勾股定理證明-G184
【作輔助圖】
1. 分別以BC , AC 為邊長向內作正方形 CBDE 和正方形 ACFG ，再以 AB 為邊長向外 作正方形 ABKH .
2. 連 DK 交 FG 於Q 點。
3. 連 GH .
A B
C
E
H K
M
Q G
F D
【求證過程】
分別以直角三角形 ABC 的三邊向內作正方形 CBDE 與正方形 ACFG ，向外作正方 形 ABKH ，證明正方形 ABKH 所切割出的所有區塊面積總和等於正方形 CBDE 的面積 加上正方形 ACFG 的面積，最後推出勾股定理的關係式。
1. 證明三角形 KBD 全等於三角形 ABC 進而推得 E D K共線：
設 CAB x, CBA y，且已知xy 90。因為 90
KBD ABD
CBA ABD，所以 KBD CBA y，又 BD a BC, KB c AB，可推得
KBD ABC
(SAS 全等)，
即 BKD BACx, BDK BCA90，故 E D K共線。
2. 證明三角形 AHG 全等於三角形 ABC 進而推得 F G H共線：
因為HAG GAB90 HAG BAC，所以 HAG CAB，又 AG ACb, AH ABc，可推得
AHG ABC
(SAS 全等), 即AGH ACB90，故
F G H共線。
3. 證明三角形 HKQ 全等於三角形 ABC ：
因為 AHG
ABC，所以 AHG ABC y，可推得 QHK x，又因為 90HQK
, HK c AB，所以
HKQ ABC
(AAS 全等).
4. 證明長方形 ECFQ 面積等於三角形 ABC 面積兩倍：
2 ECFQ a b
ABC
長方形 面積
面積。
5. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：
ABKH MBD KBD AGQM
AHG HKQ
MBD ABC AGQM
ABC ABC
正方形 面積 面積 面積 面積
面積 面積
梯形
梯形
面積 面積 面積
面積 面積
( )
2 (
MBD EMBC AME
AGQM ABC
MBD EMBC
AME AGQM ECFQ
面積 面積 面積
面積 面積
梯形
梯形
梯形
面積 面積)
面積 梯形 面積 長方形 面
積 正方形CBDE面積正方形ACFG面積。
得到
2 2 2
, AB BC AC 即
2 2 2
. c a b
【註與心得】
1. 來源：根據魯米斯( E.S. Loomis ) 在他的著作《勾股定理》中說：這個證明是 Richard A. Bell 在 1920 年 11 月 30 日想到的，並在 1938 年 2 月 28 日交給他的。
2. 心得：此證明一開始必須先證明 E D K共線以及 F G H 共線，對國中學生可 能不易理解。整個證明必須將正方形 ABKH 所切割出的所有區塊面積，利
用全等關係以及面積相等的關係，證明等於正方形 CBDE 的面積加上正方形 ACFG 的面積，最後推出勾股定理的關係式。
3. 評量：
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4. 補充：此證明為拼圖證明，其拼法可參考下圖：
