3 三角形的心 2

■ 10小時

活動1 能 理 解 三 角 形 外 接 圓 的 圓 心 稱 為三角形的外心。

■ 在 尋 找 三 角 形 外 心 之 前 ， 須 讓 學 生 熟 悉 中 垂 線 性 質 ， 即 線 段 的 中 垂 線 上 任 一 點 ， 到 此 線 段 的 兩 端 點等距。

3 ^{2 三角形的心}

如果想作一個圓同時通過△ABC 的三個頂點，這個圓一定作得出來嗎？如 果作得出來，它的圓心會在哪裡？

如圖 3-4，△ABC 中，L₁為AB 的中垂線，L₂為BC 的中垂線，L₁與L₂交 於O 點，連接 OA、OB、OC，

∵L₁是AB 的中垂線，∴OA＝OB。

又L₂是BC 的中垂線，∴OB＝OC。

故OA＝OB＝OC，即 O 點到三頂點等距離。

因此若以O 點為圓心，OA 為半徑畫圓，則此圓必通過△ABC 的三個頂點。

三角形的外心

1

圖3-4 B

L₁

L₂

A C

O

銳角三角形

C

O

A B

直角三角形

C O

A B

鈍角三角形

如圖3-3，P 點在直線 L 上，

1如果L 是 AB 的中垂線，則 PA＝PB。

2如果PA＝PB，則 L 是 AB 的中垂線。

如圖3-4，若 L3為AC 的中垂線，則 L₃也會通過O 點嗎？

P

A B

圖L3-3

L₁ L₂

L₁ L₂

會

對應能力指標 9-s-08

■類題熟練本P50

■教學掛圖(I)

 12B-14

■MPB三角形的心

 P1∼19

■ 三 角 形 的 外 心 ， 就 是 外 接 圓 的 圓 心 。 任 意 三 角 形 都 只 有 一 個 外 接 圓 ， 意 即 三 角 形 的 外 心 是 唯 一 的。

下列各圖的三角形中，虛線為該邊之中垂線，請利用這些中垂線，

各作出一個圓，使這個圓通過三角形的三個頂點。

由上面的說明與隨堂練習可知：

任意三角形三邊的中垂線交於同一點（設為O 點），且此點到三頂點的距離相 等（設為 R）。若以 O 點為圓心，R 為半徑，作一圓通過此三角形的三頂點，

此圓稱為該三角形的外接圓，圓心稱為該三角形的外心。

外心會落在三角形的內部、三角形的邊上或三角形的外部？我們用圓周角 的觀點說明如下：

　　如圖3-5，△ABE 為銳角三角形，△ABD 為 直角三角形，△ABC 為鈍角三角形，且△ABE、

△ABD 與△ABC 皆為圓 O 的圓內接三角形，所以 1銳角三角形ABE 的外心（圓心 O）會在三角形內部。

2直角三角形ABD 的外心（圓心 O）剛好在三角形的 斜邊中點。

3鈍角三角形ABC 的外心（圓心 O）會在三角形外部。

圖3-5 A

C B D

E O

■ 準備一張紙，任意裁成一個三角形，用摺紙的方法，摺出三角形的外心。 _■

類題熟練本P50

■教學掛圖(I)

 12B-14

■MPB三角形的心

 P1∼19

131

活動2 能理解直角 三角形斜邊中點到 三頂點等距離。

如下圖，有A、B、C 三村，想蓋一座公園到三村的距離相等，

請用尺規作圖找出公園的位置。

直角三角形 ABC 中，∠A＝90°，AB＝6，

AC＝8，試求△ABC 外接圓的半徑長。

直角三角形外接圓半徑

例

1

∵△ABC 為直角三角形，

∴斜邊BC＝ 6²＋8²＝10，

且BC 中點即為外心，

故外接圓半徑＝OA＝OB＝OC＝10÷2＝5

A

B O C

直角三角形 ABC 中，∠A＝90°，AB＝9，AC＝12，試求△ABC 外接圓的 半徑長。

A

C B

搭配習作 P44 基礎題 4

搭配習作 P43 基礎題 1

斜邊BC＝ 9²＋12²＝13

∴外接圓半徑＝13÷2＝ 132

A

B 公園 C

■ 直角三角形 PQR 中，∠P＋∠R＝90°，PQ ＝7，QR ＝24，試求 △PQR 外接圓的

直徑長。（外接圓的直徑＝25） ^■類題熟練本P51

■類題熟練本P50、51

如右圖，△ABC 中，已知∠ACB＝90°，∠B＝60°，

∠A＝30°，BC＝a，試求 AB、AC。

30°－60°－90°三角形三邊長比

例

2

如右圖，作斜邊中點O，∵∠ACB＝90°，

∴O 為外心，OA＝OB＝OC，

又∠OCB＝∠B＝60°，則∠BOC＝60°，

故△OBC 為正三角形，

BC＝OC＝OB＝a，AB＝OA＋OB＝2a AC＝ AB²－BC²＝ （2a）²－a²＝ 3 a

B C

A

a

B C

A

O

a

如圖 3-6，△ABC 中，AB ＝c，BC ＝a，AC ＝b，

∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，

則△ABC 三邊長的比為 a：b：c＝1： 3：2。

B C

A

c b

60°

30°

a 圖3-6

如右圖，△ABC 中，∠A＝30°，∠C＝60°，

若AB ＝6，試求 BC 。

A

B C

∠B＝180°－30°－60°＝90°

∴AB：BC：AC＝ 3：1：2 6：BC＝ 3：1

BC＝2 3

活動_3 能 理 解 內 角 為 30°、60°、90°

的 三 角 形 ， 其 三 邊 長的比例關係。

■ 30°－60°－90°直 角三角形的三邊比 由 小 而 大 依 次 為 1： 3：2，是常用 於 數 學 幾 何 計 算 的比例關係，可以 要求學 生 熟 練 此 關係。

■ 如右圖，直角三角形 ABC 中，∠B＝90°，∠C＝30°，

D 點在 BC 上，CD ＝ AD ，若 AC ＝2，試求 AD。

（ AD ＝2 3 3 ）

A

B D C

■類題熟練本P51

■類題熟練本P50、51

133

圓內接三角形的三內角為其外接圓的圓周角，而一弧所對的圓周角度數，

等於該弧所對圓心角度數的一半，可利用此關係求解相關問題。

如右圖，畫出△ABC 的外接圓。

∵∠A＝ 12 ∠BOC（圓周角＝1

2 圓心角）

∴∠BOC＝2∠A＝2×67°＝134°

A

B O C

1如右圖，△ABC 中，O 為外心，若∠BAC＝46°，

∠ABC＝79°，試求∠AOB。

2 如右圖，△ABC 為鈍角三角形，

外心O 在三角形外部，

若∠ABC＝28°，∠BAC＝106°，試求∠AOB。

如右圖，△ABC 中，∠A＝67°，

O 為△ABC 的外心，試求∠BOC。

外接圓的應用

例

3

A

B O C

A

B C

O

A

B

O

C 搭配習作 P43 基礎題 2

∠ACB＝180°－46°－79°＝55°

∴∠AOB＝AB＝2∠ACB＝110°

∠ACB＝180°－28°－106°＝46°

∴∠AOB＝AB＝2∠ACB＝92°

A

B C

O

A

B

O

C

■ 如右圖，△ABC 中，∠ACB＝80°，∠BAC＝40°，

O 為△ABC 外心，試求∠AOB、∠AOC。

（∠AOB＝160°，∠AOC＝120°）

O A

B

C

P129 圖

A

E ¹

2

D

B

C

P133 圖 P

3 1

4

5

Q 2

S

R P135 圖

O A

B

C P130 圖

A

E F

B

D C

P134 圖 A

C B

P151 圖 I

P

Q S

R P145 圖

A

E D

B

C

P146 圖

A

I

B C

P147 圖 A

I

B C

P149 圖

A

B C

D G P164 圖

A

B C

E

D G

P165 圖 P166 圖

A

B C

D G¹ G² M

A

B C

G M N

P169 圖 A

B C

D G¹ G² M

■ 在本冊第 2 章已 經 學 過 圓 心 角 是 圓周角的 2 倍。

■ 在例題 3 中，圓 心角∠BOC 並未 超過 180°，因為

∠BAC＝67°並未 大於 90°，若 ∠BAC 大於90°，

則 BC 為優弧，

∠BOC 由 360°－

2∠BAC 取代。

■教學掛圖(I)

 13A-14

■類題熟練本P52

■類題熟練本P52

■十分鐘輕鬆考基礎篇 第19回

■ 準備一張紙，任意裁成一個三角形，用摺紙的方法，摺出三角形的內心。

三角形的內心

2

如圖，△ABC 為鈍角三角形，請利用尺規作圖，求作：

1△ABC 的內心。

2△ABC 的內切圓。

B C

A

1三角形三內角的角平分線交於一點，此點稱為三角形的內心。

2三角形的內心到三邊等距離。

3若以三角形的內心為圓心，到三邊的距離為半徑畫圓，可得到三角形的 　內切圓。

如果想在三角形內部作一個圓，使得這個圓和三角形的三邊相切，這個圓 一定作得出來嗎？如果作得出來，它的圓心會在哪裡？

如圖3-7，△ABC 中，作∠CAB 的角平分線 L₁、

∠ABC 的角平分線 L₂，I 為 L₁、L₂的交點，並作ID⊥BC、

IE⊥AC、IF⊥AB，分別交 BC、AC、AB 於 D、E、F。

∵L₁是∠CAB 的角平分線，∴ IE＝IF，

∵L₂是∠ABC 的角平分線，∴ ID＝IF，

故ID＝IE＝IF，即 I 到△ABC 三邊等距離。

因此，若以I 為圓心，ID 為半徑畫圓，則此圓 和三角形的三邊相切，如圖3-8。

若L₃為∠ACB 的角平分線，則 L₃是否也會通過I 點？

由上面可知，ID＝IE，且 ID⊥BC、IE⊥AC，

∴I 點必在∠ACB 的角平分線 L₃上。

由此可知，三角形三內角的角平分線交於一點，且此點為三角形內切圓的 圓心，所以將此點稱為三角形的內心。

L₁ L₂

A B

I D E

C

F 圖3-7

L₁ L₂

A B

I D E

C

F 圖3-8

對應能力指標 9-s-09 活動_4 能 理 解 三 角 形 內 切 圓 的 圓 心 稱 為三角形的內心。

活動5 能理解三角 形的內心為三內角 平分線交點，且內 心至三邊等距離。

■ 在 八 下 已 學 過 角 平 分 線 作 圖 ， 並 已 知 角 平 分 線 上 任 一 點 到 兩 邊 等 距離。

■ 使 用 尺 規 作 圖 來 作 內 心 時 ， 只 要 找 出 三 角 形 任 兩 個 角 的 角 平 分 線 交 點 ， 即 是 內 心。

■教學掛圖(I)

 13A-14

■類題熟練本P52

■類題熟練本P52

■十分鐘輕鬆考基礎篇 第19回

135

■ 在例題 4 中，教 師 不 宜 教 導 學 生 直 接 背 誦 公 式 解 題 ， 宜 培 養 學 生 推 理 解 題 的 能 力。

角度的計算

例

4

三角形的內心，一定都在三角形內部嗎？為什麼？

如右圖，I 為△ABC 的內心，且∠ABC＝70°，

∠ACB＝40°，試求∠BIC。

∵I 為△ABC 的內心，

∴BI 為∠ABC 的角平分線，

則∠1＝ 12 ∠ABC＝35°。

同理，∠2＝ 12 ∠ACB＝20°。

∠BIC＝180°－∠1－∠2＝180°－35°－20°＝125°

A

B C

I

A

B C

I

1 2

如右圖，△DEF 中，I 為內心，∠EFD＝40°，

∠E＝80°，試求∠DIF。

D

I

E F

搭配習作 P43 基礎題 3

搭配習作 P44 基礎題 5

∵內心為三內角的角平分線交點

∴一定在三角形內部

∠EDF＝180°－40°－80°＝60°

∴∠DIF＝180°－∠IDF－∠IFD

＝180°－ 12 ∠EDF－1

2 ∠EFD

＝180°－30°－20°

＝130°

■ 如右圖，S 為△PQR 內心，且∠QPR＝82°，∠PRQ＝34°，試求∠PSR。

（∠PSR＝122°）

O A

B

C

P129 圖

A E ¹

2

D

B

C

P133 圖 P

3 1

4

5

Q 2

S

R P135 圖

O A

B

C P130 圖

A E

F B

D C

P134 圖 A

C B

P151 圖 I

P

Q S

R P145 圖

A

E D

B

C

P146 圖

A

I

B C

P147 圖 A

I

B C

P149 圖

A

B C

D G P164 圖

A

B C

E

D G

P165 圖 P166 圖

A

B C

D G1

G2

M

A

B C

G M N

P169 圖 A

B C

D G1

G2

M

■類題熟練本P53

■類題熟練本P53

三角形內心與面積

例

5

如右圖，△ABC 中，I 為內切圓的圓心，

△ABI 的面積為 24，△ACI 的面積為 15，

△BCI 的面積為 21，試求 AB：AC：BC。

將三角形的內心與三個頂點連接，可以將原三角形分成三個小三角形，

因為內心到三邊的距離相等，我們可以利用此性質來討論這三個小三角形的 面積比。

如圖3-9，△ABC 中，I 為△ABC 的內心，

ID ⊥AB，IE ⊥ BC，IF ⊥ CA，其中D、E、F 為垂足，

∴ID ＝ IE ＝ IF。

△AIB：△BIC：△CIA

＝（ 12 × AB ×ID ）：（ 12 × BC × IE ）：（ 12 × CA × IF）

＝AB：BC：CA

AB：AC：BC

＝△ABI：△ACI：△BCI

＝24：15：21

＝8：5：7

A

B C

I

若△ABC 為等腰直角三角形，且∠C＝90°，I 為內心，

試求△AIB：△BIC：△CIA。

圖3-9

F I

A D B

C E

∵△ABC 為等腰直角三角形，∠C＝90°

∴BC：CA：AB＝1：1： 2 又I 為內心，

∴△AIB：△BIC：△CIA＝AB：BC：CA＝ 2 ：1：1

■ 如右圖，△ABC 中，∠ABC＝30°，AC ⊥ BC，I 為內心，

試求 △AIB：△BIC：△CIA。

（△AIB：△BIC：△CIA＝2： 3 ：1）

O A

B

C

P129 圖

A E ¹

2

D

B

C

P133 圖 P

3 1

4

5

Q 2

S

R P135 圖

O A

B

C P130 圖

A E

F B

C D

P134 圖 A

C B

P151 圖 I

P

Q S

R P145 圖

A

E D

B

C

P146 圖

A

I

B C

P147 圖 A

I

B C

P149 圖

A

B C

D G P164 圖

A

B C

E

D G

P165 圖 P166 圖

A

B C

D G1

G2

M

A

B C

G M N

P169 圖 A

B C

D G1

G² M

■ 在 任 意 三 角 形 中 ， 內 心 到 三 邊 的 距 離 相 等 ， 因 此 內 心 到 三 頂 點 的 連 線 將 三 角 形 分 割 成 三 個 小 三 角 形 ， 若 分 別 以 三 邊 為 底 ， 則 三 個 小 三 角 形 的 高 都 等 於 內 切 圓 的 半 徑 ， 其 長 度 皆 相 等 ， 因 此 三 個 小 三 角 形 的 面 積 比 等 於 三 邊 長 的 比。

■類題熟練本P53

■類題熟練本P53

137

內切圓半徑

例

6

如果已知道三角形的面積與各邊的邊長，我們也可利用三角形內心到三邊 等距離的性質，算出三角形內切圓的半徑。

如右圖，I 為△ABC 的內心，IL⊥AB，

IM⊥BC，IN⊥AC，若△ABC 的面積為 6 √6，

且AC＝5，BC＝6，AB＝7，試求 IM。

設內切圓半徑為r，連接 IA、IB、IC，

∵I 為內心，

∴I 到三邊的距離均為 r，

△ABC＝△IAB＋△IBC＋△IAC 84＝ 1

2 ．AB．r＋ 1

2 ．BC．r＋1

2 ．AC．r 84＝ 12 ．14．r＋ 1

2 ．13．r＋ 1

2 ．15．r 84＝21r

r＝4

故△ABC 的內切圓半徑為4。

如右圖，I 為△ABC 的內心，△ABC 的面積為 84，

若 AC ＝15，BC ＝13，AB ＝14，試求△ABC 的 內切圓半徑。

C

A B

I 15 13

14 C

A B

I r r r 13 15

14

A

B M C

L I N

搭配習作 P45 基礎題 6

連接AI、BI、CI

∵I 為內心，∴令 IL＝IM＝IN＝r

△ABC＝△AIB＋△BIC＋△CIA

∴r＝ 23 6 故IM＝ 23 6

A

B M C

L I N 活動6 能 理 解 三 角

形 的 面 積 ＝ 內 切 圓 半 徑 × 三 角 形 周 長

÷2。

■ 先 舉 例 推 算 ， 在 下 頁 才 推 導 出 規 則 ， 目 的 是 不 希 望 學 生 只 會 死 記 規則或公式。

■ 有一個三角形的三邊長分別為 5、12、13，試求此三角形的內切圓半徑。

（內切圓半徑＝2）

■類題熟練本P54

圖3-10 B

C I

c b

a r

r r

三角形的面積＝內切圓半徑與三角形周長之乘積的一半。

　　接下來，我們來探討直角三角形的兩股、斜邊與內切圓半徑的關係。

　　如圖 3-11，直角三角形 ABC 中，∠C＝90°，作出內切圓 O，且切三邊於 D、E、F 三點，令 r 為其半徑，分別連接 OE、OF。

由於AD、AF 為切線長，所以 AD＝AF，

同理BD＝BE，CE＝CF。

因為E、F 為切點，∠C＝90°，OE＝OF＝r，

因此四邊形OECF 為正方形。

故AC＋BC＝（AF＋CF）＋（BE＋CE）

＝（AF＋BE）＋（CF＋CE）

＝（AD＋BD）＋2r

＝AB＋2r

由上面的說明可知：

直角三角形的兩股和＝斜邊長＋內切圓半徑的2 倍。

如圖 3-10，△ABC 中，AB ＝c，BC ＝a，AC ＝b，

內切圓半徑為 r，I 為內切圓的圓心，連接 IA、IB、IC，

則△IAB、△IBC、△IAC 的底邊分別為 c、a、b，且高都 是r。

△ABC＝△IAB＋△IBC＋△ICA

＝ cr2 ＋ar 2 ＋br

2

＝ r2（a＋b＋c）

A

E C O r F D

圖3-11 B

A

■ 有一個直角三角形，斜邊為 25，有一股長 24，試求此三角形的內切圓半徑。

（內切圓半徑＝3）

■ 在 這 裡 我 們 不 寫

「 三 角 形 的 面 積

＝ 12 r s ， 其 中 s ＝ a ＋ b ＋ c 」 的 公 式 ， 因 為 在 高 中 海 龍 公 式 中 s＝ 12（ a＋b＋c），

而 此 處 僅 代 表 周 長 ， 為 避 免 學 生 搞 混 ， 因 此 不 寫 出 簡 潔 的 公 式 ， 教 師 在 課 堂 上 可 選擇使用。

活動7 能 理 解 直 角 三角形的內切圓半徑

＝（兩股和－斜邊）

÷2。

■ 教 師 可 進 一 步 將 此 結 論 推 導 成 內 切 圓 半 徑 ＝ （ 兩 股 和 － 斜 邊 ）÷

2。

■類題熟練本P54

139

■ 在 知 道 三 邊 長 的 情 況 下 ， 計 算 直 角 三 角 形 的 內 切 圓 半 徑 屬 於 正 常 的 教 學 內 容 ； 若 是 計 算 等 腰 三 角 形 的 內 切 圓 半 徑 ， 則 要 先 利 用 畢 氏 定 理 求 出 三 角 形 面 積 ， 適 合 給 程 度 較 好 的 學 生 練 習 ； 而 計 算 不 規 則 三 角 形 的 內 切 圓 半 徑 需 要 更 複 雜 的 計 算 ， 不 建 議 國 中 階 段 學 習 ， 亦 不 宜 介 紹海龍公式。

直角三角形的內切圓

例

7

△ABC 中，∠A＝90°，AB ＝5，AC ＝12，試求△ABC 的內切圓半徑。

直角三角形ABC 中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，試求△ABC 的內切圓 半徑。

BC＝ 5²＋12²＝13

△ABC 的周長＝5＋12＋13＝30

△ABC＝ 12 ．AB．AC＝1

2 ．5．12＝30 設內切圓半徑為r

△ABC＝ 12 ．r．△ABC 的周長 30＝ 12 ．r．30

r＝2

故內切圓半徑＝2 解二 斜邊BC＝ 5²＋12²＝13

設內切圓半徑為r AB＋AC＝BC＋2r 5＋12＝13＋2r r＝2

故內切圓半徑＝2

B

C A

斜邊AC＝ 8²＋6² ＝10 設內切圓半徑為r AB＋BC＝AC＋2r 8＋6＝10＋2r r＝2

■ 如右圖，△ABC 中， I 為內切圓的圓心，AB ＝5，

BC ＝12，∠ABC＝90°，試求灰色區域的面積。

（灰色區域的面積＝4－π）

O A

B

C

P129 圖

A

E ¹

2

D

B

C

P133 圖 P

3 1

4

5

Q 2

S

R P135 圖

O

A

B

C P130 圖

A E

F B

D C

P134 圖 A

C B

P151 圖 I

P

Q S

R P145 圖

A

E D

B

C

P146 圖

A

I

B C

P147 圖 A

I

B C

P149 圖

A

B C

D G P164 圖

A

B C

E

D G

P165 圖 P166 圖

A

B C

D G¹ G² M

A

B C

G M N

P169 圖 A

B C

D G¹ G2

M

■類題熟練本P54

■十分鐘輕鬆考基礎篇 第20回

■ 準備一張紙，任意裁成一個三角形，用摺紙的方法，摺出三角形的重心。

將三角形的頂點和其對邊中點連線，此線段稱為三角形的中線，其長度稱 為中線長。

如圖 3-12，△ABC 有三條中線，AM 為 BC 上的中線，BN 為 AC 上的中 線，CP 為 AB 上的中線。

三角形的重心

3

圖3-12 A

B M C

N P

A

B C

A

B C

將一個質地均勻的三角板，依次輪流懸掛其中的一個頂點，然後將懸掛線 延長，可觀察到這條線通過懸掛頂點的對邊中點，如圖 3-13，兩條虛線會交於 一點，那麼第三條虛線會交於同一點嗎？

A B C

B

C C

A

A B

圖3-13

接下來，我們將證明第三條中線會通過前面二條中線的交點，而此交點稱 為三角形的重心。

對應能力指標 9-s-10 活動_8 能 理 解 三 角 形的重心為三中線的 交點。

■ 傳 統 證 明 重 心 的 存 在 方 式 較 為 嚴 肅 ， 本 書 採 取 輕 鬆 帶 入 門 的 方 式 ， 然 後 才 證 明。

■ 懸 掛 的 方 式 在 課 堂 呈 現 比 較 難 ， 教 師 也 可 以 引 導 學 生 利 用 摺 紙 的 方 式 ， 摺 出 中 線 的摺痕。

■ 教 師 可 指 導 學 生 理 解 實 際 操 作 中 可 能 產 生 的 誤 差 ， 再 以 推 導 的 方式證明。

■類題熟練本P54

■十分鐘輕鬆考基礎篇 第20回

141

■ 如右圖，△ABC 為等腰三角形，AB＝AC，AD⊥BC，G 為重心，

若 GD＝2.5，試求 AD。

（AD＝7.5）

如圖3-14，△ABC 中，D、E、F 分別為 BC、AC、AB 中點，且 BE 和 CF 兩中線交於G 點。

連接EF。

∵E、F 分別為 AC、AB 中點，

∴EF // BC，且 EF＝ 12 BC。

在△GBC 與△GEF 中，

∠1＝∠3，∠2＝∠4，（EF // BC）

則△GBC∼△GEF（AA 相似），

故BG：GE＝BC：EF＝2：1。

　　如圖3-15，設 AD 與 BE 兩中線交於 G' 點，

同理BG'：G'E＝2：1，

故G 與 G' 是同一點，

即AD 通過 G 點。

由上面的說明可知：

1如圖3-16，△ABC 的三中線 AD、BE、CF 交於重心G。

2如圖3-17，若G 為△ABC 的重心，

則AG ＝ 23 AD，GD ＝ 1 3 AD。

B C

D G

F _{1 2} E

4 3

圖3-14

D G'

A

B C

F E

圖3-15

A

B C

D G

F E

圖3-16 A

B D C

G A

圖3-17

G D

B C

A 活動9 能 理 解 三 角

形 的 重 心 到 一 頂 點 的 距 離 ， 等 於 它 到 對邊中點的兩倍。

■ 此 處 是 運 用 相 似 形 的 性 質 來 證 明。

■ 三 角 形 重 心 到 頂 點 的 距 離 ， 與 到 對 邊 中 點 的 距 離 比為 2：1。

■類題熟練本P55

■教學掛圖(I)

 13B-14

Q

P R

M G N

如右圖，△ABC 中，三中線 AD、BE、CF 交於G 點，AD＝12，BE＝18，CF＝15，

試求AG、BG、CG。

∵G 為三中線 AD、BE、CF 的交點，

∴G 為△ABC 的重心 故AG＝ 23 AD＝ 2

3 ．12＝8 BG ＝ 23 BE ＝ 2

3 ．18＝12 CG ＝ 23 CF ＝ 2

3 ．15＝10

A

B D C

G

F E

例

8

如右圖，△PQR 中，M、N 分別為 PQ 、QR 中點，

PN 、RM 交於 G 點，若 GM ＋GN ＝5，

試求PN ＋RM 。

∵G 為重心

∴PN＝3GN，RM＝3GM 故PN＋RM

＝3GN＋3GM

＝3（GN＋GM）

＝15

搭配習作 P45 基礎題 7

■ 如右圖，△ABC 中，G 為重心，若 GD ＋ GE ＋ GF ＝12，試求 GA ＋ GB ＋ GC 。 （ GA ＋ GB ＋ GC ＝24）











A

B _D C

G

F E

■ 運 用 重 心 的 性 質 ， 可 以 迅 速 求 出 重 心 到 三 頂 點 的長度。

■類題熟練本P55

■教學掛圖(I)

 13B-14

143

如右圖，△ABC 的三中線 AD、BE 、CF 交於一點 G，

試證△ABG、△BCG、△CAG 面積相等。

1△ABC 中，D 為 BC 中點，

∴△ABD＝△ACD。

同理，△GBD＝△GCD。

2△ABG＝△ABD－△GBD＝△ACD－△GCD＝△CAG 同理，△BCG＝△CAG。

∴△ABG＝△BCG＝△CAG。

A

B C

F E

D G

如右圖，△ABC 的三中線 AD、BE 、CF 交於一點 G，

試證△AFG 的面積＝ 16 △ABC 的面積。

由例題9 與隨堂練習可知：

如圖 3-18，△ABC 中，AD、BE、CF 為三中線，

G 為重心，則：

1△AGB＝△BGC＝△CGA＝ 1

3 △ABC 。 2△AGF＝△BGF＝△BGD＝△CGD＝△CGE

＝△AGE＝ 16 △ABC 。

A

B C

F E

D G

圖3-18

重心均分面積

例

9

A

B C

F E

D G

搭配習作 P46 基礎題 8

∵F 為 AB 中點

∴△AFG＝ 12 △ABG＝1 2 ×1

3 △ABC＝ 1

6 △ABC

■ 由 隨 堂 練 習 可 知

△ABC 中，三中 線 AD、BE、CF 會將 △ABC 分割 成 六 個 面 積 相 等 的小三角形。

■ 如右圖，△ABC 中，G 為重心，試證四邊形 AFGE 的面積＝1

3△ABC 的面積。

∵ G 為△ABC 的重心，

∴△AFG＝1

6△ABC，△AEG＝ 16△ABC。

故四邊形 AFGE 的面積＝△AFG＋△AEG ＝1

6△ABC＋1

6△ABC＝1

3△ABC。





A

B C

F E

D G

■類題熟練本P56、57

■類題熟練本P56

例

10

如右圖，△ABC 中，AB＝8，AC＝15，∠BAC＝90°，

若G 為重心，試求 AG 及△AEG 的面積。

如右圖，△ABC 中，∠ABC＝90°，兩中線 AD、BE 交於 G 點，AB＝6，BC＝8，試求：

1 AG、GE。

2△ABG 的面積。

3四邊形CDGE 的面積。

1 ∵△ABC 為直角三角形，∴ AC ＝ 6²＋8²＝10。

∵E 為斜邊 AC 中點，∴E 為△ABC 的外心。

則EA ＝ EB ＝ EC ＝10÷2＝5，

且BD＝ 12 BC ＝4，AD ＝ 6²＋4²＝2 13

又兩中線AD、BE 交於 G 點，∴G 為△ABC 的重心，

AG ＝ 23 AD＝ 2

3 ．2 13 ＝4 3 13 GE＝ 13 BE ＝1

3 ．5＝5 3 2△ABG ＝1

3 △ABC＝1 3 ．（1

2 ．6．8）＝8 3如圖，連接CG ，

則四邊形CDGE 面積＝△CDG＋△CEG

＝ 16 △ABC＋1

6 △ABC

＝ 13 ．（1

2 ．6．8）

＝8

A

B C

E

D G

A

B C

E

D G

B D C

E G A

搭配習作 P46 基礎題 9

BC＝ 8²＋15²＝17

∵D 為外心，∴AD＝ 12 BC＝17 2 G 為重心，∴AG＝ 23 AD＝17

3

△AEG＝ 16 △ABC＝1 6 ×（1

2 ×8×15）＝10

■ 如右圖，△ABC 中，AB ＝7，BC ＝24，AC ＝25，

若 G 為重心，試求 BG 及△AGD 的面積。

（BG ＝25

3 ，△AGD＝14）

O A

B

C

P129 圖

A E ¹

2

D

B

C

P133 圖 P

3 1

4

5

Q 2

S

R P135 圖

O A

B

C P130 圖

A E

F B

C D

P134 圖 A

C B

P151 圖 I

P

Q S

R P145 圖

A

E D

B

C

P146 圖

A

I

B C

P147 圖 A

I

B C

P149 圖

A

B C

D G P164 圖

A

B C

E

D G

P165 圖 P166 圖

A

B C

D G¹ G² M

A

B C

G M N

P169 圖 A

B C

D G¹ G² M

■ 運 用 勾 股 定 理 及 重 心 性 質 ， 進 行 三 角 形 的 各 式 計 算。

■類題熟練本P56、57

■類題熟練本P56

145

重心的應用

例

11

如右圖，平行四邊形 ABCD 中，O 為對角線 AC、BD 的交點，E 為 CD 中點，H 為BC 中 點，試證BG＝GF＝FD。

1∵平行四邊形對角線互相平分，

∴AO＝ OC，BO＝ OD。

2△ABC 中，O 為 AC 中點，H 為 BC 中點，

∴G 為重心，

故BG ＝ 23 BO，GO＝1 3 BO。

同理，FD＝ 23 OD，FO＝1 3 OD。

3∵BO＝OD，

∴GF＝ GO＋FO＝ 13 BO＋1

3 OD＝2 3 BO 故BG＝GF＝FD。

A D

C

B H

E F G O

A

G₁ G2

D

B C

如右圖，長方形ABCD 中，AB ＝9，BC ＝12，

若G₁、G₂分別為△ABC、△ACD 的重心，

試求G₁G₂。

BD＝ 12²＋9²＝15

∵G₁、G₂分別為△ABC、△ACD 的重心

∴BG₁＝G₁G₂＝G₂D 故G₁G₂＝ 13 BD＝5

■ 平 行 四 邊 形 可 依 對角線切成 2 個 全 等 的 三 角 形 ， 再 利 用 三 角 形 重 心 的 性 質 進 行 證 明。

■ 如右圖，△ABC 與△BCD 均為正三角形，若 AB ＝6，

G₁ 為△ABC 重心，G₂ 為△BCD 重心，試求 G1G2。 （G1G₂＝2 3 ）

■教學掛圖(I)

 14A-14

■十分鐘輕鬆考基礎篇 第21回

■類題熟練本P57

垂心

三角形的三高交於一點，該點稱為三角形的垂心，通常以 H 來表示

△ABC 的垂心。如圖 3-20，銳角三角形的垂心位於三角形內部，鈍角三 角形的垂心位於三角形外部，直角三角形的垂心即為直角頂點。

數學萬花筒

×÷

－

在前一節中，我們學過「等腰三角形底邊上的高平分底邊，且平分頂 角」，即等腰三角形底邊的中線和中垂線與其頂角平分線相同，故正三角形的 三中線即是三邊的中垂線，也是三內角平分線。

如圖3-19，△ABC 為正三角形，AD、BE、CF 為 三中線，則AD、BE、CF 分別為 BC、AC、AB 的 中垂線，也分別是∠A、∠B、∠C 的角平分線。

由上面的說明可得：

正三角形的外心、內心與重心是同一點。

在數學中最令我欣喜的，是那些能夠被證明的東西。

──羅素（Bertrand Russell，1872-1970）

數學小語錄

圖3-20

A H

FA E

A（H）

D

B C B D C B D C

F E H

A

B C

F

D E

圖3-19

■ 如右圖，ABCD 為平行四邊形，E 為 BC 中點，

若 △ABF 的面積為 10，則平行四邊形 ABCD 的 面積為何？（60）

活動_10 能 理 解 正 三 角 形 的 外 心 、 內 心 與重心是同一點。

■ 正 三 角 形 的 外 心 、 內 心 與 重 心 是同一點。

■教學掛圖(I)

 14A-14

■十分鐘輕鬆考基礎篇 第21回

■類題熟練本P57

147

!外心：

任何三角形三邊的中垂線交於同一點（外心），且此點到三頂點的距離 相等。

@三角形外心的位置：

1銳角三角形的外心會在三角形內部。

2鈍角三角形的外心會在三角形外部。

3直角三角形的外心剛好在斜邊中點上。

#直角三角形的三邊比：

△ABC 中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，∠A＝30°，∠B＝60°，

∠C＝90°，則△ABC 三邊長的比為 a：b：c＝1：√3：2。

$內心：

1三角形三內角的角平分線交於一點，此點就是三角形的內心。

2三角形的內心到三邊等距離。

3若以三角形的內心為圓心，到三邊的距離為半徑畫圓，可得到三角 形的內切圓。

%內切圓的半徑：

1三角形的面積＝內切圓半徑與三角形周長之乘積的一半。

2直角三角形的兩股和＝斜邊長＋內切圓半徑的2 倍。

^重心：

1三角形的三中線交於一點，此交點稱為三角形的重心。

2如圖3-21，G 為△ABC 的重心，

則AG＝ 23 AD，GD＝1 3 AD。

3如圖3-22，△ABC 中，AD、BE、CF 為三中線，G 為重心，則：

1△AGB＝△BGC＝△CGA＝ 1

3 △ABC 。 2△AGF＝△BGF＝△BGD＝△CGD

＝△CGE＝△AGE＝ 16 △ABC 。

重點回顧

圖3-22 A

B C

F E

D G

A

B D C

G

圖3-21

■ 如右圖，△ABC 中，AB＝AC，BD、CE 分別為 AC 與 AB 的中線，

且 BD⊥CE 交於 G 點，若 BC ＝10，試求 △ABC 三中線之和。

（15＋15 2 ）

■類題熟練本P58、59

■考前衝刺P14、15

■考前100分P14、15

■歷屆基測試題3-2

■無 敵 大 補 帖 基 礎 篇

P24∼31

3-2

1. 若直角三角形的兩股長分別為 2、6，試求其外心到三個頂點的距離和。

2△ABC 中，已知∠A＝60°，∠B＝40°，若 O 為△ABC 的外心，

試求∠BOC。

斜邊長＝ 2²＋6²＝2 10

∴外心到三頂點的距離和＝3×（1

2 ×2 10）＝3 10

如右圖，圓O 為△ABC 的外接圓，

O 為外心

∴∠BOC＝BC＝2∠A＝120°

A

O

B C

1 O 為 △ABC 的外心，若 ∠BOC＝160°，試求 ∠A。

（∠A＝80° 或 ∠A＝100°）

2 ^O 為 △ABC 的外心，若三邊長分別為 3、4、5，試求 OA：OB：OC。

A 3：4：5 B 2：3：4

C 4：3：2 D 1：1：1

D

■類題熟練本P58、59

■考前衝刺P14、15

■考前100分P14、15

■歷屆基測試題3-2

■無 敵 大 補 帖 基 礎 篇

P24∼31

149

1△ABC 中，AB＝ AC ＝10，BC ＝12，試求 △ABC 的內切圓半徑。（3）

2 ^I 為直角三角形 ABC 的內心，若兩股長 AB ＝16，BC＝30，

試求 △AIB：△BIC：△CIA。（8：15：17）

3 △ABC 中，∠A＝60°，∠B＝90°，若 O 為外心，且 OA＋OB＋OC＝18，

試求△ABC 的面積。

4 △ABC 的面積為 24，其內切圓半徑為 3，試求△ABC 的周長。

O 為外心，∴OA＝OB＝OC＝6

∴AC＝12

△ABC 中，∠A＝60°，∠B＝90°，∠C＝30°

∴AB：BC：AC＝1： 3 ：2 AB：BC：12＝1： 3 ：2

∴AB＝6，BC＝6 3

△ABC＝ 12 ×AB×BC＝18 3

△ABC 的面積＝ 12 ×內切圓半徑×△ABC 的周長 24＝ 12 ×3×△ABC 的周長

△ABC 的周長＝16

O C

A B

■類題熟練本P58、59

■十分鐘輕鬆考基礎篇 第22∼24回

■十分鐘輕鬆考進階篇 第11∼14回

■無 敵 大 補 帖 進 階 篇 P17∼23

■類題熟練本P58、59

5 如右圖，△ABC 中，三中線 AD、BE、CF 交於 G 點，若△ABC 的 面積為48 平方公分，試求四邊形 AEGF 的面積。

6設G 為正三角形 ABC 的重心，若 AB＝12，試求 AG。

A

B D C

F E G

四邊形AEGF 的面積

＝△AGE＋△AFG

＝ 16 △ABC＋1

6 △ABC

＝16（平方公分）

如右圖，

G 為重心，AD 為中線

∵△ABC 為正三角形

∴AD 亦為高

故AD＝ 32 AB＝6 3 AG＝ 23 AD＝4 3

G A

B D C

■ G 為 △ABC 的重心，若三邊長的比為 3：4：5，且 △ABC 周長為 48，

試求 △ABG 的面積。（32） ^■類題熟練本P58、59

■十分鐘輕鬆考基礎篇 第22∼24回

■十分鐘輕鬆考進階篇 第11∼14回

■無 敵 大 補 帖 進 階 篇

P17∼23

■類題熟練本P58、59

151

尤拉線

在平面幾何中，尤拉線（圖 3-23 中的紅線）是指通過三角形的垂 心（H）、外心（O）、重心（G）的一條直線。瑞士數學家暨物理學家尤拉

（Leonhard Euler，1707-1783）證明了在任意三角形中，以上三點共線。尤 拉線上的三點中，重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半。

旁心

三角形的任意兩角的外角平分線和第三個角的內角平分線交於一 點，這種點對於一個三角形而言共有三個，它們即為三角形的旁心，旁 心恆在三角形的外部，通常以 I_a、I_b、I_c 表示旁心。如圖 3-24，△ABC 中，AB ＝c，BC ＝a，AC ＝b，其中 I_a表示與BC 相切的旁切圓圓心，I_b 表示與AC 相切的旁切圓圓心，I_c表示與AB 相切的旁切圓圓心。

數學萬花筒

÷

×－

圖3-24

A B

A B

C

I_a

Ic

A B

I_b C C

圖3-23 O

G H

■教學掛圖(I)

 14B-14