28 圓錐曲線上的格子點問題

(1)

28 圓錐曲線上的格子點問題

本文的主要目的是要探討圓錐曲線上的格子點問題。底下是整數論常用有關因數，倍數 的一個引理：若 d 為正整數， ,a b 為整數且d a d b∣ , ∣ ，則

, d am∣ bn 其中 ,m n 為整數。

例題 28.1 設分數 9 9

x

y與分數 x

y 相等，其中 ,x y 為阿拉伯數字。試求 ,x y 的值？

【解】由題意知

10 9

9 90 9 0 90

10 0

( 1)( 10) 10.

x x

xy x y y y

xy x y x y

     



   

    

因此

例題 28.2 設 ,m n 為正整數且

3 1

1 n mn



 亦為正整數。試確定 ,m n 的值。

【解】由(mn1) (∣n³1),(mn1) (∣mn1)得

3 2 2

3 3 2 2 3

( 1) ( 1) ( 1) ,

( 1) ( 1) ( 1)( 1) 1.

mn n m mn n n m

mn n m mn m n mn m

      



       



∣

∣ 故

3 3 2

1 1

, ,

1 1 1

n m n m

mn mn mn

  

  

皆為正整數。由於 ,m n 對稱的關係，我們假設m n 1。又 ,m n 不可能同時是 1，所以

(2)

有m2(mn1)及n² mn2(mn1)。故得

2

1,2,3, 4.

1 n m mn

 

 或

(1) 若

2

1 1, n m mn

 



則 (n1)(m  n 1) 2，即 ( , ) (5,2),(5,3)m n  。 (2) 若

2

1 2, n m

mn

 



則 (2n1)(4m2n 1) 9，即 ( , ) (2,2),(3,1)m n  。 (3) 若

2

1 3, n m

mn

 



則 (3n1)(9m3n 1) 28，即 ( , ) (2,1)m n  。 (4) 若

2

1 4, n m

mn

 

 則 ( , )m n 無解。

由對稱的關係可得到另外四組解

( , )m n (2,5),(3,5),(1,3),(1,2).

因此共有

( , )m n (5,2),(2,5),(5,3),(3,5),(2,2),(3,1),(1,3),(2,1),(1,2) 九組正整數解。

習題 28.1 三角形 ABC 是邊長為 15 的正三角形， P 為 BC 邊上的點。若線段長 , ,

PA PB PC 均為正整數，試求線段 PA 的長度。

(3)

習題 28.2 若分數 6 6

x

y與分數 x

習題 28.3 若分數 99 99

x

y 與分數 x

習題 28.4 試求

2 2

611 x  y  的正整數解 ,x y 。

習題 28.5 試求

2 2 3

(m n m)( n )(mn) 的正整數解 ,m n 。

動手玩數學

任意給定 7 個整數（可以相同），是否必有 4 個的和為 4 的倍數。

挑戰題

如果 p 是奇質數且滿足 2^p 1 1

p

 

（根據費馬小定理，此數為正整數）

是一個完全平方數。試求 p 的值。

阿廷-邱拉猜想

(4)

如果 p 是一個被 4 除之餘數為 1 的質數且正整數 ,x y 是滿足

2 2

4 x  py 

且離原點最近的正整數解，則 p 不能整除 y 。這是有名的阿廷-邱拉猜想。