勾股定理證明-G057
【作輔助圖】
1. 分別以直角三角形ABC的AC, BC和AB為邊長，向外作正方形ACFG，正方形BCED 和正方形ABKH 。
2. 延長GF 和DE，使得直線GF和直線DE相交於N點，並連接CN。 3. 過H點作直線CA的垂線，交直線CA於Q點。
4. 過K點作直線CB的垂線，交直線CB於R點。
N
A B
C
D E
F
G
H K
R Q
【求證過程】
以直角三角形 ABC 的三邊分別向外作三個正方形，利用作圖的平行關係，形成兩 個全等的五邊形，再經過全等圖形的增補與移除關係，分別得到正方形 BCED 與正方形
ACFG 的面積，來推出勾股定理的關係式。
1. 證明三角形 HAQ ，三角形 BKR 皆與三角形 ABC 全等：
因為HAQ 90 CAB ABC，且AB AH, ACB AQH 90 ，因此
HAQ ABC
(AAS 全等).
同理可證
BKR ABC
(AAS 全等).
2. 證明三角形 CNF ，三角形 NCE ，三角形 HAQ ，三角形 BKR 皆與三角形 ABC 全等：
由作圖的平行關係可知四邊形 NFCE 為長方形，因此NF CEBC, NECFAC, 90
CFN NEC ACB
，故
CNF ABC
(SAS 全等).同理可證
NCE ABC
(SAS 全等).綜合以上結果可得
. ABC CNF NCE HAQ BKR
3. 說明五邊形NGABD與五邊形CQHKR對應的內角相等：
因為HAQ BKR ABC，所以QHA CAB, BKR ABC，因此
90 90
GAB CAB QHA QHK
,
90 90
ABD ABC BKR HKR
,
又GND QCR 90 , G Q 90 , D R 90 ，綜合以上結果可得 五邊形NGABD與五邊形CQHKR對應的內角皆相等。
4. 說明五邊形NGABD與五邊形CQHKR對應的邊長相等：
因為 ABC
CNF
NCE
HAQ
BKR，所以 NGNFFG AQACCQ,NDNEEDBRBCCR, 又GAQH, ABHK, BDKR，綜合以上結果可得
五邊形NGABD與五邊形CQHKR對應的邊長皆相等。
5. 證明五邊形的全等：
由上述證明的結果，得到五邊形對應的邊角相等關係，可得 五邊形NGABD五邊形CQHKR. 6. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：
ABKH CQHKR ABC HAQ BKR
NGABD ABC CNF NCE
BCED ACFG
正方形 面積＝五邊形 面積－( 面積＋ 面積＋ 面積)
＝五邊形 面積－( 面積＋ 面積＋ 面積)
＝正方形 面積＋正方形 面積.
得到
2 2 2
AB BC AC ,
即
2 2
2 a b
c .
【註與心得】
1. 來源：這個證明出自於以下書籍：
Versluys, J. (1914). Zes en negentig bewijzen voor het Theorema van Pythagoras (Ninety-Six Proofs of the Pythagorean Theorem) (p. 55). Amsterdam: A.
Versluys.
2. 心得：此題先證明三角形 CNF ，三角形 NCE ，三角形 HAQ ，三角形 BKR 皆與三 角形 ABC 全等，再說明五邊形NGABD與五邊形CQHKR全等，進一步利用全 等圖形的增補關係，推得勾股定理的關係式。
3. 評量：
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