3-2 平面向量的內積

(1)

3-2 平面向量的內積

向量的夾角與內積

1 1

內積的性質

2 2

柯西不等式

3 3

4 正射影

4

(2)

1 1 ^{向量的夾角與內積}

對於非零向量與，若此兩向量始點不在同一點

，我們可以將其中一個向量平移，使兩個向量的始點重合

，此時的夾角，稱為向量與的夾角。

a 

b 

(0 180 )

 ^    ^ a 

b 

(3)

1 1 ^{向量的夾角與內積}

和的內積定義為 a  b  _{a b} ^{ } _

= cos

a b    a b   

(4)

1 (1) ，且，   AB AC 45

^

設設設設設設設設設  AB =4

2 AC  AB AC 

  

設設設設設設

(2) a   2 b   3 a b   

設設設設設設設設設設設設設

(1) 由內積的定義可得

cos 45

4 2 1 4.

2 AB  AC  AB AC

   

    

(5)

1 cos120 2 3 ( 1 ) 3

2 a b   a b

     

    

a 

b 

(2) 如圖所示，經平移後可得與的夾角為，故由內積的定義可得

120 ^ (1) ，且，   AB AC 45

^

設設設設設設設設設  AB =4 2

AC  AB AC 

  

設設設設設設

(2) a   2 b   3 a b   

設設設設設設設設設設設設設

(6)

1 1 ^{向量的夾角與內積}

(2)

a  b  平面向量的內積

(1) 坐標平面上兩向量，的內積為 cos

a b     a b    a b

 ^ ^

設設設設設設設設

1 2 1 2

1 1 2 2

( ) ( )

a a a b b b a b a b a b

 

  

 

設設設設設設設設   ,設設設設設 ,

(7)

2 ( 3,1) ( 1,0)

(1) (2)

a b

a b a b

  



 

  ^，  

設設設設設

設設設設設設設設設設設

(1) 由內積的定義可得

3 ( 1) 1 0 3.

a b          

cos

3 3

3 1 1 0 2 a b

  a b ^

   

  

 

(2) 設 a ^ 設 b ^ 設設設設設設設設設設 

  150 ^

設

(8)

1 1 ^{向量的夾角與內積}

兩向量垂直的判定法則：

(1) 0

(2) 0 a b

a b a b

 

 

   

設設設設設設設設設設設設

設設設設設設設設設

(9)

3 (3 , 1) 1

A

B x OA OB

B

     設設設設設設設設設設設

設設設設設設設設

設設設設設設設

( 1 , )

0 (3 , 1) ( 1 , ) (3 , 1) ( 1 , ) 0

B k

OA OB OA OB

OA OB k

k



  

  

  

   

 

設設設設設設設

設設設設設設

設

3 0 3

( 1 , 3)

k k

B

   



設設設設設設

設設設設設設設設

(10)

2 2 ^{內積的性質}

內積的基本性質：

2

, , (1)

(2) ( ) ( ) ( )

(3) ( ) (4)

a b c a b b a

a b a b a b a b c a c b c

a a a

  

  

    

     

 

  

   

     

      

  

設設

設

設設設設設設設設設 α 設設設設設設設設

(11)

4

60 1 2 3 2

a b

a  b  OP  a  b OP

 



    

^設



設設設設設設設設設設設設設

設設設設設設

設設設設

2 2

3 2 (3 2 ) (3 2 ) 9 12 4

OP a b a b a b

a a b b

    

  



      

   

設設

設 1 2

cos60 1 2 1 1 2

a b

a b a b

 

 

^

   

 

   

設設設設設

2

9 1

2

12 1 4 2

2

37 37

OP

OP OP

    



 



 

設設設

設設設設設設設

(12)

3 3 ^{柯西不等式}

柯西不等式：

(1) ,

/ / ( a b

a b a b

 

 

   

設設

設設設設設設設設設設設設設設設設設設

設設設設設設設設設設設設 )

2 2 2 2 2

1 2 1 2

1 2 1 2 1 1 2 2

1 2 2 1

(2) , , ,

( + )( + ) ( + )

a a b b

a a b b a b a b a b a b

a a





 

設設設設設設設設設設設設

設設設設設設設

設

(13)

5

2 2

, 3 4 5 ,

x y x  y  x  y x y

設設設設設設設設設設設設設設設設設設

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

( )(3 4 ) (3 4 ) 3 4 5

( ) 25 5 1

x y x y

x y

x y x y

   

 

  

 

設設設設設設設

設

設設設設設設設

設

(14)

5 3 4 x  y 設設設設設

設設

2 2

3 4 3 4 5

9 16 5 1

5 3 4

1 5 5

x k y k x y

k k k

x y x y

   

  

  

設設設設設

設設設設設設

設設設設設設設設設設

2 2

, 3 4 5 ,

x y x  y  x  y x y

設設設設設設設設設設設設設設設設設設

(15)

6

2 2 2

( 0) 3 4 5

C x y r r L x y r

C L

    

設設設設設設設設設設設設設設設

設設設設設設設設

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

( )(3 4 ) (3 4 ) 3 4 5 25 5

x y x y

x y x y r x y

r

   

   

 

設

設設設設設設設設

設設設設設

設

2

1

0 1 r

r







設設

設設設設設

設

由柯西不等式得

(16)

6 1 0 1

r C L



 

設設設設設設設設設設 ;

設設設設設設設設設設

1 5

, 4 5 r

C L



 

 

 

設設設設設設設設設設設設設設設設設設設設 3 設

5 1

r

C L

設設設設設設設  設設設設設設設

2 2 2

( 0) 3 4 5

C x y r r L x y r

C L

    

設設設設設設設設設設設設設設設

設設設設設設設設

(17)

4 4 ^正射影

向量的正射影：

2

, 0

a b b

a b

a b b b



  

 

 

   

 

  



設設

設

設設設設設設設設設設

設設設設設設設設

(18)

7   ^4,3   ^1,2

(1) (2)

設設設設設設

設設設設設設設設設設設設設設

 

 

a b

a b b a

 

2 2 2

4 1 3 2

1,2

1 2 2 1,2 a b

b b

   

  

  

 



 

  



(1) 設設設設設設 a  b 

設設設設設設設

(19)

7  

 

2 2 2

1 4 2 3 4 3 4,3 2 4,3

5 8 6

, b a

b a

   

  

  

 



 

  

 

  



設 (2) 設設設設設設設設設

  ^4,3   ^1,2

(1) (2)

設設設設設設

設設設設設設設設設設設設設設

 

 

a b

a b b a

b  a 

設設設設設設設

(20)

8  ^7,4    ^1,2

a   b  

設設設設設設設設設設設設設設設設設設設

     

2 2 2

7 1 4 2

1,2 3 1,2 3,6

1 2

7,4 3,6 4, 2

a b v a b

v a b b b

b a v

  

 

   

  

 

    

   

    

   



  

設設設設設設設設設設設設設設設設設設設設設

設設設設設設設設設

(21)

9

2 2 2 2 2 2

ABCD AB  BC  CD  DA  AC  BD

設設設設設設設設設設設設設設設設設設設設設設設設

AB DC a   BC  AD b 

     

設設設設設設設設設

AC AB BC a b BD AD AB b a

   

   

    

     設設設設設設

   

2 2

2

2 2

2 AC AC a b

a b a b a a b b

  

  



  

   

設 ①

5 5 ^{內積在幾何上的應用}

(22)

9    

2 2

2

2 2

2 BD BD b a b a b a b a b a

  

  

  



  

   

設 ^②

設設設設 ②

①



² ²



2 2 2 2 2 2

2 AC  BD  a   b   AB  BC  CD  DA 設設設設

2 2 2 2 2 2

ABCD AB  BC  CD  DA  AC  BD

設設設設設設設設設設設設設設設設設設設設設設設

設

(23)

10 a b      a  b 

設設設設設設設設設設

a  b 

設設設設設設設設設設設設設設設設設設設設設設設設設 [ 證明 ] 一

(1)

a b a b

a    b a b

 

   

設設設設設設設設設設設設設設設設

設設設設設設

設設設設設設設設設設設設設設設設設

設設設

(24)

10 (2)

a b

a b    a b

 

   

若與方向相同：

如右圖，

顯然可得。

(3)

a b

a    b a b

 

   

若與方向相反：

如右圖，

顯然可得。

(1) (2) (3)

a b      a  b  設設設設設

設 a b      a  b 

設設設設設設設設設設

(25)

10  

   

 

2 2

2 2 2 2

2 2

2 0

a b a b

a a b b a a b b

a b a b

  

      

   

   

       

    由

。 [ 證明 ] 二

a b      a  b 

設設設設設設設設設設

 

²

2

a b a b

  

   

設設

設設設

設

3-2 平面向量的內積