數學平時考 班級：

數學平時考

班級： 座號：______ 姓名：__________

分數欄

一、計算題：

1. 試求下列極限值：

(1) 1 3 5 7 (2 1) lim 1 2 3

n

n n



      

   

 __________.

(2) lim( 1 )

n n n n

    __________.

(3) 2₂ 4₂ 6₂ 2₂

lim( )

n

n

n n n n

     __________.

2. 已知常數^a,b 滿足

3 2

2

lim 4 5

2 3

n

an bn n

n n



  

 ﹐則數對( , )a b =__________.

3. 1 1 1₂ 1₂ 1₃ (1 ) ( ) ( )

2 3 2 3 2

      __________.

4. 數列 a_n ，滿足2n 3 3n a _n (n1)²n²，試用夾擠定理求^limn an

 __________.

5. 3 2 2 lim 2 3 1

n n n

n n



  

  __________.

【Homework】

1. 已知 limⁿ 1

n n

  ，則lim 2ⁿ

n n

 __________.

2. 數列 a_n 中，已知前n項和為 1

( 1)( 2)

n 3

S  n n n ，則

1 2

1 1 1

lim( )

n^ a a   an __________.

3. 已知一各項均為正數的等差數列 a_n 中，首項為a₁且公差為d，且

1 1

1

n n

k k k

S  a a 





lim _n

n S

 __________.

4. 如下圖﹐一正方形的邊長為 12﹐以 3：4 的順序內分各邊﹐再連各分點得第二個正方 形﹐再以同順序內分第二個正方形各邊﹐連接各分點得第三個正方形﹐如此繼續下去﹐

則所有正方形的面積總和為__________.

5. 設一皮球自離地面 20 公尺的高處落下﹐每次反跳高度為其落下時高度的k（0 k 1） 倍﹒若在靜止前此球所經過的距離為 80 公尺﹐則k的值為__________.

6. 1 1 1 1

11 5 2 6 3 7 4 8    

     __________.

7. 數列 a_n 中，若 ₁ 1

a  ，且5 ₁ 6₁ 5 ,

n n n

a a _  _ n  ，則lim( ^{1 2} _n)

n a a a

    __________.

一、計算題：

1. 試求下列極限值：

(1) 1 3 5 7 (2 1) lim 1 2 3

n

n n



      

   

 __________.

(2) lim( 1 )

n n n n

    __________.

(3) 2₂ 4₂ 6₂ 2₂

lim( )

n

n

n n n n

     __________.

答案：(1)2；(2)1

2；(3) 1

解析：(1)原式

(1 2 1)

2 2

lim 2 lim lim 2

( 1) 1 1 1

2

n n n

n n

n

n n n

n

  

 

      

(2)原式

( 1 )( 1 ) 1 1

lim lim lim

1 1 1 2

1 1

n n n

n n n n n n

n n n n

n

  

    

   

     

(3)原式 ²

2 2

1 (2 2 )

2 1

lim lim lim 1

1

n n n

n n

n n n

n n

  

   

   

2. 已知常數^a,b 滿足

3 2

2

lim 4 5

2 3

n

an bn n

n n



  

 ﹐則數對( , )a b =__________.

答案：(0, 10) 解析：因為

3 2

2

lim 4 5

2 3

n

an bn n

n n



  

 ，可得a0

則

2 2

lim 4 5

2 3

n

bn n

n n



  



4 2 3

b n

n

 

 ﹐而且lim( ⁴)

n b b

n

     ﹐lim(2 ³) 2

n^ n 

所以由數列極限的四則運算﹐得

2 2

lim 4

2 3

n

bn n

n n



 



lim( 4)

3 2

lim(2 )

n

n

b n b

n





  

 

 ﹐即 5

2

b  ﹐得b 10

故( , ) (0, 10)a b   3. 1 1 1₂ 1₂ 1₃

(1 ) ( ) ( )

2 3 2 3 2

      __________. 答案：1

2

解析：原式 _{2 2 3}

1

1 1 1 1 1 1 2 3 1

(1 ) ( ) 1

1 1

3 3 2 2 2 1 1 2 2

3 2

            

 

 

4. 數列 a_n ，滿足2n 3 3n a _n (n1)²n²，試用夾擠定理求^limn an

 __________.

答案：2 3

解析： ^{2 2} 2 3 2 1

2 3 3 ( 1)

3 3

n n

n n

n n a n n a

n n

 

        



3 1

2 2

2 3 2 1

lim lim lim lim lim lim

3 ⁿ 3 3 ⁿ 3

n n n n n n

n a n n a n

n n

     

 

 

     

2 2

3 limⁿ aⁿ 3

    lim 2

n 3

n a

   5. 3 2 2

lim 2 3 1

n n n

n n



  

  __________.

答案：0 解析：原式

3 2 2 2 2

3 ( ) 0

3 3 3

lim lim 0

2 3 1 2 1 2

3 3

n

n

n n

n n n

n n

n

n n

n n n

 

   

 

   

  

 

【Homework】

1. 已知 limⁿ 1

n n

  ，則^{lim 2}_n^{n n}__________.

答案：1

解析： ^{21 2 21 2 21 2 2}

2 2

lim 2ⁿ lim[(2 ) ]ⁿ lim [(2 ) ]ⁿ [ lim (2 ) ]ⁿ 1 1

n n n n n n n n

        

2. 數列 a_n 中，已知前n項和為 1

( 1)( 2)

n 3

S  n n n ，則

1 2

1 1 1

lim( )

n^ a a   an __________.

答案：1

解析： ( 1)( 2) _{1 2 1}

n 3 n n

n n n

S     a a  a _ a

 

1 1 2 1

( 1) ( 1)

n 3 n

n n n

S _   a a a _

    

1

( 1)

[( 2) ( 1)] ( 1)

n n n 3

a S S _ n n n n n n

        

1 2

1 1 1

lim( )

n^ a a an

   

1 1 1

lim( )

1 2 2 3 ( 1)

n^ n n

   

   

1 1 1 1 1

lim[(1 ) ( ) ( )]

2 2 3 1

n^ n n

      

  lim(1 1 ) 1

1

n^ n

  



3. 已知一各項均為正數的等差數列 a_n 中，首項為a₁且公差為_d，且

1 1

1

n n

k k k

S 



lim _n

n S

 __________.

答案：

1

1 a d

解析：考慮： ¹

1 1 1

1 1 _{k k}

k k k k k k

a a d

a a a a a a



  

   



1 1

1 1 1 1

( )

k k k k

a a _ d a a _

  

故

1 2 2 3 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

lim _n lim[( ) ( ) ( )] lim( )

n n n

n n n

S d a a a a a a d a a

  

 

        

1 1

1 1 1 1 1 1 1

( )

1 1 1 1

lim lim lim

( ) ( )

n n n

a nd a nd d

d a a nd d a a nd a d a d a d

n

  

 

   

  

4. 如下圖﹐一正方形的邊長為 12﹐以 3：4 的順序內分各邊﹐再連各分點得第二個正方 形﹐再以同順序內分第二個正方形各邊﹐連接各分點得第三個正方形﹐如此繼續下去﹐

則所有正方形的面積總和為__________.

答案：294

解析：第 2 個正方形邊長：第 1 個正方形邊長

＝第 3 個正方形邊長：第 2 個正方形邊長

＝…

＝⁵ 12 :12 5 : 7

7 

又面積比等於邊長的平方比 故所有正方形的面積總和為

2

2 2

12 49

12 294 5 24

1 ( ) 7

  



5. 設一皮球自離地面 20 公尺的高處落下﹐每次反跳高度為其落下時高度的k（0 k 1） 倍﹒若在靜止前此球所經過的距離為 80 公尺﹐則k的值為__________.

答案：3 5

解析：一皮球自離地面 20 公尺的高處落下後﹐每次反跳的高度與落下的高度相同﹐且為前 次高度的 k 倍﹒因此在靜止前此球所經過的距離可列為

2 3

20 2(20  k 20k 20 k )

因為0 k 1﹐所以 ^{2 3} 20 20 2(20 20 20 ) 20 2

1

k k k k

          k

 

由題意知﹐靜止前此球所經過的距離為 80 公尺﹐因此可得 20 2 20 80

1 k

  k 

 ﹐兩邊同乘以1 20

k

得到 (1 k) 2k 4(1k)﹐解得 3

k5﹒

6. 1 1 1 1

11 5 2 6 3 7 4 8    

     __________.

答案：73 48 解析：原式

1

1 1

( 4)

n n n





 



考慮： 1 1 1 1 ( 4) 4

4 4 4 ( 4) ( 4)

n n

n n n n n n n n n n

         

   

1 1 1 1

( )

( 4) 4 4

n n n n

  

 

原式

1 1

1 1 1 1 1 1

1 ( ) 1 lim ( )

4 4 4 4

b

n n n b n n n



  

     

 

 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 lim[( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )]

4^b 1 5 2 6 3 7 4 8 5 9 b b 4

             

 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 24 12 8 6

1 lim(1 ) 1

4^b 2 3 4 b 1 b 2 b 3 b 4 4 24

  

           

   

50 48 25 73 1 96 48 48

    

7. 數列 a_n 中，若 ₁ 1

a  ，且5 ₁ 6₁ 5 ,

n n n

a a _  _ n  ，則lim( ^{1 2} _n)

n a a a

    __________.

答案：1 4

解析： ₁ 6_{1 1 2} 6₂ 6 ₂ 6 1 1 1₂

5 5 25 25 5 25 5

n n n

a a _  _  a a   a    



同理 ₃ 1_{3 4} 1₄ 1

, , ,

5 5 ⁿ 5ⁿ

a  a   a 

1 2

1 5 1

lim( )

1 4 1 5

n a a an

      

 