勾股定理證明-G087
【作輔助圖】
1. 以 AB 為邊，向內作一正方形 ABKH ，以BC 為邊，向外作一正方形 BCED ，以 AC 為邊，向外作一正方形 ACFG (於證明過程第 1 點說明點 H 在 GF 上)。
2. 連接 EK , EF (於證明過程第 2 點說明 K E D共線)。
3. 過 K 作 KM // AE ，交 EF 於 M 點。
A
N
B C
D E
F
G
H K
P M L O
【求證過程】
以直角三角形 ABC 的三邊分別向內向外作正方形，先證明圖中的三角形全等，再 經過全等圖形的增補與移除關係後，可得到正方形 ABKH 的面積會等於正方形 BCED 與正方形 ACFG 的面積和，來推出勾股定理的關係式。
1. 先證明三角形 GAH 與三角形 CAB 全等，再得到點 H 的位置在 GF 上：
因為 AH AB, AG AC, GAH 90 HAC CAB，所以 GAH CAB
(SAS 全等).
得到HGA BCA90，又FGA90，所以
點 H 在 GF 上，即 G H F共線。
2. 先證明三角形 DKB 與三角形 CAB 全等，再得到 K E D共線：
因為 KB AB, BDBC, DBK 90 NBC CBA，所以 DKB CAB
(SAS 全等).
得到BDK BCA90，又BDE90，所以 K E D共線。
3. 證明三角形 HFO 與三角形 KEP 全等：
因為 GAH CAB DKB，所以 BKD HAG, GADK, GH DB.
在 HFO 和 KEP 中，因為 FHO90 GHA GAH DKB EKP，且 HFGFGH GA GH DKBDDKDEKE，又HFO KEP90，故
HFO KEP
(ASA 全等).
4. 證明三角形 FCE 與三角形 KDB 全等：
因為 FC ACKD, CE BD, FCE KDB90，所以 FCE KDB
(SAS 全等).
5. 證明三角形EKM 與三角形 KEP 全等：
因為 FCE KDB，所以KEM 90 FEC90 KBD EKP，又 KE KE , 90
EKM KEP
，故
EKM KEP
(ASA 全等).
又因為 HFO KEP，所以可得到
EKM KEP HFO
. 6. 證明三角形 MLK 與三角形 PLE 的面積相等：
因為 EKM KEP，所以
.
MLK EKM KLE
KEP KLE PLE
面積＝ 面積 面積
＝ 面積 面積 ＝ 面積
7. 證明三角形 EKN 與三角形 HFN 全等：
因為 EKM HFO，所以 EK HF, KEM FHO，又 KNE FNH，故 EKM HFO
(AAS 全等).
8. 證明三角形 MNK 與三角形 ONF 全等：
因為 EKM HFO, EKM HFO，所以
.
MNK EKN EKM
HFN HFO
ONF
面積＝ 面積 面積
＝ 面積 面積 ＝ 面積
9. 證明四邊形 OKPC 與三角形 BDK 的面積相等：
因為 MNK 面積 HFO面積 , MLK 面積 PLE面積，且 FCE KDB，所以
MNK MLK
O OKPC
NF PLE
FCE BD
ONLPC ONLP K
C
四邊形 面積＝五邊形 面積＋ 面積＋ 面積
＝五邊形 面積＋ 面積＋ 面積 ＝ 面積
＝ 面積.
10. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：
ABKH OKPC BCP ACOH
CAB
BDK BCP ACOH GAH
BDEP KEP BCP
正方形 面積＝四邊形 面積＋ 面積＋四邊形 面積
＋ 面積
＝ 面積＋ 面積＋四邊形 面積＋ 面積 ＝(四邊形 面積＋ 面積)＋ 面積
ACOH
BD
GAH
HFO BCP
EP
ACOH GAH
BDEP BCP H
＋四邊形 面積＋ 面積
＝四邊形 面積＋ 面積＋ 面積 ＋四邊形 面積＋ 面積
＝(四邊形 面積＋ 面積)＋(
ACOH BCED
FO G
AC AH
FG
面積 ＋四邊形 面積＋ 面積)
＝正方形 面積＋正方形 面積.
得到
2 2 2
, AB BC AC 即
2 2 2
. c a b
【註與心得】
1. 來源：這個證明出自於以下書籍或期刊：
Benj. F. Yanney and James A. Calderhead(1897). New and Old Proofs of the Pythagorean. The American Mathematical Monthly, 4(11), 251.
2. 心得：此題證明的關鍵在於證明三角形 HFO，三角形 KEP 與三角形 EKM 皆全等，
以及三角形 MNK 與三角形 ONF 全等，進一步透過平移與旋轉的拼圖方法證 明畢氏定理。
＜此題圖形的分割方式適合作為拼圖證明的教材＞
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
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