    ，則所

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建國中學 106 學年度 第二學期 第一次段考 高二數學科

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( )1. 在空間中，下列哪一個向量在(0, 0,1)上的正射影長度最長？

(1)(1, 0, 5)− (2)(1, 1, 4)− (3)(− 2,1, 3)− (4)( 1, 3, 2)− (5)( 1, 2, 1)− −

( )2. 給定四點O(0, 0, 0)、A(0, 3, 0)、B( 2,1, 0)− 、C( 1,1,1)− ，設 OP

   

(1)0≤ ≤s 1、0≤ ≤t 1、0≤ ≤u 1 (2)0≤ ≤s 1、0≤ ≤t 1、− ≤ ≤1 u 0 (3)− ≤ ≤2 s 0、− ≤ ≤1 t 0、0≤ ≤u 1 (4)− ≤ ≤1 s 1、0≤ ≤t 2、− ≤ ≤ −2 u 1 (5)− ≤ ≤ −2 s 1、1≤ ≤t 2、− ≤ ≤1 u 1 ( )3. 下列哪個行列式的值最小？

(1)

1 1 2

2 2 4

1 2 1

−

−

− −

(2)

1 2 1

1 2 2

2 4 1

− −

−

−

(3)

1 2 1

2 4 2

1 1 2

−

−

− −

(4)

1 1 2

1 1 2

2 4 2

−

−

− −

(5)

1 1 2

2 3 2 3 4 6

1 2 1

−

− + − +

− −

( )4. 設A(1, 2, 3)、B( 2, 2, 9)− − 為空間中兩點，若點P x y( , , 0)在xy平面上，則PA+PB的最小 值為何？

(1)11 (2)12 (3)13 (4)14 (5)15 二、多選題

( )5. 下列有關空間中的敘述，試選出正確的選項：

(1)相異兩點恰可決定一直線 (2)相異三點恰可決定一平面 (3)相異兩直線恰可決定一平面

(4)一直線與一平面不可能恰有兩個交點 (5)兩平面不可能恰有一個交點

( )6. 下列有關空間中的敘述，試選出正確的選項：

(1)設直線L交平面E於點P，若在E上過P有一條直線與L垂直，則L垂直E

(2)設直線L₁垂直平面E於點P，直線L₂在E上但不過P，取L₁上異於P的點A及L₂ 上的點B，若PB垂直L₂，則AB垂直L₂

(3)設平面E₁交平面E₂於直線L，任取L上一點P，並過P分別在E₁、E₂上取直線L₁、L₂， (2)則L₁、L₂的夾角即為E₁、E₂的夾角

(4)三角形ABC在平面E上的投影只有可能是三角形或一線段

(5)兩平行直線L₁、L₂在平面E上的投影只有可能是兩平行直線或一直線

加入群翊 如虎添翼 三、填充與計算題

※「建中數學藝術聯盟」為推廣數學融入藝術之概念，打算設計一系列幾何圖形的花燈，並參加2019 臺北燈節之展出，以下為完成度最高之三件作品：

作品一 作品二 作品三

作品名稱：貽笑大方

設計理念：提醒世人不要不懂裝懂，

以免貽笑大方。

作品介紹：就是個邊長為 2 的正立方 體而已。

作品名稱：四面楚歌

設計理念：提醒世人台灣國際情勢的 險惡。

作品介紹：就是個邊長為 2 的正四面 體而已。

作品名稱：與你無圓

設計理念：圓又象徵錢，可是錢與你 無圓，諷刺現在的低薪時代。

作品介紹：就是個半徑為 3 的圓而已。

欣賞作品一，回答7至10題：

7. 設正立方體各邊所在的直線中，與AB





求數對( , )p q =__________

8. 為增加作品豐富度，設計者打算以A、B、H三點為頂點放入一塊三角羊皮紙，求此三角形 ABH 面積為__________

9. 設計者希望從E、F 、G、H四點各拉一條等長繩子，將燈泡固定在正立方體內且與平面 ABCD相距1.5處的O點，設A(0, 0, 0)、B(2, 0, 0)、D(0, 2, 0)、E(0, 0, 2)，求 OG OA

 

10. 若將正立方體直接放在地面上實在是太單調了，設計者打算將A點放在地面上就好，其他點要 懸空。假設A(0, 0, 0)、B( 3, 0,1)、 ( ¹, 3, ³)

2 2

A − ，求E點坐標為__________

欣賞作品二，回答11至14題：

11. 一開始創作此作品時，須將兩個正三角形依照正確的相對位置接合固定，所以必須先求出兩個 面的夾角，而兩個面的夾角可以藉由計算夾角的餘弦值約略估計。設平面ABD及平面BCD的 二面角為θ ，求cosθ 的值為__________

12. 設計者希望作品的體積不能太小，不然顯得不夠霸氣，求此正四面體的體積為__________

13. 設計者希望從A點拉一條繩子，將燈泡固定在與ABCD四點皆等距的O點，求OA長為_______

14. 為增加作品結構的強度，設計者想用一段竹竿連接AB及CD(即竹竿兩端分別在AB及CD上)，

並要求竹竿長度要最短，求此竹竿長度為__________

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欣賞作品三，回答15至16題：

15. 為增加作品豐富度，設計者打算在直徑PQ上加入一些幾何圖形：

(1)加入上中下三個相異小圓，三個小圓的圓心皆在直徑PQ上，且上、下兩小圓各自與大圓內 切，中間小圓與上、下小圓外切。因經費有限，三個小圓的面積總和越小越好，試問其面 積總和最小值為__________

(2)呈上題，為符合銅錢外圓內方的意象，將中間的小圓改成正方形，使得正方形的對角線交 點在直徑PQ上，且上、下兩小圓各自與正方形的邊相切，切點亦在直徑PQ上。因經費有 限，兩個小圓及正方形的面積總和越小越好，試問其面積總和最小值為__________

16. 在大圓中間加入正方形後，看起來的確像是一個銅錢了。但設計者又希望在銅錢周圍加上兩隻 蝙蝠，取其福在眼前、福祿雙全之意，且蝙蝠的落點與P、Q兩點必須共平面。設P(0, 0, 6)、

(0, 0, 0)

Q ，且第一隻蝙蝠落在點A(1, 2, 3)，第二隻蝙蝠落在點B t( −3,t−5,t+4)，試求t之值 為__________

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建國中學 106 學年度 第二學期 第一次段考 高二數學科簡答

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1. 2. 3. 4.

(1) (4) (3) (3)

一、多選題

1. 2.

(1)(4)(5) (2)(4)

二、填充與計算題

7. 8. 9. 10.

(4, 2) 2 2 ( 1,1, 0)− 3 3 ( , 1, )

2 2

− −

11. 12. 13. 14.

1 3

2 3 3

6

2 2

15. 16.

(1) 3π (2) 36 8

π π

+ 1.