如何利用「概念改變」於數學教學
彭可兒
仁濟醫院羅陳楚思中學
真正的數學教學,是通過數學知識促進學生數學思維活動的教學(王 子興等,1999),換言之,當中最重視的並非知識的本身,而是學生的內部 心理認知過程。在教授數學時,老師可透過不同的策略,好好引導學生,
讓他們達致「概念改變」(conceptual change),進行「有意義的學習」
(meaningful learning)(Driscoll,2000)。本文的目的,是討論筆者如何應 用概念改變策略於數學教學中。
掌握學生「已有知識」與「原有認知結構」
Driver 等 人 ( 1995 ) 認 為 如 果 不 考 慮 學 生 的 「 已 有 知 識 」( prior knowledge),便無法促進概念改變,故在教學上不僅應考慮學科的內容,
同時也應顧及學生的「已有知識」。例如在教授三角形的面積時,筆者必先 要了解學生對「三角形」、「底」、「高」、「長度」、「單位」等的認知,這些 都是建構「認知結構」(cognitive structure)(Driscoll,2000)的元素,欠缺 這些「已有知識」的話,即使筆者使用數格子、切割長方形、推導公式或 任何其他教學展示,同學都沒可能理解到「三角形的面積 = 底
高 2」
的,因為他們欠缺相關的材料去組織一個認知結構。
相似地,筆者對學生「原有認知結構」(existing cognitive structure)的 了解亦是相當重要,例如在教授「函數變換」(transformation of function)
時,如果筆者已事先知道同學對「正弦函數」(sine function)和「餘弦函數」
(cosine function)有相關的認知結構,便可以此作為基礎,引入「函數變 換」,形成「新認知結構」(new cognitive structure)(圖一)。這樣不但可幫 助學生建構缺少的概念(兩個函數的變換),而且可以澄清模糊的概念(兩 個函數之間的關係),強化概念改變的穩定性。
圖 一
幫助學生作概念「同化」
概念「同化」(assimilation)是指把新知識納入「原有認知結構」,使 其擴充,從而形成「新認知結構」,亦即圖一的例子。在筆者的數學教學中,
幫助學生「同化」概念的具體策略,是從概念之間的從屬關係入手,突出 所要教授的概念的關鍵屬性,然後利用例證將所要教授的概念具體地展現 出來(Posner 等,1982)。
例如向初中學生教授菱形的概念時,由於學生本身應學會「菱形 是 …… 的四邊形」,所以筆者會先了解他們對四邊形的「原有認知結構」。 當中的具體策略是要學生指出何謂四邊形,然後引導學生指出「菱形是四 邊形的其中一種」、「菱形從屬於四邊形」,繼而從四邊形的定義著手,要學 生給出四邊形的其他例子,這時他們很可能會給出正方形、長方形、梯形、
平行四邊形、任意四邊形等(圖二)。
這時,筆者才引入新元素:「平行」、「邊長」與「夾角」,引導學生利 用它們理解四邊形的分類,讓上述三個新元素納入學生的「原有認知結 構」,從而理解菱形的數學定義與概念,而不是死記硬背「菱形為兩對對邊 平行且四邊等長的四邊形」。筆者會先從「平行」著手,要學生將以上四邊
學生「原有認知結構」 學生「新認知結構」
三角函數
餘弦 cosine 正弦
sine
正切 tangent
三角函數
餘弦 cosine 正弦
sine
正切 tangent
函數變換:sin (x 90) = cos x
將正弦函數圖像向左平移 90 可 得餘弦函數圖像
形的例子按「兩對對邊平行」、「一對對邊平行」和「沒有對邊平行」分類
(圖三),然後用「邊長」與「夾角」將菱形、正方形、長方形、平行四邊 形的關係弄清(圖四)。由此,「平行」、「邊長」與「夾角」等新元素令學 生的「原有認知結構」得以擴充,形成一個結構更複雜而清晰的「新認知 結構」;在同學回答問題的同時,筆者會在黑板上逐步將圖二化為圖三、再 將圖三化為圖四,這個過程除了能借助「外在」(explicit)表徵減輕學生在 建構「新認知結構」時的「認知負荷」(cognitive load),亦是一個師生一起 建立「概念圖」(concept map)的過程。最後,筆者會展示一系列的平面圖 形,讓學生辨別,令他們的學習更為具體與實在。
圖 二
圖 三
菱形 正方形 長方形 梯形 平行 四邊形
任意 四邊形 四邊形
學生「原有認知結構」
兩對 對邊平行
一對 對邊平行
沒有 對邊平行 四邊形
學生「新認知結構」
菱形 正方形 長方形 梯形 平行
四邊形
任意 四邊形
圖 四
幫助學生作概念「順應」
當學生的「原有認知結構」不足以「同化」新概念時,筆者便要幫助 學生調整或改變「原有認知結構」,以便接納新的概念。例如,對於中一學 生,由於他們在小學時長期接觸自然數,在日常生活也常常使用自然數,
他們的數概念的「原有認知結構」難以吸納正、負數概念,因此筆者必須 幫助學生調整或改變「原有認知結構」,以便接納正、負數概念。具體來說,
筆者會先幫助學生建立新的觀念,指出現實世界中存在著大量具有相反意 義的量,例如賺 5 元與蝕 5 元;然後通過提問讓學生意識到,要清楚地區 分這兩種不同的量,了解兩者之間的關係,只靠自然數是不足夠的;繼而 指出,如果要將其中一種量定為正(例如賺 5 元),則另一量就為負(例如 蝕 5 元);前者用正號「+」表示,後者用「」;最後,再配以數線具體地 展示正、負數的關係(Vlassis,2004)。
現又以求解「二次方程」(quadratic equation)作為另一例子。對於初 中學生來說,除了利用畢氏定理求直角三角形的其中一條邊會遇上 x2 = k 形式的「二次方程」外,他們所接觸的方程絕大部份都是「線性方程」(linear
兩對 對邊平行
一對 對邊平行
沒有 對邊平行 四邊形
學生「新認知結構」
菱形 正方形 長方形 平行 梯形
四邊形
任意 四邊形
四邊等長 四邊等長
四個直角 四個直角
equation),這可透過移項求得方程的唯一一個根。因此,筆者發現不少初 踏入高中階段的學生總喜歡將已經化簡成「一般式」(general form)之「二 次方程」的常數項移至方程的另一邊(x2 + 3x 10 = 0 x2 + 3x = 10),這 是因為他們只使用求解「線性方程」的策略求解「二次方程」;筆者亦發 現不少高中學生未能內化「一條方程可求得多於一個根」,或是只流於機 械式運作的層面,所以在處理涉及「二次方程」的應用題和聯立方程時,
常常只給出一組解,因為這組解已足以滿足他們的心理平衡,而這種心理 平衡是經由回溯求解「線性方程」的經歷獲得的。
由於「線性方程」無論在求解策略和根之數目兩方面都與「二次方程」
的大為相異,所以初踏入高中階段的學生對「解方程」的「原有認知結構」
(圖五)並不足以接納「二次方程」的種種特性,換句話說,概念「同化」
不成,必須幫助學生作概念「順應」(accommodation)。
圖 五
筆者會利用一系列的題目,幫助學生探索「二次方程」的部份特性,
以及比較「二次方程」與「線性方程」的相異之處。題目的設計利用了多 種「變式」(祁永華等,2005),但由於這並不是本文的重點,故在此不 作詳述。另外,這個教學設計旨在引導學生思考,而非學習求解「二次方 程」的列算,因此筆者只會要求學生將所思所想草書在白紙上。
步驟一:利用試誤法求解「二次方程」
這個步驟的目的有三個:一是要讓學生意識求解「線性方程」的策略 並不足以求得「二次方程」的根(比較 a 和 b);二是讓學生認識「二次方 程」可以有兩個根(完成 b 後);三是讓學生體會試誤法的低效率(完成
策略:移項 根之數目:1 解方程
學生「原有認知結構」
b 後)。題目的特點是每題的 (a) 和 (b) 分別是「線性方程」和「二次方 程」,兩者具有相同的常數項。過程中,若同學作答 (1b) 感到束手無策時,
筆者會建議學生利用試誤法,將估計的 x 值代入方程驗算。
習題:
1. (a) 解 x + 8 = 0 (b) 解 x2 – 6x + 8 = 0 2. (a) 解 x – 10 = 0 (b) 解 x2 + 3x – 10 = 0 3. (a) 解 x + 6 = 0 (b) 解 x2 + 5x + 6 = 0 答案:
1. (a) x = 8 (b) x = 2 或 4 2. (a) x = 10 (b) x = 2 或
5
3. (a) x = 6 (b) x = 2 或3
步驟二:自製「二次方程」及求解這個步驟的目的是要讓學生聯繫因式分解與求解「二次方程」的關係
(比較 a 和 b)。題目的特點是每題的 (b) 乃是由 (a) 的答案所構成。完 成後,即使筆者沒有提示,同學亦很容易發現 (a) 與 (b) 的關係。
習題:
4. (a) 展開 (x + 3)(x + 4) (b) 解 x2 + 7x + 12 = 0 5. (a) 展開 (x – 2)(x – 5) (b) 解 x2 – 7x + 10 = 0 6. (a) 展開 (x + 1)(x – 4) (b) 解 x2 – 3x – 4 = 0 答案:
4. (a) x2 + 7x + 12 (b) x = 3 或
4
5. (a) x2 – 7x + 10 (b) x = 2 或 5 6. (a) x2 – 3x – 4 = 0 (b) x = 1 或 4 步驟三:求解其他類型的「二次方程」這個步驟的目的是要讓學生認識「二次方程」的根之數目。題目的特 點是第 7、8 和 9 題分別有兩個根、有一個根和無解。過程中,筆者會建議
學生放棄試誤法,嘗試借助因式分解。
習題:
7. (a) 解 x2 – 2x – 8 = 0 (b) 解 x2 + 8x + 15 = 0 8. (a) 解 x2 + 14x + 49 = 0 (b) 解 x2 – 10x + 25 = 0 9. (a) 解 x2 = 4 (b) 解 x2 + 9 = 0
答案:
7. (a) x = 2 或
4
(b) x = 3 或 5 8. (a) x = 7 (b) x = 59. (a) 無解 (b) 無解
完成這一系列題目的探索後,學生的「原有認知結構」應會被打破,
並重組成另一個「新認知結構」(圖六)。
圖 六
當然,學生將來所遇到的方程類型豈止這兩種(備註一),而求解「二 次方程」的策略又何止利用因式分解(備註二),然而,筆者總不能一口 氣地引入太多議題;何況,這已提供了一個平台,讓筆者於日後的教學設
線性方程 二次方程
解方程
學生「新認知結構」
策略:移項 根之數目:1 策略:
因式分解
根之數目:
2、1 或 0
(備註一)
(備註二)
計中,幫助學生將其他類型的方程和其他求解「二次方程」的策略納入這 個「認知結構」中,使其得以擴充,亦即幫助學生作概念「同化」。
製造「認知衝突」
為學生製造「認知衝突」(cognitive conflict)的目的是要打破學生的心 理平衡,刺激他們嘗試彌補這個缺口。舉例說,筆者會利用一些數學題目,
刻意在學生面前展示一些矛盾之處,刺激他們再三思考。例如,在教授數 列之後,筆者便要學生解答以下有關數列的題目:
在一個圓的圓周上取 n 個點,然後將每一個點與其他點作連線,這些連線 可將該圓分成 kn個區域。參看下表,求 k6值。
圓周上的點數 n 1 2 3 4 5 6 圓被分成的區域數目 kn 1 2 4 8 16 ?
由於表中的首五項均與前項相差兩倍,看似等比數列,所以同學一般 都會認為 k6 = 32。然而,真正的答案是 k6 = 31。這樣,學生會想,既然這 是數列,而每次的增幅都是兩倍,為何答案不是 32 呢?筆者刻意地展示這 一矛盾,製造學生心理上的缺口,激發他們尋根究底,最終可優化他們在 數列方面的認知結構。
利用「類比」
「類比」(analogy)是知識改變機制中很重要的一環,經由「類比」
至先前的知識能促進人們對新事物的洞察(Gentner 等,1997)。筆者在數 學教學上亦會用上「類比」,將所要教授的概念連繫到學生熟悉的情境上,
這有助於「強調」(highlighting)概念中的一些重要細節。舉例說,在教 授初中學生「解方程」時,筆者會以「天平」作為「類比物」(base),
帶出「方程」這個「目標物」(target),由此,通過「投射」(projection),
同學很容易可理解「方程的等號」對應於「天平的平衡」,隨之又可進一 步強調在「解方程」時必須時常保持左右平衡,就如一個平衡的天平般,
因此,在方程上進行四則運算時,必須左右兩邊同步進行,若只在其中一 邊進行運算便會令天平失衡了。
利用「腳手架」
「腳手架」(scaffolding)就如興建中的大廈的棚架,在大廈未建成之 前,作為支撐與輔助。筆者亦時常應用「腳手架」,促進學生的概念改變,
以教授「分配律」(distributive law)為例,初中學生由於根基不穩,所以 常常有此誤解:(a + b)(c d) = ac bd。由此,筆者會利用故事作為「腳手 架」,引導學生將 (a + b)(c d) 理解成「兩個大人 a 和 b,要到兩個小朋友
c 和 d 的家中拜年」,情況就如在講故事一樣,要思考的就是當中要派多
少封「利是」了。先考慮 a,他會派「利是」給 c 和
d,所以有 ac ad;
再考慮 b,他也會派「利是」給 c 和
d,所以有 bc – bd。因此,在整個拜
年活動中,會出現四封「利是」:ac ad + bc bd。相似地,對於 (a + b)(c d + e),同學只要在故事情節中加多一位小朋 友 e 便行了,這也可說是「學習的遷移」(transfer of learning)。如此,在 解題的過程中,筆者將抽象的數學概念,以具體的故事情節帶出,既可促 進學生建構「分配律」的概念,亦可增添同學解題的趣味。當然,筆者總 不能每堂也講故事的,當同學已能掌握相關概念,並透過成功運算而取得 學習的信心時,筆者便會將「腳手架」移開,不再利用故事處理「分配律」
了。
結語
筆者應用概念改變於數學教學的策略,主要是因應學生已有知識與原 有認知結構,幫助他們作概念同化;當學生的原有認知結構不足以透過同 化達致概念改變時,便要幫助他們作概念順應;筆者還會刻意製造認知衝 突,以及利用類比和腳手架,進一步促進和穩定學生的概念改變。
由此可見,應用概念改變的策略是形形色色的,不同的策略對於不同 的學生亦會有不同程度的效能,因此,筆者認為教師應該因應不同學生的 特點、不同課題的內容,靈活而多元地運用種種策略。
參考書目
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Gentner, D., Brem, S., Ferguson, R. W., Markman, A B., Levidow, B. B., Wolff, P., &
Forbus, K. D. (1997). Analogical reasoning and conceptual change: A case study of Johannes Kepler. The journal of the learning sciences, 6, 1, 3 40.
Posner, G. J., Strike, K. A., Hewson, P. W., & Gertzog, W. A. (1982). Accommodation of a scientific conception: toward a theory of conceptual change. Science education, 66(2), 211 227.
Vlassis, J. (2004). Making sense of the minus sign or becoming flexible in “negativity”.
Learning and Instruction, 14, 469–484.
王子興、宋秉信、昌國良(1999)。《中學數學教育心理研究》。湖南:湖南師範大學出 版社。
祁永華、謝錫金、岑紹基(2005)。《變易理論與學習空間》。香港:香港大學出版社。
作者電郵:ltssep@yahoo.com.hk