附錄二 「三角形三心」教學活動講義與課後作業
2.1「相見歡──認識三角形三心」講義
一、 外心定義：如下圖，若有一個圓通過△ABC 三頂點，則這個圓稱為
△ABC 的外接圓，三角形稱為圓內接三角形，外接圓的圓心稱為外 心。
問題一：如何畫外接圓？找 與
問題二：外心（外接圓圓心）如何找？
z 先備知識：
中垂線性質：一線段的中垂線上任一點到此線段兩端等距離。
中垂線逆性質：與一線段兩端等距離的點必在此線段的中垂線上。
z 說明：
1.透過軟體的操弄，觀察三角形三邊中垂線是否會交於一點？請描 繪三個你認為不同的三角形於下面並說明理由或想法。
2.透過軟體的操弄，觀察三角形三邊中垂線的交點可否當作外心來 畫外接圓？請說明理由或想法。
z 結論：三角形三中垂線必相交於同一點，此點即為三角形的外 心。
問題三：外心到三角形 等距離，此距離為外接圓 的 。
1.透過軟體的操弄，你是否觀察到外心到三角形三頂點等距離？請 說明理由或想法。
2.運用外心到三角形三頂點等距離的特性，請舉生活例子說明之並 請描繪於軟體上與同學分享。
z 結論：三角形的外心至三頂點等距離，此距離即為外接圓半 徑。
問題四：三角形與圓的關係？任意一個三角形可畫 個外接 圓，任意一個圓可畫出 個內接三角形。
z 說明：
1.透過軟體的操弄，觀察任意一個三角形可以做出幾個不同的外心 並進而畫出外接圓？請說明理由或想法。
2.透過軟體的操弄，觀察任意一個圓可以做出幾個不同的內接三角 形？請說明理由或想法。
3.透過軟體的操弄，觀察圓內接三角形任兩邊中垂線的交點是否即 為圓心所在？請說明理由或想法。
z 結論：1.圓內接三角形任兩邊中垂線的交點（外心）即為圓心 所在。 2.任意一個三角形可畫出一個外接圓，任意一個 圓可畫出無限多個內接三角形。
二、 內心定義：如下圖，若有一個圓與△ABC 三邊相切，則這個圓稱為
△ABC 的內切圓，三角形稱為圓外切三角形，內切圓的圓心稱為內 心。
問題一：如何畫內切圓？找 與
問題二：內心（內切圓圓心）如何找？
z 先備知識：
角平分線性質：角平分線上任一點到此角的兩邊等距離。
角平分線逆性質：到一角兩邊等距離的點必在此角的角平分線上。
z 說明：
1.透過軟體的操弄，觀察三角形三角平分線是否會交於一點？請描 繪三個你認為不同的三角形於下面並說明理由或想法。
2.透過軟體的操弄，觀察三角形三角平分線的交點可否當作內心來 畫內切圓？
z 結論：三角形三角平分線必交於同一點，此點即為三角形的內
問題三：內心到三角形 等距離，此距離為內切圓 的 。
z 說明：
1.透過軟體的操弄，你是否觀察到內心到三角形三邊等距離？請說 明理由或想法。
2.運用內心到三角形三邊等距離的特性，請舉生活例子說明之並請 描繪於軟體上與同學分享。
z 結論：三角形的內心至三邊等距離，此距離即為內切圓半徑。
問題四：三角形與圓的關係？任意一個三角形可畫 個內切 圓，任意一個圓可畫出 個外切三角形。
z 說明：
1.透過軟體的操弄，觀察任意一個三角形可以做出幾個不同的內心 並進而畫出內切圓？請說明理由或想法。
2.透過軟體的操弄，觀察任意一個圓可以做出幾個不同的外切三角 形？請說明理由或想法。
3.透過軟體的操弄，觀察圓外切三角形任兩角平分線的交點是否即 為圓心所在？請說明理由或想法。
結論：1. 圓外切三角形任兩角平分線的交點（內心）即為圓心所 在。 2.任意一個三角形可畫 個內切圓，任意一個圓可 畫出 個外切三角形
三、 重心定義：如下圖，任意△ABC 的三條中線交於一點 G，則此 G 點 稱為△ABC 的重心。
問題一：重心如何找？
z 說明：
1.透過軟體的操弄，觀察三角形三中線是否會交於一點？請描繪三個 你認為不同的三角形於下面並說明理由或想法。
2.2「超級任務──三角形三心位置追追追」講義
一、 外心：如下圖一，外心為三角形三邊三中垂線的交點。
問題一：外心位在三角形何處？
圖一
z 說明：
1.透過軟體的操弄，從三角形三內角的度數的改變，觀察外心在三 角形位置上的變化並說明描繪於下。
2. 透過軟體的操弄，請觀察直角三角形斜邊中點是否到三頂點等 距離？請說明理由或想法。
z 結論：三角形為銳角三角形時，外心在三角形內部；
三角形為直角三角形時，外心在斜邊中點上；
三角形為鈍角三角形時，外心在三角形外部。
直角三角形斜邊中點到三頂點等距離。
問題二：圓內接三角形為直角三角形時，其斜邊必為 ，即 外接圓半徑為直角三角形斜邊 。
z 先備知識：
圓周角度數等於所對弧度數的一半。
z 說明：
1.透過軟體的操弄，請觀察內接直角三角形斜邊與外接圓直徑有何 關係？請說明理由或想法。
2.透過軟體的操弄，請觀察內接三角形的一邊為直徑時，此三角形 是否為直角三角形？請說明理由或想法。
z 結論：1.圓內接三角形的一邊為直徑時，此三角形必為直角三 角形，反之圓內接三角形為直角三角形時，其斜邊必為直徑。
2. 圓內接直角三角形中，外接圓半徑 R＝斜邊÷ 2 二、 內心：如下圖一，內心為三角形三內角平分線的交點。
問題一：內心位在三角形何處？
z 說明：
1. 透過軟體的操弄，從三角形三內角的度數的改變，觀察內心在 三角形位置上的變化並說明描繪於下。
z 結論：內心必在三角形內部。
問題二：在直角三角形中，內切圓半徑 r＝ 。 z 先備知識：
切線長性質：兩切線長等長。
z 說明：
1.透過軟體的操弄，觀察圓外切直角三角形兩股和與斜邊有何關 係？請說明理由或想法。
圖一
z 結論：圓外切直角三角形中，內切圓半徑 r＝（兩股和－斜邊）
÷ 2
三、 重心：如下圖一，重心為三角形三中線的交點。
問題一：重心位在三角形何處？
z 說明：
1. 透過軟體的操弄，從三角形三內角的度數的改變，觀察重心在 三角形位置上的變化並說明描繪於下。
z 結論：重心必在三角形內部。
問題二：重心在任一中線上的比例關係為何？
z 說明：
1. 透過軟體的操弄，觀察重心在任一中線上的是否有固定的比例 位置並說明描繪於下。
結論：三角形重心到一頂點距離等於它到對邊中點的兩倍 圖一
2.3「特搜任務──三角形的切割」講義
一、 如下圖一，三角形三頂點與內心的連線將△ABC 分成三個小三角 形，分別為△ABI、△BCI 與△ACI。
問題一：若定三個小三角形△ABI、△BCI 與△ACI 的底分別為
AB
、BC與CA，則其高為何？
問題二：△ABC 的面積＝
z 說明：
1.由之前說明知道內心到三角形三邊等距離，此距離為內切圓的半 徑，所以△ABI 以
AB
為底則其高為何？△BCI 以BC為底則其高為 何？△ACI 以CA為底則其高為何？是否都等長？2.（1）透過軟體的操弄，將△ABI、△BCI 與△ACI 的底
AB
、BC與CA合在同一水平線上。
（2）將三個三角形的頂點 I 合在一起，形成另一個三角形，請說 明此三角形與原△ABC 面積有何關係？
（3）新三角形面積為何？
圖一
z 結論：若△ABC 周長 s，內切圓半徑 r，則△ABC 的面積＝
rs 2
1
。二、 如下圖二，三角形三中線將三角形分成六個小三角形。
問題三：六塊小三角形的面積有何關係？
z 說明：
1. 透過軟體的操弄，移動任一小三角形的頂點或邊，觀察六塊小 三角形的面積有何關係？請說明理由或想法。
z 結論：三角形三條中線將三角形面積六等份。
問題四：等腰三角形的三心位置有何關係？
正三角形的三心位置有何關係？
z 說明：
1.透過軟體的操弄，觀察等腰三角形外心、內心與重心必在什麼線 上？請說明理由或想法。
2. 透過軟體的操弄，觀察正三角形外心、內心與重心位置有何關 係？請說明理由或想法。
z 結論：（1）等腰三角形的三心位置必在底邊中垂線（中線）
圖二
