，試求： ① A＋B ② A－B (2)已知矩陣 A＝ 4 3 2 7

110 下高二數學 A 習作(ch4.2) 第 1 頁 翰林版 CJT

Ch 4.2 矩陣的運算 習作 二年_____班 座號：____ 姓名：

例題 1 矩陣基本概念

(1)已知矩陣 A＝

2 3 1 4 7 5 8 6 9

 

 

 

 

 

，試寫出：

① 矩陣 A 的階數 ② A 的第(2，3)元 (2)已知矩陣 A＝(aij)3 × 2，其中 aij＝3i＋j，試求矩陣 A 解：(1)①A 是 3×3 階矩陣，也是三階方陣

②A 的第(2，3)元為 5

(2) A＝(a_ij)_{3 × 2}是一個 3 列 2 行的矩陣，有 6 個元，其中第 i 列，第 j 行的元(a_ij)定義為 a_ij＝3i＋j 所以 a₁₁＝3×1＋1＝4，a₁₂＝3×1＋2＝5

a₂₁＝3×2＋1＝7，a₂₂＝3×2＋2＝8 a₃₁＝3×3＋1＝10，a₃₂＝3×3＋2＝11

得 A＝

4 5 7 8 10 11

 

 

 

 

 

例題 2 矩陣的相等

已知矩陣 A＝

3 2 4 a b c

 

 

 

 

 

，B＝

6 1 5 s

t u

 

 

 

 

 

，且 A＝B，試求 a、b、c、s、t、u

解：A＝B，故對應位置的元相等，a＝6，b＝1，c＝5，s＝3，t＝2，u＝4

例題 3 矩陣的加減法與係數積 (1)已知矩陣 A＝ 2 5 1

4 3 6

 

 − 

 ，B＝ 1 2 3

1 0 4

−

 

 

 ，試求： ① A＋B ② A－B (2)已知矩陣 A＝ 4 3

2 7

−

 

 

 ，B＝ 2 6

3 5

−

 

− 

 ，C＝ 1 1 2 3

 

 

 ，試求： ① 2A－B ② 3A＋B－C 解：(1)①A＋B＝ 1 7 4

5 3 10

 

 − 

  ② A－B＝ 3 3 2 3 3 2

−

 

 − 

 

(2)①2A－B＝ 8 6 2 6 10 12

4 14 3 5 7 9

− − −

     

− =

  −   

      ②3A＋B－C＝ 12 9 2 6 1 1 9 4

6 21 3 5 2 3 1 23

− − −

       

+ − =

  −     

       

例題 4 矩陣方程式 已知矩陣 A＝ 7 8 0 4

 

 

 ，B＝ 3 4 2 2

 

 

 ，且 2X＋A＝3B，試求矩陣 X 解：2X＝3B－A＝ 9 12 7 8 2 4

6 6 0 4 6 2

     

− =

     

     ，
X＝ 1 2

3 1

 

 

 

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例題 5 矩陣的乘法 已知矩陣 A＝ 1 2 3 5

 

 

 ，B＝ 2 4 4 3 7 6

 

 

 ，C＝ 1 2

2 3

−

 

 

 ，試求：(1) AB (2) AC 解：(1) AB＝ 1 2 2 4 4 8 18 16

3 5 3 7 6 21 47 42

     

   = 

     

(2) AC＝ 1 2 1 2 3 8

3 5 2 3 7 21

−

     

   = 

     

例題 6 二階方陣的乘法反方陣 已知二階方陣 A＝ 8 5

3 2

 

 

 ，試問：

(1) A 是否有乘法反方陣 A−1

(2)若 A⁻¹存在，試求 A⁻¹ 解：(1) detA＝ 8 5

1 0

3 2 = ≠ ，∴ A 有乘法反方陣

(2) A⁻¹＝1 2 5 2 5

3 8 3 8

1

− −

   

− =− 

   

例題 7 用二階反方陣求解二元一次方程組

已知二元一次方程組 2 3 3

4 x y x y

+ =



− =

 ，試求：

(1)將方程組寫成 AX＝B 的形式 (2)用 A 的反方陣 A⁻¹解方程組 解：(1)令 A＝ 2 3

1 1

 

 − 

 ，X＝ x

y

 

 

 ，B＝ 3 4

  

 ，即 2 3 3

1 1 4

x y

     

 −   = 

     

(2) A⁻¹＝

1 3

1 3 1 3

1 1 5 5

1 2 1 2 1 2

det 5

5 5

A

 

 

− − − −

   

= = 

−  − − 

     − 

，

承(1)，X＝A⁻¹B
X＝

1 3

3 3

5 5

1 2 4 1

5 5

 

     

=

      − 

 − 

 

 

，故 x＝3，y＝−1

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例題 8 矩陣方程式

試解矩陣方程式 3 2 2 1 7 5

2 1 3 0 2 3

x y z w

−

       

+ =

    −   

       

解： 3 2 7 5 2 1

2 1 2 3 3 0

x y z w

−

       

= −

      − 

       

9 4 5 3

 

= 

 

⇒

3 2 1 9 4

2 1 5 3

x y z w

    − 

 =   

     

1 2 9 4

1

2 3 5 3

1

−

   

= − −    

1 2 9 4

2 3 5 3

−

   

= −    

1 2 3 1

 

= − 

例題 9 乘法反方陣存在的條件

試求 k 值使得二階方陣 A＝ 4 7

2 5

k

k +

 

 − − 

 的乘法反方陣不存在

解：二階方陣存在乘法反方陣的條件是它的行列式值不為 0 令行列式值等於 0，即 det A＝ 4 7

2 5

k

k +

− − ＝(k＋4)(k－5)＋14＝0

展開得 k²－k－20＋14＝0，
k²－k－6＝0，
(k＋2)(k－3)＝0，得 k＝−2 或 3

例題 10 矩陣的乘方

已知二階

方陣

−

 

− 

 ，且 A⁵＝ 9 10 10 11

−

 

− 

 ，試求：(1) A² (2) A 解：(1)因為 A²A³＝A⁵，所以 A²＝A⁵(A³)⁻¹

(A³)⁻¹＝1 7 6 6 5 1

−

 

 − 

 ＝ 7 6

6 5

−

 

 − 

 ，得 A²＝ 9 10 7 6 10 11 6 5

− −

   

−   − 

   ＝ 3 4

4 5

−

 

− 

 

(2)因為 AA²＝A³，所以 A＝A³(A²)⁻¹ (A²)⁻¹＝1 5 4

4 3 1

−

 

 − 

  ＝ 5 4

4 3

−

 

 − 

 ，得 A＝ 5 6 5 4

6 7 4 3

− −

   

−   − 

   ＝ 1 2

2 3

−

 

− 

 