附錄集

附錄集

附錄一：第一階段開放性試題………96

附錄二：第二階段試題（前測試題）………..104

附錄三：第二階段試題之複本（後測試題）………..113

附錄四：第二階段試題信度及鑑別度分析表………..122

附錄五：第二階段試題之各題概念分析與作答統計………..…128

附錄六：線對稱概念訪談表（實驗教學後使用）………..145

附錄七：實驗組與對照組訪談記錄表………..149

附錄八：線對稱教學活動單(實驗組)………158

附錄九：線對稱教學活動單(對照組)………167

附錄十：線對稱概念研究流程表………..………176

附錄十一：雙向細目分析表………..178

附錄十二：前測試題之 Van Hiele 層次對照表……….179

（附錄一）

CD-MIT-對稱概念 問卷

姓名： 性別： 母語： 出生年月： 年 月 縣（市）： 學校： 班級： 測驗日期： 年 月 日

A. 當您想到『線對稱』時，您會想到些什麼東西？如有關對稱的圖像、文字、符號....等，請您 將腦中浮現出的，想到的，詳細的寫在下面。

B. 請您將所知道的，想到的有關線對稱的性質，詳細的寫在下面。

一、試在下列八種圖形中，各畫出一條對稱軸（也可能沒有對稱軸），並將圖形的對稱軸數量填 入下方括號內：

(1) (2) (3)

( ) ( ) ( ) (4) (5) (6)

( ) ( ) （ ） (7) (8)

( ) ( )

二、已知一四邊形 ABCD 為一個線對稱之圖形，∠A=40°∠B=60°，請將四邊形 ABCD 畫在下 方，並寫出∠C 的度數。

三、(1)下圖 A,B 兩點在圓 O 上，試在圓 O 上另外找 A'，B'兩點，使得ΔABO 與ΔA'B'O 成為線對稱之圖形

(2)承上題，使得ΔABO 與ΔA'B'O 互相對稱 的ΔA'B'O 有多少個？

( ) (A)有一個 (B)有兩個 (C)有三個 (D)有四個 (E)多於十個

四、下列各題都是對稱圖形的一部份，試以 AB 直線為對稱軸，將下列各題的完整圖形 畫出來：

（類型一）

(1) (2)

(3)

(4)

(5)

O A B

A

B

A

B

A

B

A

B

（類型二)

(1) (2)

(3) (4)

(5)

(6) (7)

B

A

A

B

B A

B A

A

B

A

B

五、找回失落的那一塊：

下列兩題，左半部虛線框內原是一個對稱圖形，請從各題之右半部（候選部份）挑出一個圖 (可複選)平移到左半部，使得左半部虛線框內整個圖形恢復原先的對稱狀態：

(A)( )

(1) (2) (3) (4)

(B)( )

(3) (4) (1) (2)

六、自由創作：加上一些線條或是點使原圖成為線對稱的圖形 (1) (2)

(3) (4) 候選部份

候選部份

七、剪紙遊戲：試判斷經過剪裁後的展開圖會是哪一個圖形。

(甲) 參考下列(1)~(4)折疊的步驟，並在選項(A)~(D)中選擇一個最適合的展開圖( )

(乙)

參考(1)~(5)摺紙及剪裁步驟，判斷展開後的圖形：

(1) (2)

(3) (4)

剪裁線

(A) (B)

(C) (D)

(4)

(5)

(1) (2) (3)

判斷展開後會形成哪個圖形？（ ）

八、右圖四邊形 ABCD 是個對稱圖形， BD 是其對稱軸，

若∠1=40° ∠4=30°

則下列選項有哪些是正確的？

(A) ∠2=40°

(B) ∠3=40°

(C) BD ⊥ AC (D) AC 被 BD 平分

九、右圖，B,C,D 三點在一直線上，∠ACE=30°

∠ACD=40°，首先 A 點以CE 為對稱軸做出 對稱點 A¹，其次，A¹點再以 BD 為對稱軸，做 出對稱點 A2，則

(1)∠A1 C A2= (2)線段AA 的中垂線與線段 BD 之夾角 ₂ ﹦

B

A

D

C

1 2

4 3

D

B

C

A

E

(A) (B) (C)

(D) (E)

十、在平面上有一固定的對稱軸 L 且有一些可以移動的點，時時刻刻對軸 L 呈現對稱狀 態。A，A'是這些點中，兩個互相對應的對稱點，則下列敘述哪些為真？

(1)A 及 A'兩點移動方向必須平行對稱軸

(2)A 及 A'兩點移動方向必須要相同才會維持對稱性

(3)在任一時刻 A 及 A'兩點行進方向的延伸線若有交點則必落在對稱軸 L 上 (4)A 及 A'兩點距離必需固定才會保持其對稱性

十一、在一線對稱圖形中，A、A' 與 B、B'為兩組對稱點，則下列敘述有哪些是 正確的？

(1)AA'=BB'

(2)AA 與 ' BB 平行 ' (3)A'B =AB '

(4)AB =A' B'

十二、如下圖，OB、OA 分別是面向 P 點的鏡子∠AOB=70°，Q，R 分別是 P

點在 OB 鏡子內及 OA 鏡子內成像的位置，則以下敘述哪些為真？

(1)∠QOR 的大小會受 P 點所在位置影響 (2)P 點愈接近 O 點，則∠QOR 愈接近 180°

(3) ∠QOR=140°不受 P 點位置影響 (4)OP 恰通過QR 線段的中點

(5)OQ =OR =OP

C. 請您寫出您認為的線對稱之定義

O B

A

P Q

R

附錄二

國中生 CD-MIT-對稱概念 問卷

姓名： 性別： 母語： 出生年月： 年 月 縣（市）： 學校： 班級： 測驗日期： 年 月 日 回答本問卷時應注意：

1.你有 45 分鐘的時間作答。

2.你可以把解題的過程寫出來，盡量表達自己的想法。

3.如果你的答案需要修改，請勿使用橡皮擦或是立可白，只要在錯誤的地方打個ㄨ即可。

4.或許你會覺得有些題目有點難，請不要擔心，你可以將它留到最後再做。

（ ）1.下列何者是線對稱圖形？

(甲) (乙) (丙)

(A) 只有甲 (B) 只有乙 (C) 只有丙 (D) 只有乙和丙 (E) 全部都是

（ ）2.下列何者是線對稱的圖形？

(甲) (乙) (丙)

(A)只有甲 (B)只有乙 (C)只有丙 (D)只有乙和丙 (E)全部都是

（ ）3. 下列五個圖形中，哪些是線對稱圖形？

(A) 只有乙和丙 (B) 只有甲 (C) 只有丙和戊 (D) 只有丙 (E) 全部都是

(甲)

( 乙 )

(丁) (戊)

(丙)

（ ）4.下列哪些是線對稱的圖形？

(.甲) (乙) (丙)

(丁) (戊)

(A) 全部都不是 (B) 只有丙丁 (C) 只有乙 (D) 只有丁 (E) 全部都是

（ ）5.下列何種圖形是「 」這個符號與其在鏡中所呈現的圖像？

（ ）6.下面的對稱圖形中，直線 L 為對稱軸，A、B 為一組對稱點，C、D 為另一組對稱點，E 點在直線 L 上，則下列敘述何者正確？

(A)∠AEB =∠CED

(B)AC 線段長=BD 線段長 (C) AE 線段長=ED 線段長 (D) BE 線段長=ED 線段長 (E) ∠AEC 大於∠BED

L

A

C

E

D B

(A) (B) (C) (D)

(E)

（ ）7.針對下面五個圖形中，下列敘述何者為真？

(A) 只有甲、戊是線對稱圖形 (B) 只有乙、丁是線對稱圖形 (C) 甲、丙、戊是線對稱圖形 (D) 只有丙、丁是線對稱圖形 (E) 全部都不是線對稱圖形

（ ）8.

正方形 ABCD 中，E 為 AD 上的一點（如 左圖），今將正方形 A 點一角沿著 BE 往內摺（如右圖），使得

∠A'BC = 20°試問，∠ABE 等於幾度？

(A) 20°(B)60°(C)70°(D)55°(E)35°

（ ）9. 座標平面上有個線對稱的圖形如左圖，如果每一格表示一個 單位，試問下列哪兩點的連線是其對稱軸？

(A)(0,0)與(8,8) (B)(1,0)與(5,4) (C)(4,0)與(4,7) (D)(4,3)與(5,5) (E) (4,3)與(3,4)

（ ）10. 以虛線為對稱軸，畫出左圖的對稱圖形應為下列四個選項中的哪一個？

D A

A D

B C B C

E

A' E

20

(A) (B) (C) (D) (E)

(甲) (乙) (丙) (丁)

(戊)

8

6 8 4 2

1 3 5 7

7 6 5 4 3 2 1

（ ）11.下列哪些三角形會與ΔABC 形成線對稱的圖形？

(甲)ΔFED (乙) ΔABE (丙)ΔBCD (丁)ΔABF (戊)ΔABD

(A)(甲)(乙)(戊) (B)(甲)(丁)(戊) (C)只有(甲) (D)(甲)(丙)(丁)

(E)全部都是

（ ）12. 以虛線為對稱軸，畫出左圖的對稱圖形應為下列四個選項中的哪一個？

（ ）13. 下列哪些選項是正確的線對稱圖形？

（ ）14. 下列那些形狀是線對稱的圖形？(甲)平行四邊形(乙)長方形(丙)菱形(丁)梯形 (戊)直角三角形

(A) 全部都是

(B) 只有(甲)(乙)(丙) (C) 只有(乙)(丙)(丁) (D) 只有(乙)(丙)(丁)(戊) (E) 只有(乙)(丙)

（ ）15. 在一線對稱圖形中，A、A' 與 B、B'為兩組對稱點，則下列敘述有哪些是正確的？

(甲)AA'=BB' (乙)AA 與 ' BB 平行 (丙)' A'B =AB ' (丁)AB =A' B' (戊)AB平行於A B' '

(A)全部都是正確的

(B) 只有(甲)(乙)(戊)是正確的 (C) 只有(乙)是正確的

(D) 只有(乙)(丙)(丁)是正確的 (E) 只有(甲)(乙)是正確的

C B A F

E

D

(A) (B) (C) (D)

(D) (B) (C)

(A)

（ ）16. 如下圖，OB、OA 分別是面向 P 點的鏡子∠AOB=70°，Q、R 分別是 P 點在 OB 鏡子內 及 OA 鏡子內成像的位置，則以下敘述哪些為真？

(A)∠QOR 的大小會受 P 點所在位置影響 (B) P 點愈接近 O 點，則∠QOR 愈接近 180°

(C) ∠QOR=140°不受 P 點位置影響 (D)OP 恰通過QR 線段的中點

(E) OP⊥QR

（ ）17. 在平面上有一固定的對稱軸 L 且有一些可以移動的點，時時刻刻對軸 L 呈現對稱狀態。

A，A'是這些點中，兩個互相對應的對稱點，則下列敘述哪些為真？

(A)A 及 A'兩點移動方向必須平行對稱軸

(B)A 及 A'兩點移動方向必須要相同才會維持對稱性

(C)在任一時刻 A 及 A'兩點行進方向的延伸線若有交點則必落在對稱軸 L 上 (D)A 及 A'兩點距離必需固定才會保持其對稱性

（ ）18. 右圖四邊形 ABCD 是個對稱圖形，BD 是其對稱軸，若∠1=40° ∠4=30° 則下列選項 有哪些是正確的？

(甲) ∠2=40° (乙) ∠3=40°

(丙) BD ⊥ AC (丁) AC 被 BD 平分 (A)只有(甲)

(B)只有(甲)(丙)(丁) (C)只有(乙)

(D) 只有(乙)(丁) (E) 只有(乙)(丙)(丁)

（ ）19. 右圖(1)中，M、N 兩點為立方體兩個稜 邊上的中點，現在沿著MN將立方體

切割，切割面與另一邊交於 P 點，如 右圖(2)，則下列敘述哪些是正確的？

(甲) 切割後的立方體如圖(2)已經不 再是一個對稱體

(乙) 五邊形 ABCMN 是一個線對稱圖形

O B

A P

Q

R

B

A

D

C

1 2

4 3

A

C B

M A

M B

C

N N

P

A

B C

D

F E

(A)只有(乙)是正確的 (B)只有(甲)是正確的 (C)只有(乙)(丙)是正確的 (D)只有(甲)(乙)是正確的

(E)全部都正確

（ ）20.如下圖，O 點為圓心，AD=BC，∠A=40°，∠COD=120°，則∠AOB=？

(A)60°(B)50°(C)40°(D)30°(E)80°

（ ）21.ΔABC 為一個等腰三角形，

AB=AC ，分別以ΔABC 之三邊為對稱軸 作出ΔABC 之對稱圖形，由上述條件，

我們可以證明 AD、BE、CF 三線恰交於同一點，

這個結果告訴我們什麼呢？

(A) 我們只能確定唯有在這個三角形 ABC 才能有 AD、

BE、CF 三線交於同一點的結果。

(B) 在某些等腰三角形，但不是所有的等腰三角形都能有 AD、BE、CF 三線交於同一點的結果

(C)只要是等腰三角形 AD、BE、CF 三線一定會交於同一點 (D)隨便一個三角形都能有 AD、BE、CF 三線交於同一點的結果

(E)當∠A 為鈍角（比 90 度還要大）時 AD、BE、CF 三線不會交於同一點

O B

C

A

D

（ ）22. 這裡有兩個敘述：

(1)如果一個圖形是線對稱圖形，則他對應點的連線必定互相平行

(2)如果有一些對應點的連線互相平行則這些對應點必然形成一個線對稱的圖形 試問下列的選項中哪一個是正確的

(A)如果想證明敘述(1)是正確的，只要證明敘述(2)是正確的就可以了 (B)如果想證明敘述(2)是正確的，只要證明敘述(1)是正確的就可以了

(C)如果想證明敘述(2)是正確的，只要找到一些對應點連線互相平行的線對稱圖形即可 (D)如果想證明敘述(2)是錯誤的，只要找到一些對應點連線互相平行但卻不是線對稱圖形

即可 (E)以上皆非

23.(1)下圖 A,B 兩點在圓 O 上，【請在下圖圓 O 上另外找 A'，B'兩點，使得ΔABO 與ΔA'B'O 成為線對稱之圖形】

(2)承上題，使得ΔABO 與ΔA'B'O 互相對稱的ΔA'B'O 有多少個？ ( ) (A)有一個

(B)有兩個 (C)有三個 (D)有四個 (E)多於十個

（ ）24.甲、乙兩本幾何學書中，分別用下列方式定義線對稱圖形之對稱軸：

甲：「A、B 兩點的垂直平分線，為此兩點之對稱軸」

乙：「所有與 A、B 兩點等距離的點所形成的直線為此兩點的對稱軸」

下列敘述何者為真？

(A) 其中一本書的定義是錯誤的。

(B) 其中一本書籍的定義是錯誤的，就對稱軸而言，不可能有兩種不同的定義。

(C) 在其中一本書裡，對稱軸的性質必不同於另外一本書。

(D) 在兩本書的不同定義之下，對稱軸的性質仍會相同。

(E) 在這兩本書裡對稱軸的性質可能不同。

O

B A

（ ）25. 剪紙遊戲：試判斷經過剪裁後的展開圖會是哪一個圖形。

參考下列(1)~(4)折疊的步驟，並在選項(A)~(D)中選擇一個最適合的展開圖

（選項如下）

剪裁線

(1) (2)

(3) (4)

(A) (B)

(C) (D)

附錄三

國中生 CD-MIT-對稱概念 問卷

姓名： 性別： 母語： 出生年月： 年 月 縣（市）： 學校： 班級： 測驗日期： 年 月 日 回答本問卷時應注意：

1.你有 45 分鐘的時間作答。

2.請盡量將答案或是想法表達出來。

3.如果你的答案需要修改，請勿使用橡皮擦或是立可白，只要在錯誤的地方打個ㄨ即可。

4.或許你會覺得有些題目有點難，請不要擔心，你可以將它留到最後再做。

（ ）1.下列何者是線對稱圖形？

(甲) (乙) (丙)

(A) 只有甲 (B) 只有乙 (C) 只有丙 (D) 只有甲和丙 (E) 全部都是

（ ）2.下列何者是線對稱的圖形？

(甲) (乙) (丙)

(A)只有甲 (B)只有乙 (C)只有丙 (D)只有甲和丙 (E)全部都是

（ ）3. 下列五個圖形中，哪些是線對稱圖形？

(A)只有乙和丙 (B)只有甲 (C)只有丙和戊 (D)只有丁和戊 (E)只有丙

(甲) (乙) (丙)

(丁) (戊)

（ ）4.下列哪些是線對稱的圖形？

(.甲) (乙) (丙)

(丁) (戊)

(A) 全部都不是 (B) 只有丙不是 (C) 只有乙、戊 (D) 只有甲、丁 (E) 全部都是

（ ）5.下列何種圖形是 這個符號與其在鏡中所呈現的圖像？

(A) (B) (C) (D) (E)

（ ）6.下面的對稱圖形中，直線 L 為對稱軸，A、B 為一組 對稱點，C、D 為另一組對稱點，E 點在直線 L 上 則下列敘述何者正確？

(A)∠AEB =∠CED

(B) BE 線段長=ED 線段長 (C) AE 線段長=ED 線段長 (D) AC 線段長=BD 線段長 (E) ∠AEC =∠ACE

（ ）7.針對下面五個圖形中，下列敘述何者為真？

？

A

C

B

D E

(甲) (乙) (丙)

(丁) (戊)

A D A

B C

D

B C

E E

A'

28

(A) 只有甲、戊是線對稱圖形 (B) 只有乙、丁是線對稱圖形 (C) 甲、丙、戊是線對稱圖形 (D) 只有丙、丁是線對稱圖形 (E) 全部都不是線對稱圖形

（ ）8. 正方形 ABCD 中，E 為 AD 上的一點 (左圖)，今將正方形 A 點一角

沿著 BE 往內摺（如右圖），使得 ∠A'BC = 28°試問，∠ABE 等於幾度？

(A)28°(B)62°(C)56°(D)31°(E)14°

（ ）9. 座標平面上有個線對稱的圖形如左圖，如果每一格表示一個 單位，試問下列哪兩點的連線是其對稱軸？

(A)(4,3)與(4,8) (B)(3,5)與(6,5) (C)(2,2)與(6,6) (D)(7,8)與(2,1) (E) (4,3)與(3,4)

（ ）10. 以虛線為對稱軸，畫出左圖的對稱圖形應為下列四個選項中的哪一個？

（ ）11.下列哪些三角形會與ΔABH 形成線對稱的圖形？

(甲) ΔFED (乙) ΔFGH (丙)ΔABC (丁)ΔCDE (戊)ΔBCD

(A)(甲)(乙)(戊) (B)(甲)(丁)(戊) (C)只有(甲) (D)(甲)(丙)(丁)

(E)全部都是

(甲)

( 乙 ) ( 丙 )

8

8 4 6

2

1 3 5 7

7 6 5 4 3 2 1

O

E

F G H A

B

C

D

（ ）12. 以虛線為對稱軸，畫出左圖的對稱圖形應為下列四個選項中的哪一個？

（ ）13. 下列哪個選項是正確的線對稱圖形？

(A)

(B)

(D)

（ ）14. 下列那些形狀是線對稱的圖形？(甲)一條線段(乙)等腰三角形(丙)半圓弧(丁)梯形 (戊)直角三角形

(A) 全部都是

(B) 只有(甲)(乙)(丙) (C) 只有(乙)(丙)(丁) (D) 只有(乙)(丙)(丁)(戊) (E) 只有(乙)(丙)

（ ）15. 四邊形 ABCD 恰為一個線對稱圖形，且 AD 線段與 BC 線段平行，則下列敘述有哪些是正 確的？

(甲)在這個線對稱圖形中 A 的對稱點為 B，C 的對稱點為 D (乙)AB=CD (丙)AD=BC (丁)AC=BD (戊)AB 線段也會平行 CD 線段

(A) 全部都是正確的

(B) 只有(甲)(乙)(戊)是正確的 (C) 只有(乙)是正確的

(D) 只有(乙)(丁)是正確的 (E) 只有(丙)(丁)是正確的

(A) (B) (C) (D)

（ ）16. 正三角形 ABC 中有一動點 P 如下圖， 分別以 AB 及^AC 為對稱軸，做出對稱點 Q 及 R，則下列敘述何者

正確？

(A) ΔAQR 是個等腰三角形，而且 P 點移動時，其各 內角之角度仍不會改變

(B) ΔAQR 是個等腰三角形，但 P 點移動時，其頂角會 不斷地改變

(C) ΔAQR 不一定是等腰三角形，但是 P 點移至BC中點時，ΔAQR 恰為一個等腰 三角形

(D) ΔAQR 不一定是等腰三角形，但是 P 點移動後，其各內角之角度仍維持不變 (E) ΔAQR 在 P 點跑到三角形外面後便不存在了。

（ ）17. 平面上有一些會移動的點，時時刻刻以直線 L 為對稱軸而呈線對稱狀態，P、P’是其 中的一組對稱點，試著在下面的選項中找一個正確的敘述

(A) P 及 P'兩點移動方向必須要相同才會維持對稱性 (B) P、P'兩點移動方向必須平行對稱軸

(C) P 及 P'兩點距離必需固定才會保持其對稱性

(D) 在任一時刻 P 及 P'兩點行進方向的延伸線若有交點則必落在對稱軸 L 上

（ ）18. 右圖四邊形 ABCD 是個對稱圖形， AC是其對稱軸，

若∠1=30° ∠2=20° 則下列選項有哪些是正確的？

(甲) AC通過 BD 中點 (乙) ∠3=30°

(丙) BD ⊥ AC (丁)∠4=30°

(A)只有(甲)

(B)只有(甲) (乙) (丙) (C)只有(乙)

(D)只有(乙)(丁) (E)只有(乙)(丙)(丁)

B C

A

P Q

R

A

C D

1 B

2 3

4

（ ）19.下圖(1)中，A、B、C、D 為立方體四個構成正方形的頂點，P、Q、R、K 分別為四 個稜邊上的中點，現在分兩步驟切割此立方體，第一步，沿著 PK 將立方體切割，

切割面與另一邊交於 M 點，（如圖 2）第二步，沿著 QR 將立方體切割，切割面與 另一邊交於 N 點（如圖 2），則下列選項哪一個是正確的？

(A) 第一步驟切割後的立方體（圖 2）已經不再是個對稱體

(B) 第一步驟切割後的立方體（圖 2）雖然是個對稱體，但是經過第二步驟的切割後（圖 3），已經不再是個對稱體了。

(C) 經過第一步驟切割後的立方體（圖 2）雖然不是一個對稱體，但是經過第二步驟的切 割之後（圖 3），又再度成為一個對稱體。

(D) 不論是第一步驟切割後的立方體（圖 2）或是第二步驟的切割後的立方體（圖 3），都 仍然是個對稱體。

（ ）20.如下圖，圓心為 O 點的圓上有 A、B、C、D 四點，且AB=CD，∠A=30°，

則∠COD=？ (A)60°(B)100°(C)80°(D)120°(E)150°

A

B

C P D

K

B

A

C P D

K

M

Q

R Q

R

B

A

C P D

K

M

Q

R

N

(1) (2) (3)

O

D C

A

B

（ ）21. 這裡有兩個敘述：

(1) 如果一個圖形是線對稱圖形，則兩對應點跟對稱軸上一點的連線必定等長

(2) 若一對稱圖形之對稱軸上一點與圖形中兩點的距離一樣，則這兩點必互為對稱點 試問下列的選項中哪一個是正確的

(A)如果想證明敘述(1)是正確的，只要證明敘述(2)是正確的就可以了 (B)如果想證明敘述(2)是正確的，只要證明敘述(1)是正確的就可以了

(C)如果想證明敘述(2)是正確的，只要找到對稱軸上一點和兩對稱點連線等距離即可 (D)如果想證明敘述(2)是錯誤的，只要找到一組和對稱軸上一點之連線距離相等但卻不是

互為對稱點即可 (E)以上皆非

（ ）22.ΔABC 為一個等腰三角形，AC=BC，我 們分別以ΔABC 之三邊為對稱軸作出Δ ABC 之對稱圖形，由上述條件，我們可以 證明 AD、BE、CF 三線恰交於同一點，這 個結果告訴我們什麼呢？

(A) 我們只能確定唯有在這個三角形 ABC 才能有 AD、BE、CF 三線交於同一點 的結果

(B) 在某些等腰三角形，但不是所有的等腰 三角形都能有 AD、BE、CF 三線交於 同一點的結果

(C) 隨便一個三角形都能有 AD、BE、CF 三線交於同一點的結果

(D) 只要是等腰三角形 AD、BE、CF 三線一定會交於同一點

(E) 當∠C 為鈍角（比 90 度還要大）時 AD、BE、CF 三線不會交於同一點

23(1)下圖 P,Q 兩點在圓 O 上，試在圓 O 上另外找 P'，Q'兩點，使得ΔPQO 與ΔP'Q'O 成為線 對稱之圖形，請將兩點的位置畫在下圖中：

(2)承上題，使得ΔPQO 與ΔP'Q'O 互相對稱 的ΔP'Q'O 有多少個？

( ) (A)有一個 (B)有兩個 (C)有三個 (D)有四個 (E)多於十個

C A B

E D

F

Q

O P

（ ）24.甲、乙兩本幾何學書中，分別用下列方式定義線對稱圖形之對稱軸：

甲：「A、B 兩點的垂直平分線，為此兩點之對稱軸」

乙：「所有與 A、B 兩點等距離的點所形成的直線為此兩點的對稱軸」

下列敘述何者為真？

(A) 其中一本書籍的定義是錯誤的，就對稱軸而言，不可能有兩種不同的定義。

(B) 在兩本書的不同定義之下，對稱軸的性質仍會相同。

(C) 在其中一本書裡，對稱軸的性質必不同於另外一本書。

(D) 其中一本書的定義是錯誤的。

(E) 在這兩本書裡對稱軸的性質可能不同。

（ ）25. 剪紙遊戲：試判斷經過剪裁後的展開圖會是哪一個圖形。

參考下列(1)~(4)折疊的步驟，並在選項(A)~(D)中選擇一個最適合的展開圖

(C) (D) (A) (B)

(3) (4) (1) (2)

剪裁處

附錄四︰前測試題信度及鑑別度分析表 (一) 信度分析

RELIABILITY ANALYS IS --SCALE (ALPHA)

Item- total Statistics

Scale Scale Corrected

Mean Variance Item- Alpha if Item if Item Total if Item Deleted Deleted Correlation Deleted

原始題號

Q1 8.7124 12.5728 0.4262 0.6805 1 Q2 8.8627 12.368 0.4461 0.6775 2 Q3 9.0229 12.9864 0.2735 0.694 3 Q4 9.281 14.3732 -0.1196 0.7186 4 Q5 8.5817 13.3261 0.255 0.6958 5 Q6 8.5817 12.9523 0.3946 0.6858 10 Q7 8.7026 12.6621 0.4024 0.6828 6 Q8 9.2255 13.8342 0.0701 0.7088 7 Q9 9.0098 12.2392 0.4972 0.6728 8 Q10 9.0065 12.3475 0.4627 0.6762 9 Q11 8.902 12.4035 0.4333 0.6787 12 Q12 8.7255 12.6523 0.3947 0.6832 13 Q13 9.3399 14.2317 -0.059 0.7119 11 Q14 9.1111 13.1024 0.264 0.6949 14 Q15 9.1275 12.8591 0.3488 0.6877 15 Q16 9.1046 13.8972 0.0218 0.7151 17 Q17 9.0654 12.7367 0.3606 0.6862 18 Q18 9.0229 13.629 0.0882 0.7106 25 Q19 9.1732 13.9338 0.0222 0.7136 16 Q20 9.2386 13.6904 0.1278 0.7047 19 Q21 9.1797 13.361 0.2113 0.6991 20 Q22 8.9869 13.5343 0.1112 0.7088 21 Q23 9.317 13.4893 0.2936 0.695 23 Q24 9.0392 13.4411 0.1438 0.7056 24 Reliability Coefficients N of Cases = 306.0 N of Items = 24

Alpha 0.7049

R E L IA B I L I T Y A N A L Y S I S - S C A L E (A L P H A)

Item-total Statistics Scale Scale Corrected

Mean Variance Item- Alpha if Item if Item Total if Item Deleted Deleted Correlation Deleted

Q7 5.3137 7.3898 0.3439 0.5891 Q8 5.8366 8.183 0.0566 0.627 Q9 5.6209 7.0493 0.4485 0.5708 Q10 5.6176 7.0894 0.431 0.5737 Q11 5.5131 7.1949 0.3758 0.5824 Q12 5.3366 7.3388 0.3548 0.5871 Q13 5.951 8.473 -0.0547 0.631 Q14 5.7222 7.5587 0.2744 0.5995 Q15 5.7386 7.3544 0.3698 0.5856 Q16 5.7157 8.1845 0.0228 0.6353 Q17 5.6765 7.3474 0.3433 0.5886 Q18 5.634 8.0099 0.0757 0.6294 Q19 5.7843 8.2156 0.0252 0.6327 Q20 5.8497 7.9773 0.1607 0.6146 Q21 5.7908 7.7987 0.206 0.6093 Q22 5.598 7.8543 0.1289 0.6218 Q23 5.9281 7.8899 0.3038 0.6018 Q24 5.6503 7.8806 0.1263 0.6217

Reliability Coefficients

N of Cases 306 N of Items = 18

Alpha = 0.6203

****** Method 1 (space saver) will be used for this analysis ******

RELIABILITY AN ALYSIS - SCALE (ALPHA)

Item- total Statistics Scale Scale Corrected Mean Variance Item- Alpha if Item if Item Total if Item Deleted Deleted Correlation Deleted

Q1 5.8529 5.6734 0.3282 0.4854 Q2 6.0033 5.4328 0.3988 0.4668 Q3 6.1634 5.8552 0.2196 0.5076 Q4 6.4216 6.7037 -0.1189 0.5576 Q5 5.7222 6.0832 0.2019 0.5125 Q6 5.7222 5.8603 0.3263 0.4915 Q13 6.4804 6.5914 -0.0341 0.5412 Q14 6.2516 5.8545 0.2475 0.5023 Q15 6.268 5.6788 0.3411 0.4837 Q16 6.2451 6.4151 -0.0072 0.5517 Q17 6.2059 5.646 0.3274 0.4848 Q18 6.1634 6.2486 0.0509 0.5425 Q19 6.3137 6.3668 0.0299 0.5425 Q20 6.3791 6.2493 0.1183 0.526 Q21 6.3203 6.0414 0.1909 0.5138 Q22 6.1275 6.1509 0.0875 0.5355 Q23 6.4575 6.1375 0.2779 0.5061 Q24 6.1797 6.0561 0.1349 0.5253 Reliability Coefficients

N of Cases = 306.0 N of Items = 18

Alpha 0.531

****** Method 1 (space saver) will be used for this analysis ******

R E L I A B I L I T Y A N A L Y S I S - S C A L E (A L P H A) Item- total Statistics

Scale Scale Corrected Mean Variance Item- Alpha if Item if Item Total if Item Deleted Deleted Correlation Deleted

Q1 7.0523 8.4038 0.4428 0.6523 Q2 7.2026 8.2605 0.4512 0.6497 Q3 7.3627 8.7565 0.2813 0.6716 Q4 7.6209 9.9411 -0.1183 0.7045 Q5 6.9216 9.043 0.2677 0.6733 Q6 6.9216 8.7348 0.409 0.6596 Q7 7.0425 8.4933 0.4125 0.6561 Q8 7.5654 9.4006 0.1082 0.6883 Q9 7.3497 8.2216 0.4779 0.6466 Q10 7.3464 8.3255 0.4373 0.6518 Q11 7.2418 8.2758 0.4432 0.6507 Q12 7.0654 8.5662 0.3725 0.6606 Q19 7.5131 9.6015 0.0089 0.6996 Q20 7.5784 9.3987 0.116 0.6873 Q21 7.5196 9.1488 0.1894 0.6812 Q22 7.3268 9.2961 0.0874 0.6951 Q23 7.6569 9.2819 0.2548 0.6759 Q24 7.3791 9.1673 0.1381 0.6887 Reliability Coefficients

N of Cases = 306.0 N of Items = 18

Alpha 0.6853

****** Method 1 (space saver) will be used for this analysis ******

RELIABILITY ANALYS IS –SCALE (ALPHA)

Item- total Statistics

Scale Scale Corrected Mean Variance Item- Alpha if Item if Item Total if Item Deleted Deleted Correlation Deleted

Q1 7.2157 9.1664 0.4764 0.6756 Q2 7.366 9.0787 0.4606 0.676 Q3 7.5261 9.6403 0.2765 0.6972 Q4 7.7843 10.9107 -0.1406 0.7273 Q5 7.085 9.9141 0.2716 0.6975 Q6 7.085 9.5796 0.4178 0.6848 Q7 7.2059 9.3968 0.3942 0.6847 Q8 7.7288 10.4278 0.0552 0.7157 Q9 7.5131 8.9523 0.5189 0.6695 Q10 7.5098 9.077 0.4722 0.675 Q11 7.4052 9.1533 0.4319 0.6794 Q12 7.2288 9.3049 0.4172 0.6819 Q13 7.8431 10.7688 -0.0721 0.7182 Q14 7.6144 9.8574 0.2259 0.7022 Q15 7.6307 9.6763 0.2993 0.6947 Q16 7.6078 10.3769 0.0423 0.7205 Q17 7.5686 9.5051 0.3359 0.6907 Q18 7.5261 10.1714 0.0981 0.7163 Reliability Coefficients

N of Cases = 306.0 N of Items = 18

Alpha 0.7078

(二) 原始試題之鑑別度分析

前測試題之各題鑑別度

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

鑑別度參考數值

0.4---> 非常優良 12 0.3-0.4 優良，但可能需要修改 2 0.2-0.3 尚可，但通常需修改 5

<---0.2 劣，需淘汰或修改 6 這些是針對題目而言 (引自郭生玉，民 74，p.271)

附錄五

前測試題選項分析與各年級作答比較

（ ）1.下列何者是線對稱圖形？

(甲) (乙) (丙)

(A) 只有甲 (B) 只有乙 (C) 只有丙 (D) 只有乙和丙 (E) 全部都是

(A)選項：文字對應與線對稱之混淆強烈 (B)選項：具線對稱圖形辨識基本能力

(C)選項：平行或同向狀態與線對稱之混淆強烈 (D)選項：稍具平行混淆

(E)選項：兼具文字對應與平行概念混淆

（ ）2.下列何者是線對稱的圖形？

(甲) (乙) (丙)

(A)只有甲 (B)只有乙 (C)只有丙 (D)只有乙和丙 (E)全部都是

(A) 點對稱即是線對稱之迷失 (B) 對稱軸方向為鉛垂與水平 (C) 鉛垂對稱軸

(D) 無線對稱混淆

(E) 點對稱與線對稱混淆

（ ）3. 下列五個圖形中，哪些是線對稱圖形？

(A) 只有乙和丙 (B) 只有甲 (C) 只有丙和戊 (D) 只有丙 (E) 全部都是

(A) 具備線對稱之方向概念(方向相反)，但是對稱點與對稱軸距離相等概念仍未建立 (B) 線對稱之方向混淆(平行)

(C) 不完整保形

(D) 具備鉛垂方向保距、保形、方向概念 (E) 無保形概念

(甲)

( 乙 )

(丁) (戊)

(丙)

（ ）4.下列哪些是線對稱的圖形？

(.甲) (乙) (丙)

(丁) (戊)

(A) 全部都不是 (B) 只有丙丁 (C) 只有乙 (D) 只有丁 (E) 全部都是

(A) 線對稱之鉛垂對稱軸典範現象排他性高 (B) 生物性線對稱圖案混淆，

(C) 不具排他性的典範現象，對稱軸方向活躍 (D) 生物性線對稱圖案混淆

(E) 平行混淆，線對稱同向迷失概念，

（ ）5.下列何種圖形是「 」這個符號與其在鏡中所呈現的圖像？

(A) 同向概念迷失

(B) 上下顛倒迷失，點對稱與線對稱之混淆 (C) 具備鏡像概念

(D) 水平對稱軸典範 (E) 無保距概念

（ ）6.下面的對稱圖形中，直線 L 為對稱軸，A、B 為一組對稱點，C、D 為 另一組對稱點，E 點在直線 L 上

則下列敘述何者正確？

(A)∠AEB =∠CED

L

A B

(A) (B) (C) (D)

(E)

(E) ∠AEC 大於∠BED

(A) 對頂角錯誤概念 (B) 保距概念

(C) 無對應保距 (D) 無對應保距 (E) 無保角概念

（ ）7.針對下面五個圖形中，下列敘述何者為真？

(A) 只有甲、戊是線對稱圖形 (B) 只有乙、丁是線對稱圖形 (C) 甲、丙、戊是線對稱圖形 (D) 只有丙、丁是線對稱圖形 (E) 全部都不是線對稱圖形

(A) 同向或平行與線對稱概念混淆，典範現象排他性較高 (B) 對稱軸方向活躍

(C) 同向或平行與線對稱概念混淆 (D) 稍具方向相對概念

(E) 鉛垂排他性高，但無平行混淆

(甲) (乙) (丙) (丁)

(戊)

（ ）8.

正方形 ABCD 中，E 為 AD 上的一點（如 左圖），今將正方形 A

點一角沿著 BE 往內 摺（如右圖），使得

∠A'BC = 20°試問，

∠ABE 等於幾度？

(F) 20°(B)60°(C)70°(D)55°(E)35°

(E)具備 90 度為直角之概念，能操作線對稱之保角屬性

（ ）9. 座標平面上有個線對稱的圖形如左圖，如果每一格表示一個 單位，試問下列哪兩點的連線是其對稱軸？

(A)(0,0)與(8,8) (B)(1,0)與(5,4) (C)(4,0)與(4,7) (D)(4,3)與(5,5) (E) (4,3)與(3,4)

D A

A D

B C B C

E

A' E

20

8 7 6 5 4 3 2 1

(A) 對角線與對稱軸混淆

(B) 對稱軸上的點與對稱點等距概念正確 (C) 鉛垂典範

(D) 無保距概念

(E) 對稱點連線與對稱軸之混淆

（ ）10. 以虛線為對稱軸，畫出左圖的對稱圖形應為下列四個選項中的哪一個？

(A) 直線延伸策略 (B) 單邊反彈策略

(C) 保角且保距（鉛垂）

(D) 直角延伸策略 (E) 保距不保角

(A) (B) (C) (D) (E)

（ ）11.下列哪些三角形會與ΔABC 形成線對稱的圖形？

(甲)ΔFED (乙) ΔABE (丙)ΔBCD (丁)ΔABF (戊)ΔABD

(A)(甲)(乙)(戊) (B)(甲)(丁)(戊) (C)只有(甲) (D)(甲)(丙)(丁)

(E)全部都是 (A)(乙)(戊)選項無保形概念

(B)（戊）選項無保形概念 (C)鉛垂典範現象之排他性高 (D)保形概念，對稱軸無排他性 (E)無保形概念

（ ）12. 以虛線為對稱軸，畫出左圖的對稱圖形應為下列四個選項中的哪一 個？

(A) 點對稱與線對稱之混淆 (B) 鉛垂典範現象

(C) 垂直延伸策略或迷失

(D) 具備對稱點與對稱軸之關係判斷

C B A F

E

D

(A) (B) (C) (D)

（ ）13. 下列哪些選項是正確的線對稱圖形？

(A) 點

(B) 平 線 概 混 形 方

(C) 無 或

(D) 能

（ ）14. 下列那些形狀是線對稱的圖形？(甲)平行四邊形(乙)長方形(丙)菱形(丁)梯形 (戊)直角三角形

(A) 全部都是

(B) 只有(甲)(乙)(丙) (C) 只有(乙)(丙)(丁) (D) 只有(乙)(丙)(丁)(戊)

(D) (B) (C)

(A)

(E) 只有(乙)(丙)

(A)（甲）選項為平行混淆，（丁）選項為梯形之典範現象排他性高 （戊）選項為直角三角形之典範現象

(B)具備線對稱圖形判斷之基本推理

（ ）15. 在一線對稱圖形中，A、A' 與 B、B'為兩組對稱點，則下列敘述有哪些是正確的？

(甲)AA'=BB' (乙)AA 與 ' BB 平行 (丙)' A'B =AB ' (丁)AB =A' B' (戊)AB平行於A B' '

(A) 全部都是正確的

(B) 只有(甲)(乙)(戊)是正確的 (C) 只有(乙)是正確的

(D) 只有(乙)(丙)(丁)是正確的 (E) 只有(甲)(乙)是正確的

（甲）正方形為線對稱之迷失

（乙）對稱點連線與對稱軸垂直

（丙）保距 （丁）保距 （戊）平行迷失

（ ）16. 如下圖，OB、OA 分別是面向 P 點的鏡子∠AOB=70°，Q，R 分別是

P 點在 OB 鏡子內及 OA 鏡子內成像的位置，則以下敘述哪些為真？

(A)∠QOR 的大小會受 P 點所在位置影響 (B) P 點愈接近 O 點，則∠QOR 愈接近 180°

(C) ∠QOR=140°不受 P 點位置影響 (D)OP 恰通過QR 線段的中點

(E) OP⊥QR

(A) 動態現象影響保角判斷與應用 (B) 動點 P 的移動未將對稱屬性帶走 (C) 動態對稱之屬性保持

(D) 直覺錯誤 (E) 直覺錯誤

O B

A P

Q

R

（ ）17. 在平面上有一固定的對稱軸 L 且有一些可以移動的點，時時刻刻對軸 L 呈現對稱狀態。A，A'是這些點中，兩個互相對應的對稱點，則下列敘 述哪些為真？

(A)A 及 A'兩點移動方向必須平行對稱軸

(B)A 及 A'兩點移動方向必須要相同才會維持對稱性

(C)在任一時刻 A 及 A'兩點行進方向的延伸線若有交點則必落在對稱軸 L 上 (D)A 及 A'兩點距離必需固定才會保持其對稱性

(A) 平行移動為動態對稱之唯一條件 (B) 相同字眼與對稱之混淆

(C) 動態對稱之保角屬性 (D)固定字眼與對稱之混淆

（ ）18. 右圖四邊形 ABCD 是個對稱圖形， BD 是其對稱軸，

若∠1=40° ∠4=30° 則下列選項有哪些是正確的？

(甲) ∠2=40° (乙) ∠3=40°

(丙) BD ⊥ AC (丁) AC 被 BD 平分 (A)只有(甲)

(B)只有(甲)(丙)(丁) (C)只有(乙)

(D) 只有(乙)(丁) (E)只有(乙)(丙)(丁)

（甲）內錯角迷失

（乙）保角屬性

（丙）中垂線屬性

（丁）中垂線屬性

B

A

D

C

1 2

4 3

（ ）19. 右圖(1)中，M、N 兩點為立方體兩個稜 邊上的中點，現在沿著MN將立方體 切割，切割面與另一邊交於 P 點，如 右圖(2)，則下列敘述哪些是正確的？

(丁) 切割後的立方體如圖(2)已經不 再是一個對稱體

(戊) 五邊形 ABCMN 是一個線對稱圖形 (己) 切割後的立方體如圖(2)，其表面形狀

中有兩個大小形狀都一樣的五邊形 (A)只有(乙)是正確的

(B)只有(甲)是正確的 (C)只有(乙)(丙)是正確的 (D)只有(甲)(乙)是正確的 (E)全部都正確

A

C B

M A

M B

C

N N

P

(1) (2)

（ ）20.如下圖，O 點為圓心，AD=BC，∠A=40°，∠COD=120°，則∠AOB=？

(A)60°(B)50°(C)40°(D)30°(E)80°

（ ）21. 這裡有兩個敘述：

(1)如果一個圖形是線對稱圖形，則他對應點的連線必定互相平行

(2)如果有一些對應點的連線互相平行則這些對應點必然形成一個線對稱的圖形 試問下列的選項中哪一個是正確的

(A)如果想證明敘述(1)是正確的，只要證明敘述(2)是正確的就可以了 (B)如果想證明敘述(2)是正確的，只要證明敘述(1)是正確的就可以了

(C)如果想證明敘述(2)是正確的，只要找到一些對應點連線互相平行的線對稱圖形即可 (D)如果想證明敘述(2)是錯誤的，只要找到一些對應點連線互相平行但卻不是線對稱圖形

即可 (E)以上皆非

O B

C

A

D

A

B C

D

F E

（ ）22.ΔABC 為一個等腰三角形，

AB=AC ，分別以ΔABC 之三邊為對稱軸 作出ΔABC 之對稱圖形，由上述條件，

我們可以證明 AD、BE、CF 三線恰交於同一點，

這個結果告訴我們什麼呢？

(A) 我們只能確定唯有在這個三角形 ABC 才能有 AD、BE、CF 三線交於同一點的結果

(B) 在某些等腰三角形，但不是所有的等腰三角形都能有 AD、BE、CF 三線交於同一點的結果

(C)只要是等腰三角形 AD、BE、CF 三線一定會交於同一點 (D)隨便一個三角形都能有 AD、BE、CF 三線交於同一點的結果

(E)當∠A 為鈍角（比 90 度還要大）時 AD、BE、CF 三線不會交於同一點

23.(1)下圖 A,B 兩點在圓 O 上，【請在下圖圓 O 上另外找 A'，B'兩點，使得ΔABO 與ΔA'B'O 成為線對稱之圖形】

(2)承上題，使得ΔABO 與ΔA'B'O 互相對稱的ΔA'B'O 有多少個？

( ) (A)有一個 (B)有兩個 (C)有三個 (D)有四個 (E)多於十個

O

B A

記得畫圖

（ ）24.甲、乙兩本幾何學書中，分別用下列方式定義線對稱圖形之對稱軸：

甲：「A、B 兩點的垂直平分線，為此兩點之對稱軸」

乙：「所有與 A、B 兩點等距離的點所形成的直線為此兩點的對稱軸」

下列敘述何者為真？

(F) 其中一本書的定義是錯誤的。

(G) 其中一本書籍的定義是錯誤的，就對稱軸而言，不可能有兩種不同的定義。

(H) 在其中一本書裡，對稱軸的性質必不同於另外一本書。

(I) 在兩本書的不同定義之下，對稱軸的性質仍會相同。

(J) 在這兩本書裡對稱軸的性質可能不同。

（ ）25. 剪紙遊戲：試判斷經過剪裁後的展開圖會是哪一個圖形。

參考下列(1)~(4)折疊的步驟，並在選項(A)~(D)中選擇一個最適合的展開圖

（選項如下）

(A) 無保角操作概念 (B) 具備保角操作概念 (C) 水平保距典範 (D) 鉛垂典範強烈

剪裁線

(1) (2)

(3) (4)

(A) (B)

(C) (D)

附錄六 線對稱概念訪談表

ㄧ、對稱點概念： 姓名 班級 座號 (1) (a)請畫出一個線對稱圖形 電話

(b)給你一個『5』，先畫一個對稱軸，再畫出其對稱圖形

(2)下圖，B,C,D 三點在一直線上，∠ACE=30°，∠ACD=40°，首先 A 點以CE 為對稱軸做出對 稱點 A1，其次，A1點再以 BD 為對稱軸，做出對稱點 A2，則

(a)試在下圖中畫出 A¹及 A2之位置 (b)∠A1 C A2=

(c)線段AA 的中垂線與線段 BD 之夾角 ﹦ ₂

D

B

C

A

E

二、剪紙活動：

（甲）參考(1)~(5)摺紙及剪裁步驟，判斷展開後的圖形：

判斷展開後會形成哪個圖形？（ ）

(4)

(5)

(1) (2) (3)

(A) (B) (C)

(D) (E)

(乙) 參考下列折疊的步驟，並在選項中選擇一個最適合的展開圖 ( )

(1)

(2) (3) (4)

(5)

(A) (B)

三、補上一個圖形使得原圖形是個線對稱圖形。

四、利用虛線 AB 為對稱軸畫出對稱圖形

A

B

B

A

附錄七

實驗組與對照組線對稱概念訪談記錄

(1)(a)請畫出一個線對稱圖形

(b)給你一個『5』，先畫一個對稱軸，再畫出其對稱圖形 C1：對照組層次ㄧ

(a) 先畫三角形（直角三角形），【有對稱軸嗎？】對稱軸後補

(b) 無論對稱軸是斜或鉛垂線，兩個 5 都是呈現左右相反鉛垂方向的鏡射 E1︰實驗組層次一

不知道什麼是線對稱

(a) 鉛垂方向左右兩邊（分離）

(b) 無方向性，離對稱軸距離未考慮 E2︰實驗組層次一 跟陳婷一起

對稱點的位置有多種選擇，一個點的對稱點可以很多 認為同意 A2 比較合理

(a) 鉛垂方向長方形

(b) 一開始有考慮方向，但是並未持續，仍受平行迷失影響 E3︰實驗組層次一

(a) 鉛垂方向三角形，但是對稱軸左右並不相同（認知畫歪了因此笑了出來）

(b) 知道是要反過來，但是上下顛倒（類似點對稱），離對稱軸距離未考慮 C2︰對照組層次二

(a) 斜對稱圖，但類似點對稱

(b) 方向正確，角度也可以，但是有動態對稱之典範現象 C3：對照組層次二

(a) 斜對稱圖，但是為典範現象

(b) 方向正確，但與對稱軸之距離不同，斜對稱軸狀態時，畫的是典範位置 E4︰實驗組層次二

(a)畫一個【非】字

(b)鉛垂狀態下尚可，對稱軸斜的時候，只是上下錯開，無方向性。

C4：對照組層次三

(a)先畫對稱軸，再畫切割三角形

(b)斜對稱軸時掌握了長度而未掌握角度（偏直角）

E5︰實驗組層次二

(a) 鉛垂對稱軸，左右兩邊一樣 (b) 角度與長度皆考慮

E6︰實驗組層次三 (a) 斜對稱軸，對稱圖

C5：對照組層次四

(a) 鉛垂對稱軸，左右對稱之心形

(b) 鉛垂對稱軸時未考慮到與對稱軸之距離，斜對稱軸時方向錯誤 E7︰實驗組層次四（畫的好歪喔）

(a) 鉛垂對稱軸，兩個三角形，有注意到角度（修正）

(b) 鉛垂對稱軸時，達到鏡射效果；斜對稱軸時未注意到中垂線概念，因此傾斜度不足。（未能 保角）

C6：對照組層次四 (a) 先畫出對稱軸，

(b) 先寫 5，再畫對稱軸 E8：實驗組層次四

(a) 簡單就好，先畫長方形，再畫出對稱軸

(b) 鉛垂對稱軸時長度角度都有注意到；斜對稱軸時嘗試平行與非平行狀況，都掌握的不錯

(2)下圖，B,C,D 三點在一直線上，∠ACE=30°，∠ACD=40°，首先 A 點以CE 為對稱軸做出對 稱點 A¹，其次，A¹點再以 BD 為對稱軸，做出對稱點 A²，則

(a)試在下圖中畫出 A¹及 A²之位置 (b)∠A¹ C A²=

(c)線段AA 的中垂線與線段 BD 之夾角 ﹦ ₂

語意、圖形 心像 符號（性質） 訊號 C1：

(a) 無法下筆，一直沒有標角度上去，角度之認知有問題，【這個角度是多少？】【先畫第一個對 稱點】【妳知道 A1在哪裡嗎？是以 CE 為對稱軸，應該會在哪裡？】大概在這裡 A—C—A1(以 點為中心的對稱)【長度呢？】【A2是以什麼為對稱軸畫出來的】畫出ΔBDA2( 以 BD 為對稱軸 卻誤以為以 BD 為底 A2為頂點的三角形)

(b) 角度與長度之混淆（將角度視為長度）

D

B

C

A

E

(a) A—C—A1—C—A2（對稱即是左右，垂直即為鉛垂）將角度標在線段終點 30 度是指三個角 內角和為 90【說明角的含意，用圓說明】原先只畫點而沒有連線

(b) 認為是 180 度 (c) 中垂線為鉛垂線 E2︰

(a)A₁來自於鉛垂方向，角度為 40、30、40（說明鉛垂方向概念推展）

(b)∠A₁CE 應該是 40 度 (c) 中垂線是 CE

E3︰

(a) 無保角概念

(b) 認為∠A1CE 應該是 40 度（中間是 30 度）

(c) 不知道什麼是中垂線 C2︰

(a) 描點正確

(b) 角度不會計算（不會利用保角概念）

(c) 不懂題意 C3：

(a) 描點正確，了解不準的結果

(b) 雖然角度標出來了，仍以為 A₁CA₂三點共線 (c) 不懂題意

E4︰

(a) 對稱軸與對稱點的關係上，題意不清

(a) ∠A₁CA₂不知道怎麼求，先問她∠A₁CE=? 她能認知到是 30 度 (b) 中垂線很困難，高難度，需要圓規

C4：

(a) 對稱點位置正確

(b) 160，能利用保角概念計算

(c) 中垂線與鉛垂線之混淆，使用錯誤的對頂角概念進行推理 E5︰

(a) 對稱點位置大概正確，但是定點方式是使用保距而忽略保角（未使用中垂線概念）

(b) 80

(c) 未以垂直於對稱軸之直線畫之，而是以保距為主 E6︰

(a) 能以保角方式作圖 (b) 160

(c)能利用保角屬性推理，並試著猜答案

(b)原先算 80 度後來改成 200 度 (c) 能利用保角屬性推理

E7︰

(a) 能以保角概念作出對稱點 (b) 算出 200 但是懷疑其合理性

(d) 能利用保角屬性推理，但是對象弄錯一開始得到 50 度（∠A₁CD 之一半），後來改成 10 度，

最後改成 30 度 C6：

(a) 能以保角概念作出對稱點

(b) 一開始寫ＡＣ×2 ，【ＡＣ×2】（他將角度大小看成長度）【他問的是角度喔】是 180 嗎？【是 因為像 180 嗎】【妳的 A2怎麼來的？】想用計算紙【直接畫在上面，不要怕髒】複製過來，

角 ECA1可能是 40【妳把他連起來】好像是 30，【A1 怎麼畫出來的】算出 160

(d) 不知道意思【把他連起來】（【中垂線會通過Ｃ嗎？】）【那妳把中垂線畫出來或大概畫一下】

【畫出來可以算夾角嗎？】認為不能算，除非用量角器量，中垂線應該不會通過Ｃ E8：

(a) 能以保角概念作出對稱點 (c) 160

(d) 30，能利用保角屬性推理，清楚題意

二、剪紙活動：主要觀察心像操弄及修正歷程，其為具 體 心像操弄 （甲）參考(1)~(5)摺紙及剪裁步驟，判斷展開後的圖形：

判斷展開後會形成哪個圖形？（ ）

(4)

(5)

(1) (2) (3)

【說明裁法，摺完之後剪掉再打開，】

(乙) 參考下列折疊的步驟，並在選項中選擇一個最適合的展開圖 ( )

(D) (E)

(1)

(2) (3) (4)

(5)

C1：（無心像操弄，直觀猜測）

甲、B 原先看不出來【妳可以試著倒退走】

乙、C 說不出原因 E1︰（一次心像操弄）

甲、Ａ 裁掉部份為三角形，因此圖形展開後也是三角形缺角（一步復原）

乙、Ａ

E2︰（一次心像操弄）

甲、A 無構圖

乙、D 構圖、認為復原後對摺線為鉛垂方向 E3︰（一次心像操弄，無法藉助外部輔助體）

甲、A 無構圖 乙、C 無構圖

C2︰（已經有二次心像操弄，第一次操弄後以外部輔助體作圖，當作第二次操弄之參考，但是 第一次操弄受典範現象影響而造成錯誤）

甲、B 構圖，復原

乙、C---B 構圖，但以保距為主的復原

C3：（已經有二次心像操弄，第一次操弄後以外部輔助體作圖，當作第二次操弄之參考，但是 第一次操弄受典範現象影響而造成錯誤）

甲、B 構圖

乙、B 構圖，能保形 E4︰（一次心像操弄）

甲、C 構圖，倒退時以鉛垂方向為主 乙、A 無構圖

C4： （以摺紙之具體操作呈現於外部輔助體，再作第二次心像操弄）

甲、E 操作

乙、C 構圖及操作

E5︰（第一次心像操作結果以文字符號作為外部輔助體，但是第二次心像操弄時解碼錯誤）

(C) (D)

甲、A 以符號化系統操作 乙、C 構圖

E6︰（直接呈現二次心像操弄）

甲、B 構圖 乙、B 構圖

C5：（一、二次心像操弄同時呈現）

甲、D 構圖，兩步復原 乙、C 構圖，兩步復原 E7︰

甲、B 無構圖，能解釋（心像操弄）

乙、B 構圖，這邊剪一個角，打開以後注意到保角特性 C6：

甲、A 構圖，復原時以垂直摺線之方向為主

乙、B 構圖，不好看【可不可以到推回來看】這樣摺回來後面會有，兩層….我也不知道【先 不要管兩層，想想一層看看】【妳意思是說這兩段是一樣長的嗎？】（本來是保距後來 修改成保角

E8：

甲、D 構圖、復原時以第一次方向為主 乙、B 構圖、保形復原

三、補畫一個圖形使得原圖形是個線對稱圖形。

C6：原先不懂題意，要求老師說明【原先是不對稱的，還少一個圖案就對稱了】【如果這樣對稱的 話，對稱軸在哪裡？】（指出右上左下的對角線，先定點再作圖，並且不認為還有其他可能）

A

B

E3：將 F 的水平鏡像畫在左上角，對稱軸在原 F 之中央鉛垂方向 E4：將 F 的鉛垂鏡像畫在左上角，對稱軸在圖形中央鉛垂方向

E5：以右上左下對角線為對稱軸，畫出正確對稱圖形，並且考慮到另一種可能，將縮圖畫在右下 方。

E6：以右上左下對角線為對稱軸，畫出正確對稱圖形，並且考慮到另一種可能，在原圖以右下左 上對角線為對稱軸畫出另一種對稱圖形。

E7：以右上左下對角線為對稱軸，畫出正確對稱圖形，並且考慮到另一種可能，質疑圖形是否可 重疊。

E8：以右上左下對角線為對稱軸，畫出正確對稱圖形，並且考慮到另一種可能，將縮圖畫在右下 方。

C2、C3：需要教師提示題目之含意，以右上左下對角線為對稱軸，畫出正確對稱圖形，但是封閉 圖形，不認為還有其他可能。

C4：以右上左下對角線為對稱軸，畫出正確對稱圖形，不認為還有其他可能。

C5：封閉所有折線，對稱軸為個別方向，無整體對稱概念。

四、利用虛線 AB 為對稱軸畫出對稱圖形

C6：大概描一下【如果把 AB 當對稱軸】怪，【覺得畫不準】，懷疑自己的圖，【哪妳認為怎樣比 較準，妳會考慮什麼因素？】太上面，太遠【要近一點嗎】【修完之後覺得滿意嗎？】

C1︰平行延伸，與對稱軸無關 C2︰摺紙操作，調整方向 C3︰摺紙操作

C4︰摺紙操作

C5︰能調整角度，但忽略長度

C6︰一開始沒有注意到角度，有直角及平行之迷失，畫完後不滿意再度修改，但仍未能精確定點，

而是概略描繪，複製圖形

E1︰平行延伸，雖然會認為不像對稱，但仍不知道如何修改。

E2：平行延伸，分段，將圖形切割。

E3︰平行延伸，分段，整體

B

A

E4︰(1)概略對稱，但是角度尚未能精確(2)平行延伸

E5︰(1)水平典範，但是不確定是否正確而未下筆(2)角度概略正確，但是長度未考慮 E6︰(1)能修正角度與長度，

E7︰可以重疊嗎？想到第二條路，認知到長度一樣還是不夠。應該注意到角度相同才能準確（保 角 保形）

E8：採取心像操作，能利用中垂線概念定好對稱點，畫第二個圖將紙張旋轉成典範樣式完成。

附錄八 線對稱概念探索活動(1)

姓名 班級 座號 組別 學習單元：線對稱圖形之認識與欣賞

學習目標：能從觀察中去了解線對稱圖形之特徵

1. 你認為哪些圖形是線對稱呢？請將其編號圈起來：並且說明一下你的理由 你認為哪些圖形不是線對稱呢？請將其編號打

×

1 11

2 12

3 13

4 14

5 15

6 16

7 17

8 18

9 19

10 20

2. 你認為哪些臉譜是線對稱呢？說說你的原因：

3. 你認為線對稱圖形有什麼特性？

線對稱概念探索活動(2)

姓名 班級 座號 組別 學習單元：線對稱圖形之構成

學習目標：能從實際操作中觀察出線對稱圖形之對稱軸

（一）具體情境：將第一張紙對摺再對摺，並以圓規的尖端從紙面上戳一個洞，再將紙面展開，

用筆將戳破的洞連接起來，觀察一下，你看到了什麼圖形？跟組員討論看看，你們的想法 都一樣嗎？（將成果貼在下方，解釋一下你的答案）

（二）實驗觀察：嘗試不同的對摺方式，得到不同的圖形（將兩張紙貼在下方）找出兩個圖形的 共通處。

（三）創意發揮：利用剪紙的方式，剪出兩個線對稱圖形，這兩個線對稱圖形要如何擺，才能使 得整體看起來仍然是個線對稱圖形？展現一下你的創意！並說明你的想法。