(2)已知空間中兩點 P(－1，2，3)，Q(4，5，－6)，試求直線 PQ 的參數式為

Ch2.2 空間中直線方程式 二年____班 座號：____ 姓名：

重點 1：直線的方向向量

v

d (directional vector) 1.意義：空間中，非零向量

v

d 與直線 L 平行時，稱

v

d 為直線 L 的一個方向向量方向向量方向向量 方向向量 即空間坐標中，設直線 L 上有兩相異點 P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)，如右圖 則 PQ

v

為 L 的一個「方向向量」，以符號

v

d 表示，即

v

d // PQ

v

＝(x₂－x₁，y₂－y₁，z₂－z₁) 2.直線 L 的方向向量的性質：

(1)方向向量並不是唯一不是唯一不是唯一不是唯一的，且這些方向向量都互相平行互相平行互相平行互相平行。(x2－x1，y2－y1，z2－z1)稱為直線 PQ 的一組「方向數方向數方向數方向數」

(2)方向向量與直線 L 上的所有向量皆平行

◎方向向量

例 1.1：設 A(2，5，－1)，B(4，0，3)，試求直線 AB 的一個方向向量為________

重點 2：直線方程式－參數式 (parametric equation)

意義：設直線 L 通過點 A(x₀，y₀，z_o)，且 P(x，y，z)為直線 L 上任一點，如右圖 若

v

d ＝(a，b，c)平行AP

v

＝(x－x0，y－y0，z－zo)為直線 L 的一方向向量方向向量方向向量方向向量

則

 

 



+

= +

= +

= t c z z

t b y y

t a x x

0 0 0

，(t∈R 稱為參數)稱為直線 L 的參數式參數式參數式方程式參數式方程式方程式方程式，簡稱為參數式參數式參數式參數式

註：(1)直線的參數式並不是唯一的不是唯一的不是唯一的不是唯一的

(2)直線的參數式有動態的概念動態的概念動態的概念動態的概念，即當參數 t 在變動時，P 點在直線 L 上隨之滑動

◎參數式

例 2.1：(1)求通過 P(2，－3，4)，且與 v

v

＝(4，2，－1)平行之直線的參數式為__________

(2)已知空間中兩點 P(－1，2，3)，Q(4，5，－6)，試求直線 PQ 的參數式為__________

重點 3：直線方程式－對稱比例式、對稱式(symmetric form)、比例式(proportional form) 意義：設直線 L 通過點 A(x₀，y₀，z_o)，且 P(x，y，z)為直線 L 上任一點，

若

v

則 a x x− ₀

＝ b y y− ₀

＝ c z z− ₀

稱為直線 L 的對稱對稱對稱比例對稱比例比例比例式式式式 (或稱稱稱對稱稱對稱對稱式對稱式式、比例式式 比例式比例式) 比例式 註：(1)直線的對稱式或可由參數式得到(互換，見例 3.2)，且表示法並不是唯一的不是唯一的不是唯一的不是唯一的

(2)若 a⋅ b⋅ c＝0 (a，b，c 有一者為 0)時，則直線 L 的對稱比例式表示法見例 3.3

P(x1, y1, z1) Q(x₂, y₂, z₂)

L

d •

•

x

y z

L

d (a,b,c) A(x₀ , y₀ , z₀)

P(x, y,z)

O

◎對稱比例式

例 3.1：設直線 L 通過 A(－1，2，3)，B(4，1，5)兩點，試求直線 L 的對稱比例式

例 3.2：已知平面 E₁：x＋y＋z＝3 和 E₂：2x＋y＋3z＝7 相交於直線 L，試求直線 L 的參數式

重點 4：直線方程式－二面式 (兩相交平面的交線參數式)

1.意義：若 E₁：a₁x＋b₁y＋c₁z＋d₁＝0，E₂：a₂x＋b₂y＋c₂z＋d₂＝0 是兩個不平行不平行不平行的平面， 不平行 且交線交線交線為直線 L，即直線 L 的圖形為聯立方程式交線

 



= + + +

= + + +

0 0

2 2 2 2

1 1 1 1

d z c y b x a

d z c y b x

a ，如下圖

此聯立方程式稱為直線 L 的二面式二面式二面式二面式

2.直線的二面式求法：

(1)利用參數式

(2)先求出直線之方向向量

v

v 平行兩平面法向量的外積，

再將直線上之點代入求得參數式，如右圖

註：(1)一直線以二面式表示時，方式很多，並不唯一不唯一不唯一不唯一，如比例式也是一個二面式 (2)二面式中，利用聯立解(例 4.1)、外積(例 4.2)求得交線的方向向量

◎二面式

例 4.1：已知平面 E₁：x－y＋z＝4 和 E₂：3x＋y－2z＝6 相交於直線 L，試求直線 L 的一個方向向量 交線 E1

E₂ L

交線 交

線

重點 5：空間中直線與平面的關係

1.意義：空間中直線 L 和平面 E 的相交情形有下列三種：

2.判斷方法：

聯立方程式

 



的方程式 平面

的參數式 直線

E

L ，得到一個參數 t 的一元一次方程式，則：

(1)無實數 t 的解，表示直線 L 與平面 E 不相交，即直線 L 與平面 E 平行 (2)恰有一實數 t 的解，表示 L 與 E 交於一點

(3)有任意實數 t 的解，表示 L 落在平面 E 上

3.點對平面之投影點：若通過點知直線直線 L 垂直平面 E 時，則直線 L 和平面 E 的交點稱為投影點投影點投影點投影點

◎直線與平面的關係

例 5.1：設平面 E 的方程式為 3x＋2y－z＝2，試討論直線 L： 1 2 3

2 3 4

x− = y− = z+ 與平面 E 的關係

◎含點、直線之平面方程式

例 5.2：已知平面 E 包含點 P(2，3，5)與直線 L：

2

−1

x ＝

3

−2

y ＝

2

−3

z ，試求平面 E 的方程式

◎含交於一點兩直線的平面方程式 例 5.3：已知直 L1：

3

−1

x ＝

2

−2

y ＝

2 +1

z 與 L2： 4

−1

x ＝

3

−2

y ＝

2 +1

z 相交於一點，試求包含直線 L1與 L2的平面方程式 L

E

L 與 E 平行

L E

L 落在 E 上

L

E

點 P 的投影點 A A

P L

E

L 與 E 交於一點 P P

◎投影點

例 5.4 試求點 P(2，3，1)對平面 E：3x＋2y＋z＝－1 的投影點

重點 6：空間中直線與平面的夾角

意義：當空間中直線 L 與平面 E 相交於一點 P，且直線 L 對平面 E 的投影不為一個點時(即 L 與 E 不垂直)，

則直線 L 投影在平面 E 上會形成一條直線 L′，如右圖 此時直線 L 與 L′的夾角θ，稱為直線 L 與平面 E 的夾角 註：利用兩向量的夾角求θ

◎直線與平面的夾角

例 6.1：在坐標空間中有一未經申請許可飛行的無人機，其位置經測得為 A(4，4，8)。

航警在原點 O(0，0，0)處，面對無人機發射電磁干擾訊號，如右圖 試求此時電磁訊號方向與 xy 平面的夾角為何？

重點 7：空間中兩直線的關係

1.意義：空間中兩直線 L₁，L₂的關係有平行平行平行平行、重合重合重合重合、交於一點交於一點交於一點交於一點與歪斜歪斜歪斜歪斜，如下圖

其中○¹ 兩直線其方向向量方向向量方向向量方向向量平平平平行行行行，則兩直線可能為平行平行平行平行、重合重合重合重合；

○² 兩直線其方向向量方向向量方向向量方向向量不平不平不平不平行行行行，則兩直線可能為交於一點交於一點交於一點交於一點或歪斜歪斜歪斜歪斜 2.判斷方法：利用參數式求交點等判斷兩直線的關係

E

L₁ L2

L1與L₂平行

E

L₁ L2

L1與L₂交於一點 P P

E

L1

L2

L1與L₂重合

E₁

L₁

E₂ L2

L1與L₂歪斜 L

◎兩直線的關係

例 7.1：試判斷下列兩直線的關係：

(1) L1： 3 1 x−

＝ 1 2 y+

− ＝ 2

z 與 L2： 6 1 x−

− ＝ 1

1 y+

− ＝ 6

2 z−

− (2) L₁： 1

2 x−

＝ 1 3 y+

＝ 1 1 z+

− 與 L₂： 2 x

− ＝ 1

1 y−

＝ 3 2 z−

重點 8：空間中點到直線的距離

1.意義：空間中，直線 L 外一點 P 到直線的距離，即從點 P 作垂線 PQ 與 L 交於 Q 點，

則 d(P，L)＝ PQ 為所求，如右圖 2.求法：利用向量

v

PQ 與 L 的方向向量 v

v

垂直的性質，求得 Q 點的坐標，如圖 再計算 PQ ＝d(P，L)

◎點到直線的距離

例 8.1：試求點 P(1，2，3)到直線 L：

 

 



=

−

= +

= t z

t y

t x

2 6

4 3 6

，t 為實數，試求：

(1)由 P 點往直線 L 作垂線的垂足 Q 點坐標 (2) P 點到直線 L 的距離

重點 9：兩平行直線間的距離

1.意義：若兩直線 L1，L2互相平行時，其中 L1上的任意一點到 L2的距離都相等，如圖 則稱此段距離為兩平行線的距離兩平行線的距離兩平行線的距離，記作 d(L兩平行線的距離 ₁，L₂)

2.求法：在一直線上任取一點，求其到另一直線的距離，所得即為兩平行直線的距離

v

v

L

L1

L2

P

Q

◎兩平行直線間的距離 例 9.1：試求兩平行直線 L₁：

2

−1

x ＝

3 3

−

−

y ＝

2

−4

z 與 L₂： 2

−4

x ＝

3 2

−

−

y ＝

2

−8

z 的距離

重點 10：兩歪斜直線間的距離

意義：設兩條歪斜線 L1與 L2，作直線 PQ⊥ L1，直線 PQ⊥ L2，稱直線 PQ 為 L1與 L2的公垂線公垂線公垂線公垂線 則公垂線段 PQ 的長稱為兩條歪斜線 L1與 L2的距離

◎兩歪斜直線間的距離 例 10.1：已知直線 L1：

1

−1

x ＝

1

−2

y ＝

1 1

−

−

z 與 L2： 6

−8

x ＝

2

−7

y ＝

3 2

−

−

z 互為歪斜線，試求：

(1)直線 L1與 L₂的距離 (2)公垂線 L 的對稱比例式

◎兩歪斜線距離求法 例 10.2：已知直線 L₁：

2 +1

x ＝

2 2

−

−

y ＝

−1

z 和 L₂： 1

−3

x ＝

4 1

−

−

y ＝

1

−1

z 為兩歪斜線，試求：

(1)包含 L₁且與 L₂平行之平面 (2) L₁與 L₂的距離

L2

L1

L₃ E

P

Q R

P′

Q′

L1

L1

P

Q

公垂線 L₁

L2