4-1 因式分解法解一元二次方程式
※一元二次方程式
可以化成
ax
2＋bx＋c＝0 型式的等式 ( 其中 a≠0 )。※一元二次方程式解的意義
(1) 將一個數代入一元二次方程式中，等號兩邊的值相等時，我們稱這個數是一元二次方程 式的解或根，而找出一元二次方程式的解或根的過程，我們稱為解一元二次方程式。
(2) 一元二次方程式等號兩邊同加上一個數、一個式子，或是同乘以一個不為 0 的數，所得 出的新方程式與原方程式有相同的解。
例題1. --- 判斷下列各式是否為一元二次方程式。
(1) x2＝5 (2) x ( x－3 )＝x2＋5x＋3
---
(1) x
2＝5 移項可得 x
2－5＝0，其中 x
2－5 是 x 的一元二次式，故 x
2＝5 是一元二次方程式。
(2) 由 x ( x－3 )＝x
2＋5x＋3，展開可得 x
2－3x＝x
2＋5x＋3，移項可得 8x＋3＝0，其中 8x＋3 是
x 的一元一次式，故 x ( x－3 )＝x2＋5x＋3 不是一元二次方程式。
隨堂練習--- 判斷下列各式是否為一元二次方程式。
(1) x2＋2x＋5 (2) ( x＋8 ) (－x＋7 )＝3－x2 (3) x2－6x＝－6x－x2
--- x2
＋2x＋5 不是等式，故不是一元二次方程式。
原式 －x
2－x＋56＝3－x
2－x＋53＝0 故不是一元二次方程式。
原式 2x
2＝0，故是一元二次方程式。
隨堂練習---
1. 下列各數中，哪些是一元二次方程式 x2－6x＋8＝0 的解？
(A) x＝－2 (B) x＝1 (C) x＝2 (D) x＝4
2. 下列各數中，哪些是一元二次方程式 x2－x＋＝0 的解？
(A) x＝－2 (B) x＝1 (C) x＝2 (D) x＝4
---
(C)(D)
將此方程式兩邊同乘以 6 得 x
2－6x＋8＝0，故選(C)(D)。
※利用因式分解法解一元二次方程式
為
a 和 b。
(2) 可利用提公因式、乘法公式或十字交乘法等因式分解法解一元二次方程式。
例題2. --- 解下列各一元二次方程式：
(1) x ( x＋2 )－7 ( x＋2 )＝0 (2) ( x＋1 ) ( x＋3 )＝6 ( x＋3 )
---
隨堂練習--- 解下列各一元二次方程式：
(1) ( 2x－5 ) x＋8 ( 5－2x )＝0 (2) ( 5x＋6 ) ( 3x－2 )＝7 ( 5x＋6 )
---
例題3. --- 解下列各一元二次方程式：
(1) x2－16＝0 (2) 9x2－25＝0
隨堂練習--- 解下列各一元二次方程式：
(1) x2－49＝0 (2) 4x2－9＝0
---
當一個一元二次方程式有兩個相同的解，我們稱這兩個解為一元二次方程式的重根或等 根。
例題4. --- 解下列各一元二次方程式：
(1) x2＋12x＋36＝0 (2) 4x2－28x＋49＝0
---
( x＋1 ) ( x－10 ) ( x－2 ) ( x＋5 )
隨堂練習--- 解下列各一元二次方程式：
(1) x2－16x＋64＝0 (2) 9x2＋12x＋4＝0
解下列各一元二次方程式：
(1) x2－3x－10＝0 (2) 6x2＋25x＝－14
---
隨堂練習--- 解下列各一元二次方程式：
(1) x2－x＝30 (2) 15x2＋7x＝4
---
化簡方程式後再求解
例題6. --- 解下列各一元二次方程式：
(1) ( x－5 ) ( x－1 )＝5 (2) x ( x＋3 )＝2 ( 3－x )
隨堂練習--- 解下列各一元二次方程式：
(1) ( x－9 ) ( x＋1 )＝－25 (2) 3x ( 2x－1 )＝2 ( 1－x )
---
方程式的係數化為整數再求解
例題7. --- 解下列各一元二次方程式：
(1) 0.1x2－1.2x＝－3.6 (2) x2－2x＋＝0
---
( x－6 ) ( 5x＋1 ) ( x＋3 ) ( 5x－2 )
隨堂練習--- 解下列各一元二次方程式：
(1) x2＋2x＝6 (2) 0.1x2－90＝0
---
使用新符號解方程式
例題8. --- 解下列各一元二次方程式：
(1) ( x－5 )2－6 ( x－5 )＋9＝0 (2) ( 2x＋7 )2－( 2x＋7 )－12＝0
---
隨堂練習--- 解下列各一元二次方程式：
(1) ( x＋4 )2＋10 ( x＋4 )＋25＝0 (2) 6－( x＋7 )－( x＋7 )2＝0
---
( x＋4 ) ( 4x＋3 ) ( 2x－5 ) ( 5x－2 )
4-1 自我評量 試判斷下列各方程式，化簡之後是一元二次方程式的請打「○」，不是的請打
「╳」：
( 每小題 4 分 )
( ○ ) (1) x2＋3x＝－x2－5x ( ○ ) (2) x2＋6x＝x2＋8 ( ╳ ) (3) x2＋3x＋7 ( ╳ ) (4) 42＋6x＋8＝0 ( ╳ ) (5) ( x＋5 ) ( x－6 )＝( x＋7 ) ( x－9 )
判斷下列各方程式，與一元二次方程式 x2＋6x＋17＝0 的解相同的請打
「○」，沒有的請打「╳」：
( 每小題 4 分 )
( ╳ ) (1) 6x＋17＝x2 ( ○ ) (2) x ( x＋9 )＝3x－17 ( ○ ) (3) x2＋2x＝ ( ○ ) (4) ( x＋8 ) ( x－2 )＝－33
解下列各一元二次方程式：
( 每小題 8 分 )
(1) 2x2－8＝0
原式 x
2－4＝0 ( x＋2 ) ( x－2 )＝0 x＝2 或 x＝－2 故方程式的解為 2 和－2。
(2) 6x2＝9x
原式 6x
2－9x＝0 3x ( 2x－3 )＝0 x＝0 或 x＝
故方程式的解為 0 和。
(3) ( x＋5 ) ( 3x＋1 )－( 2x－5 ) ( x＋5 )＝0
原式 ( x＋5 )〔( 3x＋1 )－( 2x－5 )〕＝0
( x＋5 ) ( x＋6 )＝0 x＝－5 或 x＝－6
故方程式的解為－5 和－6。
原式 ( 8x＋1 ) ＝0 x＝－ ( 重根 ) 故方程式的兩個解都是－。
(5) 9 ( 2x－1 )2＋6 ( 2x－1 )＋1＝0
令 2x－1＝A，
原式 9A
2＋6A＋1＝0 ( 3A＋1 )
2＝0 A＝－ ( 重根 ) 即 2x－1＝－，x＝ ( 重根 ) ，
故方程式的兩個解都是。
(6) x2＋( x＋7 )2＝( x＋8 )2
原式 x
2＋x
2＋14x＋49＝x
2＋16x＋64 x
2－2x－15＝0 ( x－5 ) ( x＋3 )＝0 x＝5 或 x＝－3
故方程式的解為 5 和－3。
(7) 2 ( x－4 )2＋5 ( x－4 )＝42
令
x－4＝A，原式 2A
2＋5A－42＝0 ( A＋6 ) ( 2A－7 )＝0 A＝－6 或 A＝
即
x－4＝－6 或 x－4＝，x＝－2 或 x＝，故方程式的解為－2 和。
(8) 0.2x2－1.2x＋1.8＝0
