高阶线性微分方程第六节

高阶线性微分方程 第六节

二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构

* 四、常数变易法

一、二阶线性微分方程举例

一、二阶线性微分方程举例

当重力与弹性力抵消时 , 物体处于 平衡状 态 ,

例 1. 质量为 m 的物体自由悬挂在一端固定的弹簧 上 ,

力作用下作往复运动 ,

x x 解 : o

阻力的大小与运动速度 下拉物体使它离开平衡位置后放开 ,

若用手向 物体在弹性力与阻

取平衡时物体的位置为坐标原点 建立坐标系如图 .设时刻 , t 物位移为 x(t).

(1) 自由振动情况 . 弹性恢复力

物体所受的力有

: c x

f  

成正比 , 方向相反 .建立位移满足的微分方程 .

据牛顿第二定律得

t x x

t c m x

d d d

d

2

2

   

2

,

m k  c ,

2 n _ m 

令 则得有阻尼自由振动方程 :

d 0 2 d d

d

2

2

  k x 

t n x t

x

阻力 t

R x

d

 d





(2) 强迫振动情况 .若物体在运动过程中还受铅直外力 作用，

t p H

F  sin 令 ，

h  m H 则得强迫振动方程 : t

p h

x t k

n x t

x sin

d 2 d d

d

2

2

  

n 阶线性微分方程的一般形式为 方程的共性

为二阶线性微分方程 .

例 1

, ) ( )

( )

( x y q x y f x p

y     

— 可归结为同一形式 :

) ( )

( )

( )

(

) 1

(

a x y a x y a x y f x

y



  

 

 时 , 称为非齐次方程 ;

0 )

( x 

f 时 , 称为齐次方程 . 复习 : 一阶线性方程 y   P ( x ) y  Q ( x )

通解

: ^{y  C e}

^

^{ e}

^

 ^{Q ( x ) e }

^{d x}

非齐次方程特解

齐次方程通解

Y y

0 )

( x 

f

二、线性齐次方程解的结构

) ( ),

(

1

x y x

若函数 y ^{是二阶线性齐次方程} 0

) ( )

(   

  P x y Q x y y

的两个解 ,

也是该方程的解 .

( 叠加原理 )

) ( )

(

1

1

y x C y x

C

y  

则 ( C

, C

为任意常数 )

定理 1.

说明 :

不一定是所给二阶方程的通解 例如 , y

( x ) 是某二阶齐次方程的解 , .

) ( 2

)

(

2

x y x

y  _{也是齐次方程的解} ) ( )

2 (

) ( )

(

1

1

y x C y x C C y x

C   

并不是通解 但是

) ( )

(

1

1

y x C y x

C

y  

则

为解决通解的判别问题 , 下面引入函数的线性相关与

线性无关概念 .

定义 : 设 y

( x ), y

( x ),  , y

( x ) 是定义在区间 I 上 n 个函数 , 的 k

, k

,  , k

, ^使得

I x

x y

k x

y k x

y

k

( ) 

( )   

( )  0 ,  则称这 n 个函数在 I 上线性相

关 , 否则称为线性无关 .

例如 ，

, sin

, cos

,

1

x

x 在 ( ,  ) 上都有 0

sin cos

1 

x 

x 

故它们在任何区间 I 上都线性相关 ; 又如 ，

, ,

,

1 x x

_{若在某区间 I 上} k

 k

x  k

x

 0 , 则根据二次多项式至多只有两个零点 , k

, k

, k

必需全为 0 ,

可见 ,

,

1 x x

故 在任何区间 I 上都 线性无关 .

若存在不全为 0 的常数

两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件 : y

( x ), y

( x ) _线性相关 存在不全为 0 的 k

, k

_使

0 )

( )

(

1

1

y x  k y x  k

1 2 2

1

) (

) (

k k x

y

x

y  

)

1

 0 k

) ( ),

(

1

x y x

y _线性无关

) (

) (

2 1

x y

x

y  ^常数

思考 : 若 y

( x ), y

( x ) 中有一个恒为 0, 则 y

( x ), y

( x ) 必线性 相关

2 1

, y

可微函数 y

定理 2. 若 y

( x ), y

( x ) 是二阶线性齐次方程的两个线 性无关特解 ,

则 y  C

y

( x )  C

y

( x ) 数 ) 是该方程的通解

. 例如 , 方 程

 0

 y 

y 有特解 y

 cos x , y

 sin x , _且

 常数 ,故方程的通解为 x

C x

C

y 

cos 

sin

推论 . 若 y

, y

,  , y

是 n 阶齐次方程

0 )

( )

( )

(

) 1

(

 a x y

  a

x y   a x y 

y



的 n 个线性无关解 , 则方程的通解为

)

1

(

1

y C

y

C

为任意常数 C

y     y x

2

 tan y

2

为任意常

1

,

( C C

三、线性非齐次方程解的结构

) (

* x

设 y 是二阶非齐次方程 的一个特解 ,

) (

* )

( x y x Y

y  

Y (x) 是相应齐次方程的通解 ,

定理 3.

) ( )

( )

( x y Q x y f x P

y     

则

是非齐次方程的通解 .

②

①

例如 , 方程 y   y  x _{有特解 y *  x}

x C

x C

Y 

cos 

sin 对应齐次方程 y  y   0 ^有通解

因此该方程的通解为

x x

C x

C

y 

cos 

sin 

定理 4. 设 y

( x ) ( k  1 , 2 , , n ) 分别是方程

的特解 , 是方程

) ,

, 2 , 1 (

) ( )

( )

( x y Q x y f x k n

P

y     

 





k

y

y

1

则

) ( )

( )

(

1

x f

y x Q y

x P

y

k







 

 

的特解 .

定理 3, 定理 4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程 .

定理 5.

) ( ,

), ( ),

(

1

x y x y x

y 

设 是对应齐次方程的 n 个线

性

) (

* )

( )

( )

(

1

1

y x C y x C y x y x

C

y     



无关特解 ,

给定 n 阶非齐次线性方

程

( )

( ) ( )

)

(

a x y a x y f x

y



  



) ( )

( x y x Y 



) (

* x

y 是非齐次方程的特解 , 则非齐次方程 的通解为

齐次方程通解 非齐次方程特解

常数 , 则该方程的通解是 ( ) .

3 2

1

, y , y

设线性无关函数 y 都是二阶非齐次线 性方程 y   P ( x ) y   Q ( x ) y  f ( x ) _{的解 ,}

2 1

,C

C _是任意

; )

( A C

y

 C

y

 y

; )

( )

( B C

y

 C

y

 C

 C

y

; )

1 ( )

( C C

y

 C

y

  C

 C

y

. )

1 ( )

( D C

y

 C

y

  C

 C

y

D

例 2.

提示 :

3 2

3

1

y , y y

y   都是对应齐次方程的解 , 二者线性无关 .

3 3

2 2

3 1

1

( ) ( )

)

( C C y  y  C y  y  y

3 3

2 2

3 1

1

( ) ( )

)

( D C y  y  C y  y  y

例 3. 已知微分方程 y   p ( x ) y   q ( x ) y  f ( x )

个解 y

 x , y

 e

, y

 e

, _{求此方程满足初始条件} 3

) 0 ( ,

1 )

0

(  y  

y _{的特解 .}

解 : y

 与 y

y

 y

是对应齐次方程的解 , 且

 

 





x e

x e

y y

y y

x x 1 2

3

1

2

常数

因而线性无关 , 故原方程通解为









 C

( e x ) C

( e

x )

y

x

代入初始条件 y ( 0 )  y 1 ,  ( 0 )  3 , 得 C

  1 , C

 2 , .

2 e

e

y  

故所求特解为

有三