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一元二次方程式

【十字交乘法解一元二次方程式】：

若解一元二次方程式ax²+bx c+ = ，其中0 a、b、c皆不為 0。

【範例】：x ＋5 x ＋6＝0 ⇒ ( x ＋2)( x ＋3)＝0 ， ∴ x ＝－2，－3。 ² x －² x －6＝0 ⇒ ( x ＋2)( x －3)＝0 ， ∴ x ＝－2，3。

x ＋3² x －10＝0 ⇒ ( x －2)( x ＋5)＝0 ， ∴ x ＝2，－5。

【範例】：解方程式：x ＋6² x＋8＝0。

解 ： x ＋6² x＋8＝0 ⇒ （x＋2）（x＋4）＝0 ∴ x＝－2 或－4。

【配方法解一元二次方程式】：

利用配方法解ax ＋² bx＋c＝0，其中a b c均為常數，且a＞0。

解 ：1.將 x²的係數化為 1，並將常數項移到等號右邊：

ax²＋bx＋c＝0 ⇒ x²＋b ax＋c

a＝0 ⇒ x²＋b

ax＝－c a 2.等號的兩邊各加上x項係數一半的平方：

⇒ x²＋b ax＋

2

2 b

a

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ＝－c a＋

2

2 b

a

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

3.等號左邊寫成完全平方，等號右邊合併化簡：

⇒

2

2 x b

a

⎛ + ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ＝－c a＋

2

4 2

b

a ^⇒

2

2 x b

a

⎛ + ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ＝

2 2

4 4 ac b

a

− +

4.等號兩邊開平方，移項化簡求出解：

⇒ 2

x b

+ a＝

2 2

4 4 b ac

a

± − ⇒

2 x b

+ a＝

2 4

2 b ac

a

± −

⇒ x＝ 2

b

− a ^{2 4} 2 b ac

a

± − ⇒ x＝

2 4

2

b b ac

a

− ± −

所以一元二次方程式 ax ＋² bx＋c＝0 的解為：

x＝

2 4

2

b b ac

a

− ± −

，其中a b c均為常數，且a＞0。

【範例】：利用配方法解 x²＋8x＋7＝0。

解 ： 1.將 x²的係數化為 1，並將常數項移到等號右邊：

x²＋8x＋7＝0 ⇒ x²＋8x＝－7 2.等號的兩邊各加上x項係數一半的平方：

x²＋8x＝－7 ⇒ x²＋8x＋(

2

8)²＝－7＋(

2 8)²

x x

+2 +4 2x + 4x = 6x

3.等號左邊寫成完全平方，等號右邊合併化簡：

x²＋8x＋(4)²＝－7＋(4)² ⇒ (x＋4)²＝9 4.等號兩邊開平方，移項化簡求出解：

(x＋4)²＝9 ⇒ x＋4＝± 3 ⇒ x＝－7 或－1

【公式解法解一元二次方程式】：

(1) 利用配方法導出一元二次方程式 ax²＋b x＋c＝0，且 a＞0 的解為：x＝

a ac b

b 2

2 −4

±

− 。

(i) 若 b²－4ac＞0，則此方程式的兩根為

2 4

2

b b ac

a

− ± −

。

【範例】：用公式法解方程式：x －6² x－3＝0。

解 ：∵ b²－4ac＝(－6)²－4×1×(－3)＝36＋12＝48＞0

∴ x＝

2 4

2

b b ac

a

− ± −

＝ 2 1

) 3 ( 1 4 ) 6 (

6 ²

⋅

−

⋅

⋅

−

−

± ＝

2 12 36 6± +

＝ 2 48 6±

＝ 2

3 4 6±

＝3± 2 3 答：此方程式的兩根為 3± 2 3。

(ii) 若 b²－4ac＝0，則 x＝

a b

2 +0

− ＝

a b 2

− ，則此方程式的兩根為重根。

【範例】：解方程式：4x －4² x＋1＝0

解 ：b²－4ac＝(－8)²－4×1×16＝64－64＝0，則此方程式的兩根為重根。

x＝

2 4

2

b b ac

a

− ± −

＝ 2 4

16 16 ) 4 (

×

−

±

−

− ＝

8 0 4±

＝2 1。

∴ 此方程式的兩根為 2

1 (重根)

(iii) 若b²－4ac＜0，則此方程式無實數解。

【範例】： x²－x＋3＝0

解 ： b²－4ac＝(－1)²－4×1×3＝1－12＝－11＜0，則此方程式無實數解。

讓我們用配方法檢驗看看：

x²－x＋3＝0 ⇒ x²－x＝－3 ⇒ x²－x＋(

2

1)²＝－3＋(

2 1)²

(2)判別式與根的性質：

1.若 D＝b²－4ac＞0，則此方程式有兩相異實根，也就是方程式的兩根不相等。

【範例】：解方程式：x²＋10x－30＝0。

解 ：∵ 判別式 D ＝b －4² ac＝10²－4×1×(－30)＝100＋120＝220＞0 ∴ 此方程式解為兩相異實根。

x＝

2 4

2

b b ac

a

− ± −

＝ 2 1

120 100 )

10 (

× +

±

− ＝

2 55 4 10±

− ＝－5± 55

∴此方程式有兩相異實根，x＝－5＋ 55 或－5－ 55 。

2.若 D＝b²－4ac＝0，則此方程式有兩相等實根，也就是方程式的兩根相等。

【範例】：解方程式：x²－4x＋4＝0。

解 ：∵ 判別式 D ＝b －4² ac＝(－4)²－4×1×4＝16－16＝0 ∴ 此方程式解為兩相等實根(重根)。

x＝

2 4

2

b b ac

a

− ± −

＝ 2 1

16 16 ) 4 (

×

−

±

−

− ＝

2 0 4±

＝2 ∴此方程式有兩相等實根，x＝2(重根)。

3.若 D＝b²－4ac＜0，則原方程式無實數解(或無實根)。

【範例】：解方程式：x²＋2x＋6＝0。

解 ：∵ 判別式 D ＝b －4² ac＝2²－4×1×6＝4－24＝－20＜0 ∴ 此方程式無實數解。

x²＋2x＋6＝0 ⇒ x²＋2x＝－6 ⇒ x²＋2x＋1＝－6＋1 ⇒ (x＋1)²＝－5 (負不合) ∴此方程式無實根(無解)。

【根與係數】：

若一元二次方程式ax² +bx+c=0之解為 p 、 q ，則有 )(1

a q b

p+ =− ； )(2

a pq= c 。 例如：x² − x3 −10=0之解為5、 2− ，則

1 ) 3 3 (

) 2 ( 5 )

1

( −

−

=

=

− +

= + q

p 且

1 ) 10 10 (

) 2 ( 5 )

2

( pq= × − =− = − 【範例】：若a，b，c和d均不為零，且已知c，d為x² +ax+b=0的解而a，b為 x² +cx+d =0的解，則a+b+c+d為何？

解 ：根據”根與係數”的關係得知

b=cd 且d =ab和−a=c+d且−c=a+b ⇒ a+b+c=0=a+c+b⇒b=d 但b=cd 和d =ab，故a=c=1⇒b=d =−2，∴a+b+c+d =1−2+1−2=−2

1. 華生解一題一元二次方程式：2x²－x－1＝x²＋4x－5 步驟如下：

第一步驟：(2x＋1)(x－1)＝(x＋5)(x－1)

第二步驟：等號兩邊同除以(x－1)得：2x＋1＝x＋5 第三步驟：等號兩邊同減 1 得：2x＝x＋4

第四步驟：等號兩邊同減 x 得：x＝4

可是老師告訴華生 x＝1 代入方程式 2x²－x－1＝x²＋4x－5 也可以使得等號兩邊相等，

請問華生在哪一步驟開始發生錯誤？ 【90 年模擬題本二】

(A)第一步驟 (B)第二步驟 (C)第三步驟 (D)第四步驟

2. 下列何者可為方程式 91x²－53x＋6＝0 的解？ 【90 年第一次】

(A)－7

2ˉ(B)－

13 2 ˉ(C)

13 2 ˉ(D)

13 3

3. 小傑用長為x公分的竹筷去量一張長方形的紙，發現紙的長度比竹筷的兩倍長少 1 公分 ，寬比竹筷長多 2 公分。已知紙的面積為 3000 平方公分，依題意下列哪一個一元二次方 程式是正確的？ 【90 年第二次】

(A) (x−2)(2x+1)=3000 (B) (x+2)(2x−1)+3000=0 (C) 2x² − x3 =3002 (D) 2x² + x3 −3002=0

4. 對於方程式(2x＋5)(x＋1)＝(3x－2)(x＋1)根的敘述，下列何者正確？【91 年第一次】

(A)方程式只有一根，而且這個根是正數 (B)方程式有兩根，而且兩根的正、負號相同 (C)方程式一根為正數，一根為負數ˉ

(D)方程式無解ˉ

5. 小風想用一個遊戲的方法問出兩位朋友的年齡。他說：「將你的年齡，先減 5，再平方，

最後加上 25。所出現的數字將會是你今天的幸運數字喔！」。阿珠說：「我是 89！」， 阿花說：「我的是 146！」。若阿珠的年齡是a，阿花的年齡是b，則a+b的值會落 在下列哪一個範圍內？ 【91 年第二次】

(A) 18≤ + <a b 21 (B) 21≤ + <a b 24 (C) 24≤ + <a b 27 (D) 27≤ + <a b 30

6. 樂樂以配方法解2x²−bx+ = ，可得a 0 3 15

2 2

x− = ± 。求a=？

(A) −6 (B) −3 (C) 6 (D) 3 【91 年第二次】

7. 若一元二次方程式x² − x2 −323=0的兩根為a、b，且a>b，則2a+ b=？ (A) −53 (B) 15 (C) 55 (D) 21 【92 年第二次】

8. 如附圖，有一飯店的宴會廳是一個長比寬多 2 公尺的矩形。今在宴會廳中間舖了一張 長方形地毯，使得四周剩下的空地均為1公尺寬。已知未舖地毯的面積是舖地毯面積 的

5

4 ，設宴會廳的長是x公尺，則下列哪一個式子可以用來表示題目中的數量關係？

(A) ( 1)( 3)

5 ) 4 3 ( ) 1 ( ) 2

(x− − x− x− = x− x−

x 【94 年模擬題本】

(B) ( 2)

5 ) 4 2 ( ) 2

(x+ −x x− = x x−

x

(C) ( 2)( 4)

5 ) 4 4 ( ) 2 ( ) 2

(x− − x− x− = x− x−

x

(D) ( 2)( 4)

5 ) 4 4 ( ) 1 ( ) 2

(x− − x− x− = x− x−

x

9. 若a、b為方程式x(3x+7)=0的兩根，且a>b，則b− a =？ 【94 年第一次】

(A) 3

7 (B) 7

3 (C) 3

− 7 (D) 7

− 3

1

1 1 1

x

表(二)

N _{N 10N}

2 1.414 4.472 5 2.236 7.071 34 5.831 18.439 68 8.246 26.077

10. 已知x² −6x b+ = 可配方成0 (x−a)² = 的型式。請問7 x²−6x b+ = 可配方成哪種型式？ 2 (A) (x−a)² = (B) 5 (x−a)² = (C) 9 (x− +a 2 )² = (D) 9 (x− +a 2 )² = 5

11. 已知 a、b 為方程式 ( 2

5 x＋1 )²＝680 的兩根，且 a＞b，

利用表(二)，求 2

5 a－ 2

5 b 之值最接近下列哪一數？

(A) 0 (B) 2 (C) 37 (D) 52 【94 年第二次】

12. 下列哪一個選項為方程式4x² − x16 +15=0的兩根？ 【95 年第一次】

(A) 2 3 、

2

5 (B) 2 3 、

2

− 5 (C) 2

− 3 、 2

5 (D) 2

− 3 、 2

− 5

13. 若 a、b 為方程式（x－29）²＝247 的兩根，則下列敘述何者正確？ 【95 年第一次】

(A) a 為 247 的平方根 (B) a＋b 為 247 的平方根 (C) a＋29 為 247 平方根 (D) 29－b 為 247 平方根

14. 已知方程式( 1 3x −

)(x+2)=0的兩根為a、b，其中a>b，則下列哪一個選項是正確的？

(A) 3a=−6 (B) 2b=6 (C) a+ b=1 (D) a− b=−1 【95 年第二次】

15. 已知方程式x² −5625=0的兩根為±75，則下列何者可為方程式x² + x6 −5616=0的解？

(A) x = 69 (B) x= 72 (C) x= 77 (D) x= 81 【95 年第二次】

16. 下列何者為一元二次方程式 ( 2x＋3 ) ( x＋1 )＝( x＋1 )（x＋3）的解？

(A) x＝0 或 x＝－1 (B) x＝－1 或 x＝－3 【96 年第一次】

(C) x＝－ 3

2 或 x＝－1 (D) x＝－3 或 x＝－ 3

2 或 x＝－1

17. 將一元二次方程式x²－6x－5＝0 化成（x＋a）²＝b的型式，則b＝？【96 年第一次】

(A) －4 (B) 4 (C) －14 (D) 14

18. 若 b 為正數且方程式 x²－x－b＝0 的兩根均為整數，則 b 可能為下列哪一數？

(A) 2 × 3 × 5 × 11 (B) 2 × 3 × 7 × 11 【96 年第二次】

(C) 2 × 5 × 7 × 11 (D) 3 × 5 × 7 × 11

19. 試求一整數k使得2x(kx−4)−x² +6=0沒有實數解，則整數k的最小值為何？

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

20. 若 p ， q 皆為質數且x² −px+q=0有相異正整數根，則下列敘述何者為真？

I 兩根之差為奇數。 II 至少有一根為質數。

III p² −q為一質數。 IV p+q為一質數。 【1975 AMC-12】

(A) 只有 I 和 II (B)只有 II 和 III (C)只有 I 和 II 和 III (D) I 和 II 和 III和IV皆對

21. 若c∈R，今知x²−3x+c=0之一根和x² +3x−c=0之一根互為相反數(即兩數之正負號 相反)，則試問x²−3x+c=0之兩根分別為何？ 【1976 AMC-12】

(A) 0或3 (B) 0或−3 (C) 3或−3 (D) 無解

22. 使得方程式x² + ax+1=0與x²−x−a=0有相同實根之a值，共有多少個？

(A) 一個 (B) 二個 (C) 無解 (D) 無限多個

23. 若方程式x² + px+q=0的兩根，恰好為x²+mx+n=0的兩根的三次方，則試問何者 正確？

(A) p=m³ +3mn (B) p=m³−3mn (C) p+q=m³ (D)

q p n

m )³ = (

24. 設a，b為正實數，若方程式x² +ax+2b=0和x²+2bx+a=0都有實根，則a+b的最小 可能值為何？ 【1984 AMC-12】

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

25. 滿足(x−3)²+(y−3)² =6，且x，y∈ ，則R x

y 最大值為何？

(A) 1−2 2 (B) 2+3 3 (C) 3+2 2 (D) 6−4 3

26. 一矩形草地，長是28m，寬是20m，在其內部開闢三條等寬的通路，如附圖所示，

使所剩餘草地的面積是320 m ，則路寬多少公尺？ ² (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8

27. 黃先生的農地由兩個長方形重疊而成，且重疊部分為正方形，如附圖所示，已知農地 總面積為1003 m 。若將重疊部分闢成水池，則水池的邊長為多少公尺? ²

(A) 13m (B) 12m (C) 11m (D) 10m

28. 已知甲、乙兩正方形邊長比為 3：2，且甲、乙兩正方形面積和為 325 平方公分，請問 甲與乙的周長總和為多少公分？

(A) 80 (B) 100 (C) 120 (D) 140

28m

20m

14m 13m

15m 9m

29. 兩整數的差為 13，積為 42− ，則兩數之和為多少？

(A) 4− 或 4 (B) −3或3 (C) 2− 或 2 (D) 1− 或1

30. 甲、乙兩人同解一個x 係數為² 3的一元二次方程式，甲將一次項係數看錯，解得兩根 為 1

− 3 ，3；乙將常數項看錯，解得兩根為−5， 7

− 3 ，求原來正確的方程式為何？

(A) 3x²−22x− = (B) 3 0 3x²+22x− = (C) 3 0 3x²+22x+ = (D) 3 0 3x2−22x+ = 3 0

31. 梯形ABCD中，若 AD // BC ， AE ⊥ BC ，2BC =3AD ， AE = AD ，若 AD = x2 +4

，若梯形ABCD之面積為 125，則 AD 之長度為何？

(A) 5 (B) 7 (C) 10 (D) 12

32. 某電影院每張票價 80 元，觀眾有 1000 人，若票價每減 2 元，則觀眾就增加 30 人，

若欲使收入為 79625 元，則每張票價應訂多少﹖

(A) 75 (B) 70 (C) 65 (D) 60

33. 三個連續偶數的平方和是6356，則此三數和是多少？

(A) 138 (B) 134 (C) 130 (D) 126

34. 如附圖為一「風車」設計平面圖，其設計來源為四個大小相同 的直角三角形拼成的圖形。 若 AB =13、 BC =7，則此 風車的面積為多少？

(A) 110 (B) 120 (C) 130 (D) 140

A

C B

13 7

35. 小翔想用31公尺的籬笆沿著河岸圍一個長方形的花圃，花圃得短邊垂直河岸，緊鄰河岸 的一邊不圍，如附圖所示。若要花圃的面積為119平方公尺且花圃形狀愈接近黃金矩形 愈好，則此花圃的短邊長為多少公尺？(黃金矩形，長：寬≒1.62)

(A) 2

15 (B) 2

17 (C) 2

19 (D) 2 21

36. 七個連續正整數由小而大分別為a、b、c、d、e、 f 、g，且a² +b² +c² +d² =e² + f² +g² ，則a=？

(A) 21 (B) 22 (C) 23 (D) 24

37. 一工程車的後車輪周長x公尺，若前車輪的周長比後車輪的周長少 2 公尺，而且每公里 前輪比後輪多轉 25 圈，求後車輪周長？

(A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12

河流 花圃

38. 設a> b>0，且 + −1=5 b

a a

b ，求 =

a b ﹖

(A) 2+3 2 (B) 2−3 2 (C) 3+2 2 (D) 3−2 2