勾股定理證明-G022
【作輔助圖】
1. 以 AB 為邊，向外作一正方形 AHKB，以BC 為邊，向外作一正方形 CBDE ，以 AC 為邊，向外作一正方形 CAGF 。
2. 從 C 點作 HK 的垂線交於 S 點，且交 AB 於 Z 點。
3. 延長 HA 交 GF 於Q 點，延長 KB 交 CE 於 P 點。
4. 從 Z 點作 CA 的平行線交 AH 於T 點，作 CB 的平行線交 BK 於 M 點。
5. 從 S 點作 BC 的平行線交 ZT 於U 點，作 AC 的平行線交 BK 於 L 點。
6. 在 ZS 上取一點V ，使得 SV BP，並從V 點作 AC 的平行線交 ZM 於W 點。
7. 在 ED 上取一點 O ，使得 EOWM，並從 O 點作 BP 的平行線交 BD 於 N 點。
8. 從 C 點作 AB 的平行線交 AQ 於 R 點，且交 BP 於 J 點。
A B
H
E F
G
D Q
R
P
T
L M
S C
K
U V
Z W
N O J
【求證過程】
以直角三角形 ABC 的三邊分別向外作三個正方形，證明正方形 AHKB 所切割出的 區塊中，長方形 BKSZ 內的區塊可以拼出正方形 CBDE 的區域，同時長方形 AHSZ 內的 區塊可以拼出正方形 CAGF 的區域，證明了長方形 BKSZ 的面積等於正方形 CBDE 的面 積，同時長方形 AHSZ 的面積也與正方形 CAGF 的面積相等，最後推出畢氏定理的關 係式。
1. 首先觀察出四邊形 ATZC 與四邊形 BMZC 皆為平行四邊形：
由作圖得到 CS // AH // BK ， ZT // CA 且 ZM // CB ，所以四邊形 ATZC 與四邊形 BMZC 皆為平行四邊形。
2. 由平行四邊形 BMZC 所得到的長度與平行關係，證明三角形 ZMB 與三角形 CBJ 全 等：
(由於求證過程 3.之後的三角形全等證明過程，其判斷全等的概念與求證過程 2.相 同，故有關一對平行且等長的線段，若其另兩邊亦成平行關係，就省略說明對應 角的內容)
因為四邊形 BMZC 為平行四邊形，可得到 ZM // CB 且 ZM CB，由平行關係可得 同位角相等
, ZMB CBJ
又由平行關係 ZB // CJ 可得到
, BZM JCB
所以
ZMB CBJ
(ASA 全等).
3. 由平行四邊形 ATZC 所得到的長度與平行關係，證明三角形 ATZ 與三角形 RAC 全 等：
因為四邊形 ATZC 為平行四邊形，可得到 ZT // CA 且 ZT CA，由平行關係 ZA // CR 可得到對應角相等，所以
ATZ RAC
(ASA 全等).
4. 先證明 AQSZ，再證明三角形USZ 與三角形GAQ 全等：
因為 AG AC,QGA BCA90且由垂直的互餘關係得到
90 ,
GAQ QAC CAB
所以
GAQ CAB
(ASA 全等).
進一步得到 ABAQSZ，在三角形USZ 與三角形GAQ 中，因為 AQSZ且 AQ //SZ,
由平行關係得到對應角相等(同證明過程 2.)，所以 USZ GAQ
(ASA 全等).
5. 證明四邊形THSU 與四邊形 QRCF 全等：
由上述 USZ 與 GAQ 全等的證明結果，可得到USGA，又 GA FC ，所以 US FC
且由 GF AC TZ與 GQ UZ 的條件，可得到 , GFGQTZUZ 整理得
QF TU ，
又因為四邊形 HSCR 為長方形，得到 HS RC，再由平行關係得到對應角相等，
所以
THSU QRCF 四邊形 四邊形 . 6. 證明三角形 SKL 與三角形 CJP 全等：
因為四邊形 SKJC 為長方形，得到 SK CJ ，且由平行關係得到對應角相等，所以 SKL CJP
(ASA 全等).
7. 證明三角形 ZVW 與三角形 OND 全等：
由作圖 7.知 EO WM 且 ED CB ZM，所以 , ZM WM EDEO 得到
. ZW OD 由平行關係得到對應角相等，所以
ZVW OND
(ASA 全等).
8. 由以下附圖先證明三角形 ZSY 與三角形 XBD 全等，再證明五邊形 SLMWV 與五邊 形 BNOEP 全等：
(1) 延長 DE 與 BP 交於 X 點，延長 ZM 與 SL 於Y 點，已知 BC BD,
90
CBA CBX DBX
且BCA BDX 90，所以 ABC XBD
(ASA 全等)﹐
進而得到
ABBX .
又由 ABZS BX ，且由平行關係得到對應角相等(同證明過程 2.)，所以 ZSY XBD
(ASA 全等)﹐
進而得到
ABC XBD ZSY
.
(2) 已知 EOWM，又 XD AC ZY且 ED CB ZM，得到 ,
XDEDZYZM XEMY﹐ 再由平行關係得到
XPE MLY
﹐
又 ZV ZSSV BX BP XP，由平行關係得到 ZVW XPE﹐ 且 ZVW OND，所以可得
ZVW XPE OND MLY
﹐
進而得到
SLMWV BNOEP
五邊形 五邊形 .
A B
H
E
D P
L M
S C
K V
Z W
N J O
X
Y
9. 將上述全等的關係整理，得到長方形 BKSZ 面積等於正方形 CBDE 面積，且長方形 AHSZ 面積等於正方形 CAGF 面積：
BKSZ SKL MBZ ZVW SLMWV
CJP BJC OND BNOEP
CBDE
長方形 面積＝ 面積＋ 面積＋ 面積＋五邊形 面積
＝ 面積＋ 面積＋ 面積＋五邊形 面積
＝正方形 面積.
且
AHSZ ATZ USZ THSU
RAC GAQ QRCF
CAGF
長方形 面積＝ 面積＋ 面積＋四邊形 面積
＝ 面積＋ 面積＋四邊形 面積
＝正方形 面積.
10. 最後利用面積關係推出畢氏定理的關係式：
AHKB BKSZ AHSZ
CBDE CAGF
正方形 面積＝長方形 面積＋長方形 面積
＝正方形 面積＋正方形 面積.
得到
2 2 2
AB CB CA , 即
2 2 2
. c a b
【註與心得】
1. 來源：這個證明出自於以下書籍：
Versluys, J. (1914). Zes en negentig bewijzen voor het Theorema van Pythagoras (Ninety-Six Proofs of the Pythagorean Theorem) (p. 43). Amsterdam: A.
Versluys.
2. 心得：此題圖形繪製的輔助線稍多，都是繪製平行的輔助線，能使學生較容易看出 對應角的相等關係，再利用平行四邊形的對邊等長的關係，判斷出三角形之 間的全等性質。
＜此題圖形的分割方式適合作為拼圖證明的教材＞
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
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4. 說明：此題圖形的作圖畫法雖與 G021 不同，但分割的元件數量與 G021 是相同且 全等的，學生只要利用平移的拼圖方法，即可得到了三個正方形面積之間的 畢氏定理關係，拼圖方式比 G021 利用平移與旋轉的拼圖方法來得輕鬆。
