知識，而且她不認為學生具 有完整且透徹的相關先備幾何知識來進行操作活動。所以，她會利用生活工具來輔助講 述，引導學生逐步理解幾何概念；以及，藉由指導式練習來讓學生精熟基本觀念；並且，
時常在教學中喚起學生已學過的相關幾何經驗以整合新舊知識。而她的教學取向類似於 van Hiele（1999）所描述的引導、自由導向和整合的教學階段。所以我們可以發現，雖 然周老師和王老師的幾何教學實作具有相當大的差異性，但是無論她們採用何種教學取 向，很明顯地她們對於學生在幾何概念學習上的掌握會強烈影響其幾何單元的教學實 作。
此外，我們也可以從研究結果中發現，兩位教師的幾何教學似乎都是帶領學生從視 覺期的幾何思考層次開始學習，而轉換至分析期再至抽象期。這似乎透露出，兩位教師 皆認為目前七年級學生的幾何學習仍是強烈依賴著視覺心像，因而必須先在較低的思考 層次進行幾何概念的學習，再進階轉換至較高的思考層次。而這就如同 van Hiele & van Hiele-Geldof（1985；引自 Henderson, 1988）的觀點，學生在尚未達到新層次時，或許 可以接受教師所提供的解釋，但是並未能與自己的心智連結。也就是說，學生必須擁有 前一個層次的概念與策略，才能有效進行下一層次的學習活動，因此，學生的幾何發展
另外，在本研究中周老師和王老師皆反思了自己的幾何教學活動，不約而同的表示 不會更改目前的教學方式，例如周老師即使知道有其他老師是使用分組活動來進行教 學，仍然堅定地表示她不願使用不熟悉的教學方法來改變目前的講述方式；而王老師則 是認為雖然採用分組教學，學生學習情形和成效並未如她心中所想像，但是她仍然會想 繼續使用。因此，從兩位教師的想法中似乎也間接透露著要改變教師的教學概念是一件 不容易的事（Thompson, 1992），這或許與她們更深層的幾何教學信念有關。然而，本研 究中也發現周老師的教學構思和教學實作會在教材難度加深、教學時間不足或是發現學 生學習成效不佳時，而出現構思與實作有些許不一致的情形。這顯示教學環境中的各種 限制和機會，會促使教師必須在教學的當下更彈性調整其教學中的思維與行動（Clark &
Peterson, 1986）。而這樣的調整就會使得教師的教學實作與教學前的構思產生落差。
第三節 教師的幾何教學概念與專業發展的關係和啟示
在職教師的數學教學概念是根植於他或她的教學實作中，而且教師的教學成長是與 其教學概念息息相關（Cooney, 1994）。在本研究中，當教師構思研擬好自己的教學決策 來幫助學生以理解的方式學習數學時，相應而生的就是教師必須從課堂幾何概念的教學 實作中學生所給予的回饋來學習如何進行幾何教學。更進一步來說，王老師和周老師在 她們的課堂幾何教學活動中是扮演著學習促進者的角色，藉由選用適合學習的方式讓學 生從生活中或是視覺上去感受幾何概念的內涵而學習數學。同時，她們也會在教學中傾 聽學生的想法，從中反思自己的幾何教學，使得她們有機會從不同的教學脈絡中透過分 析自己的幾何教學活動，來理解學生的幾何思考特質，據此她們可以對自己的教學獲得 更深層的理解。意即，兩位教師也是基於學習者的角色來學習如何教幾何概念。因此，
教師若是能察覺課堂環境中教與學的品質不僅有助於學生的數學理解也有助於自己的 教學成長，也可以透過這種與學生一起學習和反思互動的過程來引發教師的專業發展。
所以，教師是藉由學校和課堂的經驗來建構個人的教學過程，而這過程中是涉及了反思 和調適（Jaworski, 2001）。所以，教師的數學教學是藉由持續地反思學生的數學學習活
動而調整自己的教學實作，以精鍊自己的教學思維，進而學習如何教數學（Tzur, 2001）。 因此，我們可以視教師的教學專業成長與學生的學習發展是一個雙向互動的歷程（許秀 聰，2005）。
從本研究中的結果可知，兩位教師是將自己以前的幾何單元學習經驗融入自己的幾 何教學之中，因而會採用圖示、繪圖或操作的策略來進行教學，當面臨不同類型班級的 學習需求，會思考著學生將如何學習新的幾何知識，而利用專業知識來彈性調整其課堂 幾何教學活動。這似乎表示，教師擁有嚴謹的數學知識也許並不是有效教學的主要關鍵 因素，但這並不是指教師的數學知識對教學而言是不重要的，而是教師還需要在教學活 動中去適應學生的學習脈絡並據此同步調整自己的教學實作。而這就如同 Cooney
（2001）所說的，教師在教學上應該要有能力將自己的數學知識轉換成有用的教學策略 來幫助學生建構數學知識，並且在適當的時機能反思他們自己以前身為數學學習者的經 驗，使得教師在界定和分析教學面臨限制之時，可以利用專業判斷來處理之，據此提升 自己的教學功力。一般而言，教師會傾向在他或她的心智中去重新思考、預想和演示與 課堂教學相關的想法和概念，所以教師的教學成長是需要複雜的心智試驗和課堂經驗，
這也就表示教師的心像、反思和經驗似乎對於其教學專業的發展是相當重要（Senger, 1999）。意即，教師教學專業知識的發展是依附在其所處環境中的各種經驗之上，並藉 由與他人的互動來促成教學上的反思和調整（Zaslavsky et al., 2003）。因此個人認為對在 職教師來說，藉由再次學習如何教數學可以充實她們既有的教學經驗，而透過反思則可 以更進一步深化她們的教學概念。所以，「反思」和「再學習」應該是促進其教學專業 發展的主要因素，換句話說，教師是在學生的數學學習和教師的教學實作這兩層次中進 行實作和反思以發展自己的教學專業（Jaworski, 2001）。
另外，本研究中也發現，兩位教師會在數學科教學研究會或是課餘的時間，與同事 討論教學上所遇到的困難或疑問。這表示教師若是獨自反思自己的教學，有時會受限於 自身的專業知識而停滯不前，因此必須藉由與他人的討論、進修或是參加研討會來協助
源順和林福來，1998）。所以，透過教師之間的協同學習（collaborative learning）可以打 破在職教師之間孤軍奮戰的現象，而且，可以提供教師具有意義的形成性評鑑（formative evaluation）與回饋，更可以看到教學歷程的品質（饒見維，1996）。由於教師的專業發 展是由教師本身所主導，所以教師之間的協同合作就顯得日益重要。這就如同 Blackman
（1989；引自饒見維）所說，因為教師專業發展的本質就是同事之間不斷經由意見交換、
感受分享、觀念刺激和溝通討論來激發，因此，同事關係的品質是教師專業成長的關鍵，
只要能找出時間共同分享就是專業成長歷程的開始。個人相信，當教師藉由同事之間的 討論互相激發不同的思考角度，來重新研擬教學策略以再次進行教學實作或教學觀摩，
並且與同事共同省思和分享經驗，透過這種持續循環地教學再學習和再反思的過程，應 該可以讓教師們更清楚地體驗到在教學專業上的成長，進而期許自己將教學工作專業 化。不僅如此，每一位在職教師都應該基於一種協同合作的立場來協助並促進自己與同 事之間的教學專業成長。這就表示，當有更多的教師能對教學專業發展有清晰深刻的瞭 解時，應該可以促使數學教學從半專業向上提升而成為真正的專業（許秀聰，2005）。
