因數

數學

因

科

國

因數

數

教

國中

單

數與

數學

2018 年

師

中課

單元３

與

學新世

年 08 月

共

課程

３

與倍

世界

月 編印

備

程

倍數

界

印

手

數

冊

 教學共備 memo 一、 共備模式

（一） 單元共備單

此模式為教師們透過單元共備單之反思、核心概念、概念發 展教學脈絡的討論，形成本身的概念發展教學脈絡而實踐於 教學。

（二） 觀摩教學知能影片

此模式為備課階段的共備，旨在掌握數學知識的本質內涵與 觀摩概念發展教學如何進行，從中重新認識數學概念知識，

形成教師本身的教學脈絡。

（三） 學習單實踐教學

此模式為觀課、議課階段的共備，旨在實踐以概念發展為主 軸的教學，於過程中再次釐清知識本質內涵，不斷修正與精 進教學知能。

二、 共備流程

單元共備單 觀摩教學知能影片 學習單實踐教學

共備前 共備前 共備前

單元共備單反思

1.第 1 次反思單撰寫 2.CA 教學或教專研習影

片觀摩

3.撰寫觀摩影片記錄

1.撰寫與編修單元學習單 2.確立學習單教學脈絡與

設計想法

3.使用學習單教學

共備 共備 共備

1.討論單元共備單 2.釐清數學概念知識 3.確立單元教學脈絡

1.討論觀摩影片記錄 2.釐清數學概念知識 3.確立單元教學脈絡

1.分享教學心得感想 2.討論觀課記錄

3.發想概念發展教學設計

共備後 共備後 共備後

1.核心概念細部分析 2.概念發展的教學脈

絡細部調整

1.第 2 次反思單撰寫 2.編修單元學習單

1. 編修單元學習單 2. 再次使用學習單教學

三、 共備紀錄表（參考版）

共備單元：____________________ 共備日期：________________

本次共備主持人：_____________ 共備紀錄：________________

本次共備討論素材：

□單元共備單

□單元概念反思單

□觀摩教學或研習影片（影片名稱：_________________________）

□生根單元學習單（學習單名稱：__________________________ ）

□其他 ________________________

討論內容：

一、針對「單元共備單」、「單元概念反思單」、「觀摩教學影片紀錄」、「觀 摩研習影片」或「生根單元學習單」進行想法交流。

二、本單元概念核心本質與內涵。

三、本單元概念教學脈絡。

四、本單元教學巧思與眉角。

五、本單元學生常見學習迷思解決之道。

六、學習單修改建議與實際教學建議。

七、其他

因數倍數

一、單元名稱：整除、因數、倍數、質數、合數、短除法、最大公因數、

最小公倍數 二、反思提問：

1.在什麼情況下，我們會使用到因數倍數這樣的概念或想法呢？

2.就概念發展過程而言，哪個先發展比較流暢、比較有意思？是因數，還 是倍數呢？

3.在學生的學習過程中，什麼時候開始用到因數倍數？

4.為什麼 1 不算是一個質數呢？質數是用來標示什麼性質的呢？

PS：質數被定義為：「在大於 1 的自然數中，除了 1 和該數自身外，無 法被其它自然數整除的數。」

5.在考慮幾個數的公倍數的時候，直接將數字相乘就可以求得公倍數了，

可是，這個直接乘出來的公倍數可能太大且不方便使用，這時候，我們 會考慮比較小的公倍數了，在求得最小公倍數以及最大公因數的時候，

我們會使用短除法，你知道短除法設計的原理嗎？請說明看看！

CA 陳梅仙

20180701

三、試著撰寫下面名詞的核心概念。

整除

因數

倍數

質數

短除法

四、試著根據概念發展的三個階段草擬下面名詞的概念發展脈絡。

概念 認知 形成 使用

整除

因數

倍數

質數

短除法

五、評量

1.林老師將數量為 147 個及 185 個的 A、B 兩種糖果平均分給班上同學後，

分別剩下A 糖果 3 個及 B 糖果 5 個，請問：該班學生可能的人數。

2.歐太太有三個女兒，長女 7 日一歸，次女 11 日一歸，幼女 15 日一歸。

某日三女同歸，歐太太為使三女下一次早些同歸相聚，便叫三女把歸家 日期各縮短一天，但幼女說：不如把歸家日期各延長一天，便可早些相 聚。則歐太太與幼女誰言之有理？

六、觀摩、討論&修改 1.參考影片

※透過 YouTube 查詢數學新世界，再進入 New Horizon of Mathematics 即可透過關鍵字查詢下面影片。

(1)數學新世界--CA 談數學--20171221 國立臺北教育大學 因數倍數、質數 part2 (2)數學新世界--CA 談數學--20161103 文光國中 七年級 最大公因數與最小公倍

數

(3)數學新世界 CA 談數學 20170914 彰化縣豐崙國小(小五-因數與倍數) 2.針對單元核心概念、概念發展的教學脈絡進行細部分析或調整。

3.找出屬於自己最自在的概念發展的教學脈絡。

七、學習單：完整版請參考數學新世界五、六、七年級教材

因數倍數

你有將零錢存進豬公撲滿的經驗嗎？當存滿了就是剖開豬公算錢的 時候！我們會將硬幣10 個一疊，數出全部有幾疊又剩多少個來計算 總共存了多少錢；這個 10 個一疊的動作，正是在操作 10 的倍數！除 此之外，在分東西時我們也常運用因倍數的概念，而在數學的計算上，

想一想，在做什麼運算的時候會需要用到因數或倍數的概念呢？

◎

概念一：可分解的數

動動筆想數學

1. 請依照算式寫出各小題的結果。

(1) 3 = (2) 6 =

(3) 3

1 = (4) 4

3 =

(5) 0 = (6) 1 =

數可以發揮什麼作用或功能呢？____________________

2. 我們想要複製下面的圖形，複製出 6 個；如果利用電腦來複製，

我們可以怎麼做呢？

甲：我們可以一個一個複製，複製（ctrl+c）再貼上 （ctrl+v）的動作做 6 次。

乙：先複製出 2 個，再 2 個一組複製後再貼上的動作做 3 次。

請問還有其他的做法嗎？試著描述或畫下來。

白晨如

20180508

3. 請利用電腦複製出下面的圖形 7 個，請問你可以有幾種作法？

4. 承第 2 題和第 3 題，複製 6 個和複製 7 個的做法有什麼不同？

你是否可以區分出數字6 和 7 的不同是什麼？

如果我們以可不可以「分解」來看數字6 和 7，它們的不同是什 麼？試著寫下來。

5. 再想一想，數字 1 呢？我們需要把 1 拿來分解嗎？為什麼？

6. 觀察下面數字的分解，請從數字 1~30 中找出和 6 同類或者和 7 同類的數字，填入方格中並寫出它的分解：

◎ 6 = 16 = 23

◎ 7 = 17

7. 從 10 = 25，我們可以看到

(1) 10 可以分解為 2 和 5 相乘，所以我們會說，2 和 5 是 10 的 ____________ 。

(2) 10 是 5 的 2 倍，10 是 2 的 5 倍，所以我們會說，

10 是 5 的 ____________ ，10 是 2 的 ____________ ， 10 是 2 和 5 的 ____________ 。

8. 請試著分解 96 這個數字：

96 = __________ = __________ = __________

= __________ = …（分成 2 階段）

96 = _______________ = _______________

= _______________= …（分成 3 階段）

96 = ____________________

= ____________________ = …（分成 4 階段）

9. 哪些數字可以由 2 和其它數字相乘呢？

這些數字的特徵是什麼呢？

10. 哪些數字可以由 5 和其它數字相乘呢？

這些數字的特徵是什麼呢？

11. ◎ 範例 ◎ 練習（參考範例並完成填空）

645 = 15×43；15×43 = 645 我們說

645 可以被15 整除 645 是 15 的倍數

15 是645 的因數（整除數）

或是說

645 可以被43 整除 645 是 43 的倍數

43 是645 的因數（整除數）

也就是說

15 和43 都可以將 645 整除（分解）

15 和43 都是 645 的因數（分解數）

645 是 15 和 43 的倍數

36 = 4×9；4×9 = 36 我們說

可以被 整除 是 的倍數 是 的因數 或是說

可以被 整除 是 的倍數 是 的因數 也就是說

和 都可以 將 整除（分解）

和 都是 的因數（分解數）

是 和 的倍數

12. 我們來嘗試看看哪些數字可以被 3 分解，也就是說，哪些數字可 以被3 整除呢？

(1) 10÷3=

10 3

(2) 100÷3=

100 3

(3) 1000÷3=

1000 3

(4) 10000÷3=

10000 3

(5) 70÷3=

70 3

(6) 700÷3=

700 3

(7) 7000÷3=

7000 3

(8) 7770÷3=

70000 3

(9) 請問 89735 可以被 3 成功分解（89735 是 3 的倍數）嗎？

◎

概念二：質數與合數

動動筆想數學

1. 下面是我們將 12 個笑臉框起來的方式：

12×1



1×12

           6×2





2×6

           

4×3







3×4

   

   

   

如果我們有 45 顆（或 36 顆、54 顆、60 顆）糖果，可以怎麼分裝 呢？幾顆裝成 1 包可以剛好分完呢？

顆  包 45= 5 × 9

× ×

顆  包 36= 2 × 18

× × × ×

顆  包 54= 2 × 27

×

×

×

×

×

顆  包 60= 2 × 27

× × × × ×

＊在此題中，糖果的總數a 顆來表示，是由1 包有 b 顆可以裝成c 包 相乘而得（a、b、c 都是數字）； 也就是 a = b×c，那麼，a 會是 b 和 c 的 因數 ，而 b 和 c 會是 a 的 倍數 。

2. 有 18 個男生和 24 個女生合起來分組，要讓每一組的男生一樣多，

女生也一樣多，全部的人分組完成後可以分成幾組？

3. 五年 3 班有 27 位學生，請問老師需要買幾顆糖 果，當全部的糖果平分給學生時可以剛好分完？

每個人分到的 數量

老師總共需買 幾顆

老師買的糖果數量和27 有什 麼關係？

1 顆 2 顆 3 顆 10 顆

？ 顆

4. 分別用長 4 公分和 6 公分的玩具鐵軌，在桌上各自排成一列。

當兩種鐵軌排成一樣長時，此時鐵軌的長度可能是幾公分？

5. 關於數字的放大與分解 3× = 

1× = 

5× = ___________________

（畫出答案）

4× = ___________________

（畫出答案）

＊我們可以看到數字1 沒有改變 物件的能力，意思是，乘以 1 不會變多也不會變少。

6 = 3×2

我們說6 可以被 3 和 2 分解 6 = 1×6

＊這樣的寫法沒有成功的將6 進行分解，因為 1 沒有改變 物件的能力。

6.

質數：無法被分解的數 只能經過1 階段放大後得到的數

合數：可以被分解的數 可以透過兩階段以上放大後合成

的數 3=1×3

3 只能透過經過 1 次放大 3 倍獲得 3 是質數

6=3×2

6 可以透過 3 和 2 兩階段放大後 合成

6 是合數 1~30 中是質數的還有哪些呢？

____________________________

_____________________________

1~30 中是合數的還有哪些呢？

___________________________

___________________________

＊為什麼1 不是質數呢？

因為它沒有被分解的需要，因此不考慮可不可以分解！

7. 下面是 12 的分解過程，請你試著做 45 和 60 的分解，直到無法分 解為止。

12

1×12 6×2 3×2×2

 



 

 

45

60

◎

概念三：公倍數

當我們在做分數的加減法時，例如：

2 1+

3

2，我們會將兩個分數

做「通分」， 2 1=

3 2

3 1

×

× 、 3 2=

2 3

2 2

×

× ，再做相加 3 2

3 1

×

× + 2 3

2 2

×

× = 6 3+

6 4=

6

7。你是

否有看到，通分的意思是將兩個分數的分母變成一樣的數字，本來的 2 分變成 6 分，本來的 3 分也變成 6 分，分的更細了！6 是 2 的倍數，

6 也是 3 的倍數。

動動筆想數學

1. 第(1)題，我們將 20 做分解，分到不能再分；請試著完成(2)(3)題。

(1) 20＝2×10 ＝2×5×2

(2) 18＝ (3) 45＝

2. 請判斷下面哪些是 20 的倍數呢？

除了把算式計算出來，還有沒有其它的方法呢？

□ 2×5×2×7 □ 2×5×3×7 □ 2×5×8 □ 4×15 3. 想知道兩個數的公倍數，最簡單的做法是什麼呢？

比如說，想知道 20 和 15 這兩個數的公倍數，最簡便的方式就 是 。

因為 是 20 的 ______ 倍；

因為 是 15 的 ______ 倍

4. 請模仿第(1)(2)題，完成第(3)(4)題。

(1) 怎麼求 20 和 15 的最小公倍數

20 × 15  最簡便找公倍數的方法，直接將數字相乘

＝2×5×2 × 3×5

 可以把公倍數簡化變小嗎？

20 和 15 分解後都有 5，

我們可以共用一個 5 就好！

2×5×2 × 3  這就是 20 和 15 的最小公倍數 2×5×2×3 (2) 求 3×3×5×7 和 2×3×7×11 的最小公倍數

3×3×5×7 × 2×3×7×11 最簡便找公倍數的方法，將數字直接相乘

＝3×3×5×7 × 2×3×7×11 我們可以把 2×3×7×11 當中的 3 和 7 拿掉，

跟 3×3×5×7 共用 3 和 7

3×3×5×7 × 2×11 這就是 3×3×5×7 和 2×3×7×11 的 最小公倍數 3×3×5×7×2×11

(3) 請試求 60 和 45 的最小公倍數。

(4) 請試求 30 和 78 的最小公倍數。

5. 「短除法」：請完成第(1)題，想想它的道理，再完成第(2)題。

(1) 求 12 和 15 的最小公倍數 a.請寫出 12 的倍數

12、24、36、_____、_____、

_____、_____...

b.請寫出 15 的倍數

15、30、45、_____、_____、

_____、_____..

.

c.請寫出 12 和 15 的公倍數 _____、_____、_____、

_____、_____...

d.請寫出 12 和 15 的最小公倍數 e.我們知道 12×15 是 12 的 15

倍，也是15 的 12 倍，也就 是說，12×15 是 12 和 15 的公 倍數，但是，12×15 是 12 和 15 的最小公倍數嗎？

可以再簡化變小嗎？

(2) 求 18 和 24 的最小公倍數 a.請寫出 18 的倍數

18、36、54、_____、_____、_____、

_____...

b.請寫出 24 的倍數

24、48、72、_____、_____、_____、

_____...

c.請寫出 18 和 24 的公倍數

_____、_____、_____、_____、

_____...

d.請寫出 18 和 24 的最小公倍數 e.我們知道 18×24 是 18 的 24 倍，

也是24 的 18 倍，也就是說，18×24 是18 和 24 的公倍數，但是，18×24 是18 和 24 的最小公倍數嗎？

可以再簡化變小嗎？

f. 短除法原理

12 ＝ 6×2 ＝ 3×2×2 15 ＝ 3×5 ＝ 3×5

12 和 15

的公倍數  3×2×2 × 3×5

（最簡便）

12 和 15 公倍數

簡化

 3 × 2×2 × 5

3 12 15 4 5

12 和 15 的最小公倍數是 3×4×5＝60

f. 短除法原理

18 ＝ ________________

24 ＝ ________________

18 和 24 的

公倍數  ______________

（最簡便）

18 和 24 公倍數

簡化

 ______________

18 24

18 和 24 的最小公倍數是 _______________＝_____

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