勾股定理證明-G086
【作輔助圖】
1. 以 AB 為邊，向內作一正方形 ABKH ，以BC 為邊，向外作一正方形 BCED ，以 AC 為邊，向外作一正方形 ACFG (於證明過程第 1 點說明點 H 在 GF 上)。
2. 分別延長 GF 與 DE ，使其相交於 L 點(於證明過程第 2 點說明點 K 在 LE 上)。
3. 連接 LC ，使其與 HK 交於 M 點。
4. 延長 MC ，使其與 AB 交於 N 點。
L
A B
C
D E
F
G
H K
N M
【求證過程】
以直角三角形 ABC 的三邊分別向上向外作正方形，先證明圖中的三角形全等，推 得正方形 ABKH 的面積會等於兩個平行四邊形的面積和，再利用底高的面積計算得到 這兩個平行四邊形的面積和會等於正方形 BCED 與正方形 ACFG 的面積和，來推得勾股 定理的關係式。
1. 先證明三角形 GAH 與三角形 CAB 全等，再得到點 H 的位置在 GF 上：
因為 AH AB, AG AC, GAH 90 HAC CAB，所以 GAH CAB
(SAS 全等).
得到HGA BCA90，又FGA90，所以
點 H 在 GF 上，即 G H F共線。
2. 先證明三角形 DKB 與三角形 CAB 全等，再得到點 K 的位置在 LE 上：
因為 KB AB, BDBC, DBK 90 NBC CBA，所以 DKB CAB
(SAS 全等).
得到BDK BCA90，又EDB90，所以
點 K 在 LE 上，即 L K E 共線。
3. 證明三角形LHK 與三角形 CAB 全等：
因為 HK AB，又由平行關係可得到 LHK CAB與 LKH CBA，所以 LHK CAB
(ASA 全等).
4. 證明四邊形 HLCA與四邊形 LKBC 皆為平行四邊形：
由作圖的平行關係得知 HL // AC ，又因為 LHK CAB，所以 HL AC. 因此
四邊形 HLCA為平行四邊形.
同理， LK // CB , LK CB，故
四邊形 LKBC 為平行四邊形.
5. 找出平行四邊形與正方形的面積關係：
LKBC BC CE BCED
平行四邊形 面積＝
＝正方形 面積.
且
HLCA AC CF ACFG
平行四邊形 面積＝
＝正方形 面積.
6. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：
ABKH ABDKHG GAH DKB
ABDKHG GAH CAB
ACBDKH
ACBKH DKB
正方形 面積＝六邊形 面積－ 面積－ 面積
＝六邊形 面積－ 面積－ 面積 ＝凹六邊形 面積
＝凹五邊形 面積＋ 面積
ACBKH LHK
ACBKLH
LKBC HLCA
BCED ACFG
＝凹五邊形 面積＋ 面積
＝凹六邊形 面積
＝平行四邊形 面積＋平行四邊形 面積 ＝正方形 面積＋正方形 面積.
得到
2 2 2
, AB BC AC 即
2 2 2
. c a b
【註與心得】
1. 來源：這個證明記載於：
J. M. Richardson (1858). Note on the forty-seventh proposition of Euclid, Mathematical Monthly, 1(3), 354.
2. 心得：此題證明的作圖與 G085 相同。但證明過程卻多了一些步驟，先將正方形 ABKH 轉換為六邊形 ABDKHG 與三角形 GAH ，三角形 DKB 的關係，再透 過全等圖形的增補，得到正方形 ABKH 面積會等於平行四邊形 HLCA與平行 四邊形 LKBC 的面積和，進而推得勾股定理的關係式。
3. 評量：
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4. 說明：此題證明也可根據 Pappus 定理，容易地將幾何的證明轉換為代數的證明。
