11a

一元二次方程式

【十字交乘法解一元二次方程式】：

若解一元二次方程式

ax

²+

bx c

+ = ，其中0 a、b、c皆不為 0。

【範例】：

x ＋5 x ＋6＝0 ⇒ ( x ＋2)( x ＋3)＝0 ， ∴ x ＝－2，－3。

²

x －

²

x －6＝0 ⇒ ( x ＋2)( x －3)＝0 ， ∴ x ＝－2，3。

x ＋3

²

x －10＝0 ⇒ ( x －2)( x ＋5)＝0 ， ∴ x ＝2，－5。

【範例】：解方程式：

x ＋6

² x＋8＝0。

解 ：

x ＋6

² x＋8＝0 ⇒ （x＋2）（x＋4）＝0 ∴ x＝－2 或－4。

【配方法解一元二次方程式】：

利用配方法解

ax ＋

² bx＋c＝0，其中a b c均為常數，且a＞0。

解 ：1.將 x²的係數化為 1，並將常數項移到等號右邊：

ax

²＋bx＋c＝0 ⇒

x

²＋

b a x＋ c

a

＝0 ⇒

x

²＋

b

a x＝－ c a

2.等號的兩邊各加上x項係數一半的平方：

⇒

x

²＋

b a x＋

2

2

b

a

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ＝－

c a

＋

2

2

b

a

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

3.等號左邊寫成完全平方，等號右邊合併化簡：

⇒

2

2

x b

a

⎛ + ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ＝－

c a

＋

2

4 2

b

a

^⇒

2

2

x b

a

⎛ + ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ＝

2 2

4 4

ac b

a

− +

4.等號兩邊開平方，移項化簡求出解：

⇒ 2

x b

+

a

＝

2 2

4 4

b ac

a

± − ⇒

2

x b

+

a

＝

2 4

2 b ac

a

± −

⇒ x＝ 2

b

−

a

^{2 4} 2 b ac

a

± − ⇒ x＝

2 4

2

b b ac

a

− ± −

所以一元二次方程式

ax ＋

² bx＋c＝0 的解為：

x＝

2 4

2

b b ac

a

− ± −

，其中a b c均為常數，且a＞0。

【範例】：利用配方法解 x²＋8x＋7＝0。

解 ： 1.將 x²的係數化為 1，並將常數項移到等號右邊：

x²＋8x＋7＝0 ⇒

x

²＋8x＝－7 2.等號的兩邊各加上x項係數一半的平方：

x²＋8x＝－7 ⇒

x

²＋8x＋(

2

8)²＝－7＋(

2 8)²

x x

+2 +4 2x + 4x = 6x

3.等號左邊寫成完全平方，等號右邊合併化簡：

x²＋8x＋(4)²＝－7＋(4)² ⇒ (x＋4)²＝9 4.等號兩邊開平方，移項化簡求出解：

(x＋4)²＝9 ⇒ x＋4＝± 3 ⇒ x＝－7 或－1

【公式解法解一元二次方程式】：

(1) 利用配方法導出一元二次方程式 ax²＋b x＋c＝0，且 a＞0 的解為：x＝

a ac b

b 2

2 −4

±

− 。

(i) 若 b²－4ac＞0，則此方程式的兩根為

2 4

2

b b ac

a

− ± −

。

【範例】：用公式法解方程式：

x －6

² x－3＝0。

解 ：∵ b²－4ac＝(－6)²－4×1×(－3)＝36＋12＝48＞0

∴ x＝

2 4

2

b b ac

a

− ± −

＝ 2 1

) 3 ( 1 4 ) 6 (

6 ²

⋅

−

⋅

⋅

−

−

± ＝

2 12 36 6± +

＝ 2 48 6±

＝ 2

3 4 6±

＝3± 2 3 答：此方程式的兩根為 3± 2 3。

(ii) 若 b²－4ac＝0，則 x＝

a b

2 +0

− ＝

a b

2

− ，則此方程式的兩根為重根。

【範例】：解方程式：4

x －4

² x＋1＝0

解 ：b²－4ac＝(－8)²－4×1×16＝64－64＝0，則此方程式的兩根為重根。

x＝

2 4

2

b b ac

a

− ± −

＝ 2 4

16 16 ) 4 (

×

−

±

−

− ＝

8 0 4±

＝2 1。

∴ 此方程式的兩根為 2

1 (重根)

(iii) 若

b

²－4ac＜0，則此方程式無實數解。

【範例】： x²－x＋3＝0

解 ： b²－4ac＝(－1)²－4×1×3＝1－12＝－11＜0，則此方程式無實數解。

讓我們用配方法檢驗看看：

x

²－x＋3＝0 ⇒

x

²－x＝－3 ⇒

x

²－x＋(

2

1)²＝－3＋(

2 1)² ⇒ (x－

2

1)²＝－3＋

4 1＝－2

4 3

∵ (x－ 2

1)²的值一定為正數 ∴ 此方程式無實數解。

(2)判別式與根的性質：

1.若 D＝b²－4ac＞0，則此方程式有兩相異實根，也就是方程式的兩根不相等。

【範例】：解方程式：x²＋10x－30＝0。

解 ：∵ 判別式 D ＝

b －4

² ac＝10²－4×1×(－30)＝100＋120＝220＞0 ∴ 此方程式解為兩相異實根。

x＝

2 4

2

b b ac

a

− ± −

＝ 2 1

120 100 )

10 (

× +

±

− ＝

2 55 4 10±

− ＝－5± 55

∴此方程式有兩相異實根，x＝－5＋ 55 或－5－ 55 。

2.若 D＝b²－4ac＝0，則此方程式有兩相等實根，也就是方程式的兩根相等。

【範例】：解方程式：x²－4x＋4＝0。

解 ：∵ 判別式 D ＝

b －4

² ac＝(－4)²－4×1×4＝16－16＝0 ∴ 此方程式解為兩相等實根(重根)。

x＝

2 4

2

b b ac

a

− ± −

＝ 2 1

16 16 ) 4 (

×

−

±

−

− ＝

2 0 4±

＝2 ∴此方程式有兩相等實根，x＝2(重根)。

3.若 D＝b²－4ac＜0，則原方程式無實數解(或無實根)。

【範例】：解方程式：x²＋2x＋6＝0。

解 ：∵ 判別式 D ＝

b －4

² ac＝2²－4×1×6＝4－24＝－20＜0 ∴ 此方程式無實數解。

x²＋2x＋6＝0 ⇒

x

²＋2x＝－6 ⇒

x

²＋2x＋1＝－6＋1 ⇒ (x＋1)²＝－5 (負不合) ∴此方程式無實根(無解)。

【根與係數】：

若一元二次方程式

ax

² +

bx

+

c

=0之解為 p 、 q ，則有 )(1

a q b

p

+ =− ； )(2

a pq

=

c

。 例如：

x

² − x3 −10=0之解為5、 2− ，則

1 ) 3 3 (

) 2 ( 5 )

1

( −

−

=

=

− +

= + q

p

且

1 ) 10 10 (

) 2 ( 5 )

2

(

pq

= × − =− = − 【範例】：若a，b，c和d均不為零，且已知c，d為

x

² +

ax

+

b

=0的解而a，b為

x

² +

cx

+

d

=0的解，則a+b+c+d為何？

解 ：根據”根與係數”的關係得知

b=cd 且d =ab和−a=c+d且−c=a+b ⇒

a

+

b

+

c

=0=

a

+

c

+

b

⇒b=d 但b=cd 和d =ab，故a=c=1⇒b=d =−2，∴a+b+c+d =1−2+1−2=−2

1. 華生解一題一元二次方程式：2x²－x－1＝x²＋4x－5 步驟如下：

第一步驟：(2x＋1)(x－1)＝(x＋5)(x－1)

第二步驟：等號兩邊同除以(x－1)得：2x＋1＝x＋5 第三步驟：等號兩邊同減 1 得：2x＝x＋4

第四步驟：等號兩邊同減 x 得：x＝4

可是老師告訴華生 x＝1 代入方程式 2x²－x－1＝x²＋4x－5 也可以使得等號兩邊相等，

請問華生在哪一步驟開始發生錯誤？ 【90 年模擬題本二】

(A)第一步驟 (B)第二步驟 (C)第三步驟 (D)第四步驟 重點：等量公理

第二步驟等號兩邊同除以(x－1)，需要 x－1≠0 答案選（B）

2. 下列何者可為方程式 91x²－53x＋6＝0 的解？ 【90 年第一次】

(A)－7

2ˉ(B)－

13 2 ˉ(C)

13 2 ˉ(D)

13 3 重點：解一元二次方程式

91x²－53x＋6＝0 (13x－2)(7x－3)＝0 13x－2＝0 或 7x－3＝0

x =13 2 或

7 3 答案選（C）

3. 小傑用長為x公分的竹筷去量一張長方形的紙，發現紙的長度比竹筷的兩倍長少 1 公分 ，寬比竹筷長多 2 公分。已知紙的面積為 3000 平方公分，依題意下列哪一個一元二次方 程式是正確的？ 【90 年第二次】

(A) (

x

−2)(2

x

+1)=3000 (B) (

x

+2)(2

x

−1)+3000=0 (C) 2

x

² − x3 =3002 (D) 2

x

² + x3 −3002=0

重點：依題意列一元二次方程式

長為(2

x

−1)公分，寬為(

x

+2)公分， ∴ 面積為(2

x

−1)×(

x

+2)=3000。 ⇒ 2

x

² +3

x

−2=3000 ⇒ 2

x

² +3

x

−3002=0

答案選（D）

4. 對於方程式(2x＋5)(x＋1)＝(3x－2)(x＋1)根的敘述，下列何者正確？【91 年第一次】

(A)方程式只有一根，而且這個根是正數 (B)方程式有兩根，而且兩根的正、負號相同 (C)方程式一根為正數，一根為負數ˉ

(D)方程式無解ˉ

重點：解一元二次方程式

(2x＋5)(x＋1)＝(3x－2)(x＋1) (－x＋7)(x＋1)＝0

－x＋7＝0 或 x＋1＝0 x =7 或－1 答案選（C）

5. 小風想用一個遊戲的方法問出兩位朋友的年齡。他說：「將你的年齡，先減 5，再平方，

最後加上 25。所出現的數字將會是你今天的幸運數字喔！」。阿珠說：「我是 89！」， 阿花說：「我的是 146！」。若阿珠的年齡是a，阿花的年齡是b，則a+b的值會落 在下列哪一個範圍內？ 【91 年第二次】

(A) 18≤ + <a b 21 (B) 21≤ + <a b 24 (C) 24≤ + <a b 27 (D) 27≤ + <a b 30 重點：一元二次方程式的列式與求解

設年齡為x時的幸運數字為(

x

−5)²+25

∴89=(

a

−5)² +25⇒

a

=13，146=(

b

−5)² +25⇒

b

=16 ⇒a+b=13+16=29 答案選（D）

6. 樂樂以配方法解2

x

²−

bx

+ = ，可得

a

0 3 15

2 2

x

− = ± 。求a=？

(A) −6 (B) −3 (C) 6 (D) 3 【91 年第二次】

重點：由解求原來的一元二次方程式

2

15 2

3 2

15 2

3 =± ⇒ = ±

− x

x )] 0

2 15 2

( 3 [ ] 2 ) 15 2

( 3

[ − + − − =

⇒ x x

0 2 4 3 0

2

2 3 ²

2 − − = ⇒ − − =

⇒

x x x x

⇒ a=−3 答案選（B）

7. 若一元二次方程式

x

² − x2 −323=0的兩根為a、b，且a>b，則2a+ b=？ (A) −53 (B) 15 (C) 55 (D) 21 【92 年第二次】

重點：利用十字交乘法解一元二次方程式

323=17×19( 323<400=20×20故要找的因數絕對在 1~20 之間 )

x

² −2

x

−323=0 ⇒ (

x

−19)(

x

+17)=0 ∴x=19，−17

又兩根為a、b，且a>b ，∴a=19，b=−17，2a+ b=2×19−17=38−17=21。 答案選（D）

8. 如附圖，有一飯店的宴會廳是一個長比寬多 2 公尺的矩形。今在宴會廳中間舖了一張 長方形地毯，使得四周剩下的空地均為1公尺寬。已知未舖地毯的面積是舖地毯面積 的

5

4 ，設宴會廳的長是x公尺，則下列哪一個式子可以用來表示題目中的數量關係？

(A) ( 1)( 3)

5 ) 4 3 ( ) 1 ( ) 2

(

x

− −

x

−

x

− =

x

−

x

−

x

【94 年模擬題本】

(B) ( 2)

5 ) 4 2 ( ) 2

(

x

+ −

x x

− =

x x

−

x

(C) ( 2)( 4)

5 ) 4 4 ( ) 2 ( ) 2

(

x

− −

x

−

x

− =

x

−

x

−

x

(D) ( 2)( 4)

5 ) 4 4 ( ) 1 ( ) 2

(

x

− −

x

−

x

− =

x

−

x

−

x

重點：依題意列一元二次方程式

舖地毯面積=(

x

−2)(

x

−2−2)=(

x

−2)(

x

−4)， 未舖地毯面積=

x

(

x

−2)−(

x

−2)(

x

−4)

∴依題意可列出 ( 2)( 4)

5 ) 4 4 ( ) 2 ( ) 2

(

x

− −

x

−

x

− =

x

−

x

−

x

。

答案選（C）

9. 若

a

、

b

為方程式

x

(3

x

+7)=0的兩根，且a>b，則b− a =？ 【94 年第一次】

(A) 3

7 (B) 7

3 (C) 3

− 7 (D) 7

− 3 重點：解一元二次方程式

0 ) 7 3

(

x

+ =

x

⇒

x

= 0 或 3

x

+ 7 = 0 ⇒

x

= 0 或 3

− 7

∵a>b，∴

3 , 7

0 =−

=

b

a

。 ∴

3 0 7 3

7 − =−

−

=

− a

b

答案選（C）

1

1 1 1

x

表(二)

N _N

_10N

2 1.414 4.472 5 2.236 7.071 34 5.831 18.439 68 8.246 26.077

10. 已知

x

² −6

x b

+ = 可配方成0 (

x

−

a

)² = 的型式。請問7

x

²−6

x b

+ = 可配方成哪種型式？ 2 (A) (

x

−

a

)² = (B) 5 (

x

−

a

)² = (C) 9 (

x

− +

a

2 )² = (D) 9 (

x

− +

a

2 )² = 5

重點：配方法 【94 年第二次】

∵

x

² −6

x

+

b

=0 ⇒ (

x

−

a

)² =7

∴

x

² −6

x

+

b

=2 ⇒ (

x

−

a

)² =7+2=9 答案選（B）

11. 已知 a、b 為方程式 ( 2

5 x＋1 )²＝680 的兩根，且 a＞b，

利用表(二)，求 2

5 a－ 2

5 b 之值最接近下列哪一數？

(A) 0 (B) 2 (C) 37 (D) 52 【94 年第二次】

重點：解一元二次方程式及查表 ( 2

5 x＋1 )²＝680 2

5 x＋1≒± 26.077 2

5 x≒± 26.077－1 2

5 a≒25.077 且 2

5 b≒－27.077 2

5 a－ 2

5 b≒25.077＋27.077＝52.154 答案選（D）

12. 下列哪一個選項為方程式4

x

² − x16 +15=0的兩根？ 【95 年第一次】

(A) 2 3 、

2

5 (B) 2 3 、

2

− 5 (C) 2

− 3 、 2

5 (D) 2

− 3 、 2

− 5

重點：一元二次方程式的解 ⇒ 十字交乘法、公式解法 4

x

² − x16 +15=0， ± =

± =

− =

= ±

8 4 16 8

16 16 8

240 256 x 16

2 5 或

2 3

所以其根為 2 5 或

2

3 （一元二次方程式求解的題目用公式解法最快速）

答案選（A）

13. 若 a、b 為方程式（x－29）²＝247 的兩根，則下列敘述何者正確？ 【95 年第一次】

(A) a 為 247 的平方根 (B) a＋b 為 247 的平方根 (C) a＋29 為 247 平方根 (D) 29－b 為 247 平方根

重點：一元二次方程式的解

（a－29）²＝247 且（b－29）²＝247

（29－b）²＝247 答案選（D）

14. 已知方程式( 1 3

x

−

)(x+2)=0的兩根為a、b，其中a>b，則下列哪一個選項是正確的？

(A) 3a=−6 (B) 2b=6 (C) a+ b=1 (D) a− b=−1 【95 年第二次】

重點：一元二次方程式 1 0 or 2 0

3

x

− =

x

+ = ，

x

=3 or

x

= − 。 ∵2 a＞b，∴ a＝3、b＝－2。

(A)選項：3a= ≠ −9 6 ( 不合 ) 。 (B)選項：2b= − ≠4 6 ( 不合 ) (C)選項：a b+ = −1 (D)選項：

a b

− = − −3 ( 2 )= ≠ − ( 不合 ) 5 1 答案選（C）

15. 已知方程式

x

² −5625=0的兩根為±75，則下列何者可為方程式

x

² + x6 −5616=0的解？

(A) x = 69 (B) x= 72 (C) x= 77 (D) x= 81 【95 年第二次】

重點：一元二次方程式配方法、完全平方法

x

² +6

x

−5616= ⇔0

x

²+6

x

=5616 ⇔

x

²+6

x

+ =9 5616 9+ ⇔ (

x

+3)² =5625 ⇔ x+ = ±3 75⇔

x

+ =3 75 or

x

+ = −3 75⇔

x

=72 or

x

= − 78

答案選（B）

16. 下列何者為一元二次方程式 ( 2x＋3 ) ( x＋1 )＝( x＋1 )（x＋3）的解？

(A) x＝0 或 x＝－1 (B) x＝－1 或 x＝－3 【96 年第一次】

(C) x＝－ 3

2 或 x＝－1 (D) x＝－3 或 x＝－ 3

2 或 x＝－1 重點：解一元二次方程式

(2x＋3)(x＋1)＝(x＋1)(x＋3) ⇒ x(x＋1)＝0 ⇒ x＝0 或－1 答案選（A）

17. 將一元二次方程式

x

²－6

x

－5＝0 化成（

x

＋

a

）²＝

b

的型式，則

b

＝？【96 年第一次】

(A) －4 (B) 4 (C) －14 (D) 14

重點：配方法 【94 年第二次】

14 5 9 ) 3 ( 9

5 9

6 ²

2−

x

+ − = ⇒

x

− = + =

x

⇒ b=14

答案選（D）

18. 若 b 為正數且方程式 x²－x－b＝0 的兩根均為整數，則 b 可能為下列哪一數？

(A) 2 × 3 × 5 × 11 (B) 2 × 3 × 7 × 11 【96 年第二次】

(C) 2 × 5 × 7 × 11 (D) 3 × 5 × 7 × 11 重點：十字交乘法解一元二次方程式

b＝2 × 3 × 7 × 11 可以分解成 3 × 7 和 2 × 11 答案選（B）

19. 試求一整數k使得2

x

(

kx

−4)−

x

² +6=0沒有實數解，則整數k的最小值為何？

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 重點：利用判別式

D

=

b

² −4

ac

求解

將二次方程式展開成標準式：(2

k

−1)

x

² −8

x

+6=0 可得判別式

D

=64−4×(2

k

−1)×6=88−48

k

=8(11−6

k

) 因為沒有實數解，所以判別式D<0 ⇒ 11−6

k

<0

6

> 11

⇒ k 所以符合的最小整數k為 2 。 答案選（B）

20. 若 p ， q 皆為質數且

x

² −

px

+

q

=0有相異正整數根，則下列敘述何者為真？

I 兩根之差為奇數。 II 至少有一根為質數。

III

p

² −

q

為一質數。 IV p+q為一質數。 【1975 AMC-12】

(A) 只有 I 和 II (B)只有 II 和 III (C)只有 I 和 II 和 III (D) I 和 II 和 III和IV皆對 重點：一元二次方程式之解的意義

⎩⎨⎧

+

=

⇒

= +

=

=

⇒

=

q p

p

q q

1 , 1

β

α

β α

αβ

又因為

p

= 1+

q

亦為質數，故

q

=2且

p

=3，所以四句敘述皆對。答案選（D）

21. 若c∈R，今知

x

²−3

x

+

c

=0之一根和

x

² +3

x

−

c

=0之一根互為相反數(即兩數之正負號 相反)，則試問

x

²−3

x

+

c

=0之兩根分別為何？ 【1976 AMC-12】

(A) 0或3 (B) 0或−3 (C) 3或−3 (D) 無解 重點：解一元二次方程式

設

x

² −3

x

+

c

=0之一根為 r ，則(−

r

)為

x

² +3

x

−

c

=0之解 ∴

r

² −3

r

+

c

=0 L (1)，

r

²−3

r

−

c

=0 L (2)

由(1),(2)得 ^2c=0⇒c=0，則

x

² − x3 =0之兩根為0或3 。 答案選（A）

22. 使得方程式

x

² + ax+1=0與

x

²−

x

−

a

=0有相同實根之a值，共有多少個？

(A) 一個 (B) 二個 (C) 無解 (D) 無限多個 重點：兩個方程式有相同解的運算

兩式相減得

ax

+

x

+(1+

a

)=0，則(

a

+1)(

x

+1)=0 ⇒

a

=−1或x=−1。 如果a=−1⇒ 兩式之解不為實根，故矛盾。∴x=−1⇒ 解得a=2， 所以a之值只可能為 2 ，故只有一種可能。

答案選（A）

23. 若方程式

x

² +

px

+

q

=0的兩根，恰好為

x

²+

mx

+

n

=0的兩根的三次方，則試問何者 正確？

(A)

p

=

m

³ +3

mn

(B)

p

=

m

³−3

mn

(C)

p

+

q

=

m

³ (D)

q p n

m

)³ = (

重點：利用根與係數求解

設a，b為

x

²+

mx

+

n

=0的兩根，則−m=a+b，−

p

=

a

³+

b

³，n=ab，

q

=

a

³

b

³。 )

( 3 )

( ) ( 3 )

(

a

+

b

³ =

a

³+

b

³ +

ab a

+

b

⇒ −

m

³ =−

p

+ ×

n

× −

m

⇒

p

=

m

³ −3

mn

答案選（B）

24. 設a，b為正實數，若方程式

x

² +

ax

+2

b

=0和

x

²+2

bx

+

a

=0都有實根，則a+b的最小 可能值為何？ 【1984 AMC-12】

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 重點：利用判別式解題

D

₁ =

a

² −8

b

≥0 ⇒

a

² ≥8

b

，

D

₂ =4

b

² −4

a

≥0 ⇒

b

² ≥

a

∴

a

⁴ ≥64

b

² ≥64

a

⇒

a

³ ≥64，∴ a≥4⇒b≥2，∴ a+ b≥4+2=6 答案選（D）

25. 滿足(

x

−3)²+(

y

−3)² =6，且x，

y

∈ ，則

R x

y

最大值為何？

(A) 1−2 2 (B) 2+3 3 (C) 3+2 2 (D) 6−4 3 重點：由判別式求解

假設

k y kx x

y

= , = 代入，∴(

x

−3)² +(

kx

−3)² =6⇒(

k

² +1)

x

² −6(

k

+1)

x

+12=0

∵

x

∈

R

⇒

D

=36(

k

+1)² −48(

k

² +1)≥0，∴ k² −6k+1≤0⇒3−2 2 ≤k ≤3+2 2 所以

x

y

最大值為3+2 2

答案選（C）

26. 一矩形草地，長是28

m

，寬是20

m

，在其內部開闢三條等寬的通路，如附圖所示，

使所剩餘草地的面積是320 m ，則路寬多少公尺？ ² (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8

重點：一元二次的列式與求解 假設路寬為x公尺，則依題意可列出(28−2

x

)(20−

x

)=320

320 2

28 40

560− − + ² =

⇒

x x x

0 240 68

2 ² − + =

⇒

x x

⇒

x

² −34

x

+120=0 0

) 30 ( ) 4

( − − =

⇒

x x

⇒ x=4或30 30( 不合 Q30

m

>長是28

m

) 答案選（B）

27. 黃先生的農地由兩個長方形重疊而成，且重疊部分為正方形，如附圖所示，已知農地 總面積為1003 m 。若將重疊部分闢成水池，則水池的邊長為多少公尺? ²

(A) 13

m

(B) 12

m

(C) 11

m

(D) 10

m

重點：一元二次的列式與求解 假設水池邊長為x公尺

則依題意可列出(14+

x

)(9+

x

)+(15+

x

)(13+

x

)−

x

² =1003 ⇒126+23

x

+

x

² +195+28

x

+

x

² −

x

² =1003

0 682

2 +51 − =

⇒

x x

⇒(

x

−11)(

x

+62)=0 ⇒ x=11或−62 (負不合) 答案選（C）

28m

20m

14m 13m

15m 9m

28. 已知甲、乙兩正方形邊長比為 3：2，且甲、乙兩正方形面積和為 325 平方公分，請問 甲與乙的周長總和為多少公分？

(A) 80 (B) 100 (C) 120 (D) 140 重點：一元二次方程式應用題

設甲正方形邊長為 3

r

，乙正方形邊長為 2

r

，則：9

r

² + 4

r

² = 325

⇔ 13

r = 325

² ⇔

r

² = 25⇔

r

=± 5（– 5 不合），

∴甲邊長為3 5 15× = ，乙邊長為2 5 10× = 。 則甲與乙的周長總和= × + ×4 15 4 10=60 40 100+ = 答案選（B）

29. 兩整數的差為 13，積為 42− ，則兩數之和為多少？

(A) 4− 或 4 (B) −3或3 (C) 2− 或 2 (D) 1− 或1 重點：一元二次方程式的應用問題

設兩數為x、13+x，則：

(13

x

+

x

)= − 42 ⇒ 13

x

+

x

² = − 42 ⇒ (

x

+7 ) (

x

+6 )= 0 7

⇒

x

= − 或−6 ∴當x= −7，另一數為 6 ； x= −6，另一數為7。

∴−7+6=−1或− + =6 7 1 答案選（D）

30. 甲、乙兩人同解一個

x 係數為

² 3的一元二次方程式，甲將一次項係數看錯，解得兩根 為 1

− 3 ，3；乙將常數項看錯，解得兩根為−5， 7

− 3 ，求原來正確的方程式為何？

(A) 3

x

²−22

x

− = (B) 3 0 3

x

²+22

x

− = (C) 3 0 3

x

²+22

x

+ = (D) 3 0 3

x

2−22

x

+ = 3 0

重點：一元二次方程式的應用問題

(

x

−3) ( 3

x

+ =1) 0 ⇒ 3

x

²−8

x

− =3 0 ⇒ 一次項不採用 (

x

+5 ) ( 3

x

+7 )=0 ⇒ 3

x

²+22

x

+35=0 ⇒ 常數項不採用 ∴ 正確方程式為3

x

²+22

x

− = 3 0

答案選（B）

31. 梯形

ABCD

中，若

AD // BC

，

AE

⊥

BC

，2

BC

=3

AD

，

AE

=

AD

，若

AD

= x2 +4

，若梯形

ABCD

之面積為 125，則 AD 之長度為何？

(A) 5 (B) 7 (C) 10 (D) 12 重點：一元二次方程式的應用問題

∵2

BC

=3

AD

，且

AD

= x2 +4，∴2

BC

=3(2

x

+4)⇒

BC

=3

x

+6 ∴梯形

ABCD

之面積 [(2 4) (3 6)] (2 4)

2

1 + + + × +

=

x x x

=5

x

² +20

x

+20=125 0

105 20

5 ² + − =

⇒

x x

⇒

x

² +4

x

−21=0⇒(

x

−3)(

x

+7)=0⇒ x=3或−7（負不合）

∴

AD

=2×3+4=10 答案選（C）

32. 某電影院每張票價 80 元，觀眾有 1000 人，若票價每減 2 元，則觀眾就增加 30 人，

若欲使收入為 79625 元，則每張票價應訂多少﹖

(A) 75 (B) 70 (C) 65 (D) 60 重點：一元二次方程式的應用問題

設票價減少2x元，則觀眾就增加30x人。∴(80−2

x

)(1000+30

x

)=79625 79625

60 2000 2400

80000+ − − ² =

⇒

x x x

⇒60

x

² −400

x

−375=0 ⇒(2

x

−15)(6

x

+5)=0

∴ 2

= 15

x

或

6

− 5 （不合） 65

2 2 15 80− × =

⇒ 答案選（C）

33. 三個連續偶數的平方和是6356，則此三數和是多少？

(A) 138 (B) 134 (C) 130 (D) 126 重點：一元二次方程式的應用問題

假設三個連續偶數分別為x−2，x，x+2 依題意可列出 (

x

−2)² +

x

² +(

x

+2)² =6356 ⇒

x

² −4

x

+4+

x

² +

x

² +4

x

+4=6356

⇒ 3

x

² +8=6356 ⇒ 3

x

² =6348 ⇒

x

² =2116 ⇒

x

=±46(負不合) ∴三數的和=x−2+x+x+2=3x=3×46=138

答案選（A）

34. 如附圖為一「風車」設計平面圖，其設計來源為四個大小相同 的直角三角形拼成的圖形。 若

AB

=13、

BC

=7，則此 風車的面積為多少？

(A) 110 (B) 120 (C) 130 (D) 140 重點：一元二次方程式的應用問題

設

AO

=

CO

=

x

⇒

BO

=

x

−7

x

² +(

x

−7)² =13² ⇒

x

² +

x

² −14

x

+49=169 0

120 14

2 ² − − =

⇒

x x

⇒

x

²−7

x

−60=0 12

0 ) 5 ( ) 12

( − + = ⇒ =

⇒

x x x

或−5(負不合)

∵12−7=5，∴一個直角三角形面積=12×5÷2=30， 4 個共30×4=120。 答案選（B）

35. 小翔想用31公尺的籬笆沿著河岸圍一個長方形的花圃，花圃得短邊垂直河岸，緊鄰河岸 的一邊不圍，如附圖所示。若要花圃的面積為119平方公尺且花圃形狀愈接近黃金矩形 愈好，則此花圃的短邊長為多少公尺？(黃金矩形，長：寬≒1.62)

(A) 2

15 (B) 2

17 (C) 2

19 (D) 2 21

重點：一元二次方程式的應用問題

x

(31−2

x

)=119⇒−2

x

² +31

x

−119=0⇒2

x

² −31

x

+119=0 ⇒(2

x

−17)(

x

−7)=0

2

= 17

⇒ x 或7 (1)

2

= 17

x

⇒ 另一邊 14

2 2 17

31− × = ， 28:17 2

: 17

14 = ≒1.65 (2) x= 7⇒另一邊31−2×7=17，17:7≒2.4

答案選（B）

36. 七個連續正整數由小而大分別為a、b、c、d、e、 f 、g，且

a

² +

b

² +

c

² +

d

² =

e

² +

f

² +

g

² ，則a=？

(A) 21 (B) 22 (C) 23 (D) 24 重點：一元二次方程式的應用問題

假設a、b、c、d、e、 f 、 g 之值分別為x、x+1、x+2、x+3、x+4、x+5、x+6

2 2

2 2

2 2

2 +(

x

+1) +(

x

+2) +(

x

+3) =(

x

+4) +(

x

+5) +(

x

+6)

x

A

C B

13 7

河流 花圃

河流

x 花圃 x

32-2x

36 12 25

10 16

8 9

6 4

4 1

2 ^{2 2 2 2 2}

2

2 + + + + + + + + + = + + + + + + + +

⇒

x x x x x x x x x x x x x

0 63 18 77

30 3

14 12

4 ² + + = ² + + ⇒ ² − − =

⇒

x x x x x x

21 0

) 3 ( ) 21

( − + = ⇒ =

⇒

x x x

或−3(負不合)

答案選（A）

37. 一工程車的後車輪周長

x

公尺，若前車輪的周長比後車輪的周長少 2 公尺，而且每公里 前輪比後輪多轉 25 圈，求後車輪周長？

(A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12 重點：一元二次方程式的應用問題

設後車輪周長為

x

公尺， 則前車輪的周長為(

x

−2)(

x

－2)公尺 ∴ 1000 25

2

1000 = +

−

x

x

⇒1000

x

=1000(

x

−2)+25

x

(

x

−2)

x

x x

x

1000 2000 25 50 1000 = − + ² −

⇒ ⇒25

x

² −50

x

−2000=0 ⇒

x

² −2

x

−80=0 ⇒(

x

−10)(

x

+8)=0，∴x=10或−8（不合） ⇒ 後車輪周長為 10 公尺 答案選（C）

38. 設a> b>0，且 + −1=5

b

a a

b

，求 =

a b

﹖

(A) 2+3 2 (B) 2−3 2 (C) 3+2 2 (D) 3−2 2 重點：求解一元二次方程式

設

a

x

=

b

，∵ + 1 =6

x x

3 2 2

1 2

1 1 4 ) 6 ( ) 6 0 (

1 6

2

2 = ±

×

×

×

−

−

±

−

= −

⇒

= +

−

⇒

x x x

∵a> b>0，∴ <1 ⇒

x

=3−2 2

a

b

。

答案選（D）