3-2-3空間中的直線與平面-平面方程式

全文

(1)第三冊 2-3 空間中的直線與平面-平面方程式【思考】 1. 平面上的直線是利用直線的傾斜程度(斜率)、方向向量或法向量來描述的，再加上直線上一點，就可以求出直線方程式。那麼空間中的平面是如何來描述的？是否也可以用傾斜程度、方向向量或法向量來描述，然後再加上平面上一點以求出方程式？ 2. 空間中的平面其地位是否與平面上的直線的地位相同呢？兩者都是維度少一維。【定義】 1. 法線與法向量：設 E 為一平面，所有與 E 垂直的直線 L 都是平面 E 的法線，法線 L 上任意一非零向量都是平面 E 的法向量。 v n. P. E. A 註： (1)一平面的任意兩個法向量互相平行。 (2)平面 E 的任一法向量與平面 E 上的所有向量都垂直。 (3)平面的法向量不唯一。 (4)上述中， E 為 L 的一個法平面。 2. 與兩向量同時垂直的向量： v v v v v v v v v 設 u , v 為平面 E 上的兩個不平行的向量，若 n ⊥ u 且 n ⊥ v , n ≠ 0 ，則 n 為平面 E 的法向量。 3. 平面方程式-點向式： v 設 n = (a, b, c) 為平面 E 的法向量，且 A( x0 , y0 , z 0 ) 為平面 E 上一點，則平面 E 的點向式為 a( x − x0 ) + b( y − y0 ) + c( z − z 0 ) = 0，通常以 E : ax + by + cz + d = 0 一般 v 式的形式表示，其中 n 稱為平面的法向量。註：設 P( x, y, z ) 為平面 E 上一點， v 利用 n ⋅ A P = 0. v. ⇒ ( a , b, c ) ⋅ ( x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) = 0 ⇒ a ( x − x 0 ) + b( y − y 0 ) + c ( z − z 0 ) = 0 。. 第三冊第二章. 空間中的直線與平面 — P12.

(2) 4.. 平面方程式-三點式：空間中通過點 A( x1 , y1 , z1 ), B( x 2 , y 2 , z 2 ), C ( x3 , y 3 , z 3 ) 的平面方程式為以 v n = AB × AC 為法向量，且過點 A( x1 , y1 , z1 ) 的平面， v 即 n ⋅ ( x − x1 , y − y1 , z − z1 ) = 0 。. v v. x − x1. y − y1. z − z1. 也可以表成 x2 − x1 x3 − x1. y2 − y1 y3 − y1. z 2 − z1 = 0 ， z3 − z1. v v v v v v v. 或者利用平行六面體體積公式可得 AP. v AB = A P ⋅ ( AB × AC ) = A P ⋅ n = 0 ， AC. 求得平面方程式。 5. 平面方程式-截距式： x y z 方程式 + + = 1 表 x 軸之截距為 a 、 y 軸之截距為 b 、 z 軸之截距為 c 的 a b c 1 平面方程式，且此平面與坐標軸所夾之四面體體積為 | abc | 。 6 6. 平面方程式-平面族：過兩平面 E1 : a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0, E2 : a2 x + b2 y + c2 z + d 2 = 0 交線的方程式可以表為 m(a1 x + b1 y + c1 z + d1 ) + n(a2 x + b2 y + c2 z + d 2 ) = 0 ，即 m( E1 ) + n( E2 ) = 0 。. 【問題】 1. 平面的法向量是否為唯一？ 2. 試問 xy 平面、 yz 平面、 zx 平面的法向量分別為何？ 3. 試討論下列方程式所代表的圖形為何：方程式空間中(法向量) 平面上(法向量) v 2 x + 3 y + z = 6 表一平面( n = (2,3,1) ) 無意義 v v 2x + 3y = 6 表一平面( n = (2,3,0) ) 表一直線( n = (2,3) ) v v x=2 表一平面( n = (1,0,0) ) 表一直線( n = (1,0) ). 第三冊第二章. 空間中的直線與平面 — P13.

(3) 【公式】 1. 點到平面的距離：點 P( x0 , y0 , z 0 ) 到平面 E : ax + by + cz + d = 0 的距離為 | ax0 + by0 + cz0 − d | d ( P, E ) = 。 a 2 + b2 + c2 註：證明利用到點對平面的投影點與點對平面的對稱點。證法一：設過點 P( x0 , y0 , z 0 ) 且與平面 E 垂直的直線參數式為 Q( x0 + at , y 0 + bt , z 0 + ct ) ，則 Q 在平面上，將之代入，得 a( x0 + at ) + b( y0 + bt ) + c( z 0 + ct ) + d = 0 ， − (ax0 + by0 + cz 0 + d ) ，解得 t = a2 + b2 + c2 故 P0 到平面 E 的距離為 | ax0 + by 0 + cz 0 + d | PQ = (at ) 2 + (bt ) 2 + (ct ) 2 =| t | ⋅ a 2 + b 2 + c 2 = 。 a2 + b2 + c2 證法二：設 A( x1 , y1 , z1 ) 為平面 E 上任一點( A ≠ Q )， v AP ⋅ n 則 d ( P, E ) = | A P | cos θ = | A P | × cosθ = | A P | × v | A P || n |. v. =. v vv. v. | a ( x0 − x ) + b ( y 0 − y ) + c ( z 0 − z ) |. a2 + b2 + c2 | ax0 + by 0 + cz 0 + d | 。 = a2 + b2 + c2. =. | ax0 + by0 + cz 0 − (ax1 + by1 + cz1 ) | a2 + b2 + c2. E. P. v n. θ Q 2. 兩平面夾角：設平面 E1 : a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 與 E2 : a2 x + b2 y + c2 z + d 2 = 0 之夾角 v v. 為 θ 及 π − θ ，則 cos θ = ± vn1 ⋅ nv2 = ± | n1 || n2 |. a1a 2 + b1b2 + c1c2. a1 + b1 + c1 2. 2. 2. ，. a2 + b2 + c2 2. 2. 2. v v 其中 n1 = (a1 , b1 , c1 ), n2 = (a2 , b2 , c2 ) 分別為平面 E1 , E2 之法向量。. E1 v n2. θ. π −θ v n1. E2. 第三冊第二章. 空間中的直線與平面 — P14.

(4) 3. 兩平行平面的距離：設兩平面 E1 : ax + by + cz = d1 , E 2 : ax + by + cz = d 2 ， | d1 − d 2 | 則兩平行平面 E1 , E 2 的距離為。 a2 + b2 + c2 證明： d 在 E1 : ax + by + cz = d1 上任取一點 P0 ( 1 ,0,0) ， a 再求 P0 至 E 2 : ax + by + cz = d 2 的距離即是所求， d | a ⋅ 2 + b ⋅ 0 + c ⋅ 0 − d2 | | d1 − d 2 | a = 可得 d ( P0 , E2 ) = 。 a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 【性質】 v v 1. 兩平面的法向量分別為 n1 , n2 ， v v (1) E1 // E 2 ⇔ n1 // n2 。 v v (2) E1 ⊥ E 2 ⇔ n1 ⋅ n2 = 0 。 2. 決定平面的條件： (1)不共線的相異三點。 (2)一線與其線外一點。 (3)二平行直線。 (4)二相交直線。 (5)一直線及線外一點。 (6)法向量及平面上一點。 (7)含一直線及與一平面(不與直線垂直)垂直。註：基本上以上各種情形都是利用外積求法向量，再代入平面上一點求之。 3. 兩平面的夾角可用兩平面的法向量的夾角求出。 4. 點 P0 ( x0 , y0 , z 0 ) 在平面 E : ax + by + cz = d 上，則 ax0 + by0 + cz0 = d 。 5. 點 P0 ( x0 , y0 , z 0 ) 不在平面 E : ax + by + cz = d 上，則 ax0 + by0 + cz0 > d 或 ax0 + by0 + cz0 < d 。如此可用以判別兩相異點在平面的同側或異側。【問題】 1. 設點 P0 ( x0 , y0 , z 0 ) 對平面 E : ax + by + cz = d 的投影點 Q 與對稱點 R，試求出 Q 與 R 之坐標。解： LPQ. ⎧ x = x0 + at ⎪ : ⎨ y = y 0 + bt ⎪ z = z + ct 0 ⎩. ⇒ a ( x0 + at ) + b( y 0 + bt ) + c( z 0 + ct ) = d ⇒ t = ⇒ Q( x 0 + at , y 0 + bt , z 0 + ct ). − (ax0 + by 0 + cz 0 − d ) a2 + b2 + c2. a (ax0 + by 0 + cz 0 − d ) b(ax0 + by 0 + cz 0 − d ) c(ax0 + by 0 + cz 0 − d ) , y0 − , z0 − ) a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 ⇒ R ( x 0 + 2at , y 0 + 2bt , z 0 + 2ct ) = ( x0 −. = ( x0 −. 2a (ax0 + by 0 + cz 0 − d ) 2b( ax0 + by 0 + cz 0 − d ) 2c( ax0 + by 0 + cz 0 − d ) , y0 − , z0 − ) 2 2 2 2 2 2 a +b +c a +b +c a2 + b2 + c2 第三冊第二章. 空間中的直線與平面 — P15.

(5) 2. 試問平面上兩直線的夾角公式與空間中兩平面的夾角公式有何異同之處？ 3. 試問平面上兩直線的分角線與空間中兩平面的角平分面求法有何異同之處？解：利用角平分面上任一點到兩平面的距離相等求。 4. 試問過空間中三點的三角形，如何求此三角形的重心坐標、外心坐標、內心坐標、垂心坐標？解： 1 (1)重心坐標：利用向量的概念求之，即 O G = ( O A + O B + O C ) ， 3 或利用兩個邊的中垂面及含三角形的平面求。 (2)內心坐標：利用兩個角平分面以及含三角形的平面求之，. v v v v. v v v v. a OA + b OB + c OC 。 a+b+c (3)外心坐標：利用兩個邊的垂直平分面及含三角形的平面求之，注意利用三個垂直平分面是求不出來的，因為有無限多組解。 (4)垂心坐標：利用兩個過頂點的垂直面以及含三角形的平面求之，注意利用三個過頂點的垂直面求不出的，因為有無限多組解。. 或利用向量的概念求之，即 O I =. 第三冊第二章. 空間中的直線與平面 — P16.

(6)