勾股定理證明-A011

(1)

勾股定理證明-A011

【作輔助圖】

1. 作ACB的角平分線，交 AB 於D點。

2. 從D點作 BC 的平行線，交 AC 於E點。

3. 從E點作 AB 的垂線，交 AB 於F點。

A B

C

D E

F

【求證過程】

在直角三角形 ABC 內作輔助線，形成另外的直角三角形，先說明圖中部分的三角 形相似，再利用相似形「對應邊成比例」的性質，來推出勾股定理的關係式。

1. 首先證明三角形 CDE 為等腰直角三角形：

因為DE/ /BC 且ACB ，可推得90 CED ，又90 ECD ，所以在三角形45 CDE 中，EDC 45 ，由此可知：三角形 CDE 為等腰直角三角形，即

. CEDE

2. 再證明三角形ABC 與三角形ADE、三角形AEF、三角形EDF皆相似：

因為ACB AED 90 且 BAC  DAE，可推得ABC ~ADE(AA 相似)，同理，可推得ABC~AEF, AEF~EDF，所以

~ ~ ~ .

ABC ADE AEF EDF

   

3. 利用第 2 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係：

由三角形AEF與三角形EDF相似可知：EF DF:  AF EF: ，整理得

(2)

2. DFAF EF

4. 同樣利用第 2 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係：

由三角形ADE與三角形EDF相似可知：DE DF:  AD DE: ，整理得

 

2

2 2

. DE AD DF

DE AF DF DF DE AF DF DF

 

  

  

將第 3 點的等式DFAF EF²代入上式，得

2 2 2

. DE EF DF

5. 再利用第 2 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係：

由三角形 ABC 與三角形EDF相似可知：AB DE: BC DF:  AC EF: ，整理得 ,

AB DF BC DE

又可知：AB DE:  AC EF: ，整理得

. AB EF  AC DE

6. 將第 6 點的兩個等式平方後相加整理，推出勾股定理的關係式。：

   

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

, AB DF AB EF BC DE AC DE

AB DF EF BC AC DE

      

    

將第 5 點的等式DE² EF²DF²代入上式，得

     

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

,

AB DF EF BC AC DF EF AB BC AC

     

 

即

2 2 2

. c a b

(3)

【註與心得】

1. 來源：這個證明出自於以下期刊：

Benj. F. Yanney and James A. Calderhead (1896). New and Old Proofs of the Pythagorean Theorem. The American Mathematical Monthly, 3(6/7), 1896, 171.

2. 心得：

此證明利用三角形相似的性質，來找出一些等式，再將等式整理推出勾股定理，而在第 5 點中可發現，已經推論出在三角形DEF中有勾股定理的相關式，

由於此證明的相似三角形個數非常多，所以並不是只有此方法，可以利用圖中其他三角形相似，一樣可以推出勾股定理。

3. 評量：

國中高中教學欣賞美學

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