第二章函数与基本初等函数

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第二章函数与基本初等函数

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高考总复习数学

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函数概念与基本初等函数Ⅰ(指数函数、对数函数、幂函数) 1．函数

(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．

(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．

(3)了解简单的分段函数，并能简单应用．

(4)理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．

(5)会运用函数图象理解和研究函数的性质．

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2．指数函数

(1)了解指数函数模型的实际背景．

(2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．

(3)理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．

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第二章函数与基本初等函数 3．对数函数

(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．

(2)理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．

(3)了解指数函数y＝a^x与对数函数y＝log_ax互为反函数(a＞0，

且a≠1)．

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4．幂函数

(1)了解幂函数的概念．

(2)结合函数 y＝x，y＝x²，y＝x³，y＝1

x，y＝x1

2的图象，

了解它们的变化情况．

5．函数与方程．

(1)结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．

(2)根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近

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第二章函数与基本初等函数 6．函数模型及其应用

(1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．

(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．

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2007年、2010年广东卷均考查了求函数定义域的问题，还考查了函数的单调性和奇偶性，是以选择题或填空题的形式出现．

2009年考查了反函数的问题和函数图象的问题，均是简单题.2007年20题、2009年20题、2010年文科20题，主要考查二次函数的性质及应用，由此可见二次函数仍是广东高考的一个热点．

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1．映射

设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系

f，使对于集合 元素x，在集合 中都有

的元素y与之对应，那么就称对应 为从 集合A到集合B的一个 ．

A中的任意一个 B

唯一确定 f：A→B

映射

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第二章函数与基本初等函数 2．函数的概念

(1)设A，B是 的，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合A中的 数x，在集合B中都有

的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合 B的一个函数，记作y＝f(x)．x∈A.其中，叫做 ，

叫做函数的定义域；与x的值相对应的叫做函

数值，叫做函数的值域．

非空数集任意一个唯一确定

x 自变量

x的取值范围A y值

函数值的集合{f(x)|x∈A}

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(2)函数的三要素：、、；其中，是核心，是灵魂；与

确定；若与相同，则两

个函数是．

3．确定函数定义域的原则

定义域是函数的灵魂，因此在研究函数时一定要遵循：

“定义域优先”的原则，而确定函数的定义域的原则是：

(1)当函数y＝f(x)是用表格给出时，函数的定义域是指

．

定义域值域对应法则

对应法则定义域对应法则

定义域值域对应法则定义域相同的函数

表格中实数x的集合

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(2)当函数y＝f(x)是用图象给出时，函数的定义域是指 ．

(3)当函数y＝f(x)是用解析式给出时，那么函数的定义域就 是指．

(4) 若 y ＝ f(x) 是由实际问题给出时，则函数的定义域

．

图象在x轴上的正投影所覆盖实数x的集合

使表达有意义的实数x的集合

由实际意义确定

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1．(2011·深圳一模)已知全集U＝R，集合A为函数f(x)＝

ln(x－1)的定义域，则∁_UA＝________.

[答案] {x|x≤1}

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2.(2009·江西卷)函数 y＝ －x²－3x＋4

x 的定义域为

( ) A．[－4,1] B．[－4,0)

C．(0,1] D．[－4,0)∪(0,1]

[解析] 由



x≠0

－x²－3x＋4≥0 得－4≤x＜0 或 0＜x≤1，

故选 D.

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[答案] A

3．(2009·福建卷)下列函数中，与函数 y＝ 1

x有相同定义域的是( )

A．f(x)＝lnx B．f(x)＝1 x

C．f(x)＝|x| D．f(x)＝e^x [解析] 由 y＝ 1

x可得定义域是 x＞0.f(x)＝lnx 的定义域 x＞0；f(x)＝1

x的定义域是 x≠0；f(x)＝|x|的定义域是 x∈R；

f(x)＝e^x 定义域是 x∈R.故选 A.

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(24)

试判断以下各组函数是否表示同一函数？

(1)f(x)＝ x²，g(x)＝3

x³； (2)f(x)＝|x|

x ，g(x)＝



1，x≥0，

－1，x＜0；

(3)f(x)＝ x x＋1，g(x)＝ x²＋x；

(4)f(x)＝x²－2x－1，g(t)＝t²－2t－1.

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[分析] 对于两个函数y＝f(x)和y＝g(x)，当且仅当它们的 定义域、值域、对应法则都相同时，y＝f(x)和y＝g(x)才表示同 一函数．若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，

反之亦然．

[解] (1)由于 f(x)＝ x²＝|x|，g(x)＝3

x³＝x，故它们的值 域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数．

(2)由于函数 f(x)＝|x|

x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而

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(3)由于函数 f(x)＝ x x＋1的定义域为{x|x≥0}，而 g(x)

＝ x²＋x的定义域为{x|x≤－1 或 x≥0}，它们的定义域不同，

所以它们不是同一函数．

(4)函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数．

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[点评与警示] ①第(4)小题易错误判断成它们是不同的函 数．要注意，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变 量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身 并无影响，比如f(x)＝x²＋1，f(t)＝t²＋1，f(u＋1)＝(u＋1)²＋1都是同一函数．

②对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数．

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(人教 A 版必修 1 第 22 页题改编)以下给出的对应是不 是从集合 A 到集合 B 的映射？

(1)A＝R，B＝R，f：x→y＝ 1

x＋1；

(2)A＝{x|x≥0}，B＝R，f：x→y²＝x；

(3)A＝{α|0°≤α≤180°}，B＝{x|0≤x≤1}．f：求余弦；

(4)A＝{平面 α 内的矩形}，B＝{平面 α 内的圆}，f：作 矩形的外接圆．

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[分析] 应该这样思考，什么是映射？映射这个概念应满足什么要求？然后作出判断．

[解] (1)当x＝－1时，y值不存在，所以不是映射．

(2)不是映射，如A中元素x＝1时，在f作用下，B中有两个 元素±1，不具备惟一性．

(3)不是映射，例如当α＝180°时，在B中没有元素与之对 应．

(4)由于平面内每一个矩形只有一个外接圆与之对应，所以

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[点评与警示] 欲判断对应f：A→B是否是从A到B的映射，

必须做两点工作：①明确A、B中的元素．②根据对应判断A中 的每个元素是否在B中能找到惟一确定的对应元素．

(31)

求下列函数的定义域 (1)y＝ 1

2－|x|＋ x²－1；

(2)y＝lg(|x|－x)；

(3)已知 f(x)的定义域为(－1,1)，求函数 F(x)＝f(1－x)＋

f(1

x)的定义域．

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[分析] (1)、(2)可由函数的解析式有意义所满足的条件 进行求解，(3)将 1－x 与1

x均看成一个整体，则它们的值均在 (－1,1)中，据此即可求得 x 的取值范围．

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[解] (1)由



2－|x|≠0，

x²－1≥0. 解得



x≠±2；

x≤－1，或x≥1.

所以函数的定义域为(－∞，－2)∪(－2，－1]∪[1,2)∪

(2，＋∞)．

(2)由|x|－x>0.得|x|＞x，∴x＜0 所以函数的定义域为(－∞，0)．

(3)由



－1<1－x<1，

－1<1

x<1. 得



0<x<2

x<－1或x>1

∴1<x<2.

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[点评与警示] 求有解析式的函数的定义域就是求使解析 式有意义的x的范围．掌握基本初等函数(如分式函数、对数函 数、三角函数、根式函数等)的定义域是求函数定义域的基

础．(3)中函数F(x)是由两个函数相加而成的，其定义域为两个 函数的定义域的交集．

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[答案] (1) (2)(－2,0)

求下列函数的定义域 (1)y＝ 1

2－|x|＋3

x²－1；

(2)已知 f(x－1)的定义域为(－1,1)，求函数 f(x)的定义域．

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用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架 (如图)，若矩形底部长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关 系式，并指出其定义域．

(37)

[分析] 本题中框架由一个矩形和一个半圆围成，函数 关系不难写出，关键是在求定义域时，除考虑 x>0 外，还得 使l

2－π

2x－x>0.

(38)

[解]

由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一 个半圆组成的图形的面积，而矩形的长 AB＝2x.设宽为 a，

则有 2x＋2a＋πx＝l，即 a＝l

2－π

2x－x，半圆的半径为 x，所 以 y＝πx²

2 ＋(l

2－π

2x－x)·2x＝－(2＋π

2)x²＋lx.

由实际意义知：l

2－π

2x－x>0，因 x>0，解得 0<x< l 2＋π. 即函数 y＝－(2＋π

2)x²＋lx 的定义域是{x|0<x< l

2＋π}．

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[点评与警示] 求由实际问题确定的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义．如本题使 函数解析式有意义的x的取值范围是x∈R，但实际问题的意义 是矩形的边长为正数，而边长是用变量x表示的，这就是实际问 题对变量的制约．

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已知扇形周长为10 cm，求扇形半径r与扇形面积S的函数关 系S＝f(r)，并确定其定义域．

[解] 设弧长为 l，则 l＝10－2r，所以 S＝1

2lr＝(5－r)r

＝－r²＋5r

由



r>0，

l>0，

l<2πr

得 5

π＋1<r<5.

∴S＝－r²＋5r 的定义域为( 5

π＋1，5)．

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(42)

1．映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射，

即两个非空数集之间的映射．

2．求已知解析式函数的定义域就是求使函数式有意义的x 的取值范围；由实际问题或几何问题建立的函数式，其定义域应使实际问题或几何问题有意义．

3．求由解析式表示的函数定义域常见的几种情况：

(1)若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R.

(2)若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数 集．

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(3)若f(x)是二次(偶次)根式，则函数的定义域是使被开方式 大或等于0的实数集合．

(4)若f(x)是对数式，则函数的定义域是使真数大于0，且底 数大于0且不等于1的实数集．

(5)含参数问题的定义域要分类讨论；

(6)若f(x)是指数式，则零指数幂的底数不等于0.

(7)若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义 域是使各个式子同时有意义的实数的集合．

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第二章 函数与基本初等函数

[解] (1)由

[解]

第二章函数与基本初等函数