直角坐標平面直角坐標平面

平面位置的描述

自我評量 直角坐標

象限

搭配頁數 P.52

直角坐標平面

平面位置的描述

1. 寫出數線上 C 、 D 、 E 三點的坐標。

－ 4 － 2 5

P

－ 1

Q R

解 解

搭配頁數 P.53

　要描述在公路上某交通事故發生的位置，

只要把公路視為數線，里程數視為坐標，即可用數 線上的坐標做出明確的表示。但如果要描述平面上 某處的位置，就很難用一條數線上的坐標做有效的 表示。例如：要表示教室中每個學生的位置，常用 座位表表示，如圖 2-2 。

　圖 2-2 是小玫班上部分同學的座位表，其 中：

(1) 小玫坐在第 3 排第 2 個，若將小玫的座 位記成 (3 , 2) ；則第 2 排第 3 個是彥婷，

其座位可記成 (2 , 3) 。 (3 , 2) 與 (2 , 3) 表示不 同的位置。

(2) 維民坐在第 4 排第 5 個，維民的座位可 記成 (4 , 5) ；而第 5 排第 4 個是嘉成，其 座位可記成 (5 , 4) 。 (4 , 5) 與 (5 , 4) 表示不同 的位置。

　像 (3 , 2) 、 (4 , 5) 這種含有一對 ( 兩個 ) 數 的表示法，稱為數對。

一年甲班上體育課時，排成體操隊形準備做暖身 操，如下圖。如果義傑的位置在第 3 排第 4 個

，以數對 (3 , 4) 表示，則書豪的位置該如何表示

？

搭配頁數 P.54

書豪的位置是在第 4 排第 7 個，記成 ( 4 , 7)

以數對描述位置

解

1. 承例題 1 ，智淵與彥勳的位置又該如何 表示？

智淵 (1 , 5) ，彥勳 (5 , 5) 解

2. 承例題 1 ，如果信美的位置在 (5 , 6) ， 在上圖中標出她的位置。

信美

搭配頁數 P.54

解

　為了方便描述在平面上 某個點的位置，在平面上 作兩條互相垂直而且有共 同原點的數線，如圖 2- 3 。

其中，水平的數線稱為 x 軸，一般以向右的箭頭 表示正向；鉛垂的數線稱 為 y 軸，一般以向上的 箭頭表示正向。這兩條數 線所在的平面稱為直角坐 標平面，簡稱坐標平面。

直角坐標

搭配頁數 P.55

 在 y 軸上坐標為 － 3 的位置，畫一條 與 y 軸

　垂直的直線。則此兩條直線的交點 P 為數 對

(4 , － 3) 所表示的位置。稱 P 點的坐標為 (4 , － 3) ，記作 P( 4 , － 3) 。

直角坐標

(3) 如何找出數對 ( － 3 , 4) 所表示的位 置：

 在 x 軸上坐標為－ 3 的位置，畫一 條與 x 軸垂直的直線。

 在 y 軸上坐標為 4 的位置，畫一 條與 y 軸垂直的直線。

則此兩條直線的交點 Q 為數對 ( － 3 , 4) 所表示的位置。稱 Q 點的坐標為 ( － 3 , 4) ，記作 Q( － 3 , 4)

搭配頁數 P.56

如果以數對 (a , b) 表示 P 點在坐標平面 上的位置，則稱 P 點坐標為 (a , b) ，記 作 P( a , b) ，其中 a 稱為 P 點的 x 坐標或橫坐標， b 稱為 P 點的 y 坐標 或縱坐標。

點的坐標點的坐標

A(2 , 5) ：^為下面

兩條直線的交點 (1) 在 x 軸坐標為 2 的位置，畫一條與 x 軸垂直的直線。

(2) 在 y 軸上坐標為 5 的位置，畫一條與 y 軸垂直的直線。

B( － 3 , 2) ：為下 面兩條直線的交點 (1) 在 x 軸上坐標為

－ 3 的位置，畫一 條與 x 軸垂直的直 線。(2) 在 y 軸上坐標為 2 的位置，畫一條與 y 軸垂直的直線。

C( － 2 , － 4) ：為 下面兩條直線的交 點

A(2 , 5)

B( － 3 , 2)

C ( － 2 , － 4)

(1) 在 x 軸上坐標為

－ 2 的位置，畫一 條與 x 軸垂直的直 線。(2) 在 y 軸上坐標為

－ 4 的位置，畫一 條與 y 軸垂直的直 線。

(2) 在 y 軸上坐標為

－ 3 的位置，畫一 條與 y 軸垂直的直 線。

解

P(5 , 2) Q( － 3 , 3)

R( － 4 , － 2)

搭配頁數 P.57

解

　在例題 2 中，點 A( 2 , 5) 與 x 軸的

距離是 5 個單位長，與 y 軸的距離是 2 個單位長；點 B( － 3 , 2) 與 x 軸的距離是 2 個單位長，與 y 軸的距

離是 3 個單位長。

如果 P( a , b) 為坐標平面的一點，則 P 點 與 x 軸的距離為｜ b ｜個單位長，與 y 軸 的距離為｜ a ｜個單位長。

點與兩軸的距離

在坐標平面上分別標出 P( － 3 , － 5) 、

Q( － 2 , 4) 兩點的位置，並回答下列問題︰

(1)P 點與 x 軸的距離是多少個單位長？

與 y 軸的距離是多少個單位長？

(2)Q 點與 x 軸的距離是多少 個單位長？與 y 軸的距離 是多少個單位長？

(1) x 軸： 5 個單位長，

(2) x 軸： 4 個單位長，

y 軸： 3 個單位長。

y 軸： 2 個單位長。

５

３ ４ ２

搭配頁數 P.57

解

在坐標平面上分別標出 A( 3 , 0) 、 B( 0 , － 4)

、

C( － 5 , 0) 、 D( 0 , 2) 四點的位置。

(1) 在 x 軸上坐標為 3 的位置 , 畫一條與 x 軸垂 直的直線(2) 在 y 軸上坐標為 0 的位置 , 畫一條與 y 軸垂 直的直線 ( 即 x 軸 ) 。

(1) 在 x 軸上坐標為 0 的位置 , 畫一條與 x 軸垂 直的直線 ( 即 y 軸 ) 。

(2) 在 y 軸上坐標為 － 4 的位置 , 畫一條與 y 軸垂 直的直線

A(3 , 0)

B(0 , － 4)

C( － 5, 0)

D(0 , 2)

(1) 在 x 軸上坐標為－ 5 的位置 , 畫一條與 x 軸垂直的 直線

(2) 在 y 軸上坐標為 2 的位置 , 畫一條與 y 軸垂直 的直線

解

為下面兩條直 線的交點。

仿照同樣的方 法，即可標出 C （ － 5 ,

0 ）、 D （ 0 , 2 ）兩點的位 置。

為下面兩條直 線的交點。

在坐標平面上分別標出 P( 4 , 0) 、 Q( － 2 , 0)

、 R( 0 , 5) 、 S(0 , － 3) 四點的位置。

P(4 , 0) Q( － 2 , 0)

R(0 , 5)

解

搭配頁數 P.58

　由例題 3 與隨堂練習可以發現：

坐標 (a , 0) 表示在 x 軸上坐標為 a 的位 置。

坐標 (0 , b) 表示在 y 軸上坐標為 b 的位 置。

1. x 軸上的任意一點，其坐標為 (a , 0) 的形式。

2. y 軸上的任意一點，其坐標為 (0 , b) 的形式。

兩軸上點的坐標

搭配頁數 P.59

分別寫出坐標平面上 A 、 B 、 C 、 D 四點 的坐標。

過各點作垂直 x 軸與 y 軸的直線 A 點對應 x 坐標 2

對應 y 坐標 4

⇒ A 點坐標 ( 2 , 4)

B 點對應 x 坐標－ 3

，

⇒ B 點坐標 ( － 3 , 1) C 點坐標 ( － 5 , 0)

寫出點的坐標

對應 y 坐標 1

4 ( 2 , 4)

－ 3

1 ( － 3 , 1)

( － 5 , 0)

－ 3

解

分別寫出坐標平面上 E 、 F 、 G 、 H 四點 的坐標。

E( － 3 , － 4) F( 0 , 3)

G( 5 , － 2)

－ 4 ( － 3 , －

4)

(0 , 3)

5

－ 2

( 5 , － 2) 2

解

在坐標平面上：

(2) 由原點沿 x 軸向左移 動 4 個單位，再沿平 行 y 軸的方向向上移 動 3 個單位，可到達 B 點，求 B 點的坐標

。

(1) 由原點沿 x 軸向右移動 3 個單位，再沿平 行 y 軸的方向向下移動 2 個單位，可到達 A 點，求 A 點的坐標。

搭配頁數 P.60

求移動後的坐標

A 點的坐標為 (3 , － 2) B 點的坐標為 ( － 4 ,3)

A (3 , － 2) B( － 4 , 3)

2 ３

4 3

解

1. 在坐標平面上， P 點的坐標為 ( － 2 , 1) ，由 P 點沿平行 x 軸的方向向右移動 5 個單位，

可到達 D 點，再由 D 點沿平行 y 軸的方向向下移動 3

個單位，可到達 E 點。

在右圖中標出 D 、 E 兩 點，並寫出 D 、 E 兩點 的坐標。

D( 3 , 1) E( 3 , － 2)

3 5

解

P 點向上移動 6 單位

2. 在坐標平面上， P 點的坐標為 ( － 1 , － 4) 由 P 點沿平行 y 軸的方向向上移動 6 個單位，

可到達 D 點；若由 Q 點沿平行 y 軸的方向向下移動 3

個單位，再沿平行 x 軸 的方向向右移動 3 個單 位，也可到達 D 點，求 Q 點的坐標。

得 D( － 1 , 2) ^P( － 1 , － 4)

D ( － 1 , 2)

3

6

Q (x , y)

3

Q (x , y) 點向下、向右移動 3 單位得 D( － 1 , 2) y － 3 = 2 , x ＋ 3=

－ 1

⇒ y = 5 , x = － 4 ： Q ( － 4 , 5)

Q ( － 4 , 5)

搭配頁數 P.61

解

已知 P 點的坐標為 (1 , 2) ：

(1) 如果 P 點沿平行 x 軸的方向，向左或 向右

移動後，可到達 M 點，則 M 點的 y 坐 標是多少？

(2) 如果 P 點沿平行 y 軸的方向，向上或 向下移動後，可到達 N 點，則 N 點的 x 坐標是多少？

(1)2 (2)1

搭配頁數 P.62

如圖 2-5 ，坐標平面被 x 軸與 y 軸分割成四個 區域，數學上稱這四個 區域為四個象限。由右 上方起，依逆時針方向，

依序稱為第一象限、第 二象限、第三象限、第 四象限。這四個象限與 x 軸、 y 軸涵蓋了坐 標

平面上所有的點。 x 軸 與 y 軸上的點，不屬於 任何一個象限。

中國《易經》的「太極生兩儀，兩儀生四象，

四象生八卦」，其中兩儀是指月、日，也就是 陰、陽。如果將陰、陽互相組合，可以構成四 象，分別是「少陽」、「老陽」、「少陰」、

「老陰」，四象也可以用來代表春、夏、秋、

冬四季。

在數學的直角坐標平面上， x 、 y 兩軸所分割 而成的四個區域，就如同「四象」的對應，因 此以象限來命名。

象限的英文為 quadrant ，也是指「四分之 一」的意思。

搭配頁數 P.63

我們可以發現：

1. 在第一象限內的點，例如： (1 , 2) 、 (2 , 5) 、⋯⋯。

各點坐標的性質符號必為 ( ＋ , ＋ ) 。

2. 在第二象限內的點，例如： ( － 1 , 2) 、 ( － 2 , 5) 、

⋯⋯。

各點坐標的性質符號必為 ( － , ＋ ) 。

3. 在第三象限內的點，例如： ( － 1 , － 2) 、 ( － 2 ,

－ 5) 、

⋯⋯。各點坐標的性質符號必為 ( － , － ) 。

4. 在第四象限內的點，例如： (1 , － 2) 、 (2 , － 5) 、

⋯⋯。

各點坐標的性質符號必為 ( ＋ , － ) 。

配合前面學過兩軸的坐標形式，我們可以整理如 下：

搭配頁數 P.64

點在象限或兩軸上的判別

A 點坐標性質符號為 ( － , ＋ ) ，故 A 點在第二象限 內。B 點坐標性質符號為 ( ＋ , － ) ，故 B 點在第四象 限內。C 點坐標性質符號為 ( ＋ , ＋ ) ，故 C 點在第一象 限內。D 點坐標性質符號為 ( － , － ) ，故 D 點在第三象 E 點的 y 坐標為 0 ，所以 E 點在 x 軸上。限內。

F 點的 x 坐標為 0 ，所以 F 點在 y 軸上。

解

下表中，各點分別在哪一象限內或在哪一個 坐標軸上？

解

第三象限 x 軸上 第一象限

第四象限 y 軸上 第二象限

如果 a ＜ 0 ， b ＞ 0 ，則下列各點分別在哪一象限 內或在哪一個坐標軸上？

(1) A( a , b) (2)B( － b , a) (3) C( b － a , － a²) (4)D( 0 , － b²)

搭配頁數 P.65

點在象限或兩軸上的判別

(1) 因為 a ＜ 0 ， b ＞ 0 ，即 (a , b) 的性質符號是 ( － ,

＋ )所以 A 點在第二象限

(2) 因為 b ＞ 0 ，即－ b 為負數， ( － b , a ) 的性質符 號

是 ( － , － )所以 B 點在第三象限

(3) 因為 b － a ＞ 0( 正數減負數 ) ，－ a² 為負 即 (b － a , － a數， ²) 的性質符號是 ( ＋ , － ) ，

所以 C 點在第四象限

(4) 因為 x 坐標為 0 ， y 坐標不為 0 ， 所以 D 點在 y 軸上。

解

如果 a ＜ 0 ， b ＞ 0 ，則下表中各點分別 在哪一象限內或在哪一個坐標軸上？

解

第四象限 第一象限 第二象限 x 軸上

點的坐標：

如果數對 (a , b) 表示坐標平面上 P 點 的位置，則稱 P 點坐標為 ( a , b) ，記 作 P( a , b) ，其中 a 稱為 P 點的 x 坐標 ( 橫坐標 ) ， b 稱為 P 點的 y 坐 標 ( 縱坐標 ) 。

數對 (5 , 3) 表示在坐標平面上 x 坐 標是 5 ， y 坐標是 3 的點。

搭配頁數 P.66

P( － 4 , 3) 與 x 軸 的距離為｜ 3 ｜＝ 3

，

點與兩軸的距離：

如果 P( a , b) 為坐標平面上的一點，則 P 點與 x 軸的距離為｜ b ｜個單位長，

與 y 軸的距離為｜ a ｜個單位長。

與 y 軸的距離 為｜－ 4 ｜＝ 4

。

搭配頁數 P.66

兩軸上點的坐標：

(1 ) x 軸上的任意一點，其 y 坐標必為 0

，

可寫為 (a , 0) 的形式。( － 4 , 0) 在 x 軸上。

(2 ) y 軸上的任意一點，其 x 坐標必為 0 ，可寫為 (0 , b) 的形式。

( 0 , 3) 在 y 軸上。

(3) 原點的坐標為 (0 , 0)

象限：

直角坐標平面被 x 軸與 y 軸分割成四 個

區域，數學上稱這四 個區域為四個象限。

各象限的位置與象限

內點的坐標，其數對

的性質符號如右圖所

示。

明德玩「 BINGO 連線 」遊戲，如果菱形區

「 BINGO 」。完成 下列各小題：

(1) 寫出 A∼ F 各點 的坐標

搭配頁數 P. 67

A(3,2)

1

解

域內有 或 的情形，就稱該區域已

、 B(–2 ,5)

C(–5,0) 、 D(–3, –4)

E(0, –2) 、 F(5, –3)

(2) 請於上圖依序標出下列各點，直到有區域

「 BINGO 」時即停止標示。 G(2 , 3) 、 H(4 , –2) 、 I(–2 , –4) 、 J(0 , 3) 、 K(–1 , 4) 、 L(–2 , 0) 、

M(1 , –2) 、 N(–2 , 3) 、 P(4 , 1) 、 Q(0 , –3) 、 R(–4 , –4) 、 S(–4 , 1) 、 T(–1 , –2) 、 U(3 , –3) 、 V(4 , 3 ) 、 W(4 , 0) 、 X(–2 , 4) 、 Y(–3 , –2) 、 Z(4 , － 3) 。

標示至 R 點，即 有區域 BINGO 。

1

解

H I

J K

L

M N

P G

R Q

(B)

(3) 承 2 ，下列哪一個點會在「 BINGO 」的區域內

？

(A) H （ 4 , － 2 ） (B) I （－ 2 , － 4 ） (C) M （ 1 , － 2 ） (D) N （－ 2 , 3 ）

搭配頁數 P. 67

1

解

H I

J K

L

M N

P G

R Q

P 點的坐標為 (2 , － 3) ，由 P 點沿平行 y 軸的方 向向上移動 2 個單位，再沿平行 x 軸的方向向

左移動 5 個單位，可到達 Q 點，求 Q 點的坐標

。

－ 3 ＋ 2 ＝－ 1 ， 2 － 5 ＝－ 3 。

Q （－ 3 , － 1 ）

2

解

： Q （－ 3 , － 1 ）

下表中，各點分別在哪一象限內或在哪一個坐 標軸上？

搭配頁數 P. 68

3

解 A( 5 , –7 ) C(–300,108)

第四象限 x 軸上 第二象限

如果 a ＞ 0 ， b ＜ 0 ，則下表中各點分別在哪 一象限內或在哪一個坐標軸上？

4

解 P( –b, –a ) Q( ab, –a ) R(–a², –b )

第四象限 第三象限 第二象限

已知 A 點在坐標平面的 y 軸上，且距離 x 軸 5 個單位長，求 A 點的坐標。

搭配頁數 P. 69

A ( 0 , 5) 或 A ( 0 , – 5)

5

解

已知 A 點在坐標平面上第四象限內，且 A 點 與

x 軸的距離是 6 個單位長，與 y 軸的距離是 8 個單位長，求 A 點的坐標。

A ( 8 , – 6)

6

解

已知 P ( a , b ) 在第二象限，回答下列問題：

(1) a 是正數或負數？ b 是正數或負數？

(2) Q ( b , a ) 在第幾象限？

(3) R ( － a , b ) 在第幾象限？

(1) a 是負數， b 是正數 (2) 第四象限

(3) 第一象限

7

解

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直角坐標平面

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